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【题型一】开普勒定律　万有引力定律的理解与应用
1．开普勒行星运动定律
开普勒第三定律＝k中，k只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k不同．
2．万有引力定律
公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线．
【例1】为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为(　　)
A．2∶1　　　　　
B．4∶1
C．8∶1
D．16∶1
【答案】　C
【解析】　由G＝mr知，＝，则两卫星eq
\f(T,T)＝eq
\f(r,r).因为rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1.
【变式1】如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　)
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【答案】CD
【解析】在海王星从P到Q的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速率越来越小，C项正确；海王星从P到M的时间小于从M到Q的时间，因此从P到M的时间小于，A项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒，B项错误；从M到Q的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q到N的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功，D项正确．
【变式2】牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出速度一次比一次大，落点一次比一次远．如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星．如图所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动．下列说法正确的是
(　　)
地球的球心与椭圆的中心重合
B．卫星在近地点的速率小于在远地点的速率
C．卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度
D．卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积
【答案】C
【解析】地球的球心与椭圆的焦点重合，选项A错误；根据卫星运动过程中机械能守恒(动能和引力势能之和保持不变)，卫星在近地点的动能大于在远地点的动能，根据动能公式，卫星在近地点的速率大于在远地点的速率，选项B错误；根据万有引力定律和牛顿运动定律，卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度，选项C正确；根据开普勒定律，卫星与地球中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积，选项D错误．
【变式3】若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证
(　　)
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
【答案】B
【解析】设月球的质量为M月，地球的质量为M，苹果的质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝，苹果受到的万有引力为F＝，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；根据牛顿第二定律＝M月a月，＝ma，整理可得a月＝a，故B正确；在月球表面处eq
\f(GM月m′,r)＝m′g月，由于月球本身的半径大小及其质量与地球的半径、质量关系未知，故无法求出月球表面和地球表面重力加速度的关系，故C错误；苹果在月球表面受到的引力为F′＝eq
\f(GmM月,r)，由于月球本身的半径大小及其质量与地球的半径、质量关系未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与在地球表面受到的引力之间的关系，故D错误．
【题型二】万有引力与重力的关系
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω.
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)；mg＝G，得g＝.
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得
g′＝，所以＝.
【例2】近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T、引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A．如果该星体的自转周期T<2π
，则该星体会解体
B．如果该星体的自转周期T>2π
，则该星体会解体
C．该星体表面的引力加速度为
D．如果有卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，则该卫星的速度大小为
【答案】　AD
【解析】　如果在该星体“赤道”表面有一物体，质量为m′，当它受到的万有引力大于跟随星体自转所需的向心力时，即G>m′R时，有T>2π，此时，星体处于稳定状态不会解体，而当该星体的自转周期T<2π时，星体会解体，故选项A正确，B错误；在该星体表面，有G＝m′g′，所以g′＝G，故选项C错误；如果有质量为m″的卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，有G＝m″，解得v＝，故选项D正确．
【变式1】一颗在赤道上空做匀速圆周运动运行的人造卫星，其轨半径上对应的重
力加速度为地球表面重力加速度的四分之一，则某一时刻该卫星观测到地面赤道最大弧长为(已知地球半径为R)
(　　)
A.πR　　　　　　　　B.πR
C.πR
D.πR
【答案】　A
【解析】　卫星所在高度处G＝mg′，而地球表面处G＝mg，因为g′＝g，解得r＝2R，则某一时刻该卫星观测到地面赤道的弧度数为，则观测到地面赤道最大弧长为πR，故选A.
【变式2】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)
A．0　　　
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】飞船受到的万有引力等于它在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项B正确．
【题型三】中心天体质量和密度的估算
中心天体质量和密度常用的估算方法
质量的计算
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
利用运行天体
r、T
G＝mr
M＝
只能得到中心天体的质量
r、v
G＝m
M＝
v、T
G＝mG＝mr
M＝
密度的计算
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝
M＝
－
利用运行天体
r、T、R
G＝mrM＝ρ·πR3
ρ＝当r＝R时，ρ＝
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝M＝ρ·πR3
ρ＝
—
应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”
(1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．
(2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．
【例2】为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星．卫星A在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为v，周期为T；卫星B绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n倍．万有引力常量为G，则下列计算不正确的是
(　　)
彗星的半径为
B．彗星的质量为
C．彗星的密度为
D．卫星B的运行角速度为
【答案】　ACD
【解析】　由题意可知，卫星A绕彗星表面做匀速圆周运动，则彗星的半径满足：R＝，故A正确；根据G＝m，解得M＝，故B错误；彗星的密度为ρ＝＝＝，故C正确；根据G＝mω2r，＝mR，r＝nR，则卫星B的运行角速度为，故D正确．
【变式1】2018年2月，我国500
m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19
ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11
N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为
(　　)
A．5×109
kg/m3　　　　
B．5×1012
kg/m3
C．5×1015
kg/m3
D．5×1018
kg/m3
【答案】C
【解析】脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，又知M＝ρ·πr3整理得密度ρ＝＝kg/m3≈5×1015
kg/m3.
