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【题型一】曲线运动的动力学分析
1．合力方向与轨迹的关系
无力不弯曲，弯曲必有力。曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧。
2．合力方向与速率变化的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）
【例1】双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN。vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的(　　)
A．F1
B．F2
C．F3
D．F4
【变式1】春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的(　　)
A．直线OA
B．曲线OB
C．曲线OC
D．曲线OD
【变式2】图示为质点做匀变速运动的轨迹示意图，质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好垂直。则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（
）
A.
质点经过C点的速率比D点大
B.
质点经过A点时的动能小于经过D点时的动能
C.
质点经过D点时的加速度比B点的加速度大
D.
质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小
【题型二】运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
2．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则。
3．合运动性质的判断
4．两个直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
【例2】质量为2
kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．质点的初速度为5
m/s
B．质点所受的合外力为3
N，做匀加速曲线运动
C．2
s末质点速度大小为6
m/s
D．2
s内质点的位移大小约为12
m
【变式1】一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
【变式2】在民族运动会中有一个骑射项目，运动员弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2。跑道离固定目标的最近距离为d，则(　　)
A．要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为
B．要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为
eq
\f(d\r(v＋v),v2)
C．箭射到目标的最短时间为
D．只要击中侧向的固定目标，箭在刚射出时的速度大小一定为v＝eq
\r(v＋v)
【变式3】如图，图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v-t图像如图乙所示．人顶杆沿水平地面运动的s-t图像如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是（　　）
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在2
s内做匀变速曲线运动
C．t=0时猴子的速度大小为8
m/s
D．t=2s时猴子的加速度为4
m/s2
【题型三】运动分解中的两类实例模型
（一）小船渡河问题
1．小船渡河问题的分析思路
2．小船渡河的两类问题、三种情景
渡河时间最短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos
θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
渡河位移最短
如果v船【例3】小船在200
m宽的河中横渡，水流速度为2
m/s，船在静水中的速度为4
m/s。
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5
m/s，船在静水中的速度是3
m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
【变式1】如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距H，A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C。下列说法正确的是(　　)
A．两船不会相遇　　　　　　
B．两船在C点相遇
C．两船在AC的中点相遇
D．两船在BC的中点相遇
【变式2】如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布。为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则(　　)
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝
C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝
D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝
【变式3】(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，则(　　)
A．船渡河的最短时间60
s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5
m/s
（二）绳(杆)端速度分解模型
(1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型。
(2)模型分析
①合运动→绳拉物体的实际运动速度v
②分运动→
(3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见实例如下：
情景图示
(注：A沿斜面下滑)
分解图示
定量结论
vB＝vAcos
θ
vAcos
θ＝v0
vAcos
α＝vBcos
β
vBsin
α＝vAcos
α
基本思路
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
(4)解题思路
【例4】如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则(　　)
A．vA＞vB
B．vA＜vB
C．绳的拉力等于B的重力
D．绳的拉力大于B的重力
【变式1】如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
A．v1＝v2　　　　
B．v1＝v2cos
θ
C．v1＝v2tan
θ
D．v1＝v2sin
θ
【变式2】如图所示，人在岸上拉船，不计绳与轮之间的摩擦，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时(　　)
A．人拉绳行走的速度为vcos
θ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
【变式3】如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿。现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为(　　)
A．vsin
θ
B．vcos
θ
C．vtan
θ
D．
【题型四】平抛运动的基本应用
1．平抛(类平抛)运动所涉及物理量的特点
物理量
公式
决定因素
飞行时间
t＝
取决于下落高度h和重力加速度g，与初速度v0无关
水平射程
x＝v0t＝v0
由初速度v0、下落高度h和重力加速度g共同决定
落地速度
vt＝eq
\r(v＋v)＝eq
\r(v＋2gh)
与初速度v0、下落高度h和重力加速度g有关
速度改变量
Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下
由重力加速度g和时间间隔Δt共同决定
2．关于平抛(类平抛)运动的两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan
α＝2tan
θ。
单个物体的平抛运动
【例5】在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)(　　)
A.
s
B.
s
C.
s
D.
s
【变式1】一条水平放置的水管，距地面高h＝1.8
m，水管的横截面积为S＝2×10－4
m2。水从管口处以v＝2
m/s不变的速率源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速率都相等，假设水流在空中不散开，重力加速度g取10
m/s2，不计阻力。请估算水流稳定后空中的水的体积为(　　)
A．3.2×10－4
m3
B．4×10－4
m3
C．2.4×10－4
m3
D．2.4×10－3
m3
【变式2】有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时速度为vt，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为(　　)
A．
B．
C．
D．
多个物体的平抛运动
1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定。
3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
4．两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇。
【例6】如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b、c的运动轨迹，其中b和c从同一点抛出，不计空气阻力。则(　　)
A．a的飞行时间比b长　　　
B．b的飞行时间比c长
C．a的初速度最大
D．c的末速度比b大
【变式1】如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与两抛出点水平距离相等的P点，并且落到P点时两球的速度互相垂直。若不计空气阻力，则(　　)
A．小球a比小球b先抛出
B．初速度va小于vb
C．小球a、b抛出点距地面高度之比为vb
：va
D．初速度va大于vb
【变式2】如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　)
A．t
B．t
C．
D．
【变式3】如图所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上。其落点分别是a、b、c.下列判断正确的是(　　)
A．图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最长
B．图中三小球比较，落在c点的小球飞行时间最长
C．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最小
D．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快
速度偏向角表达式的应用
【例7】
(多选)如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出(　　)
