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【题型一】匀变速直线运动的基本规律及应用
【例1】短跑运动员完成100
m赛跑的过程可简化为匀加速直线运动和匀速直线运动两个阶段。一次比赛中，某运动员用11.00
s跑完全程。已知运动员在加速阶段的第2
s内通过的距离为7.5
m，则该运动员的加速度及在加速阶段通过的距离为（
）
5
m/s2，10
m
B.
5
m/s2，11
m
C.
2.5
m/s2，10
m
D.
2.5
m/s2，10
m
【变式1】汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是x＝24t－6t2，则它在前3
s内的平均速度为(　　)
A．6
m/s　　　　
B．8
m/s
C．10
m/s
D．12
m/s
【变式2】某质点的位移随时间变化规律的关系是s＝4t＋2t2，s与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为(　　)
A．4
m/s与2
m/s2
B．0与4
m/s2
C．4
m/s与4
m/s2
D．4
m/s与0
【变式3】以36
km/h的速度沿平直公路行驶的汽车，遇障碍物刹车后获得大小为4
m/s2的加速度，刹车后第3
s内汽车的位移大小为(　　)
A．12.5
m
B．2
m
C．10
m
D．0.5
m
【题型二】匀变速直线运动的推论及应用
1．三个推论
(1)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等，即
Δx
=
x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2．
(2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度。
平均速度公式：＝＝。
(3)位移中点速度＝。
2．初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)前T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)∶…∶(－)。
3．思维方法
迁移角度
适用情况
解决办法
比例法
常用于初速度为零的匀加速直线运动且运动具有等时性或等距离
由连续相邻相等时间(或长度)的比例关系求解
推论法
适用于“纸带”类问题
由Δx＝aT2求加速度
平均速度法
常用于“等分”思想的运动，把运动按时间(或距离)等分之后求解
根据中间时刻的速度为该段位移的平均速度来求解问题
图像法
常用于加速度变化的变速运动
由图像的斜率、面积等条件判断
（一）比例法的应用
【例2】(多选)冰壶比赛中，一冰壶以速度v垂直进入三个相等宽度的矩形区域做匀减速直线运动，且在刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(　　)
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
【变式1】如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足(　　)
A．1<<2
B．2<<3
C．3<<4
D．4<<5
【变式2】(多选)如图所示，光滑斜面上的四段距离相等，质点从O点由静止开始下滑，做匀加速直线运动，先后通过a、b、c、d，下列说法正确的是
(　　)
A．质点由O到达各点的时间之比ta∶tb∶tc∶td＝1∶∶∶2
B．质点通过各点的速率之比va∶vb∶vc∶vd＝1∶∶∶2
C．质点在斜面上运动的平均速度v＝vb
D．质点在斜面上运动的平均速度v＝
【变式3】如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一子弹以水平速度射入木块，若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则下列关于子弹依次射入每
个木块时的速度比和穿过每个木块所用时间比正确的是(　　)
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
（二）Δx＝aT2推论法的应用
【例3】一小球沿斜面匀加速滑下，依次经过A、B、C三点，已知AB＝6
m，BC＝10
m，小球经过AB和BC两段所用的时间均为2
s，则小球经过A、B、C三点时的速度大小分别是(　　)
A．2
m/s，3
m/s，4
m/s
B．2
m/s，4
m/s，6
m/s
C．3
m/s，4
m/s，5
m/s
D．3
m/s，5
m/s，7
m/s
【变式1】物体做匀加速直线运动，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则物体(　　)
A．在A点的速度大小为
B．在B点的速度大小为
C．运动的加速度为
D．运动的加速度为
【变式2】一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1
s内和第2
s内位移大小依次为9
m和7
m，则刹车后6
s内的位移是(　　)
A．20
m　　　　　　　　　B．24
m
C．25
m
D．75
m
（三）平均速度公式的应用
【例4】质点由静止从A点出发沿直线AB运动，行程的第一阶段是加速度大小为a1的匀加速运动，接着做加速度大小为a2的匀减速运动，到达B点时恰好速度减为零。若AB间总长度为s，则质点从A到B所用时间t为(　　)
A．　　
B．
C．
D．
【变式1】做匀加速直线运动的质点在第一个3
s内的平均速度比它在第一个5
s内的平均速度小3
m/s。则质点的加速度大小为(　　)
A．1
m/s2　　　　　　　　B．2
m/s2
C．3
m/s2
D．4
m/s2
（四）图像法的应用
【例5】如图所示，甲、乙两车同时由静止从A点出发，沿直线AC运动。甲以加速度a3做初速度为零的匀加速运动，到达C点时的速度为v。乙以加速度a1做初速度为零的匀加速运动，到达B点后做加速度为a2的匀加速运动，到达C点时的速度也为v。若a1≠a2≠a3，则(　　)
A．甲、乙不可能同时由A到达C
B．甲一定先由A到达C
C．乙一定先由A到达C
D．若a1>a3，则甲一定先由A到达C
【题型三】自由落体和竖直上抛运动
1．两种运动的特性
(1)自由落体运动为初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。
(2)竖直上抛运动的重要特性(如图)
①对称性
a．时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA。
b．速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等。
②多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
2．竖直上抛运动的研究方法
分段法
上升阶段：a＝g的匀减速直线运动下降阶段：自由落体运动
全程法
初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(向上方向为正方向)若v>0，物体上升，若v<0，物体下落若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
【例6】（1）某物体以30
m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10
m/s2。5
s内物体(　　)
A．路程为65
m
B．位移大小为25
m，方向向上
C．速度改变量的大小为10
m/s
D．平均速度大小为13
m/s，方向向上
【变式1】如图所示，将一小球以10
m/s的初速度在某高台边沿竖直上抛，不计空气阻力，取抛出点为坐标原点，向上为坐标轴正方向，g取10
m/s2，则3
s内小球运动的(　　)
A．路程为25
m
B．位移为15
m
C．速度改变量为30
m/s
D．平均速度为5
m/s
【变式2】(多选)将某物体以30
m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10
m/s2。5
s内物体的(　　)
A．路程为65
m
B．位移大小为25
m，方向竖直向上
C．速度改变量的大小为10
m/s
D．平均速度大小为13
m/s，方向竖直向上
拓展点：双向可逆运动
类竖直上抛运动
如果沿光滑斜面上滑的小球，到最高点仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义。
【例7】(多选)一物体以5
m/s的初速度在光滑斜面上向上运动，其加速度大小为2
m/s2，设斜面足够长，经过t时间物体位移的大小为4
m，则时间t可能为(　　)
A．1
s　　　　　　　　　B．3
s
C．4
s
D．
s
【变式1】两物体在不同高度自由下落，同时落地，第一个物体下落时间为t，第二个物体下落时间为，当第二个物体开始下落时，两物体相距(　　)
A．gt2
B．gt2
C．gt2
D．gt2
【题型四】物体运动的多过程问题
1．基本思路
如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带。可按下列步骤解题：
(1)画：分清各阶段运动过程，画出草图。
(2)列：列出各运动阶段的运动方程。
(3)找：找出交接处的速度与各段间的位移—时间关系。
(4)解：联立求解，算出结果。
2．解题关键
多过程运动的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，往往是解题的关键。
（一）多过程运动之-----“先以由静止加速在以匀减至速度为零”模型
（1）特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式：
①速度公式
推导可得：
②速度位移公式
推导可得：
③平均速度位移公式
推导可得：
（2）位移三个公式：，，
（3）解题策略：画出图像，两段初末速度相同，中间速度是解题的核心。
【例8】如图所示，很小的木块由静止开始从斜面下滑，经时间t后进入一水平面，两轨道之间用长度可忽略的圆弧连接，再经2t时间停下，关于木块在斜面上与在水平面上位移大小之比和加速度大小之比，下列说法正确的是
(　　)
A．1∶2，2∶1
B．1∶2，1∶2
C．2∶1，2∶1
D．2∶1，1∶2
【变式1】在一次救灾活动中，一辆救灾汽车由静止开始做匀加速直线运动，在运动了8
s之后，由于前方突然有巨石滚下并堵在路中央，所以又紧急刹车，匀减速运动经4
s
停在巨石前。关于汽车的运动情况，下列说法正确的是(　)
加速、减速中的加速度大小之比为a1∶a2＝2∶1
B．加速、减速中的平均速度大小之比为v1∶v2＝1∶1
C．加速、减速中的位移之比为x1∶x2＝2∶1
D．加速、减速中的加速度大小之比为a1∶a2＝1∶3
（二）多过程运动之“先加后匀”模型（限速问题）
加速时间；加速距离
匀速时间；匀速距离；总位移
【例9】甲、乙两辆车在平直公路上从同一地点先后出发，其运动的v?t图像如图所示，已知t3时刻两车相遇，相遇前两车最大距离为25
m，已知t2＝10
s。求：
(1)甲车在加速阶段的加速度大小。
(2)两车相遇的时间t3。(取＝1.4，结果保留两位有效数字)
【变式1】道路交通法规规定：黄灯亮时车头已越过停车线的车辆可以继续行驶，车头未越过停车线的若继续行驶，则属于交通违章行为。一辆以10
m/s的速度匀速直线行驶的汽车即将通过红绿灯路口，当汽车车头与停车线的距离为25
m时，绿灯还有2
s的时间就要熄灭(绿灯熄灭黄灯即亮)。若该车加速时最大加速度大小为2
m/s2，减速时最大加速度大小为5
m/s2。请通过计算说明：
(1)汽车能否不闯黄灯顺利通过。
(2)若汽车立即做匀减速直线运动，恰好能紧靠停车线停下的条件是什么？
（三）多过程运动之“返回出发点”模型
（1）特点：初速度为零，两段总位移为零。
（2）位移两个公式：；
（3）特殊结论：若
,则有
,
（四）多过程运动之“反应时间（先匀后减）”模型
总位移
【例10】汽车以10
m/s的速度在马路上匀速行驶，驾驶员发现正前方15
m处的斑马线上有行人，于是刹车，让汽车恰好停在斑马线前，假设驾驶员反应时间为0.5
s。汽车运动的v－t图像如图所示，则汽车的加速度大小为(　　)
A.