【变式2】我国计划于2019年发射“嫦娥五号”探测器，假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(小于绕行周期)，运动的弧长为s，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G，则(　　)
A．探测器的轨道半径为
B．探测器的环绕周期为
C．月球的质量为
D．月球的密度为
【答案】C
【解析】利用s＝θr，可得轨道半径r＝，选项A错误；由题意可知，角速度ω＝，故探测器的环绕周期T＝＝＝，选项B错误；根据万有引力提供向心力可知，G＝m，再结合v＝可以求出M＝＝＝，选项C正确；由于不知月球的半径，所以无法求出月球的密度，选项D错误．
【题型四】卫星运行参量的比较与计算
1．卫星的轨道
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心．
2．地球同步卫星的特点：六个“一定”
3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
4．解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即G＝mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换．(g表示天体表面的重力加速度)
(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝m＝mrω2＝m＝man.
卫星运行参量的比较
【例4】．地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则(　　)
A．F1＝F2＞F3
B．a1＝a2＝g＞a3
C．v1＝v2＝v＞v3
D．ω1＝ω3＜ω2
【答案】D
【解析】地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v＝ωr和a＝ω2r可知，v1＜v3，a1＜a3；人造卫星和地球同步卫星都围绕地球转动，它们受到的地球的引力提供向心力，即G＝mω2r＝＝ma可得v＝，a＝G，ω＝，可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v2＞v3，a2＞a3，ω2＞ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v2＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a2＝g；所以v＝v2＞v3＞v1，g＝a2＞a3＞a1，ω2＞ω3＝ω1，又因为F＝ma，所以F2＞F3＞F1.由以上分析可见，选项A、B、C错误，D正确．
同步卫星的运行规律分析
【例5】．(2016·高考全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)
A．1
h
B．4
h
C．8
h
D．16
h
【答案】B
【解析】设地球半径为R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示．由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径r＝2R.设地球自转周期的最小值为T，则由开普勒第三定律可得，＝，解得T≈4
h，选项B正确．
【变式1】2018年7月27日，发生了“火星冲日”现象，火星运行至距离地球最近的位置，火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列成一条直线，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮易于观察，地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨道都近似为圆，火星公转轨道半径为地球的1.5倍，则下列说法正确(　　)
地球与火星的公转角速度大小之比为2∶3
B．地球与火星的公转线速度大小之比为3∶2
C．地球与火星的公转周期之比为∶
D．地球与火星的向心加速度大小之比为∶
【答案】　C
【解析】　根据G＝m＝mω2r＝m＝ma，解得ω＝，则地球与火星的公转角速度大小之比为，选项A错误；v＝，则地球与火星的公转线速度大小之比为，选项B错误；T＝2π，则地球与火星的公转周期之比为∶
，选项C正确；a＝，则地球与火星的向心加速度大小之比为9∶4，选项D错误．
【变式2】我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高．今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705
km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36
000
km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小(　　)
A．周期　　　　　B．角速度
C．线速度
D．向心加速度
【答案】A
【解析】卫星围绕地球做匀速圆周运动，满足G＝mr＝mω2r＝m＝ma，由此可推出，半径r越小，周期T越小，选项A正确；半径r越小，角速度ω、线速度v、向心加速度a越大，选项B、C、D错误．
【变式3】人造地球卫星在绕地球做圆周运动的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．卫星离地球越远，角速度越大
B．同一圆轨道上运行的两颗卫星，线速度大小一定相等
C．一切卫星运行的瞬时速度都大于7.9
km/s
D．地球同步卫星可以在以地心为圆心、离地高度为固定值的一切圆轨道上运动
【答案】B
【解析】卫星所受的万有引力提供向心力，则G＝m＝mω2r，可知r越大，角速度越小，r相等时，线速度相等，A错误，B正确.7.9
km/s是人造地球卫星的最大环绕速度，C错误．因为地球会自转，同步卫星只能在赤道上方的轨道上运动，D错误．
【变式4】如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，则(　　)
A．卫星a的角速度小于c的角速度
B．卫星a的加速度大于b的加速度
C．卫星a的运行速度大于第一宇宙速度
D．卫星b的周期大于24
h
【答案】　A
【解析】　根据公式G＝mω2r可得ω＝
，运动半径越大，角速度越小，故卫星a的角速度小于c的角速度，A正确；根据公式G＝ma可得a＝，由于a、b的轨道半径相同，所以两者的向心加速度大小相同，B错误；第一宇宙速度是近地轨道卫星做圆周运动的最大环绕速度，根据公式G＝m可得v＝
，半径越大，线速度越小，所以卫星a的运行速度小于第一宇宙速度，C错误；根据公式G＝mr可得T＝2π
，故轨道半径相同，周期相同，所以卫星b的周期等于24
h，D错误．
【题型五】宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝meq
\f(v,R)得v1＝＝7.9×103
m/s.