A．轰炸机的飞行高度　
B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间
D．炸弹投出时的动能
【变式1】如图所示，某一小球以v0＝10
m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点，在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°(空气阻力忽略不计，g取10
m/s2)。以下判断正确的是(　　)
A．小球经过A、B两点间的时间间隔t＝
s
B．小球经过A、B两点间的时间间隔t＝1
s
C．A、B两点间的高度差h＝10
m
D．A、B两点间的高度差h＝15
m
【变式2】如图所示，半径为R的竖直半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为碗的球心。将一弹性小球(可视为质点)从AO连线上的某点C沿CO方向以某初速度水平抛出，经历时间t＝(重力加速度为g)小球与碗内壁第一次碰撞，之后可以恰好返回C点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，法向速度等大反向。不计空气阻力，则C、O两点间的距离为(　　)
A．
B．
C．
D．
位移偏向角表达式的应用
【例8】(2018·高考全国卷
Ⅲ
)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　)
A．2倍
B．4倍
C．6倍
D．8倍
【变式】如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0
s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50
kg。不计空气阻力(sin
37°＝0.60，cos
37°＝0.80，g取10
m/s2)。求：
(1)A点与O点的距离L。
(2)运动员离开O点时的速度大小。
对斜抛运动的分析
1．斜抛运动可以分斜向上抛和斜向下抛两种情况：
斜向上抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
2．斜上抛运动的公式:
（1）速度公式：水平速度，竖直速度。
（2）位移公式：，。
3．斜向下抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速运动（初速度不为0）
（1）速度公式：水平速度，竖直速度。
（2）位移公式：，。
【例9】如图所示，甲球从O点以水平速度v1飞出，落在水平地面上的A点。乙球从O点以水平速度v2飞出，落在水平地面上的B点反弹后恰好也落在A点。已知乙球在B点与地面碰撞反弹后瞬间水平方向的分速度不变、竖直方向的分速度方向相反大小不变，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．由O点到A点，甲球运动时间与乙球运动时间相等
B．甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍
C．v1：v2
＝3∶1
D．v1：v2
＝2∶1
【变式1】有A、B两小球，B的质量为A的两倍。现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是(　　)
A．①　　
B．②
C．③
D．④
【变式2】如图所示，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A点，不计空气阻力。若从抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则可行的是(　　)
A．增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ
B．增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0
C．减小抛射速度v0，同时减小抛射角θ
D．增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0
【题型五】与斜面相关联的平抛运动
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角．常见的模型如下：
方法
内容
斜面
总结
分解速度
水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝eq
\r(v＋v)
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平：x＝v0t竖直：y＝gt2合位移：s＝
分解位移，构建位移三角形
1.
顺着斜面平抛
方法：分解位移。
x＝v0t，y＝gt2，tan
θ＝，可求得t＝。
特别强调：θ角是位移偏向角
【例10】如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上。若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为(　　)
A．16∶9
B．9∶16
C．3∶4
D．4∶3
【变式1】(多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，空气阻力不计，则下列说法中正确的是
(　　)
若小球以最小位移到达斜面，则t＝
B．若小球垂直击中斜面，则t＝
C．若小球能击中斜面中点，则t＝
D．无论小球到达斜面何处，运动时间均为t＝
【变式2】如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为
m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为(sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g＝10
m/s2，不计空气阻力)(　　)
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
【变式3】如图所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球，小球从静止释放沿斜面运动到底端B的时间是t1。若给小球不同的水平初速度，使小球分别落到斜面上的A点，经过的时间是t2；落到斜面底端B点，经过的时间是t3；落到水平面上的C点，经过的时间是t4，不计空气阻力，则(　　)
A．t1＜t2
B．t4＜t1
C．t3＜t4
D．t3＜t2
2.
对着斜面平抛(垂直打到斜面)
方法：分解速度。
vx＝v0，vy＝gt，tan
θ＝＝，可求得t＝。
特别强调：θ角是速度偏向角的补角
【例11】如图，以9.8
m/s的速度水平抛出的物体飞行一段时间后，垂直撞在倾角θ＝30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为(g取9.8
m/s2)(　　)
A．
s　　　　　　
B．
s
C．
s
D．2
s
【变式1】为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300
m的斜坡的中点P，如图所示，若sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g取10
m/s2，则无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为(　　)
h＝170
m，v＝30
m/s
B．h＝135
m，v＝40
m/s
C．h＝80
m，v＝30
m/s
D．h＝45
m，v＝40
m/s
【变式2】如图所示，小球从斜面底端A点正上方h高处，以某一速度正对倾角为θ的斜面水平抛出时，小球到达斜面的位移最小(重力加速度为g)，则(　　)
A．小球平抛的初速度v0＝sin
θ
B．小球平抛的初速度v0＝sin
θ
C．飞行时间t＝cos
θ
D．飞行时间t＝
3.
特殊分解思想在平抛运动中的应用
【例12】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B点，不计空气阻力．求：
(1)抛出后经多长时间物体与斜面间距离最大？
(2)A、B间的距离为多少？
【变式】如图所示，斜面倾角为α，且tan
α＝0.5，现从斜面上O点与水平方向成45°角以速度v0、2v0分别抛出小球P、Q，小球P、Q刚要落在斜面上A、B两点时的速度分别为vP，vQ，设O、A间的距离为s1，O、B间的距离为s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．s2＝4s1，vP，vQ方向相同
B．s2＝4s1，vP，vQ方向不同
C．2s1D．2s1【题型六】有其他约束条件的平抛运动
1.
对着竖直墙壁平抛
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝。
【例13】从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕。如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　)
A．初速度之比是∶∶
B．初速度之比是1∶∶
C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
【变式】如图是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出。不计空气阻力，则(　　)
A．a和b的飞行时间相同
B．b的飞行时间比c的短
C．a的水平初速度比b的小
D．c的水平初速度比a的大
2.
半圆内的平抛问题
如图所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t：h＝gt2，R±＝v0t。联立两方程可求t。
【例14】如图，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为
(　　)
A．tan
α
B．cos
α
C．tan
α
D．cos
α
【变式】如图所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R。一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力，下列判断正确的是(　　)
A．只要v0足够大，小球可以击中B点
B．v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
C．v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上
【题型七】平抛运动中的临界、极值问题
在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况。
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
3．平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。　
1.
运用极端分析法求解平抛运动中的临界、极值问题
【例15】(多选)某次排球比赛中，球员甲接队友的一个传球，在网前L＝3.60
m处起跳，在离地面高H＝3.20
m处将球以v0＝12
m/s的速度正对球网水平击出，对方球员乙刚好在进攻路线的网前，她可利用身体任何部位进行拦网阻击。假设球员乙的直立和起跳拦网高度分别为h1＝2.50
m和h2＝2.95
m，g取10
m/s2。下列情景中，球员乙可能拦网成功的是(　　)
A．乙在网前直立不动
B．乙在甲击球时同时起跳离地
C．乙在甲击球后0.2
s起跳离地
D．乙在甲击球前0.3
s起跳离地
2.