20
m/s2
B.
6
m/s2
C.
5
m/s2
D.
4
m/s2
（五）多过程运动之“减速为零，原路返回”模型
（1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。
（2）位移三个公式：；。
（3）三个比例式：①
；②
；
③
【例11】将一个质量为1
kg的小球竖直向上抛出，最终落回抛出点，运动过程中v-t图像如图所示，g=10
m/s2，则下列说法正确的是（
）
小球重力和所受阻力之比为5：1
B.
小球上升过程中克服阻力做功24
J
C.
小球上升与下落所用时间之比为2：3
D.
小球上升过程中机械能的损失大于下落过程中机械能的损失
（六）多过程运动之“耽误时间（先减后加）”模型
耽误距离，耽误时间
【例12】将一物体以初速度竖直向上抛出，设空气阻力大小恒定，其速度大小随时间变化的图像如图所示，则下列说法正确的是（
）
物体经过1.8t0的时间落回抛出点
B.
物体在落回到抛出点的过程中平均速度为
C.
物体在上升阶段和下落到抛出点阶段重力做功平均功率之比为
D.
空气阻力为其重力的0.2倍
【题型五】运动图像的理解
1．运动学图像主要有x-t、v-t、a-t图像，应用图像解题时主要看图像中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素：
一般意义
x－t图像
v－t图像
a－t图像
轴
图像描述哪两个物理量之间的关系
纵轴—位移横轴—时间
纵轴—速度横轴—时间
纵轴—加速度横轴—时间
线
表示物理量y随物理量x的变化过程和规律
运动物体的位移与时间的关系
运动物体的速度与时间的关系
运动物体的加速度与时间的关系
斜率
k＝，定性表示y随x变化的快慢
某点的斜率表示该点的瞬时速度
某点的斜率表示该点的加速度
某点的斜率表示该点加速度的变化率
点
两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等
两物体相遇
两物体某时刻速度相同
两物体某时刻加速度相同
面积
图线和时间轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义
无意义
图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位移
图线和时间轴所围的面积，表示物体的速度变化量
截距
图线在坐标轴上的截距一般表示物理过程的“初始”情况
纵截距表示t＝0时的位移
纵截距表示t＝0时的速度
纵截距表示t＝0时的加速度
2.
图像问题常见的是x-t和v-t图像，在处理特殊图像的相关问题时，可以把处理常见图像的思想以及方法加以迁移，通过物理情境遵循的规律，从图像中提取有用的信息，根据相应的物理规律或物理公式解答相关问题．处理图像问题可参考如下操作流程：
3.
x-t图像、v-t图像、a-t图像描述物体的运动性质
　　x-t图像中，若图线平行于横轴，表示物体静止，若图线是一条倾斜的直线，则表示物体做匀速直线运动，图线的斜率表示速度；
　　v-t图像中，若图线平行于横轴，表示物体做匀速直线运动，若图线是一条倾斜的直线，则表示物体做匀变速直线运动，图线的斜率表示加速度；
　　a-t图像中，若图线平行于横轴，表示物体做匀变速直线运动，若图线与横轴重合，则表示物体做匀速直线运动。
4.
关于运动图像的三点提醒
(1)x?t图像、v?t图像都不是物体运动的轨迹，图像中各点的坐标值x、v与t一一对应。
(2)x?t图像、v?t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
(3)无论是x?t图像还是v?t图像，所描述的运动都是直线运动。
（一）x?t图像的理解
位移图像的基本性质：
(1)横坐标代表时刻，而纵坐标代表物体所在的位置，纵坐标不变即物体保持静止状态。
(2)位移图像描述的是物体位移随时间变化的规律，不是物体的运动轨迹，斜率等于物体运动的速度，斜率的正负表示速度的方向，质点通过的位移等于x的变化量Δx。
【例1】(多选)如图所示为一个质点运动的位移x随时间t变化的图像，由此可知质点在0～4
s内
(　　)
A．先沿x轴正方向运动，后沿x轴负方向运动
B．一直做匀变速运动
C．t＝2
s时速度一定最大
D．速率为5
m/s的时刻有两个
【变式1】a、b、c三个物体在同一条直线上运动，它们的位移—时间图像如图所示，其中a是一条顶点坐标为(0，10)的抛物线，下列说法正确的是
（
）
b、c两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同
B．在0～5
s内，a、b两个物体间的距离逐渐变大
C．物体c的速度越来越大
D．物体a的加速度为0.4
m/s2
【变式2】甲、乙两物体在同一水平地面上做直线运动，其运动的x?t图像如图所示，已知乙物体从静止开始做匀加速直线运动。下列说法正确的是(　　)
甲物体先做匀减速直线运动．后做匀速直线运动
B．在0～120
s内，乙物体的平均速度大小大于0.5
m/s
C．在0～120
s内，甲物体运动的位移大小大于乙物体运动的位移大小
D．乙物体在M点所对应的瞬时速度大小一定大于0.5
m/s
（二）v?t图像的理解
【例2】跳伞运动员从高空悬停的直升机跳下，运动员沿竖直方向运动，其v?t图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．运动员在0～10
s内的平均速度大小等于10
m/s
B．从15
s末开始运动员处于静止状态
C．10
s末运动员的速度方向改变
D．10～15
s内运动员做加速度逐渐减小的减速运动
【变式1】2017年8月28日，第十三届全运会跳水比赛在天津奥体中心游泳跳水馆进行，重庆选手施廷懋以总成绩409.20分获得跳水女子三米板冠军。某次比赛从施廷懋离开跳板开始计时，在t2时刻施廷懋以速度v2入水，取竖直向下为正方向，其速度随时间变化的规律如图所示，下列说法正确的是(　　)
在0～t2时间内，施廷懋运动的加速度大小先减小后增大
B．在t1～t3时间内，施廷懋先沿正方向运动再沿负方向运动
C．在0～t2时间内，施廷懋的平均速度大小为
D．在t2～t3时间内，施廷懋的平均速度大小为
【变式2】甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v-t图像如图所示。在这段时间内(　　)
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
【变式3】如图所示，直线a与四分之一圆弧b分别表示两质点A、B从同一地点出发，沿同一方向做直线运动的v?t图像，当B的速度变为0时，A恰好追上B，则A的加速度为（
）
A．
m/s2　　　　　　　B．2
m/s2
C．
m/s2
D．π
m/s2
（三）a-t图像的理解
a－t图像面积代表速度变化量
【例3】一辆摩托车在t＝0时刻由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的a-t图像如图所示，根据已知信息，可知(　　)
A．摩托车的最大动能
B．摩托车在30
s末的速度大小
C．在0～30
s的时间内牵引力对摩托车做的功
D．10
s末摩托车开始反向运动
【变式】一质点由静止开始按如图所示的规律运动，下列说法正确的是(　　)
A．质点在2t0的时间内始终沿正方向运动，且在2t0时距离出发点最远
B．质点做往复运动，且在2t0时回到出发点
C．质点在时的速度最大，且最大的速度为
D．质点在2t0时的速度最大，且最大的速度为a0t0
（四）图像的理解
【例4】一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其?t图像如图所示，则(　　)
A．质点做匀速直线运动，初速度为0.5
m/s
B．质点做匀加速直线运动，加速度为0.5
m/s2
C．质点在1
s末速度为2
m/s
D．质点在第1
s内的位移大小为2
m
【变式】一个物体沿直线运动，从t＝0时刻开始，物体的-t的图像如图所示，图线与纵、横坐标轴的交点分别为0.5
m/s和－1
s，由此可知(　　)
A．物体做匀加速直线运动
B．物体做变加速直线运动
C．物体的初速度大小为0.5
m/s
D．物体的初速度大小为1
m/s
（五）图像的理解
【例5】一物体由静止开始运动，其加速度a与位移x关系图线如图所示．下列说法正确的是(　　)
A．物体最终静止
B．物体的最大速度为
C．物体的最大速度为
D．物体的最大速度为
（六）图像的理解
【例6】如图甲，一维坐标系中有一质量为m＝2
kg的物块静置于x轴上的某位置(图中未画出)，从t＝0时刻开始，物块在外力作用下沿x轴做匀变速直线运动，如图乙为其位置坐标和速率平方关系图像，下列说法正确的是(　　)
A．t＝4
s时物块的速率为2
m/s
B．加速度大小为1
m/s2
C．t＝4
s时物块位于x＝4
m处
D．在0.4
s时间内物块运动的位移6
m
【变式】为检测某新能源动力车的刹车性能，现在平直公路上做刹车实验，如图所示是动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图像，下列说法正确的是(　　)
A．动力车的初速度为20
m/s
B．刹车过程动力车的加速度大小为5
m/s2
C．刹车过程持续的时间为10
s
D．从开始刹车时计时，经过6
s，动力车的位移为30
m
【题型六】运动图像的应用
（一）图像的选择
【例7】设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为x。现有四个不同物体的运动图像如下列选项所示，假设物体在t＝0时的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图像是(　　)
【变式1】小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图像中，能描述该过程的是(　　)
【变式2】A物体从离地面高10
m处做自由落体运动，1
s后B物体从离地面高15
m处做自由落体运动，下面物理图像中对A、B的运动状态描述合理的是
(　　)
（二）图像的转换
图像转换时要注意的三点：
(1)合理划分运动阶段，分阶段进行图像转换。
(2)注意相邻运动阶段的衔接，尤其是运动参量的衔接。
(3)注意图像转换前后核心物理量间的定量关系，这是图像转换的依据。
【例8】某物体做直线运动的v
?t图像如图所示，据此判断四个选项中(F表示物体所受合力，x表示物体的位移)正确的是(　　)
【变式1】一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示，取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v?t图像正确的是(　　)
【变式2】某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t。实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是(　　)
A．v＝　　
B．v＝
C．v＞
D．＜v＜
【题型七】追及、相遇问题
1．追及、相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过题干或画运动示意图得到。
2．追及、相遇问题常见的情况
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情况：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB。
3．解题思路和方法
???