方法二：由mg＝meq
\f(v,R)得v1＝＝7.9×103
m/s.
第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π≈85
min.
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9
km/s时，卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动．
(2)7.9
km/s＜v发＜11.2
km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．
(3)11.2
km/s≤v发＜16.7
km/s，卫星绕太阳做椭圆运动．
(4)v发≥16.7
km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
【例6】(多选)(2019·河南新乡模拟)美国国家科学基金会宣布，天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的行星，该行星绕太阳系外的红矮星Gliese581做匀速圆周运动．这颗行星距离地球约20光年，公转周期约为37天，它的半径大约是地球的1.9倍，表面重力加速度与地球相近．下列说法正确的是(　　)
该行星的公转角速度比地球大
B．该行星的质量约为地球质量的3.6倍
C．该行星第一宇宙速度为7.9
km/s
D．要在地球上发射航天器到达该星球，发射速度只需达到地球的第二宇宙速度即可
【答案】　AB
【解析】该行星的公转周期约为37天，而地球的公转周期为365天，根据ω＝可知该行星的公转角速度比地球大，选项A正确；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式：G＝mg，解得：g＝，这颗行星的重力加速度与地球相近，它的半径大约是地球的1.9倍，所以它的质量是地球的3.6倍，故B正确；要在该行星表面发射人造卫星，发射的速度最小为第一宇宙速度，第一宇宙速度v＝，R为星球半径，M为星球质量，所以这颗行星的第一宇宙速度大约是地球的倍，而地球的第一宇宙速度为7.9
km/s，故该星球的第一宇宙速度为×7.9
km/s＝11.2
km/s，故C错误；由于这颗行星在太阳系外，所以航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，故D错误．
【变式1】(多选)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于
2020年登陆火星．地球和火星的公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比(　　)
行星
半径/m
质量/kg
公转轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
A.
火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍
B．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍
C．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍
D．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍
【答案】AC
【解析】根据第一宇宙速度公式v＝(M指中心天体火星或地球的质量)得＝＝0.45，故A正确，B错误；根据向心加速度公式a＝(M指中心天体太阳的质量)得＝eq
\f(r,r)＝＝0.43，故C正确，D错误．
【变式3】(多选)据悉，2020年我国将进行第一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器．已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的.下列关于火星探测器的说法中正确的是(　　)
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的
【答案】CD
【解析】要将火星探测器发射到火星上去，必须脱离地球引力，即发射速度要大于第二宇宙速度，火星探测器仍在太阳系内运转，因此从地球上发射时，发射速度要小于第三宇宙速度，选项A、B错误，C正确；由第一宇宙速度的概念，得G＝meq
\f(v,R)，则v1＝，故火星探测器环绕火星运行的最大速度与地球的第一宇宙速度的比值约为　＝，选项D正确．
【题型六】近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题
三种匀速圆周运动的参量比较
近地卫星(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
线速度
由G＝m得v＝，故v1＞v2
由v＝rω得v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心加速度
由G＝ma得a＝，故a1＞a2
由a＝ω2r得a2＞a3
a1＞a2＞a3
轨道半径
r2＞r3＝r1
角速度
由G＝mω2r得ω＝，故ω1＞ω2
同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
【例7】(多选)如图所示，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是
(　　)
A．vB＞vA＞vC　
　B．ωA＞ωB＞ωC
C．FA＞FB＞FC
D．TA＝TC＞TB
【答案】　AD
【解析】　A、C的角速度相等，由v＝ωr，可知vC＜vA，由人造卫星的速度公式：v＝，可知vA＜vB，因而vB＞vA＞vC，故A正确；
A、C的角速度相等，根据ω＝知A的角速度小于B的角速度，故ωA＝ωC<ωB，故B错误；由万有引力公式可知，F＝，即半径越大，万有引力越小，故FA＜FB＜FC，故C错误；卫星A为同步卫星，周期与C物体周期相等，又万有引力提供向心力，即：＝m()2r，T＝2π，所以A的周期大于B的周期，故TA＝TC>TB，故D正确．
【变式1】(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的半径为R，第一宇宙速度为v2，则下列比例关系中正确的是(　　)
A.＝
B.＝()2
C.＝
D.＝
【答案】AD
【解析】设地球质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上物体的质量为m，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ωr，a2＝ωR，又ω1＝ω2，故＝，选项A正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m1eq
\f(v,r)，G＝meq
\f(v,R)，解得＝，选项D正确．
【题型七】双星及多星模型
1．模型特征
(1)多星系统的条件
①各星彼此相距较近．
②各星绕同一圆心做匀速圆周运动．
(2)多星系统的结构
类型
双星模型
三星模型
结构图
向心力
由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等