运用对称法求解平抛运动的临界、极值问题
【例16】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，求P1点距O点的距离x1。
(2)若球从O点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(如图中虚线所示)，求v2的大小。
(3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距O点的高度h3。
【题型八】水平面内圆盘模型的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
【例17】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(　　)
A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω>，绳子一定有弹力
C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
【变式1】(多选)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑。今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB。若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是(　　)
A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3
B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB＝2∶9
C．转速增加后滑块B先发生滑动
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
【变式2】(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是(　　)
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
【题型九】竖直面内圆周运动的临界极值问题
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“轻绳模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“轻杆模型”。
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
轻绳模型
轻杆模型
实例
球与绳连接、沿内轨道运动的球
球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
最高点
受力特征
重力、弹力，弹力方向向下或等于零
重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征
mg＋FN＝m
mg±FN＝m
临界特征
FN＝0，vmin＝
竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件
v≥
v≥0
速度和弹力关系讨论分析
①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力为FN②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动
①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心②当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
1.
球—绳模型或单轨道模型
【例18】(多选)如图所示，长为L的细绳一端拴一质量为m小球，另一端固定在O点，绳的最大承受能力为11mg，在O点正下方O′点有一小钉，先把绳拉至水平再释放小球，为使绳不被拉断且小球能以O′为轴完成竖直面完整的圆周运动，则钉的位置到O点的距离为(　　)
A．最小为L　　　　　　
B．最小为L
C．最大为L
D．最大为L
【变式1】如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根轻绳的拉力大小为(　　)
A．mg
B．mg
C．3mg
D．2mg
【变式2】如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图像如图乙所示，则(　　)
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳最高点拉力大小为＋a
D．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a
【变式2】如图所示，半径为R的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨道，通过最高点P时，对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到P点的水平距离为(　　)
A.R
B.R
C.R
D.R
2.
球—杆模型或双轨道模型
【例19】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
【变式1】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
【变式2】如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3
s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径为R＝1
m，小球可看做质点且其质量为m＝1
kg，g取10
m/s2，则(　　)
小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9
m
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9
m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1
N
D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2
N
【题型十】斜面上圆周运动的临界问题
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、轻绳控制、轻杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
【例20】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5
m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10
m/s2，则ω的最大值是(　　)
A.
rad/s
B.
rad/s
C．1.0
rad/s
D．0.5
rad/s
【变式】如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L的细线一端固定，另一端连接质量为m的小球，小球在斜面上做圆周运动，A、B分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A、B点做圆周运动的最小速度分别为vA、vB，重力加速度为g，则
(　　)
A．vA＝0
B．vA＝
C．vB＝
D．vB＝
【题型十一】
圆周运动的动力学问题
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2．运动模型
圆锥摆模型
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
3．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是。
向心力
摆线的拉力
讨论：（1）当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度=也越大。
结论：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快。
（2）当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。
结论：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
【例21】如图所示，一根细线下端拴一个金属小球A，细线的上端固定在金属块B上，B放在带小孔的水平桌面上，小球A在某一水平面内做匀速圆周运动。现使小球A改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，金属块B在桌面上始终保持静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是(　　)
A．金属块B受到桌面的静摩擦力变大
B．金属块B受到桌面的支持力减小
C．细线的张力变大
D．小球A运动的角速度减小
【变式】两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是(　　)
车辆转弯模型
1.
受力分析：如图所示火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆心，成为使火车拐弯的向心力。
2.
动力学方程：根据牛顿第二定律得
　
其中r是转弯处轨道的半径，是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。
3.
分析结论：解上述方程可知，可见，最佳情况是由、、共同决定的。
当火车实际速度为v时，可有三种可能：
当时，内外轨均不受侧向挤压的力；
当时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）；
当时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。
还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等。
【例22】如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90
m的大圆弧和
r＝40
m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100
m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10
m/s2，π＝3.14)，则赛车(　　)
A．在绕过小圆弧弯道后加速
B．在大圆弧弯道上的速率为45
m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63
m/s2
D．通过小圆弧弯道的时间为5.58
s
【变式】在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则(　　)
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
【题型演练】
1.
如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动。红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L。下列说法正确的是(　　)
A．v增大时，L减小　　
B．v增大时，L增大
C．v增大时，t减小
D．v增大时，t增大
2.
下列关于力与运动的叙述中正确的是(　　)
A．物体所受合力方向与运动方向有夹角时，该物体速度一定变化，加速度也变化
B．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心
C．物体运动的速率在增加，所受合力方向与运动方向夹角小于90°
D．物体在变力作用下有可能做曲线运动，做曲线运动物体一定受到变力作用
3.
如图所示，光滑水平面内的xOy直角坐标系中，一质量为1
kg的小球沿x轴正方向匀速运动，速度大小为1
m/s，经过坐标原点O时，小球受到的一沿y轴负方向、大小为1
N的恒力F突然撤去，其他力不变，则关于小球的运动，下列说法正确的是(　　)
A．做变加速曲线运动
B．任意两段时间内速度变化大小都相等
C．经过x、y坐标相等的位置时所用时间为1
s
D．1
s末速度大小为
m/s
4.
如图所示，大河的两岸笔直且平行，现保持快艇船头始终垂直于河岸从岸边某处开始先匀加速而后匀速驶向对岸，在快艇离对岸还有一段距离时开始减速，最后安全靠岸。若河水以稳定的速度沿平行河岸方向流动，且整个河流中水的流速处处相等，快艇实际运动的轨迹可能是图中(　　)
A．①　　　　　　　　　B．②
C．③
D．④
5.
下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。其中可能正确的是(　　)
6．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则(　　)
A．v2＝v1
B．v2>v1
C．v2≠0
D．v2＝0
7.
如图所示，这是质点做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知质点在B点的加速度方向与速度方向垂直，下列说法中正确的是(　　)
C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
8.