【例9】(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是(　　)
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
【例10】(多选)(2018·高考全国卷Ⅲ)
甲、乙两车在同一平直公路上同向运动甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
【例11】如图所示，在两车道的公路上有黑白两辆车，黑色车停在A线位置，某时刻白色车以速度v1＝40
m/s通过A线后，立即以大小为a1＝4
m/s2的加速度开始制动减速，黑色车4
s后以a2＝4
m/s2的加速度开始向同一方向匀加速运动，经过一定时间，两车都到达B线位置。两车可看成质点。从白色车通过A线位置开始计时，求经过多长时间两车都到达B线位置及此时黑色车的速度大小。
【变式1】A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10
m/s，B车在后，其速度vB＝30
m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85
m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180
m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
【题型演练】
1．下列所给的运动图像中能反映做直线运动的物体不会回到初始位置的是(　　)
2．甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v
?t图像如图所示，下列对汽车运动状况的描述正确的是(　　)
A．在第10
s末，乙车改变运动方向
B．在第10
s末，甲、乙两车相距150
m
C．在第20
s末，甲、乙两车相遇
D．若开始时乙车在前，则两车可能相遇两次
3．如图所示为甲、乙两质点做直线运动的v
?t图像，若两质点从同一地点出发，到t1时刻相遇，则下列说法正确的是(　　)
A．v1＝8
m/s
B．v2＝12
m/s
C．t1＝(3＋)s
D．0～t1时间内，甲、乙相距的最大距离为6
m
4．甲、乙两物体在同一水平地面上做直线运动，其运动的x
?t图像如图所示，已知乙物体从静止开始做匀加速直线运动。下列说法正确的是(　　)
A．甲物体先做匀减速直线运动，后做匀速直线运动
B．在0～120
s内，乙物体的平均速度大小大于0.5
m/s
C．在0～120
s内，甲物体运动的位移大小大于乙物体运动的位移大小
D．乙物体在M点所对应的瞬时速度大小一定大于0.5
m/s
5．一质点从坐标原点沿x轴方向做匀变速直线运动，在0～8
s内的x－t图像如图所示．若t＝1
s时，图线所对应的切线的斜率为3
m/s，则(　　)
A．t＝1
s时，质点的加速度为3
m/s2
B．t＝2
s和t＝6
s时，质点的速度大小相等
C．t＝2
s和t＝6
s时，质点加速度的方向相反
D．t＝4
s时，质点的位移为8
m
6．在一大雾天，一辆小汽车以30
m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30
m处有一辆大卡车以10
m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵。如图所示，a、b分别为小汽车和大卡车的v
?t图像，以下说
(　　)
A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾
B．在t＝5
s时追尾
C．在t＝3
s时追尾
D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾
7．甲、乙两个物体由同一地点沿同一方向做直线运动，其v
?t图像如图所示。关于两物体的运动情况，下列说法正确的是(　　)
A．t＝1
s时，甲在乙前方
B．t＝2
s时，甲、乙相遇
C．t＝4
s时，乙的加速度方向开始改变
D．0～6
s内，甲、乙平均速度相同
8．小明和小华操控各自的玩具赛车甲、乙在小区平直的路面上做直线运动，t＝0时刻两赛车恰好并排，此后两赛车运动的位移x与时间t的比值随时间t的关系如图所示，对于甲、乙两赛车前2
s的运动，下列说法正确的是
(　　)
A．t＝1
s时，甲在乙的前面且相距最远
B．t＝1
s时，甲、乙两赛车相遇
C．t＝2
s时，甲在乙的前面且相距最远
D．t＝2
s时，甲、乙两赛车相遇
9．宇航员的训练、竞技体育的指导、汽车的设计等多种工作都用到急动度(jerk)的概念。加速度对时间的变化率称为急动度，其方向与加速度的变化方向相同。一质点从静止开始做直线运动，其加速度随时间的变化关系如图，下列说法正确的是(　　)
A．t＝1
s时急动度是0.5
m/s3
B．t＝3
s时的急动度和t＝5
s时的急动度相同
C．2～4
s内的质点做减速运动
D．t＝4
s时质点速度方向改变【题型一】匀变速直线运动的基本规律及应用
【例1】短跑运动员完成100
m赛跑的过程可简化为匀加速直线运动和匀速直线运动两个阶段。一次比赛中，某运动员用11.00
s跑完全程。已知运动员在加速阶段的第2
s内通过的距离为7.5
m，则该运动员的加速度及在加速阶段通过的距离为（
）
5
m/s2，10
m
B.
5
m/s2，11
m
C.
2.5
m/s2，10
m
D.
2.5
m/s2，10
m
【答案】　A
【解析】　根据题意，在第1
s和第2
s内运动员都做匀加速直线运动，设运动员在匀加速阶段的加速度为a，在第1
s和第2
s内通过的位移分别为s1和s2，由运动学规律得：
s1＝at，
s1＋s2＝a(2t0)2，
t0＝1
s
联立解得：a＝5
m/s2
设运动员做匀加速运动的时间为t1，匀速运动的时间为t2，匀速运动的速度为v，跑完全程的时间为t，全程的距离为s，依题意及运动学规律，得
t＝t1＋t2
，v＝at1，s＝at＋vt2
设加速阶段通过的距离为s′，则s′＝at
求得s′＝10
m
【变式1】汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是x＝24t－6t2，则它在前3
s内的平均速度为(　　)
A．6
m/s　　　　
B．8
m/s
C．10
m/s
D．12
m/s
【答案】B
【解析】将题目中的表达式与x＝v0t＋at2比较可知：v0＝24
m/s，a＝－12
m/s2.所以由v＝v0＋at可得汽车从刹车到静止的时间为t＝
s＝2
s，由此可知第3
s内汽车已经停止，汽车运动的位移x＝24×2
m－6×22
m＝24
m，故平均速度v＝＝
m/s＝8
m/s.
【变式2】某质点的位移随时间变化规律的关系是s＝4t＋2t2，s与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为(　　)
A．4
m/s与2
m/s2
B．0与4
m/s2
C．4
m/s与4
m/s2
D．4
m/s与0
【答案】C
【解析】根据匀变速直线运动的位移公式s＝v0t＋at2，与质点运动的位移随时间变化的关系式s＝4t＋2t2相对比可以得到，物体的初速度的大小为v0＝4
m/s，加速度的大小为a＝4
m/s2，选项C正确．
【变式3】以36
km/h的速度沿平直公路行驶的汽车，遇障碍物刹车后获得大小为4
m/s2的加速度，刹车后第3
s内汽车的位移大小为(　　)
A．12.5
m
B．2
m
C．10
m
D．0.5
m
【答案】D
【解析】据v＝at可得由刹车到静止所需的时间t＝2.5
s，则第3
s内的位移，实际上就是2～2.5
s内的位移，x＝at′2＝0.5
m.