运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供
运动参量
两星转动方向相同，周期、角速度相等
—
2.思维引导
双星模型
【例8】2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100
s时，它们相距约400
km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积
B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
【答案】　BC
【解析】　两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12圈，角速度已知
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
＝m1ω2r1①
＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．
质量之积和各自自转的角速度无法求解．
【变式1】2018年5月25日21时46分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继卫星成功实施近月制动，进入月球至地月拉格朗日L2点的转移轨道．当“鹊桥”位于拉格朗日点(如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为地月系统拉格朗日点)上时，会在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动，下列说法正确的是(月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期)(　　)
A．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的周期和月球的自转周期相等
B．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度
C．L3和L2到地球中心的距离相等
D．“鹊桥”在L2点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大
【答案】ABD
【解析】“鹊桥”位于L2点时，由于“鹊桥”与月球同步绕地球做圆周运动，所以“鹊桥”绕地球运动的周期和月球绕地球运动的周期相等，又月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期，故选项A正确；“鹊桥”位于L2点时，由于“鹊桥”与月球绕地球做圆周运动的周期相同，“鹊桥”的轨道半径大，根据公式a＝r分析可知，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度，故选项B正确；如果L3和L2到地球中心的距离相等，则“鹊桥”在L2点受到月球与地球引力的合力更大，加速度更大，所以周期更短，故L2到地球中心的距离大于L3到地球中心的距离，选项C错误；在5个点中，L2点离地球最远，所以在L2点“鹊桥”所受合力最大，故选项D正确．
【变式2】双星系统由两颗绕着它们中心连线上的某点旋转的恒星组成．假设两颗恒星质量相等，理论计算它们绕连线中点做圆周运动，理论周期与实际观测周期有出入，且＝(n>1)，科学家推测，在以两星球中心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球中心连线长度为L，两星球质量均为m，据此推测，暗物质的质量为(　　)
A．(n－1)m　
　
B．(2n－1)m
C.m
D.m
【答案】C
【解析】双星运动过程中万有引力提供向心力：G＝m()2，解得T理论＝；设暗物质的质量为M′，对星球由万有引力提供向心力G＋G＝m()2，解得T观测＝.根据＝，联立以上可得：M′＝m
，选项C正确．
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
【例9】太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，
通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则(　　)
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝
R
D．三角形三星系统的线速度大小为
【答案】　BC
【解析】　直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A错误；三星系统中，对直线三星系统有G＋G＝MR，解得T＝4πR
，选项B正确；对三角形三星系统根据万有引力和牛顿第二定律可得2Gcos
30°＝M·，联立解得L＝R，选项C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝＝，代入解得v＝··，选项D错误．
【变式2】如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(　　)
A．三颗星的质量可能不相等
B．某颗星的质量为
C．它们的线速度大小均为
D．它们两两之间的万有引力大小为
【答案】　BD
【解析】　轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝＝l.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则2Gcos
30°＝m··l，解得m＝，它们两两之间的万有引力F＝G＝G＝，A错误，B、D正确；线速度大小为v＝＝·＝，C错误．
【变式2】如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则(　　)
A．甲星所受合外力为
B．乙星所受合外力为
C．甲星和丙星的线速度相同
D．甲星和丙星的角速度相同
【答案】AD
【解析】甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F甲＝＋＝，选项A正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为零，选项B错误；由于甲、丙位于同一轨道上，甲、丙的角速度相同，由v＝ωR可知，甲、丙两星的线速度大小相同，但方向相反，故选项C错误，D正确．
【题型八】卫星的变轨问题
人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论．
1．变轨原理及过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.因在A点加速，则vA＞v1，因在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同．同理，从轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点时加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3.
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3.