如图所示，A、B是两个游泳运动员，他们隔着水流湍急的河流站在岸边，A在上游的位置，且A的游泳技术比B好，现在两个人同时下水游泳，要求两个人尽快在河中相遇，试问应采取下列哪种方式比较好(　　)
A．A、B均向对方游(即沿图中虚线方向)而不考虑水流作用
B．B沿图中虚线向A游；A沿图中虚线偏上方向游
C．A沿图中虚线向B游；B沿图中虚线偏上方向游
D．A、B均沿图中虚线偏上方向游；A比B更偏上一些
9．一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角为θ＝30°，B球的速度大小为v2，则(　　)
A．v2＝v1
B．v2＝2v1
C．v2＝v1
D．v2＝v1
10.
如图甲、乙所示，一根长L的轻杆OA，O端用铰链固定于地面，另一端固定着一小球A，图甲中的小球A和图乙中的杆分别贴靠着边长为a和b的立方块，当立方块沿地面向右滑动到图示位置(杆与地面夹角为α)时，速度为v，则甲图中小球的速度大小vA和乙图中小球的速度大小v′A应为(　　)
A．vA＝，v′A＝vsin
α
B．vA＝，v′A＝vsin
α
C．vA＝vsin
α，v′A＝
D．vA＝，v′A＝sin2
α
11．(多选)如图为研究平抛运动时使用的装置，初始时电路闭合，小球B被电磁铁吸引处于静止状态.
将小球A从轨道顶端释放，离开轨道末端(末端水平)时撞开轻质接触式开关S，被电磁铁吸住的小球B同时自由下落，轨道末端出口与小球B处于同一高度，可看到A、B两球同时落地。下列说法正确的是
(　　)
A．该实验可证明平抛运动的竖直分运动为自由落体运动
B．该实验可证明平抛运动的水平分运动为匀速直线运动
C．将小球A在轨道上更低的位置释放，可使两球在空中相撞
D．增加装置距离地面的高度
H，可使两球在空中相撞
12．在距地面高为h＝0.4
m处，有一小球A以初速度v0水平抛出，如图甲所示；与此同时，在A的右方等高处有一物块B以大小相同的初速度v0沿倾角为45°的光滑斜面滑下，如图乙所示。若A、B同时到达地面，A、B均可看作质点，空气阻力不计，重力加速度g取10
m/s2，则v0的大小是(　　)
A．1
m/s　　　　　
B.
m/s
C．2
m/s
D．2
m/s
13．某同学玩飞镖游戏，先后将两只飞镖a、b由同一位置水平投出，已知飞镖投出时的初速度va>vb，不计空气阻力，则两支飞镖插在竖直靶上的状态(俯视图)可能是(　　)
14.
如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为(　　)
A．1∶1
B．2∶1
C．3∶2
D．2∶3
15.
利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏。如图所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好沿纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角。若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是(　　)
A．在P点将纸团以小于v的速度水平抛出
B．在P点将纸团以大于v的速度水平抛出
C．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出
D．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出
16．如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在地面上N点处将S2球以初速度v2竖直向上抛出，在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力，则两球在这段过程中(　　)
A．做的都是变加速运动
B．速度变化量的大小不相等
C．速度变化量的方向不相同
D．相遇点在N点上方处
17.
如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的3把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M、N、P三点上。假设不考虑飞刀的转动，并可将其视为质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是(　　)
A．3把飞刀在击中木板时动能相同
B．到达M、N、P三点的飞行时间之比为1∶∶
C．到达M、N、P三点的初速度的竖直分量之比为∶∶1
D．设到达M、N、P三点，抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1＞θ2＞θ3
18．车手要驾驶一辆汽车飞越宽度为d的河流。在河岸左侧建起如图所示高为h、倾角为α的斜坡，车手驾车从左侧冲上斜坡并从顶端飞出，接着无碰撞地落在右侧高为H、倾角为θ的斜坡上，顺利完成了飞越。已知h＞H，当地重力加速度为g，汽车可看成质点，忽略车在空中运动时所受的空气阻力。根据题设条件可以确定(　　)
A．汽车在左侧斜坡上加速的时间t
B．汽车离开左侧斜坡时的动能Ek
C．汽车在空中飞行的最大高度Hm
D．两斜坡的倾角满足α＜θ
19.
如图所示，在倾角为37°的斜坡上有一人，前方有一动物沿斜坡匀速向下奔跑，速度v＝15
m/s，在二者相距L＝30
m时，此人以速度v0水平抛出一石块，击打动物，人和动物都可看成质点。(已知sin
37°＝0.6，g＝10
m/s2)
(1)若动物在斜坡上被石块击中，求v0的大小。
(2)若动物在斜坡末端时，动物离人的高度h＝80
m，此人以速度v1水平抛出一石块打击动物，同时动物开始沿水平面运动，动物速度v＝15
m/s，动物在水平面上被石块击中的情况下，求速度v1的大小。
20.
如图所示，水平屋顶高H＝5
m，围墙高h＝3.2
m，围墙到房子的水平距离L＝3
m，围墙外空地宽x＝10
m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，小球离开屋顶时的速度v0应该满足怎样的条件。(g取10
m/s2)
21．公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，则在该弯道处(　　)
路面外侧高、内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
22．(多选)如图为过山车以及轨道简化模型，过山车车厢内固定一安全座椅，座椅上乘坐“假人”，并系好安全带，安全带恰好未绷紧，不计一切阻力，以下判断正确的是(　　)
过山车在圆轨道上做匀速圆周运动
B．过山车在圆轨道最高点时的速度应至少等于
C．过山车在圆轨道最低点时“假人”处于失重状态
D．若过山车能顺利通过整个圆轨道，在最高点时安全带对“假人”一定无作用力
23.
质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．a绳的张力可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>
，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
24.
如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN?v2图像如图乙所示，则(　　)
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上
D．v2＝2b
时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a
25.
如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，AB整体、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为
3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
26.
如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是(　　)
细线L1和细线L2所受的拉力之比为
∶1
B．小球m1和m2的角速度大小之比为
∶1
C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1
D．小球m1和m2的线速度大小之比为3∶1
27.
如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算知该女运动员(　　)
A．受到的拉力为G
B．受到的拉力为2G
C．向心加速度为3g
D．向心加速度为2g
28.
长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动．关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是(　　)
A．当v＝时，轻杆对小球的弹力为零
B．当v由逐渐增大时，轻杆对小球的拉力逐渐增大
C．当v由逐渐减小时，轻杆对小球的支持力逐渐减小
D．当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
29.