【题型二】匀变速直线运动的推论及应用
1．三个推论
(1)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等，即
Δx
=
x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2．
(2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度。
平均速度公式：＝＝。
(3)位移中点速度＝。
2．初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)前T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)∶…∶(－)。
3．思维方法
迁移角度
适用情况
解决办法
比例法
常用于初速度为零的匀加速直线运动且运动具有等时性或等距离
由连续相邻相等时间(或长度)的比例关系求解
推论法
适用于“纸带”类问题
由Δx＝aT2求加速度
平均速度法
常用于“等分”思想的运动，把运动按时间(或距离)等分之后求解
根据中间时刻的速度为该段位移的平均速度来求解问题
图像法
常用于加速度变化的变速运动
由图像的斜率、面积等条件判断
（一）比例法的应用
【例2】(多选)冰壶比赛中，一冰壶以速度v垂直进入三个相等宽度的矩形区域做匀减速直线运动，且在刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(　　)
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
【答案】BD
【解析】因为冰壶做匀减速直线运动，且末速度为零，故可以视为反向的匀加速直线运动来研究，通过连续相等位移所用的时间之比为1∶(－1)∶(－)…，故冰壶匀减速通过三段连续相等位移所用的时间之比为(－)∶(－1)∶1，选项C错误，D正确；初速度为零的匀加速直线运动在各位移等分点的速度之比为1∶∶…，则冰壶匀减速进入每个矩形区域时的速度之比为∶∶1，选项A错误，B正确．
【变式1】如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2。不计空气阻力，则满足(　　)
A．1<<2
B．2<<3
C．3<<4
D．4<<5
【答案】C
【解析】运动员起跳到达最高点的瞬间速度为零，又不计空气阻力，故可逆向处理为自由落体运动。则根据初速度为零匀加速运动，相等相邻位移时间关系，可知，即，故本题选C。
【变式2】(多选)如图所示，光滑斜面上的四段距离相等，质点从O点由静止开始下滑，做匀加速直线运动，先后通过a、b、c、d，下列说法正确的是
(　　)
A．质点由O到达各点的时间之比ta∶tb∶tc∶td＝1∶∶∶2
B．质点通过各点的速率之比va∶vb∶vc∶vd＝1∶∶∶2
C．质点在斜面上运动的平均速度v＝vb
D．质点在斜面上运动的平均速度v＝
【答案】AB
【解析】根据x＝at2，得t＝，Oa、Ob、Oc、Od的距离之比为1∶2∶3∶4，所以质点由O到达各点的时间之比为1∶∶∶2，故A正确．根据v2＝2ax，v＝，Oa、Ob、Oc、Od的距离之比为1∶2∶3∶4，所以质点通过各点的速率之比va∶vb∶vc∶vd＝1∶∶∶2，故B正确．初速度为0的匀加速直线运动中，在最初相等的时间内通过的位移之比为1∶3，可知a点是Od的中间时刻，某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则v＝，故C错误．v＝＝，即在斜面上运动的平均速度v＝
【变式3】如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一子弹以水平速度射入木块，若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则下列关于子弹依次射入每
个木块时的速度比和穿过每个木块所用时间比正确的是(　　)
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
【答案】D
【解析】用“逆向思维”法解答，则子弹向左做初速度为零的匀加速直线运动，设每块木块厚度为L，则v＝2a·L，v＝2a·2L，v＝2a·3L，v3、v2、v1分别为子弹倒过来从右到左运动L、2L、3L时的速度，则v1∶v2∶v3＝∶∶1，选项A、B错误；又由于每块木块厚度相同，则由比例关系可得t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，选项C错误，D正确．
（二）Δx＝aT2推论法的应用
【例3】一小球沿斜面匀加速滑下，依次经过A、B、C三点，已知AB＝6
m，BC＝10
m，小球经过AB和BC两段所用的时间均为2
s，则小球经过A、B、C三点时的速度大小分别是(　　)
A．2
m/s，3
m/s，4
m/s
B．2
m/s，4
m/s，6
m/s
C．3
m/s，4
m/s，5
m/s
D．3
m/s，5
m/s，7
m/s
【答案】B
【解析】根据物体做匀加速直线运动的特点，两点之间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，故B点的速度就是AC段的平均速度，vB＝＝4
m/s；又因为两个连续相等时间间隔内的位移之差等于恒量，即Δx＝at2，则由Δx＝BC－AB＝at2解得a＝1
m/s2；再由速度公式v＝v0＋at，解得vA＝2
m/s，vC＝6
m/s，故选项B正确．
【变式1】物体做匀加速直线运动，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则物体(　　)
A．在A点的速度大小为
B．在B点的速度大小为
C．运动的加速度为
D．运动的加速度为
【答案】AB
【解析】匀变速直线运动全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则vA＝＝，A正确；设物体的加速度为a，则x2－x1＝aT2，所以a＝，C、D错误；物体在B点的速度大小为vB＝vA＋aT，解得vB＝，B正确．
【变式2】一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1
s内和第2
s内位移大小依次为9
m和7
m，则刹车后6
s内的位移是(　　)
A．20
m　　　　　　　　　B．24
m
C．25
m
D．75
m
【答案】　C
【解析】　设汽车的初速度为v0，加速度为a，根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2得x2－x1＝aT2，解得a＝＝
m/s2＝－2
m/s2；汽车第1
s内的位移x1＝v0t＋at2，代入数据解得v0＝10
m/s；汽车刹车到停止所需的时间t0＝＝
s＝5
s，则汽车刹车后6
s内的位移等于5
s内的位移，则x＝t0＝×5
m＝25
m，故C正确，A、B、D错误．
（三）平均速度公式的应用
【例4】质点由静止从A点出发沿直线AB运动，行程的第一阶段是加速度大小为a1的匀加速运动，接着做加速度大小为a2的匀减速运动，到达B点时恰好速度减为零。若AB间总长度为s，则质点从A到B所用时间t为(　　)
A．　　
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设第一阶段的末速度为v，则由题意可知：＋＝s，解得：v＝；
而s＝t1＋t2＝t，由此解得：t＝，所以正确答案为B.
【变式1】做匀加速直线运动的质点在第一个3
s内的平均速度比它在第一个5
s内的平均速度小3
m/s.则质点的加速度大小为(　　)
A．1
m/s2　　　　　　　　B．2
m/s2
C．3
m/s2
D．4
m/s2
【答案】C
【解析】根据匀变速直线运动规律可知，第一个3
s内的平均速度为第1.5
s末的速度；第一个5
s内的平均速度为第2.5
s末的速度．则由a＝可得a＝
m/s2＝3
m/s2，故选C.
（四）图像法的应用
【例5】如图所示，甲、乙两车同时由静止从A点出发，沿直线AC运动。甲以加速度a3做初速度为零的匀加速运动，到达C点时的速度为v。乙以加速度a1做初速度为零的匀加速运动，到达B点后做加速度为a2的匀加速运动，到达C点时的速度也为v。若a1≠a2≠a3，则(　　)
A．甲、乙不可能同时由A到达C
B．甲一定先由A到达C
C．乙一定先由A到达C
D．若a1>a3，则甲一定先由A到达C
【答案】A
【解析】根据速度－时间图线得，若a1>a3，如图(a)，因为末速度相等，位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，则t乙若a3>a1，如图(b)，因为末速度相等，位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，则t乙>t甲．通过图线作不出位移相等，速度相等，时间也相等的图线，所以甲、乙不能同时到达．故A正确，B、C、D错误．
【题型三】自由落体和竖直上抛运动
1．两种运动的特性
(1)自由落体运动为初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。
(2)竖直上抛运动的重要特性(如图)
①对称性
a．时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA。
b．速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等。
②多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
2．竖直上抛运动的研究方法
分段法
上升阶段：a＝g的匀减速直线运动下降阶段：自由落体运动
全程法
初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(向上方向为正方向)若v>0，物体上升，若v<0，物体下落若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方
【例6】（1）某物体以30
m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10
m/s2。5
s内物体
A．路程为65
m
B．位移大小为25
m，方向向上
C．速度改变量的大小为10
m/s
D．平均速度大小为13
m/s，方向向上
【答案】AB
【解析】法一：分阶段法
物体上升的时间t上＝＝
s＝3
s，物体上升的最大高度h1＝eq
\f(v,2g)＝
m＝45
m．物体从最高点自由下落2
s的高度h2＝gt＝×10×22
m＝20
m．运动过程如图所示，则总路程为65
m，A正确；5
s末物体离抛出点的高度为25
m，即位移的大小为25
m，方向竖直向上，B正确；5
s末物体的速度大小v＝gt下＝10×2
m/s＝20
m/s，方向竖直向下，取竖直向上为正方向，则速度改变量Δv＝(－v)－v0＝(－20
m/s)－30
m/s＝－50
m/s，即速度改变量的大小为50
m/s，方向竖直向下，C错误；平均速度大小＝＝
m/s＝5
m/s，方向竖直向上，D错误．
法二：全过程法
由竖直上抛运动的规律可知：物体经3
s到达最大高度h1＝45
m处．将物体运动的全程视为匀减速直线运动，则有v0＝30
m/s，a＝－g＝－10
m/s2，故5
s内物体的位移h＝v0t＋at2＝25
m>0，说明物体5
s末在抛出点上方25
m处，故路程为65
m，位移大小为25
m，方向竖直向上，A、B正确；速度的变化量Δv＝aΔt＝－50
m/s，C错误；5
s末物体的速度v＝v0＋at＝－20
m/s，所以平均速度＝＝5
m/s>0，方向竖直向上，D错误．
（2）假设一位同学在某星球上完成自由落体运动实验：让一个质量为2
kg的物体从一定的高度自由下落，测得在第5
s内的位移是18
m(未落地)，则(　　)
A．物体在2
s末的速度大小是20