卫星参数变化分析
【例10】(多选)如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火将卫星送入椭圆轨道2，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是
(　　)
A．卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
【答案】　AD
【解析】　由万有引力提供向心力得：v＝，则半径大的速率小，则A正确；由万有引力提供向心力得：ω＝，则半径大的角速度小，则B错误；在同一点所受的地球的引力相等，则加速度相等，故C错误，D正确．
【方法技巧】
(1)卫星的变轨问题要用到圆周运动中“离心运动”和
“近心运动”的知识去分析；
(2)卫星在太空中某点的加速度a＝，与卫星的运动轨迹无关，仅由卫星的位置决定．
【变式1】2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(　　)
A．周期变大　　　　　
B．速率变大
C．动能变大
D．向心加速度变大
【答案】C
【解析】组合体比天宫二号质量大，轨道半径R不变，根据＝m，可得v＝，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B项错误；又T＝，则周期T不变，A项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C项正确；向心加速度a＝，不变，D项错误．
【变式2】据外媒综合报道，英国著名物理学家史蒂芬·霍金在2018年3月14日去世，享年76岁．这位伟大的物理学家，向人类揭示了宇宙和黑洞的奥秘．高中生对黑洞的了解为光速是在星球(黑洞)上的第二宇宙速度．对于普通星球，如地球，光速仍远远大于其宇宙速度．现对于发射地球同步卫星的过程分析，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则(　　)
A．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9
km/s
B．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2
km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9
km/s
D．在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度大于第一宇宙速度7.9
km/s
【答案】C
【解析】第一宇宙速度是近地轨道的线速度，根据G＝m可知v＝，故轨道半径越大，线速度越小，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B错误；P点为近地轨道上的一点，但要从近地轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P点加速，所以在轨道Ⅰ上卫星在P点的速度大于第一宇宙速度，C正确；在Q点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q点加速，即轨道Ⅱ上经过Q点的速度大于轨道Ⅰ上经过Q点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上经过Q点时的速度小于第一宇宙速度，D错误．
卫星变轨的能量分析
【例11】如图所示，质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－，其中G为引力常量，M为地球质量，该卫星原来在半径为R1的轨道Ⅰ上绕地球做匀速圆周运动，经过椭圆轨道Ⅱ的变轨过程进入半径为R3的圆形轨道Ⅲ继续绕地球运动，其中P点为Ⅰ轨道与Ⅱ轨道的切点，Q点为Ⅱ轨道与Ⅲ轨道的切点，下列判断正确的是(　　)
A．卫星在轨道Ⅰ上的动能为G
B．卫星在轨道Ⅲ上的机械能等于－G
C．卫星在Ⅱ轨道经过Q点时的加速度小于在Ⅲ轨道上经过Q点时的加速度
D．卫星在Ⅰ轨道上经过P点时的速率大于在Ⅱ轨道上经过P点时的速率
【答案】　AB
【解析】　在轨道Ⅰ上，有：G＝m，解得：v1＝，则动能为Ek1＝mv12＝，故A正确；在轨道Ⅲ上，有：G＝m，解得：v3＝，则动能为Ek3＝mv32＝，引力势能为Ep＝－，则机械能为E＝Ek3＋Ep＝－，故B正确；由G＝ma得：a＝，两个轨道上Q点到地心的距离不变，故向心加速度的大小不变，故C错误；卫星要从Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道上，经过P点时必须点火加速，即卫星在Ⅰ轨道上经过P点时的速率小于在Ⅱ轨道上经过P点时的速率，故D错误．
【变式1】2018年4月2日8时15分左右，遨游太空6年多的天宫一号，在中国航天人的实时监测和全程跟踪下，作别太空再入大气层．天宫一号绝大部分器件在再入大气层过程中烧蚀销毁未燃尽部分坠落在南太平洋中部区域．“天宫一号回家之路”简化为图示模型：天宫一号在远地轨道1做圆周运动，近地过程先经过椭圆轨道2，然后在近地圆轨道3运行，最终进入大气层．巳知轨道1和3的轨道半径分别为R1和R2，在轨道1的运行周期为T，质量为m的天宫一号与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－，其中G为引力常量，M为地球质量．则天宫一号在轨道2运行的周期和从轨道1到轨道3过程中机械能变化量分别为(　　)
A.T，0
B.T，(－)
C.T，(－)
D.T，(－)
【答案】　B
【解析】天宫一号在轨道2运行的轨道半径为r2＝，由开普勒第三定律可得eq
\f(R,T2)＝eq
\f(r,T)，解得天宫一号在轨道2运行周期T2＝T；由＝可知Ek＝mv2＝，在轨道1上的机械能E1＝Ep1＋Ek1＝－，在轨道3上的机械能E3＝Ep3＋Ek3＝－，从轨道1到轨道3过程中机械能变化量ΔE＝E3－E1＝(－)，故B正确，A、C、D错误．
【变式2】登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>
TⅡ>
TⅠ
B．飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
【答案】　ACD
【解析】　根据开普勒第三定律＝k可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>
TⅡ>
TⅠ，选项A正确；飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气，从而使飞船减速到达轨道Ⅰ，则在轨道Ⅰ上机械能小于在轨道Ⅱ的机械能，选项B错误，C正确；根据G＝mω2R以及M＝πR3ρ，解得ρ＝，即若轨道Ⅰ贴近
火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项D正确．
【题型九】卫星中的“追及相遇”问题
某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上．由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻．
【例12】在赤道平面内有三颗在同一轨道上运行的卫星，三颗卫星在此轨道均匀分布，其轨道距地心的距离为地球半径的3.3倍，三颗卫星自西向东环绕地球转动．某时刻其中一颗人造卫星处于A城市的正上方，已知地球的自转周期为T，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，则A城市正上方出现下一颗人造卫星至少间隔的时间约为(　　)
A．0.18T　　　　
B．0.24T
C．0.32T
D．0.48T
【答案】　A
【解析】　地球的自转周期为T，即地球同步卫星的周期为T，根据开普勒第三定律得：
＝eq
\f(（3.3r）3,T)
解得：T1＝T
下一颗人造卫星出现在A城市的正上方，相对A城市转过的角度为，则有
(－)t＝
解得：t≈0.18T，故应选A.