轻杆一端固定有质量为m＝1
kg的小球，另一端安装在水平轴上，转轴到小球的距离为50
cm，转轴固定在三角形的带电动机(电动机没画出来)的支架上，在电动机作用下，轻杆在竖直面内做匀速圆周运动，如图所示。若转轴达到某一恒定转速n时，在最高点，杆受到小球的压力为2
N，重力加速度g取10
m/s2，则(　　)
小球运动到最高点时，小球需要的向心力为12
N
B．小球运动到最高点时，线速度v＝1
m/s
C．小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力为8
N
D．把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点
30．如图所示，AB是长为L＝1.2
m、倾角为53°的斜面，其上端与一段光滑的圆弧BC相切于B点。C是圆弧的最高点，圆弧的半径为R，A、C两点与圆弧的圆心O在同一竖直线上。物体受到与斜面平行的恒力作用，从A点开始沿斜面向上运动，到达B点时撤去该力，物体将沿圆弧运动，通过C点后落回到水平地面上。已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，恒力F＝28
N，物体可看成质点且m＝1
kg。重力加速度g取10
m/s2，sin
53°＝0.8，cos
53°＝0.6，求：
(1)物体通过C点时对轨道的压力大小。(结果保留一位小数)
(2)物体在水平地面上的落点到A点的距离。【题型一】曲线运动的动力学分析
1．合力方向与轨迹的关系
无力不弯曲，弯曲必有力。曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧。
2．合力方向与速率变化的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）
【例1】双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN。vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的(　　)
A．F1
B．F2
C．F3
D．F4
【答案】　C
【解析】　根据图示物体由M向N做曲线运动，物体在vM方向的速度减小，同时在vN方向的速度增大，故合外力的方向指向F2方向下方，故F3的方向可能是正确的，C正确，A、B、D错误．
【变式1】春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的(　　)
A．直线OA
B．曲线OB
C．曲线OC
D．曲线OD
【答案】D
【解析】孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，则合外力沿Oy方向，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为曲线OD，故D正确．
【变式2】图示为质点做匀变速运动的轨迹示意图，质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好垂直。则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（
）
A.
质点经过C点的速率比D点大
B.
质点经过A点时的动能小于经过D点时的动能
C.
质点经过D点时的加速度比B点的加速度大
D.
质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小
【答案】AD
【解析】质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，速度沿D点轨迹的切线方向，则知加速度斜向左上方，合外力也斜向左上方，质点做匀变速曲线运动，合外力恒定不变，质点由A到D过程中，合外力做负功，由动能定理可得，C点的速度比D点速度大，质点经过A点时的动能大于经过D点时的动能，故A正确，B错误；质点做匀变速曲线运动，则有加速度不变，所以质点经过D点时的加速度与B点相同，故C错误；质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小，故D正确。所以AD正确，BC错误。
【题型二】运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
2．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则。
3．合运动性质的判断
4．两个直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
【例2】质量为2
kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．质点的初速度为5
m/s
B．质点所受的合外力为3
N，做匀加速曲线运动
C．2
s末质点速度大小为6
m/s
D．2
s内质点的位移大小约为12
m
【答案】ABD
【解析】由x方向的速度图像可知，在x方向的加速度为1.5
m/s2，受力Fx＝3
N，由y方向的位移图像可知在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4
m/s，受力Fy＝0.因此质点的初速度为5
m/s，A选项正确；受到的合外力为3
N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，B选项正确；2
s末质点速度应该为v＝
m/s＝2
m/s，C选项错误；2
s内x方向上位移大小x＝vxt＋at2＝9
m，y方向上位移大小y＝8
m，合位移大小l＝＝
m≈12
m，D选项正确．
【变式1】一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
【答案】BC
【解析】对应位移时间公式x＝v0t＋at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度：v0x＝－4
m/s，v0y＝6
m/s；加速度：ax＝－4
m/s2，ay＝6
m/s2；物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误．
【变式2】在民族运动会中有一个骑射项目，运动员弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2。跑道离固定目标的最近距离为d，则(　　)
A．要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为
B．要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为
eq
\f(d\r(v＋v),v2)
C．箭射到目标的最短时间为
D．只要击中侧向的固定目标，箭在刚射出时的速度大小一定为v＝eq
\r(v＋v)
【答案】BC
【解析】当箭射出的方向垂直于马奔跑的方向时，箭射到目标时间最短，所以最短时间为t＝，箭在沿马奔跑的方向上的位移为x＝v1t＝d，所以放箭处距离目标的距离为s＝＝eq
\f(d\r(v＋v),v2)，故A错误，B、C正确；根据速度的合成可知只有箭垂直于马奔跑的方向射出时初速度为v0＝eq
\r(v＋v)，而击中目标不止这一种射出方式，故D错误．
【变式3】如图，图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v-t图像如图乙所示．人顶杆沿水平地面运动的s-t图像如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是（　　）
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在2
s内做匀变速曲线运动
C．t=0时猴子的速度大小为8
m/s
D．t=2s时猴子的加速度为4
m/s2
【答案】BD
【解析】竖直方向为初速度、加速度的匀减速直线运动，水平方向为速度的匀速直线运动，初速度大小为，方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，故选项B正确，选项A错误；t=2s时，，则合加速度为，选项C错误，选项D正确。
【题型三】运动分解中的两类实例模型
（一）小船渡河问题
1．小船渡河问题的分析思路
2．小船渡河的两类问题、三种情景
渡河时间最短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos
θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
渡河位移最短
如果v船【例3】小船在200
m宽的河中横渡，水流速度为2
m/s，船在静水中的速度为4
m/s。
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5
m/s，船在静水中的速度是3
m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
【答案】见解析
【解析】(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动．因分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，t＝＝
s＝50
s
小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50
m＝100
m，即船将在正对岸下游100
m处靠岸．
(2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则
cos
θ＝＝＝，故θ＝60°
即船的航向与上游河岸成60°，渡河时间t＝＝
s＝
s.
(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角θ，如图乙所示．船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin
θ，故小船渡河的时间为t＝.当θ＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝50
s.