m/s
B．物体在第5
s内的平均速度大小是3.6
m/s
C．物体在前2
s内的位移大小是20
m
D．物体在5
s内的位移大小是50
m
【答案】D
【解析】设该星球表面的重力加速度为g，由自由下落在第5
s内的位移是18
m，可得g×(5
s)2－g×(4
s)2＝18
m，得g＝4
m/s2.所以物体在2
s末的速度大小为8
m/s，选项A错误；物体在第5
s内的平均速度大小为18
m/s，选项B错误；物体在前2
s内的位移大小是g×(2
s)2＝8
m，选项C错误；物体在5
s内的位移大小是g×(5
s)2＝50
m，选项D正确．
【变式1】如图所示，将一小球以10
m/s的初速度在某高台边沿竖直上抛，不计空气阻力，取抛出点为坐标原点，向上为坐标轴正方向，g取10
m/s2，则3
s内小球运动的(　　)
A．路程为25
m
B．位移为15
m
C．速度改变量为30
m/s
D．平均速度为5
m/s
【答案】A
【解析】由x＝v0t－gt2得位移x＝－15
m，B错误；平均速度＝＝－5
m/s，D错误；小球竖直上抛，由v＝v0－gt得速度的改变量Δv＝v－v0＝－gt＝－30
m/s，C错误；上升阶段通过路程x1＝＝5
m，下降阶段通过的路程x2＝gt22，t2＝t－＝2
s，解得x2＝20
m，所以3
s内小球运动的路程为x1＋x2＝25
m，A正确．
【变式2】(多选)将某物体以30
m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10
m/s2。5
s内物体的(　　)
A．路程为65
m
B．位移大小为25
m，方向竖直向上
C．速度改变量的大小为10
m/s
D．平均速度大小为13
m/s，方向竖直向上
【答案】AB
【解析】物体的初速度v0＝30
m/s，g＝10
m/s2，其上升时间t1＝＝3
s，上升高度h1＝eq
\f(v,2g)＝45
m；下降时间t2＝5
s－t1＝2
s，下降高度h2＝gt＝20
m．末速度v＝gt2＝20
m/s，方向竖直向下．故5
s内的路程s＝h1＋h2＝65
m；位移x＝h1－h2＝25
m，方向竖直向上；速度改变量Δv＝v－(－v0)＝50
m/s，表示方向竖直向下；平均速度v＝＝5
m/s，方向竖直向上．综上可知，选项A、B正确．
拓展点：双向可逆运动
类竖直上抛运动
如果沿光滑斜面上滑的小球，到最高点仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义。
【例7】(多选)一物体以5
m/s的初速度在光滑斜面上向上运动，其加速度大小为2
m/s2，设斜面足够长，经过t时间物体位移的大小为4
m，则时间t可能为(　　)
A．1
s　　　　　　　　　B．3
s
C．4
s
D．
s
【答案】　ACD
【解析】　当物体的位移为4
m时，根据x＝v0t＋at2得4＝5t－×2t2
解得t1＝1
s，t2＝4
s当物体的位移为－4
m时，根据x＝v0t＋at2得－4＝5t－×2t2
解得t3＝
s，故A、C、D正确，B错误．
【变式1】两物体在不同高度自由下落，同时落地，第一个物体下落时间为t，第二个物体下落时间为，当第二个物体开始下落时，两物体相距(　　)
A．gt2
B．gt2
C．gt2
D．gt2
【答案】D
【解析】第二个物体在第一个物体下落后开始下落，此时第一个物体下落的高度h1＝g()2＝.根据h＝gt2，知第一个物体和第二个物体下落的总高度分别为gt2、，两物体未下落时相距，所以当第二个物体开始下落时，两物体相距Δh＝－＝，故D正确，A、B、C错误．
【题型四】物体运动的多过程问题
1．基本思路
如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带。可按下列步骤解题：
(1)画：分清各阶段运动过程，画出草图。
(2)列：列出各运动阶段的运动方程。
(3)找：找出交接处的速度与各段间的位移—时间关系。
(4)解：联立求解，算出结果。
2．解题关键
多过程运动的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，转折点速度的求解往往是解题的关键。
（一）多过程运动之-----“先以由静止加速在以匀减至速度为零”模型
（1）特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式：
①速度公式
推导可得：
②速度位移公式
推导可得：
③平均速度位移公式
推导可得：
（2）位移三个公式：，，
（3）解题策略：画出图，两段初末速度相同，中间速度是解题的核心。
【例8】如图所示，很小的木块由静止开始从斜面下滑，经时间t后进入一水平面，两轨道之间用长度可忽略的圆弧连接，再经2t时间停下，关于木块在斜面上与在水平面上位移大小之比和加速度大小之比，下列说法正确的是
(　　)
A．1∶2，2∶1
B．1∶2，1∶2
C．2∶1，2∶1
D．2∶1，1∶2
【答案】A
【解析】设木块到达斜面底端时的速度为v，根据v＝at得，加速度之比＝＝；根据平均速度的推论知，x1＝t，x2＝·2t，所以＝，选项A正确．
【变式1】在一次救灾活动中，一辆救灾汽车由静止开始做匀加速直线运动，在运动了8
s之后，由于前方突然有巨石滚下并堵在路中央，所以又紧急刹车，匀减速运动经4
s
停在巨石前。关于汽车的运动情况，下列说法正确的是(　)
加速、减速中的加速度大小之比为a1∶a2＝2∶1
B．加速、减速中的平均速度大小之比为v1∶v2＝1∶1
C．加速、减速中的位移之比为x1∶x2＝2∶1
D．加速、减速中的加速度大小之比为a1∶a2＝1∶3
【解析】汽车由静止运动8
s，又经4
s停止，加速阶段的末速度与减速阶段的初速度相等，由v＝at，知a1t1＝a2t2，＝，A、D错误．又由v2＝2ax知a1x1＝a2x2，＝＝，C正确．由v＝知，v1∶v2＝1∶1，B正确．
【答案】BC
（二）多过程运动之“先加后匀”模型（限速问题）
加速时间；加速距离
匀速时间；匀速距离；总位移
【例9】甲、乙两辆车在平直公路上从同一地点先后出发，其运动的v?t图像如图所示，已知t3时刻两车相遇，相遇前两车最大距离为25
m，已知t2＝10
s。求：
(1)甲车在加速阶段的加速度大小。
(2)两车相遇的时间t3。(取＝1.4，结果保留两位有效数字)
【答案】(1)2
m/s2　(2)17
s
【解析】(1)
0～t2时间内位移关系：vt2＝v(t2－t1)＋25
解得：t1＝5
s
所以甲的加速度：a1＝＝2
m/s2
(2)
0～t3时间内，a1(t3－t1)2＝a2t
a2＝＝1
m/s2
解得：t3＝5(2＋)
s＝17
s
【变式1】道路交通法规规定：黄灯亮时车头已越过停车线的车辆可以继续行驶，车头未越过停车线的若继续行驶，则属于交通违章行为。一辆以10
m/s的速度匀速直线行驶的汽车即将通过红绿灯路口，当汽车车头与停车线的距离为25
m时，绿灯还有2
s的时间就要熄灭(绿灯熄灭黄灯即亮)。若该车加速时最大加速度大小为2
m/s2，减速时最大加速度大小为5
m/s2。请通过计算说明：
(1)汽车能否不闯黄灯顺利通过。
(2)若汽车立即做匀减速直线运动，恰好能紧靠停车线停下的条件是什么？
【解析】(1)若驾驶员使汽车立即以最大加速度加速行驶，2
s内前进的距离为x1＝v0t＋a1t2＝24
m，由于x1小于25
m，所以汽车不能不闯黄灯而顺利通过．
(2)若汽车紧靠停车线停下，则其位移为25
m.
则加速度a＝＝2
m/s2<5
m/s2
所以汽车能够恰好紧靠停车线停下的条件是加速度为2
m/s2.
（三）多过程运动之“返回出发点”模型
（1）特点：初速度为零，两段总位移为零。
（2）位移两个公式：；
（3）特殊结论：若
,则有
,
（四）多过程运动之“反应时间（先匀后减）”模型
总位移
【例10】汽车以10
m/s的速度在马路上匀速行驶，驾驶员发现正前方15
m处的斑马线上有行人，于是刹车，让汽车恰好停在斑马线前，假设驾驶员反应时间为0.5
s。汽车运动的v－t图像如图所示，则汽车的加速度大小为(　　)
A.
20
m/s2
B.
6
m/s2
C.
5
m/s2
D.
4
m/s2
【答案】C
【解析】设匀减速直线运动所用的时间为t，根据v-t图像的面积代表物体通过的位移可得：
15m=10m/s×0.5s+×10m/s×t，解得t=2s，所以匀减速运动的加速度为：，则汽车的加速度大小为5m/s2．故选C．
（五）多过程运动之“减速为零，原路返回”模型
（1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。
（2）位移三个公式：位移公式；速度位移公式。
平均速度位移公式
（3）三个比例式：①
；②
；
③
【例11】将一个质量为1
kg的小球竖直向上抛出，最终落回抛出点，运动过程中v-t图像如图所示，g=10
m/s2，则下列说法正确的是（
）
小球重力和所受阻力之比为5：1
B.
小球上升过程中克服阻力做功24
J
C.
小球上升与下落所用时间之比为2：3
D.
小球上升过程中机械能的损失大于下落过程中机械能的损失
【答案】A
【解析】解：A、速度时间图线可知，小球上升的加速度大小a1=12m/s2，根据牛顿第二定律得，mg+f=ma1，解得阻力f=ma1-mg=12-10N=2N；所以重力和所受阻力之比为5：1
小球匀减速直线运动的位移：x＝1/2×2×24m＝24m
B、克服阻力做功:
C、小球下降的加速度：，由得，时间之比为
D、机械能损失量等于阻力的功，上下过程阻力做功一样多，所以损失机械能一样多
（六）多过程运动之“耽误时间（先减后加）”模型
耽误距离，耽误时间
【例12】将一物体以初速度竖直向上抛出，设空气阻力大小恒定，其速度大小随时间变化的图像如图所示，则下列说法正确的是（
）
物体经过1.8t0的时间落回抛出点
B.
物体在落回到抛出点的过程中平均速度为
C.
物体在上升阶段和下落到抛出点阶段重力做功平均功率之比为
D.
空气阻力为其重力的0.2倍
【答案】CD
【解析】A、根据牛顿第二定律，上升：，下落：，由于下落过程中加速度小，所以下落过程时间大于上升过程时间，故总时间大于，故选项A错误；
B、由于空气阻力的作用，物体落回抛出点的速度小于，所以平均速度小于，故选项B错误；
C、由牛顿第二定律可得：
上升阶段，
下落阶段，
可得，
上升阶段和下落阶段位移相等：，
可得,所以重力平均功率之比为，故选项CD正确。
故B、D错误；由v＝v0－gt，代入数据解得v0＝16
m/s，则上升到最高点的时间t1＝＝s＝1.6
s，则回到抛出点的时间t＝2t1＝2×1.6
s＝3.2
s，故A、C正确．
【题型五】运动图像的理解
1．运动学图像主要有x-t、v-t、a-t图像，应用图像解题时主要看图像中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素：
一般意义
x－t图像
v－t图像
a－t图像
轴
图像描述哪两个物理量之间的关系
纵轴—位移横轴—时间
纵轴—速度横轴—时间
纵轴—加速度横轴—时间
线
表示物理量y随物理量x的变化过程和规律
运动物体的位移与时间的关系
运动物体的速度与时间的关系
运动物体的加速度与时间的关系
斜率
k＝，定性表示y随x变化的快慢
某点的斜率表示该点的瞬时速度
某点的斜率表示该点的加速度
某点的斜率表示该点加速度的变化率
点
两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等
两物体相遇
两物体某时刻速度相同
两物体某时刻加速度相同
面积
图线和时间轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义
无意义
图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位移
图线和时间轴所围的面积，表示物体的速度变化量
截距
图线在坐标轴上的截距一般表示物理过程的“初始”情况
纵截距表示t＝0时的位移
纵截距表示t＝0时的速度
纵截距表示t＝0时的加速度
2.