【方法技巧】
对于天体追及问题的处理思路
(1)根据＝mrω2，可判断出谁的角速度大；
(2)根据天体相距最近或最远时，满足的角度差关系进行求解．
【变式1】设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)，在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日”，假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t0年出现一次，则金星的公转轨道半径为(　　)
A.R
B．R
C．R
D．R
【答案】D
【解析】根据开普勒第三定律有eq
\f(R,R3)＝eq
\f(T,T)，“金星凌日”每隔t0年出现一次，故(－)t0＝2π，已知T地＝1年，联立解得＝，因此金星的公转轨道半径
R金＝R，故D正确．
【变式2】小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器的快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为(　　)
A．10π－6π
B．6π－4π
C．10π－2π
D．6π－2π
【答案】B
【解析】当登月器和航天站在半径为3R的轨道上绕月球做匀速圆周运动时，应用牛顿第二定律有＝m，r＝3R，则有T＝2π
＝6π
.在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，可得GM＝gR2，所以T＝6π　①，登月器在椭圆轨道上运行的周期用T1表示，航天站在圆轨道上运行的周期用T2表示，对登月器和航天站依据开普勒第三定律有＝eq
\f(T,（2R）3)＝eq
\f(T,（3R）3)　②，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天站实现对接，登月器可以在月球表面停留的时间t应满足t＝nT2－T1(其中n＝1、2、3、…)　③，联立①②③式得t＝6πn－4π(其中n＝1、2、3、…)，当n＝1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即tmin＝6π
－4π
.【题型一】开普勒定律　万有引力定律的理解与应用
1．开普勒行星运动定律
开普勒第三定律＝k中，k只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k不同．
2．万有引力定律
公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算．当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线．
【例1】为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为(　　)
A．2∶1　　　　　
B．4∶1
C．8∶1
D．16∶1
【变式1】如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　)
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【变式2】牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出速度一次比一次大，落点一次比一次远．如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星．如图所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动．下列说法正确的是
(　　)
地球的球心与椭圆的中心重合
B．卫星在近地点的速率小于在远地点的速率
C．卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度
D．卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积
【变式3】若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证
(　　)
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
【题型二】万有引力与重力的关系
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω.
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)；mg＝G，得g＝.
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝，所以
＝.
【例2】近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T、引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A．如果该星体的自转周期T<2π
，则该星体会解体
B．如果该星体的自转周期T>2π
，则该星体会解体
C．该星体表面的引力加速度为
D．如果有卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，则该卫星的速度大小为
【变式1】一颗在赤道上空做匀速圆周运动运行的人造卫星，其轨半径上对应的重
力加速度为地球表面重力加速度的四分之一，则某一时刻该卫星观测到地面赤道最大弧长为(已知地球半径为R)
(　　)
A．πR　　　　　　　　B．πR
C．πR
D．πR
【变式2】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)
A．0　　　
B．
C．
D．
【题型三】中心天体质量和密度的估算
中心天体质量和密度常用的估算方法
质量的计算
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
利用运行天体
r、T
G＝mr
M＝
只能得到中心天体的质量
r、v
G＝m
M＝
v、T
G＝mG＝mr
M＝
密度的计算
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝
M＝
－
利用运行天体
r、T、R
G＝mrM＝ρ·πR3
ρ＝当r＝R时，ρ＝
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝M＝ρ·πR3
ρ＝
—
应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”
(1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．
(2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．
【例2】为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星．卫星A在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为v，周期为T；卫星B绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n倍．万有引力常量为G，则下列计算不正确的是
(　　)
A．彗星的半径为
B．彗星的质量为
C．彗星的密度为
D．卫星B的运行角速度为
【变式1】2018年2月，我国500
m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19
ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11
N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为
(　　)
A．5×109
kg/m3　　　　
B．5×1012
kg/m3
C．5×1015
kg/m3
D．5×1018
kg/m3
【变式2】我国计划于2019年发射“嫦娥五号”探测器，假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(小于绕行周期)，运动的弧长为s，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G，则(　　)
A．探测器的轨道半径为
B．探测器的环绕周期为
C．月球的质量为
D．月球的密度为
【题型四】卫星运行参量的比较与计算
1．卫星的轨道
(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心．
2．地球同步卫星的特点：六个“一定”
3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
4．解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即G＝mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换．(g表示天体表面的重力加速度)
(2)天体运动的向心力来源于天体间的万有引力，即G＝m＝mrω2＝m＝man.