(4)因为v船＝3
m/sm/s，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游．如图丙所示，设船头(v船)与上游河岸成θ角，合速度v与下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距离x′越短．以v水的矢尖为圆心，以v船的大小为半径画圆，当合速度v与圆相切时，α角最大．
则cos
θ＝＝，故船头与上游河岸的夹角θ＝53°
又＝＝eq
\f(\r(v－v),v船)，代入数据解得x′≈267
m.
【变式1】如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距H，A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C。下列说法正确的是(　　)
A．两船不会相遇　　　　　　
B．两船在C点相遇
C．两船在AC的中点相遇
D．两船在BC的中点相遇
【答案】　D
【解析】
设两船在静水中的速度大小为v，根据题述乙船恰能沿BC到达正好岸的C可知，vcos
60°＝v水，渡河时间t＝＝，甲船沿河岸方向分速度vcos
60°＝，在渡河时间t＝内甲船沿河岸方向位移s＝(vcos
60°＋v水)t＝(＋)＝，刚好等于A、B两个码头之间距离的2倍，即两船在BC的中点相遇，选项D正确A、B、C错误．
【变式2】如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布。为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则(　　)
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝
B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝
C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝
D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝
【答案】D
【解析】当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为t＝，且t必须小于或等于，故选项A错误；小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度不是最大，故选项B错误；小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，速度方向与AB垂直，可得vmin＝，故选项C错误，D正确．
【变式3】(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，则(　　)
A．船渡河的最短时间60
s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5
m/s
【答案】BD
【解析】当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由乙图可知河宽为d＝300
m，t＝＝100
s，故A错误，B正确．由于随水流方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断变化，船做曲线运动，故C错误；当河水的流速取最大值4
m/s时，合速度最大，船在河水中的最大速度是v＝
m/s＝5
m/s，故D正确．
（二）绳(杆)端速度分解模型
(1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型。
(2)模型分析
①合运动→绳拉物体的实际运动速度v
②分运动→
(3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见实例如下：
情景图示
(注：A沿斜面下滑)
分解图示
定量结论
vB＝vAcos
θ
vAcos
θ＝v0
vAcos
α＝vBcos
β
vBsin
α＝vAcos
α
基本思路
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
(4)解题思路
【例4】如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则(　　)
A．vA＞vB
B．vA＜vB
C．绳的拉力等于B的重力
D．绳的拉力大于B的重力
【答案】　AD
【解析】小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知vB＝vAcos
θ，则vB＜vA，小车向左运动的过程中θ角减小，vB增大，B向上做加速运动，故绳的拉力大于B的重力．故选项A、D正确．
【变式1】如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
A．v1＝v2　　　　
B．v1＝v2cos
θ
C．v1＝v2tan
θ
D．v1＝v2sin
θ
【答案】C
【解析】将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cos
θ，v2∥＝v2sin
θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan
θ，选项C正确．
【变式2】如图所示，人在岸上拉船，不计绳与轮之间的摩擦，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时(　　)
A．人拉绳行走的速度为vcos
θ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
【答案】　AC
【解析】　将船的速度进行分解如图所示，人拉绳行走的速度v人＝vcos
θ，A对，B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos
θ－f＝ma，得a＝，C对，D错．
【变式3】如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为(　　)
A．vsin
θ
B．vcos
θ
C．vtan
θ
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，悬线与光盘交点参与两个运动，一是沿着悬线方向的运动，二是垂直悬线方向的运动，则合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有v线＝vsin
θ；而悬线速度的大小，即为小球上升的速度大小，故A正确．
【题型四】平抛运动的基本应用
1．平抛(类平抛)运动所涉及物理量的特点
物理量
公式
决定因素
飞行时间
t＝
取决于下落高度h和重力加速度g，与初速度v0无关
水平射程
x＝v0t＝v0
由初速度v0、下落高度h和重力加速度g共同决定
落地速度
vt＝eq
\r(v＋v)＝eq
\r(v＋2gh)
与初速度v0、下落高度h和重力加速度g有关
速度改变量
Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下
由重力加速度g和时间间隔Δt共同决定
2．关于平抛(类平抛)运动的两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan
α＝2tan
θ。
单个物体的平抛运动
【例5】在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)(　　)
A.
s
B.
s
C.
s
D.
s
【答案】　C
【解析】　设原来的速度大小为v，高度为h，根据平抛运动的规律可知在竖直方向有：h＝gt2，解得：t＝，在水平方向：s＝vt＝v，现战斗机高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则有s′＝vt′，h＝gt′2，联立解得：s′＝s，故C正确，A、B、D错误．
【变式1】一条水平放置的水管，距地面高h＝1.8
m，水管的横截面积为S＝2×10－4
m2。水从管口处以v＝2
m/s不变的速率源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速率都相等，假设水流在空中不散开，重力加速度g取10
m/s2，不计阻力。请估算水流稳定后空中的水的体积为(　　)
A．3.2×10－4
m3
B．4×10－4
m3
C．2.4×10－4
m3
D．2.4×10－3
m3
【答案】C
【解析】水流水平射出，可认为做平抛运动，由h＝gt2，解得t＝0.6
s．空中的水的体积V＝Svt＝2×10－4×2×0.6
m3＝2.4×10－4
m3，选项C正确．
【变式2】有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时速度为vt，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由h＝gt2得t＝，A正确；由h＝yt，y＝，得h＝t，故t＝，B正确；t＝，而v0≠vt，故C错误；因vy＝＝，而t＝，故t＝，D错误．
多个物体的平抛运动
1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定。
3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
4．两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇。
【例6】如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b、c的运动轨迹，其中b和c从同一点抛出，不计空气阻力。则(　　)
A．a的飞行时间比b长　　　
B．b的飞行时间比c长
C．a的初速度最大
D．c的末速度比b大
【解析】　由图知b、c的高度相同，大于a的高度，根据h＝gt2，得t＝，知b、c的运动时间相同，a的飞行时间小于b、c的时间，故A、B错误；b、c的高度相同，则运动的时间相同，b的水平位移大于c的水平位移，根据x＝v0t知，vb＞vc，对于a、b，a的高度小，则运动的时间短，而a的水平位移大，则va＞vb，可知初速度最大的是小球a，故C正确；由图知b、c的高度相同，落地时竖直方向的速度大小相等，而水平方向b的速度大于c的速度，则b的末速度大于c的末速度，故D错误．