图像问题常见的是x-t和v-t图像，在处理特殊图像的相关问题时，可以把处理常见图像的思想以及方法加以迁移，通过物理情境遵循的规律，从图像中提取有用的信息，根据相应的物理规律或物理公式解答相关问题．处理图像问题可参考如下操作流程：
3.
x-t图像、v-t图像、a-t图像描述物体的运动性质
　　x-t图像中，若图线平行于横轴，表示物体静止，若图线是一条倾斜的直线，则表示物体做匀速直线运动，图线的斜率表示速度；
　　v-t图像中，若图线平行于横轴，表示物体做匀速直线运动，若图线是一条倾斜的直线，则表示物体做匀变速直线运动，图线的斜率表示加速度；
　　a-t图像中，若图线平行于横轴，表示物体做匀变速直线运动，若图线与横轴重合，则表示物体做匀速直线运动。
4.
关于运动图像的三点提醒
(1)x?t图像、v?t图像都不是物体运动的轨迹，图像中各点的坐标值x、v与t一一对应。
(2)x?t图像、v?t图像的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
(3)无论是x?t图像还是v?t图像，所描述的运动都是直线运动。
（一）x?t图像的理解
位移图像的基本性质：
(1)横坐标代表时刻，而纵坐标代表物体所在的位置，纵坐标不变即物体保持静止状态。
(2)位移图像描述的是物体位移随时间变化的规律，不是物体的运动轨迹，斜率等于物体运动的速度，斜率的正负表示速度的方向，质点通过的位移等于x的变化量Δx。
【例1】(多选)如图所示为一个质点运动的位移x随时间t变化的图像，由此可知质点在0～4
s内
(　　)
A．先沿x轴正方向运动，后沿x轴负方向运动
B．一直做匀变速运动
C．t＝2
s时速度一定最大
D．速率为5
m/s的时刻有两个
【答案】CD
【解析】从图中可知正向位移减小，故质点一直朝着负方向运动，A错误；图像的斜率表示速度大小，故斜率先增大后减小，说明质点速率先增大后减小，即质点先做加速运动后做减速运动，做变速运动，但不是做匀变速直线运动，t＝2
s时，斜率最大，速度最大，B错误，C正确；因为斜率先增大后减小，并且平均速度为5
m/s，故增大过程中有一时刻速度为5
m/s，减小过程中有一时刻速度为5
m/s，共有两个时刻速度大小为5
m/s，D正确．
【变式1】a、b、c三个物体在同一条直线上运动，它们的位移—时间图像如图所示，其中a是一条顶点坐标为(0，10)的抛物线，下列说法正确的是
（
）
b、c两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同
B．在0～5
s内，a、b两个物体间的距离逐渐变大
C．物体c的速度越来越大
D．物体a的加速度为0.4
m/s2
【答案】D
【解析】x?t图像的斜率表示速度，b和c为直线，斜率恒定，故b、c做匀速直线运动，但斜率正负不同，即速度正负不同，即方向不同，A、C错误；a的斜率为正，即速度为正，b的斜率为负，即速度为负，所以两者反向运动，故两物体间的距离越来越大，B正确；因为a是一条抛物线，即满足x＝x0＋kt2，类比从静止开始运动的匀加速直线运动位移时间公式x＝at2可知物体a做匀加速直线运动，因为抛物线经过(0，10)点和(5，20)点，故x＝10＋0.4t2，所以a＝0.4，解得a＝0.8
m/s2，D错误．
【变式2】甲、乙两物体在同一水平地面上做直线运动，其运动的x?t图像如图所示，已知乙物体从静止开始做匀加速直线运动。下列说法正确的是(　　)
甲物体先做匀减速直线运动．后做匀速直线运动
B．在0～120
s内，乙物体的平均速度大小大于0.5
m/s
C．在0～120
s内，甲物体运动的位移大小大于乙物体运动的位移大小
D．乙物体在M点所对应的瞬时速度大小一定大于0.5
m/s
【答案】CD
【解析】根据位移图像斜率表示速度可知，甲物体先做匀速直线运动，后静止，选项A错误；在0～120
s内，乙物体的位移大小为s＝60
m，平均速度大小为v＝＝0.5
m/s，选项B错误；在0～120
s内，甲物体运动的位移大小为x甲＝100
m－20
m＝80
m，乙物体运动的位移大小为x乙＝60
m－0
m＝60
m，所以在0～120
s内，甲物体运动的位移大小大于乙物体运动的位移大小，选项C正确；根据匀变速直线运动的推论知，乙在t＝60
s时的瞬时速度等于在0～120
s内的平均速度0.5
m/s，而乙物体做匀加速直线运动，所以乙物体在M点所对应的瞬时速度大小一定大于0.5
m/s，选项D正确．
（二）v?t图像的理解
【例2】跳伞运动员从高空悬停的直升机跳下，运动员沿竖直方向运动，其v?t图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．运动员在0～10
s内的平均速度大小等于10
m/s
B．从15
s末开始运动员处于静止状态
C．10
s末运动员的速度方向改变
D．10～15
s内运动员做加速度逐渐减小的减速运动
【答案】D
【解析】0～10
s内，若运动员做匀加速运动，平均速度为v＝＝
m/s＝10
m/s.根据图像的“面积”等于位移可知，运动员的位移大于匀加速运动的位移，所以由公式v＝得知：0～10
s
内的平均速度大于匀加速运动的平均速度10
m/s，故A错误．由图知，15
s末开始运动员做匀速直线运动，故B错误．由图看出，运动员的速度一直沿正向，速度方向没有改变，故C错误.10～15
s图像的斜率减小，则其加速度减小，故10～15
s运动员做加速度减小的减速运动，故D正确．
【变式1】2017年8月28日，第十三届全运会跳水比赛在天津奥体中心游泳跳水馆进行，重庆选手施廷懋以总成绩409.20分获得跳水女子三米板冠军。某次比赛从施廷懋离开跳板开始计时，在t2时刻施廷懋以速度v2入水，取竖直向下为正方向，其速度随时间变化的规律如图所示，下列说法正确的是(　　)
在0～t2时间内，施廷懋运动的加速度大小先减小后增大
B．在t1～t3时间内，施廷懋先沿正方向运动再沿负方向运动
C．在0～t2时间内，施廷懋的平均速度大小为
D．在t2～t3时间内，施廷懋的平均速度大小为
【答案】C
【解析】v－t图像的斜率等于加速度，在0～t2时间内，施廷懋运动的加速度保持不变，A错误；运动方向由速度的正负决定，横轴下方速度为负值，施廷懋沿负方向运动，横轴上方速度为正值，施廷懋沿正方向运动，在t1～t3时间内，施廷懋一直沿正方向运动，B错误；0～t2时间内，根据匀变速直线运动的平均速度公式可知，施廷懋运动的平均速度大小为，C正确；匀变速直线运动的平均速度大小等于初速度和末速度的平均值，而加速度变化时，平均速度大小应用平均速度的定义式求解．若在t2～t3时间内，施廷懋做匀减速运动，则她的平均速度大小为，根据v－t图线与坐标轴所围面积表示位移可知，在t2～t3时间内施廷懋的实际位移小于她在这段时间内做匀减速运动的位移，故在t2～t3时间内，施廷懋的平均速度小于，D错误．
【变式2】甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v-t图像如图所示．在这段时间内(　　)
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
【答案】A
【解析】根据v－t图像下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据v＝得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据v－t图像的斜率大小反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．
【变式3】如图所示，直线a与四分之一圆弧b分别表示两质点A、B从同一地点出发，沿同一方向做直线运动的v?t图像，当B的速度变为0时，A恰好追上B，则A的加速度为（
）
A．
m/s2　　　　　　　B．2
m/s2
C．
m/s2
D．π
m/s2
【答案】C
【解析】设A的加速度为a，两质点A、B从同一地点出发，A追上B时两者的位移相等，即xa＝xb，根据v
?t图像的“面积”表示位移，得at2＝×π×22，由题知t＝2
s，解得a＝
m/s2，故A、B、D错误，C正确．
（三）a-t图像的理解
a－t图像面积代表速度变化量
【例3】一辆摩托车在t＝0时刻由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的a-t图像如图所示，根据已知信息，可知(　　)
A．摩托车的最大动能
B．摩托车在30
s末的速度大小
C．在0～30
s的时间内牵引力对摩托车做的功
D．10
s末摩托车开始反向运动
【答案】B
【解析】由图可知，摩托车在0～10
s内做匀加速运动，在10～30
s内做减速运动，故10
s末速度最大，动能最大，由v＝at可求出最大速度，但摩托车的质量未知，故不能求出最大动能，A错误；根据a－t图线与t轴所围的面积表示速度变化量，可求出30
s内速度的变化量，由于初速度为0，则可求出摩托车在30
s末的速度大小，B正确；在10～30
s内牵引力是变力，由于不能求出牵引力，故不能求出牵引力对摩托车做的功，C错误；由图线与时间轴围成的面积表示速度变化量可知，30
s内速度变化量为零，所以摩托车一直沿同一方向运动，D错误．
【变式】一质点由静止开始按如图所示的规律运动，下列说法正确的是(　　)
A．质点在2t0的时间内始终沿正方向运动，且在2t0时距离出发点最远
B．质点做往复运动，且在2t0时回到出发点
C．质点在时的速度最大，且最大的速度为
D．质点在2t0时的速度最大，且最大的速度为a0t0
【答案】A
【解析】质点在0～时间内做加速度均匀增大的加速运动，在～t0时间内做加速度均匀减小的加速运动，在t0～时间内做加速度均匀增大的减速运动，在～2t0时间内做加速度均匀减小的减速运动，根据对称性，在2t0时刻速度刚好减到零，所以在2t0时质点离出发点最远，在t0时刻速度最大，故A正确，B、C错误；根据图像与时间轴所围面积表示速度，可知最大速度为a0t0，故D错误．
（四）图像的理解
【例4】一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其?t图像如图所示，则(　　)
A．质点做匀速直线运动，初速度为0.5
m/s
B．质点做匀加速直线运动，加速度为0.5
m/s2
C．质点在1
s末速度为2
m/s
D．质点在第1
s内的位移大小为2
m
【答案】C
【解析】由图得＝1＋t，即x＝t＋t2，根据x＝v0t＋at2，对比可得v0＝1
m/s，a＝
m/s2，解得a＝1
m/s2，质点的加速度不变，说明质点做匀加速直线运动，初速度为1
m/s，加速度为1
m/s2，A、B错误；质点做匀加速直线运动，在1
s末速度为v＝v0＋at＝(1＋1×1)
m/s＝2
m/s，C正确．质点在第1