卫星运行参量的比较
【例4】地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则(　　)
A．F1＝F2＞F3
B．a1＝a2＝g＞a3
C．v1＝v2＝v＞v3
D．ω1＝ω3＜ω2
同步卫星的运行规律分析
【例5】利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)
A．1
h
B．4
h
C．8
h
D．16
h
【变式1】2018年7月27日，发生了“火星冲日”现象，火星运行至距离地球最近的位置，火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列成一条直线，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮易于观察，地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨道都近似为圆，火星公转轨道半径为地球的1.5倍，则下列说法正确(　　)
地球与火星的公转角速度大小之比为2∶3
B．地球与火星的公转线速度大小之比为3∶2
C．地球与火星的公转周期之比为∶
D．地球与火星的向心加速度大小之比为∶
【变式2】我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高．今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705
km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36
000
km，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小(　　)
A．周期　　　　　
B．角速度
C．线速度
D．向心加速度
【变式3】人造地球卫星在绕地球做圆周运动的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．卫星离地球越远，角速度越大
B．同一圆轨道上运行的两颗卫星，线速度大小一定相等
C．一切卫星运行的瞬时速度都大于7.9
km/s
D．地球同步卫星可以在以地心为圆心、离地高度为固定值的一切圆轨道上运动
【变式4】如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，则(　　)
A．卫星a的角速度小于c的角速度
B．卫星a的加速度大于b的加速度
C．卫星a的运行速度大于第一宇宙速度
D．卫星b的周期大于24
h
【题型五】宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝meq
\f(v,R)得v1＝＝7.9×103
m/s.
方法二：由mg＝meq
\f(v,R)得v1＝＝7.9×103
m/s.
第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π≈85
min.
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9
km/s时，卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动．
(2)7.9
km/s＜v发＜11.2
km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．
(3)11.2
km/s≤v发＜16.7
km/s，卫星绕太阳做椭圆运动．
(4)v发≥16.7
km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
【例6】(多选)美国国家科学基金会宣布，天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的行星，该行星绕太阳系外的红矮星Gliese581做匀速圆周运动．这颗行星距离地球约20光年，公转周期约为37天，它的半径大约是地球的1.9倍，表面重力加速度与地球相近．下列说法正确的是(　　)
该行星的公转角速度比地球大
B．该行星的质量约为地球质量的3.6倍
C．该行星第一宇宙速度为7.9
km/s
D．要在地球上发射航天器到达该星球，发射速度只需达到地球的第二宇宙速度即可
【变式1】(多选)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星的公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比(　　)
行星
半径/m
质量/kg
公转轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
A.
火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍
B．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍
C．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍
D．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍
【变式3】(多选)据悉，2020年我国将进行第一次火星探测，向火星发射轨道探测器和火星巡视器．已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的．下列关于火星探测器的说法中正确的是(　　)
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的
【题型六】近地卫星、赤道上的物体及同步卫星的运行问题
三种匀速圆周运动的参量比较
近地卫星(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
线速度
由G＝m得v＝，故v1＞v2
由v＝rω得v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心加速度
由G＝ma得a＝，故a1＞a2
由a＝ω2r得a2＞a3
a1＞a2＞a3
轨道半径
r2＞r3＝r1
角速度
由G＝mω2r得ω＝，故ω1＞ω2
同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
【例7】(多选)如图所示，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是
(　　)
A．vB＞vA＞vC　
　B．ωA＞ωB＞ωC
C．FA＞FB＞FC
D．TA＝TC＞TB
【变式1】(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的半径为R，第一宇宙速度为v2，则下列比例关系中正确的是(　　)
A.＝
B.＝()2
C.＝
D.＝
【题型七】双星及多星模型
1．模型特征
(1)多星系统的条件
①各星彼此相距较近．
②各星绕同一圆心做匀速圆周运动．
(2)多星系统的结构
类型
双星模型
三星模型
结构图
向心力
由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等
运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供
运动参量
两星转动方向相同，周期、角速度相等
—
2．思维引导
双星模型
【例8】2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100
s时，它们相距约400
km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积
B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
【变式1】2018年5月25日21时46分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继卫星成功实施近月制动，进入月球至地月拉格朗日L2点的转移轨道．当“鹊桥”位于拉格朗日点(如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为地月系统拉格朗日点)上时，会在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动，下列说法正确的是(月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期)(　　)
A．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的周期和月球的自转周期相等
B．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度
C．L3和L2到地球中心的距离相等
D．“鹊桥”在L2点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大
【变式2】双星系统由两颗绕着它们中心连线上的某点旋转的恒星组成．假设两颗恒星质量相等，理论计算它们绕连线中点做圆周运动，理论周期与实际观测周期有出入，且＝(n>1)，科学家推测，在以两星球中心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球中心连线长度为L，两星球质量均为m，据此推测，暗物质的质量为(　　)
A．(n－1)m　
　
B．(2n－1)m
C．m
D．m
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
【例9】太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，
通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则(　　)
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝
R
D．三角形三星系统的线速度大小为
【变式2】如图，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(　　)
A．三颗星的质量可能不相等
B．某颗星的质量为
C．它们的线速度大小均为
D．它们两两之间的万有引力大小为
【变式2】如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则(　　)
A．甲星所受合外力为
B．乙星所受合外力为
C．甲星和丙星的线速度相同
D．甲星和丙星的角速度相同
【题型八】卫星的变轨问题
人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论．
1．变轨原理及过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.因在A点加速，则vA＞v1，因在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同．同理，从轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上经过B点时加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3.