【答案】　C
【变式1】如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与两抛出点水平距离相等的P点，并且落到P点时两球的速度互相垂直。若不计空气阻力，则(　　)
A．小球a比小球b先抛出
B．初速度va小于vb
C．小球a、b抛出点距地面高度之比为vb
：va
D．初速度va大于vb
【答案】　AB
【解析】　h＝gt2，所以t＝，平抛运动的运动时间是由竖直的高度决定的，由于小球a的高度比小球b的大，所以
ta＞tb，由于小球a、b的水平位移相等，由x＝v0t得va＜vb，故A、B正确，D错误．h＝gt2＝g，故小球a、b抛出点距地面高度之比为＝，C错误．
【变式2】如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　)
A．t
B．t
C．
D．
【答案】C
【解析】设A、B两小球的抛出点间的水平距离为L，分别以水平速度v1、v2抛出，经过时间t的水平位移分别为x1、x2，根据平抛运动规律有x1＝v1t，x2＝v2t，又x1＋x2＝L，则t＝；若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，故选项C正确．
【变式3】如图所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上。其落点分别是a、b、c.下列判断正确的是(　　)
A．图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最长
B．图中三小球比较，落在c点的小球飞行时间最长
C．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最小
D．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快
【答案】AC
【解析】小球在平抛运动过程中，可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，由于竖直方向的位移落在c点处的最小，而落在a点处的最大，所以落在a点的小球飞行时间最长，落在c点的小球飞行时间最短，故A正确，B错误；速度的变化量Δv＝gΔt，则落在c点的小球速度变化最小，故C正确；因为a、b、c的加速度相同，所以飞行过程中速度变化快慢相同，故D错误．
速度偏向角表达式的应用
【例7】
(多选)如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出(　　)
A．轰炸机的飞行高度　
B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间
D．炸弹投出时的动能
【答案】ABC
【解析】设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为x，则H－h＝vy·t，x＝v0t，二式相除＝·，因为＝，x＝，所以H＝h＋，A正确；根据H－h＝gt2可求出炸弹的飞行时间，再由x＝v0t可求出轰炸机的飞行速度，故B、C正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D错误．
【变式1】如图所示，某一小球以v0＝10
m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点，在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°(空气阻力忽略不计，g取10
m/s2)。以下判断正确的是(　　)
A．小球经过A、B两点间的时间间隔t＝
s
B．小球经过A、B两点间的时间间隔t＝1
s
C．A、B两点间的高度差h＝10
m
D．A、B两点间的高度差h＝15
m
【答案】C
【解析】根据平行四边形定则知，vyA＝v0＝10
m/s，vyB＝v0tan
60°＝v0＝10
m/s，则小球由A到B的时间间隔t＝＝
s＝(－1)
s，故A、B错误；A、B的高度差h＝＝
m＝10
m，故C正确，D错误．
【变式2】如图所示，半径为R的竖直半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为碗的球心。将一弹性小球(可视为质点)从AO连线上的某点C沿CO方向以某初速度水平抛出，经历时间t＝(重力加速度为g)小球与碗内壁第一次碰撞，之后可以恰好返回C点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，法向速度等大反向。不计空气阻力，则C、O两点间的距离为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】小球在竖直方向的位移为h＝gt2＝R，设小球与半球形碗碰撞点为D，则DO与水平方向的夹角为30°，过D点作CO的垂线交OB于E点，则OE＝＝R，小球下落h时竖直方向的速度为vy＝gt＝，由题意小球垂直打在碗上，则水平方向的速度v0＝vytan
60°＝，所以水平方向的位移为x＝v0t＝R，由几何关系可知，CO＝R－R＝R，故C正确．
位移偏向角表达式的应用
【例8】(2018·高考全国卷
Ⅲ
)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　)
A．2倍
B．4倍
C．6倍
D．8倍
【答案】A
【解析】甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确．
【变式】如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0
s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50
kg。不计空气阻力(sin
37°＝0.60，cos
37°＝0.80，g取10
m/s2)。求：
(1)A点与O点的距离L。
(2)运动员离开O点时的速度大小。
【答案】(1)75
m　(2)20
m/s
【解析】(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有y＝Lsin
37°＝gt2
得A点与O点的距离L＝＝75
m
(2)设运动员离开O点时的速度大小为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即x＝Lcos
37°＝v0t
解得v0＝＝20
m/s
对斜抛运动的分析
1．斜抛运动可以分斜向上抛和斜向下抛两种情况：
斜向上抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
2．斜上抛运动的公式:
（1）速度公式：水平速度，竖直速度。
（2）位移公式：，。
3．斜向下抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速运动（初速度不为0）
（1）速度公式：水平速度，竖直速度。
（2）位移公式：，。
【例9】如图所示，甲球从O点以水平速度v1飞出，落在水平地面上的A点。乙球从O点以水平速度v2飞出，落在水平地面上的B点反弹后恰好也落在A点。已知乙球在B点与地面碰撞反弹后瞬间水平方向的分速度不变、竖直方向的分速度方向相反大小不变，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．由O点到A点，甲球运动时间与乙球运动时间相等
B．甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍
C．v1：v2
＝3∶1
D．v1：v2
＝2∶1
【答案】BC
【解析】根据题述情景和平抛运动规律，由O点到A点，甲球运动时间为乙球运动时间的，选项A错误；甲球从O点到A点，乙球O点到B点，运动时间相等，由x＝vt可知，甲、乙水平速度之比为v1∶v2
＝3∶1，甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B
点水平位移的3倍，选项B、C正确，D错误．
【变式1】有A、B两小球，B的质量为A的两倍。现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是(　　)
A．①　　
B．②
C．③
D．④
【答案】A
【解析】由于不计空气阻力，因此小球以相同的速率沿相同的方向抛出，在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向的初速度相同，加速度为重力加速度，水平方向的初速度相同，因此两小球的运动情况相同，即B球的运动轨迹与A球的一样，A项正确．
【变式2】如图所示，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A点，不计空气阻力。若从抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则可行的是(　　)
A．增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ
B．增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0
C．减小抛射速度v0，同时减小抛射角θ
D．增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0
【解析】把篮球的运动逆向看作平抛运动，若从抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则需要增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0，选项B正确．
【答案】B
【题型五】与斜面相关联的平抛运动
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角．常见的模型如下：
方法
内容
斜面
总结
分解速度
水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝eq
\r(v＋v)
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平：x＝v0t竖直：y＝gt2合位移：s＝
分解位移，构建位移三角形
1.