s内的位移大小x＝(1＋)
m＝
m，D错误．
【变式】一个物体沿直线运动，从t＝0时刻开始，物体的-t的图像如图所示，图线与纵、横坐标轴的交点分别为0.5
m/s和－1
s，由此可知(　　)
A．物体做匀加速直线运动
B．物体做变加速直线运动
C．物体的初速度大小为0.5
m/s
D．物体的初速度大小为1
m/s
【答案】AC
【解析】图线的斜率为0.5
m/s2、纵截距为0.5
m/s.由位移公式x＝v0t＋at2两边除以对应运动时间t为＝v0＋at，可得纵截距的物理意义为物体运动的初速度，斜率的物理意义为物体加速度的一半.所以物体做初速度为v0＝0.5
m/s，加速度大小为a＝1
m/s2的匀加速直线运动．
（五）图像的理解
【例5】一物体由静止开始运动，其加速度a与位移x关系图线如图所示．下列说法正确的是(　　)
A．物体最终静止
B．物体的最大速度为
C．物体的最大速度为
D．物体的最大速度为
【答案】C
【解析】物体运动过程中任取一小段，对这一小段v2－v＝2aΔx，一物体由静止开始运动，将表达式对位移累加，可得v2等于速度a与位移x关系图线与坐标轴围成的面积的2倍，则v2＝2(a0x0＋a0x0)，解得物体的最大速度v＝，故C项正确．
（六）图像的理解
【例6】如图甲，一维坐标系中有一质量为m＝2
kg的物块静置于x轴上的某位置(图中未画出)，从t＝0时刻开始，物块在外力作用下沿x轴做匀变速直线运动，如图乙为其位置坐标和速率平方关系图像，下列说法正确的是(　　)
A．t＝4
s时物块的速率为2
m/s
B．加速度大小为1
m/s2
C．t＝4
s时物块位于x＝4
m处
D．在0.4
s时间内物块运动的位移6
m
【答案】A
【解析】由x－x0＝，结合图像可知物块做匀加速直线运动，加速度a＝0.5
m/s2，初位置x0＝－2
m，t＝4
s时物块的速率为v＝at＝0.5×4
m/s＝2
m/s，A正确，B错误；由x－x0＝at2，得t＝4
s时物块位于x＝2
m处，C错误；由x＝at2，在0.4
s时间内物块运动的位移x＝×0.5×0.42
m＝0.04
m，D错误．
【变式】为检测某新能源动力车的刹车性能，现在平直公路上做刹车实验，如图所示是动力车整个刹车过程中位移与速度平方之间的关系图像，下列说法正确的是(　　)
A．动力车的初速度为20
m/s
B．刹车过程动力车的加速度大小为5
m/s2
C．刹车过程持续的时间为10
s
D．从开始刹车时计时，经过6
s，动力车的位移为30
m
【答案】AB
【解析】根据v2－v＝2ax得x＝v2－v，结合图像有＝－
s2/m，－v＝40
m，解得
a＝－5
m/s2，v0＝20
m/s，选项A、B正确；刹车过程持续的时间t＝＝4
s，选项C错误；从开始刹车时计时，经过6
s，动力车的位移等于其在前4
s内的位移，x4＝t＝40
m，选项D错误．
【题型六】运动图像的应用
（一）图像的选择
分析步骤：
(1)认真审题，根据题中所需求解的物理量，结合相应的物理规律确定横、纵坐标所表示的物理量。
(2)根据题意，结合具体的物理过程，应用相应的物理规律，将题目中的速度、加速度、位移、时间等物理量的关系通过图像准确直观地反映出来。
(3)题目中一般会直接或间接给出速度、加速度、位移、时间四个量中的三个量的关系，作图时要通过这三个量准确确定图像，然后利用图像对第四个量作出判断。
【例7】设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为x。现有四个不同物体的运动图像如下列选项所示，假设物体在t＝0时的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图像是(　　)
【解析】由位移—时间图像可知，位移随时间先增大后减小，1
s后反向运动，故A错误；由速度—时间图像可知，物体2
s内沿正方向运动，2～4
s沿负方向运动，方向改变，故B错误；由图像C可知物体在第1
s内做匀加速运动，第2
s内做匀减速运动，2
s末速度减为0，然后重复前面的过程，是单向直线运动，故C正确；由图像D可知物体在第1
s内做匀加速运动，第2
s内做匀减速运动，2
s末速度减为0，第3
s内沿负方向做匀加速运动，不是单向直线运动，故D错误．
【答案】　C
【变式1】小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图像中，能描述该过程的是(　　)
【答案】A
【解析】小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后能回到原高度，重复原来的过程，以落地点为原点，速度为零时，位移最大，速度最大时位移为零，设高度为h，则速度大小与位移的关系满足v2＝2g(h－x)，A项正确．
【变式2】A物体从离地面高10
m处做自由落体运动，1
s后B物体从离地面高15
m处做自由落体运动，下面物理图像中对A、B的运动状态描述合理的是
(　　)
【答案】A
【解析】两者都做自由落体运动，速度在增大，C错误；根据公式可得位移是关于时间t的二次函数，D错误；因为A先下落，所以当B开始运动时，A已有了一定的速度，故A正确．
（二）图像的转换
图像转换时要注意的三点：
(1)合理划分运动阶段，分阶段进行图像转换。
(2)注意相邻运动阶段的衔接，尤其是运动参量的衔接。
(3)注意图像转换前后核心物理量间的定量关系，这是图像转换的依据。
【例8】某物体做直线运动的v
?t图像如图所示，据此判断四个选项中(F表示物体所受合力，x表示物体的位移)正确的是(　　)
【答案】B
【解析】根据v
?t图像的斜率可知：0～2
s内与6～8
s内物体的加速度大小相等、方向相同，故所受合力相同，A错误.2～6
s内物体的加速度恒定，合力恒定，且大小与0～2
s内的相同，方向与0～2
s内相反，B正确．根据v
?t图像可知，0～4
s内物体先沿正方向做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，4～8
s内先沿负方向做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，再结合v
?t图线包围面积的意义可知，0～4
s内物体的位移不断增大，4
s末达到最大值，8
s末返回到出发点，C、D错误．
【变式1】一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示，取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v?t图像正确的是(　　)
【答案】　C
【解析】在0～1
s内，a1＝1
m/s2，物体从静止开始做正向匀加速运动，速度图像是一条直线，1
s末速度v1＝a1t＝1
m/s，在1～2
s内，a2＝－1
m/s2，物体将仍沿正方向运动，但减速，2
s末时速度v2＝v1＋a2t＝0，2～3
s内重复0～1
s内运动情况，3～4
s内重复1～2
s内运动情况，则C正确．
【变式2】某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t。实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是(　　)
A．v＝　　
B．v＝
C．v＞
D．＜v＜
【答案】　C
【解析】由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，画出相应的v－t图像大致如图所示．根据图像的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x，虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为t.
应有t＞x，所以v＞，所以选项C正确．
【题型七】追及、相遇问题
1．追及、相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过题干或画运动示意图得到。
2．追及、相遇问题常见的情况
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情况：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB。
3．解题思路和方法
???
【例9】(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是(　　)
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
【答案】　BD
【解析】　根据速度—时间图像与时间轴所围面积大小对应物体的位移大小，可知在t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，又因为t2时刻两车相遇，因此t1时刻甲车在后，乙车在前，选项A错误，B正确；根据图像的斜率对应物体运动的加速度，可知甲、乙的加速度均先减小后增大，选项C错误，D正确．
【例10】(多选)(2018·高考全国卷Ⅲ)
甲、乙两车在同一平直公路上同向运动甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
【答案】CD
【解析】由位移—时间图像的意义可知t1时刻两车在x1位置，图线的斜率不同，速度不等，A错；由于甲车起始位置不在原点，从0到t1时间内，两车走过的路程不等，B错；从t1到t2时间内，两车都从x1位置运动到x2位置，因此走过的路程相等，C对；从t1到t2时间内甲车图线的斜率先小于后大于乙车，因此在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等，D对．
【例11】如图所示，在两车道的公路上有黑白两辆车，黑色车停在A线位置，某时刻白色车以速度v1＝40
m/s通过A线后，立即以大小为a1＝4
m/s2的加速度开始制动减速，黑色车4
s后以a2＝4
m/s2的加速度开始向同一方向匀加速运动，经过一定时间，两车都到达B线位置。两车可看成质点。从白色车通过A线位置开始计时，求经过多长时间两车都到达B线位置及此时黑色车的速度大小。
【答案】　14
s　40
m/s
【解析】　设白色车停下来所需的时间为t1，减速过程通过的距离为x1，则v1＝a1t1，v＝2a1x1
解得x1＝200
m，t1＝10
s
在t1＝10
s时，设黑色车通过的距离为x2，则x2＝a2(t1－t0)2
解得x2＝72
mm
所以白色车停止运动时黑色车没有追上它，则白色车停车位置就是B线位置．
设经过时间t两车都到达B线位置，此时黑色车的速度为v2，则x1＝a2(t－t0)2，v2＝a2(t－t0)
解得t＝14
s，v2＝40
m/s.