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3.
卫星参数变化分析
【例10】(多选)如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火将卫星送入椭圆轨道2，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是
(　　)
A．卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
【方法技巧】
(1)卫星的变轨问题要用到圆周运动中“离心运动”和
“近心运动”的知识去分析；
(2)卫星在太空中某点的加速度a＝，与卫星的运动轨迹无关，仅由位置决定．
【变式1】2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(　　)
A．周期变大　　　　　
B．速率变大
C．动能变大
D．向心加速度变大
【变式2】据外媒综合报道，英国著名物理学家史蒂芬·霍金在2018年3月14日去世，享年76岁．这位伟大的物理学家，向人类揭示了宇宙和黑洞的奥秘．高中生对黑洞的了解为光速是在星球(黑洞)上的第二宇宙速度．对于普通星球，如地球，光速仍远远大于其宇宙速度．现对于发射地球同步卫星的过程分析，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则(　　)
A．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9
km/s
B．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2
km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9
km/s
D．在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度大于第一宇宙速度7.9
km/s
卫星变轨的能量分析
【例11】如图所示，质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－，其中G为引力常量，M为地球质量，该卫星原来在半径为R1的轨道Ⅰ上绕地球做匀速圆周运动，经过椭圆轨道Ⅱ的变轨过程进入半径为R3的圆形轨道Ⅲ继续绕地球运动，其中P点为Ⅰ轨道与Ⅱ轨道的切点，Q点为Ⅱ轨道与Ⅲ轨道的切点，下列判断正确的是(　　)
A．卫星在轨道Ⅰ上的动能为G
B．卫星在轨道Ⅲ上的机械能等于－G
C．卫星在Ⅱ轨道经过Q点时的加速度小于在Ⅲ轨道上经过Q点时的加速度
D．卫星在Ⅰ轨道上经过P点时的速率大于在Ⅱ轨道上经过P点时的速率
【变式1】2018年4月2日8时15分左右，遨游太空6年多的天宫一号，在中国航天人的实时监测和全程跟踪下，作别太空再入大气层．天宫一号绝大部分器件在再入大气层过程中烧蚀销毁未燃尽部分坠落在南太平洋中部区域．“天宫一号回家之路”简化为图示模型：天宫一号在远地轨道1做圆周运动，近地过程先经过椭圆轨道2，然后在近地圆轨道3运行，最终进入大气层．巳知轨道1和3的轨道半径分别为R1和R2，在轨道1的运行周期为T，质量为m的天宫一号与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－，其中G为引力常量，M为地球质量．则天宫一号在轨道2运行的周期和从轨道1到轨道3过程中机械能变化量分别为(　　)
A.T，0
B.T，(－)
C.T，(－)
D.T，(－)
【变式2】登陆火星需经历如图所示的变轨过程，已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ>
TⅡ>
TⅠ
B．飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
C．飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
【题型九】卫星中的“追及相遇”问题
某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上．由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻．
【例12】在赤道平面内有三颗在同一轨道上运行的卫星，三颗卫星在此轨道均匀分布，其轨道距地心的距离为地球半径的3.3倍，三颗卫星自西向东环绕地球转动．某时刻其中一颗人造卫星处于A城市的正上方，已知地球的自转周期为T，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，则A城市正上方出现下一颗人造卫星至少间隔的时间约为(　　)
A．0.18T　　　　
B．0.24T
C．0.32T
D．0.48T
【变式1】设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)，在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日”，假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t0年出现一次，则金星的公转轨道半径为(　　)
A.R
B．R
C．R
D．R
【变式2】小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器的快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为(　　)
A．10π－6π
B．6π－4π
C．10π－2π
D．6π－2π

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