【变式1】A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10
m/s，B车在后，其速度vB＝30
m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85
m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180
m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
【答案】不会相撞　5
m
【解析】设B车刹车过程的加速度大小为aB，由v2－v＝2ax可得02－302＝2(－aB)×180
解得aB＝2.5
m/s2
设经过时间t两车相撞，则有vBt－aBt2＝x0＋vAt，
即30t－×2.5t2＝85＋10t，整理得t2－16t＋68＝0
由Δ＝162－4×68＜0可知t无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时
vA＝vB－aBt1，t1＝8
s
此过程中xB＝vBt1－aBt＝160
m，xA＝vAt1＝80
m，
两车的最近距离Δx＝x0＋xA－xB＝5
m.
【题型演练】
1．下列所给的运动图像中能反映做直线运动的物体不会回到初始位置的是(　　)
【答案】A
【解析】速度—时间图像中与坐标轴围成的面积表示位移，在坐标上方表示正位移，在坐标轴下方表示负位移，所以A中面积不为零，所以位移不为零，不能回到初始位置；B、C中面积为零，位移为零，回到初始位置；D中，位移—时间图像表示物体的位移随时间变化的图像，在t0
s物体的位移为零，即又回到了初始位置．
2.
甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其v
?t图像如图所示，下列对汽车运动状况的描述正确的是(　　)
A．在第10
s末，乙车改变运动方向
B．在第10
s末，甲、乙两车相距150
m
C．在第20
s末，甲、乙两车相遇
D．若开始时乙车在前，则两车可能相遇两次
【答案】D
【解析】由图可知，在20
s内，乙车一直沿正方向运动，速度方向没有改变，故选项A错误；由于不知道初始位置甲、乙相距多远，所以无法判断在10
s末两车相距多远，及在20
s末能否相遇，故选项B、C错误；若刚开始乙车在前，且距离为150
m，则在10
s末两车相遇，之后甲在乙的前面，乙的速度增大，在某个时刻与甲再次相遇，故选项D正确．
3.
如图所示为甲、乙两质点做直线运动的v
?t图像，若两质点从同一地点出发，到t1时刻相遇，则下列说法正确的是(　　)
A．v1＝8
m/s
B．v2＝12
m/s
C．t1＝(3＋)s
D．0～t1时间内，甲、乙相距的最大距离为6
m
【答案】CD
【解析】由图可知，甲的加速度a1＝2
m/s2，乙的加速度a2＝6
m/s2，则×2t12＝×6(t1－2
s)2，求得t1＝(3＋)s，C项正确；v1＝a1t1＝(6＋2)m/s，A项错误；v2＝a2(t1－2
s)＝(6＋6)m/s，B项错误；0～t1内，甲、乙相距的最大距离为Δx＝×2×6
m＝6
m，D项正确．
4.
甲、乙两物体在同一水平地面上做直线运动，其运动的x
?t图像如图所示，已知乙物体从静止开始做匀加速直线运动。下列说法正确的是(　　)
A．甲物体先做匀减速直线运动．后做匀速直线运动
B．在0～120
s内，乙物体的平均速度大小大于0.5
m/s
C．在0～120
s内，甲物体运动的位移大小大于乙物体运动的位移大小
D．乙物体在M点所对应的瞬时速度大小一定大于0.5
m/s
【答案】CD
【解析】根据位移图像斜率表示速度可知，甲物体先做匀速直线运动，后静止，选项A错误；在0～120
s内，乙物体的位移大小为s＝60
m，平均速度大小为v＝＝0.5
m/s，选项B错误；在0～120
s内，甲物体运动的位移大小为x甲＝100
m－20
m＝80
m，乙物体运动的位移大小为x乙＝60
m－0
m＝60
m，所以在0～120
s内，甲物体运动的位移大小大于乙物体运动的位移大小，选项C正确；根据匀变速直线运动的推论知，乙在t＝60
s时的瞬时速度等于在0～120
s内的平均速度0.5
m/s，而乙物体做匀加速直线运动，所以乙物体在M点所对应的瞬时速度大小一定大于0.5
m/s，选项D正确．
5.
一质点从坐标原点沿x轴方向做匀变速直线运动，在0～8
s内的x－t图像如图所示．若t＝1
s时，图线所对应的切线的斜率为3
m/s，则(　　)
A．t＝1
s时，质点的加速度为3
m/s2
B．t＝2
s和t＝6
s时，质点的速度大小相等
C．t＝2
s和t＝6
s时，质点加速度的方向相反
D．t＝4
s时，质点的位移为8
m
【答案】BD
【解析】已知质点做匀变速直线运动，设其位移随时间变化的关系式为x＝v0t＋at2，根据0～8
s内的x－t图像的对称轴可知－＝4
s；t＝1
s时，图线所对应的切线的斜率(即此时的速度)为3
m/s，可知v0＋a×1
s＝3
m/s，解得a＝－1
m/s2，v0＝4
m/s，因为质点做匀变速直线运动，所以质点的加速度不会发生变化，选项A、C均错误；利用速度公式v＝v0＋at，可得t＝2
s时，质点的速度为2
m/s，t＝6
s时，质点的速度为－2
m/s，这两个时刻质点的速度大小都为2
m/s，选项B正确；将t＝4
s代入x＝v0t＋at2，解得x＝8
m，即t＝4
s时质点的位移为8
m，选项D正确．
6.
在一大雾天，一辆小汽车以30
m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30
m处有一辆大卡车以10
m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵。如图所示，a、b分别为小汽车和大卡车的v
?t图像，以下说
(　　)
A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾
B．在t
＝5
s时追尾
C．在t
＝3
s时追尾
D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾
【答案】C
【解析】由图像可知，在t＝5
s时，两车的速度相等，若此时小汽车与大卡车没有追尾，则以后再不会发生追尾，由v
?t图像与坐标轴所围图形的面积表示位移的大小可得：t＝5
s时，xa－xb＝35
m，t＝3
s时，xa－xb＝30
m，所以在t＝3
s时，小汽车与大卡车出现了追尾，C正确，A、B错误；如果刹车不失灵，则两车在t＝2
s时共速，此时xa－xb＝20
m<30
m，故不会追尾，D错误．
7.
甲、乙两个物体由同一地点沿同一方向做直线运动，其v
?t图像如图所示。关于两物体的运动情况，下列说法正确的是(　　)
A．t＝1
s时，甲在乙前方
B．t＝2
s时，甲、乙相遇
C．t＝4
s时，乙的加速度方向开始改变
D．0～6
s内，甲、乙平均速度相同
【答案】B
【解析】甲、乙两个物体从同一地点沿同一方向做直线运动，当位移相等时，两者相遇．根据速度图像与坐标轴围成面积表示位移可知，在t＝1
s时，乙的位移大于甲的位移，说明乙在甲的前方，故A错误；根据速度图像与坐标轴围成面积表示位移可知，在t＝2
s时，乙的位移等于甲的位移，说明两者相遇，故B正确；速度图像的斜率表示加速度，由数学知识可知，在2～6
s内，乙的加速度方向一直沿负方向，没有改变，故C错误；由图可知，0～6
s内，甲的位移大于乙的位移，而时间相等，因此甲的平均速度大于乙的平均速度，故D错误．
8.
小明和小华操控各自的玩具赛车甲、乙在小区平直的路面上做直线运动，t＝0时刻两赛车恰好并排，此后两赛车运动的位移x与时间t的比值随时间t的关系如图所示，对于甲、乙两赛车前2
s的运动，下列说法正确的是
(　　)
A．t＝1
s时，甲在乙的前面且相距最远
B．t＝1
s时，甲、乙两赛车相遇
C．t＝2
s时，甲在乙的前面且相距最远
D．t＝2
s时，甲、乙两赛车相遇
【答案】B
【解析】甲赛车恒定不变，故做匀速直线运动，速度为v甲＝1
m/s.根据x＝v0t＋at2可得＝at＋v0可知乙赛车初速度为零，加速度为a＝2
m/s2，故两质点在t＝0.5
s时速度相等，此时两者相距最远；当两者相遇时v甲t＝at2，解得t＝1
s，甲、乙相遇，此后乙的速度大于甲的速度，乙在甲的前面，B正确．
9.
宇航员的训练、竞技体育的指导、汽车的设计等多种工作都用到急动度(jerk)的概念。加速度对时间的变化率称为急动度，其方向与加速度的变化方向相同。一质点从静止开始做直线运动，其加速度随时间的变化关系如图，下列说法正确的是(　　)
A．t＝1
s时急动度是0.5
m/s3
B．t＝3
s时的急动度和t＝5
s时的急动度相同
C．2～4
s内的质点做减速运动
D．t＝4
s时质点速度方向改变
【答案】AB
【解析】t＝1
s时急动度是＝
m/s3＝0.5
m/s3，故A正确；加速度对时间的变化率称为急动度，等于a?t图像的斜率，则知t＝3
s时的急动度和t＝5
s时的急动度等大同向，故B正确；根据a?t图像与t轴所围的面积表示速度的变化量知，2～4
s内的质点速度增大，故C错误；根据a?t图像与t轴所围的面积表示速度的变化量，知0～6
s内质点的速度均为正，说明质点速度方向不变，故D错误．

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