顺着斜面平抛
方法：分解位移。
x＝v0t，y＝gt2，tan
θ＝，可求得t＝。
特别强调：θ角是位移偏向角
【例10】如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上。若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为(　　)
A．16∶9
B．9∶16
C．3∶4
D．4∶3
【答案】B
【解析】对于A落到坡面上时，有＝tan
37°，即＝tan
37°，对于B落到坡面上时，有＝tan
53°，即＝tan
53°，所以＝＝，B正确．
【变式1】(多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，空气阻力不计，则下列说法中正确的是
(　　)
若小球以最小位移到达斜面，则t＝
B．若小球垂直击中斜面，则t＝
C．若小球能击中斜面中点，则t＝
D．无论小球到达斜面何处，运动时间均为t＝
【答案】　AB
【解析】　小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan
θ＝＝，即t＝，A正确，D错误；小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan
θ＝，即t＝，B正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L，则水平射程为Lcos
θ＝v0t，下落高度为Lsin
θ＝gt2，联立两式得t＝，C错误．
【变式2】如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为
m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为(sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g＝10
m/s2，不计空气阻力)(　　)
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
【答案】　D
【解析】　设AB的高度为h，落地点到C点的距离为x，则＝，求得：x＝
m，故选D.
【变式3】如图所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球，小球从静止释放沿斜面运动到底端B的时间是t1。若给小球不同的水平初速度，使小球分别落到斜面上的A点，经过的时间是t2；落到斜面底端B点，经过的时间是t3；落到水平面上的C点，经过的时间是t4，不计空气阻力，则(　　)
A．t1＜t2
B．t4＜t1
C．t3＜t4
D．t3＜t2
【答案】　B
【解析】　小球做平抛运动时：h＝gt2，因此下落高度大的时间长，所以有t4＝t3>t2，故C、D错误；小球沿斜面下滑时：l＝at2，由于ah，所以沿斜面下滑时间是最长的，则t42.
对着斜面平抛(垂直打到斜面)
方法：分解速度。
vx＝v0，vy＝gt，tan
θ＝＝，可求得t＝。
特别强调：θ角是速度偏向角的补角
【例11】如图，以9.8
m/s的速度水平抛出的物体飞行一段时间后，垂直撞在倾角θ＝30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为(g取9.8
m/s2)(　　)
A．
s　　　　　　
B．
s
C．
s
D．2
s
【答案】A
【解析】物体做平抛运动，当垂直地撞在倾角为30°的斜面上时，速度与斜面垂直，把物体的速度分解，如图所示．由图可知，此时物体在竖直方向上的分速度大小为vy＝，由vy＝gt可得运动的时间t＝＝＝
s，故选项A正确．
【变式1】为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300
m的斜坡的中点P，如图所示，若sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g取10
m/s2，则无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为(　　)
h＝170
m，v＝30
m/s
B．h＝135
m，v＝40
m/s
C．h＝80
m，v＝30
m/s
D．h＝45
m，v＝40
m/s
【答案】　A
【解析】　根据速度的分解有：tan
θ＝＝，x＝cos
37°＝vt，联立解得t＝4
s，v＝30
m/s；则炸弹竖直位移为y＝gt2＝80
m，故无人机距A点的高度h＝y＋sin
θ＝170
m，故选A.
【变式2】如图所示，小球从斜面底端A点正上方h高处，以某一速度正对倾角为θ的斜面水平抛出时，小球到达斜面的位移最小(重力加速度为g)，则(　　)
A．小球平抛的初速度v0＝sin
θ
B．小球平抛的初速度v0＝sin
θ
C．飞行时间t＝cos
θ
D．飞行时间t＝
【答案】AC
【解析】过抛出点作斜面的垂线，如图所示，
当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则
水平方向：x＝hcos
θ·sin
θ＝v0t
竖直方向：y＝hcos
θ·cos
θ＝gt2，解得v0＝
sin
θ，t＝cos
θ.
3.
特殊分解思想在平抛运动中的应用
【例12】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面上的B点，不计空气阻力．求：
(1)抛出后经多长时间物体与斜面间距离最大？
(2)A、B间的距离为多少？
【答案】　(1)　(2)eq
\f(2vtan
θ,gcos
θ)
【解析】　法一：(1)
以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示
vx＝v0cos
θ，vy＝v0sin
θ，ax＝gsin
θ，ay＝gcos
θ.
物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．
令v′y＝v0sin
θ－gcos
θ·t＝0，即t＝.
(2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝，
A、B间距离s＝v0cos
θ·T＋gsin
θ·T2＝eq
\f(2vtan
θ,gcos
θ).
法二：(1)
如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P，
则tan
θ＝＝，t＝.
(2)
＝y＝gt2＝eq
\f(vtan2
θ,2g)，而∶＝1∶3，所以＝4y＝eq
\f(2vtan2θ,g)，A、B间距离s＝eq
\f(,sin
θ)＝eq
\f(2vtan
θ,gcos
θ).
法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时间为t，将v分解成vx和vy，如图(c)所示，则由tan
θ＝＝，得t＝.　
(2)设由A到B所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图(d)所示，由图可得
tan
θ＝，y＝xtan
θ
①
y＝gt′2
②
x＝v0t′
③
由①②③式得：t′＝
而x＝v0t′＝eq
\f(2vtan
θ,g)，因此A、B间的距离s＝＝eq
\f(2vtan
θ,gcos
θ).
【变式】如图所示，斜面倾角为α，且tan
α＝0.5，现从斜面上O点与水平方向成45°角以速度v0、2v0分别抛出小球P、Q，小球P、Q刚要落在斜面上A、B两点时的速度分别为vP，vQ，设O、A间的距离为s1，O、B间的距离为s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．s2＝4s1，vP，vQ方向相同
B．s2＝4s1，vP，vQ方向不同
C．2s1D．2s1【答案】A
【解析】.设抛出的速度为v，则水平分速度为：vx＝vcos
45°＝v，竖直速度为：vy＝vsin
45°＝v，则有位移关系：tan
α＝＝＝，解得：t＝，则落点与抛出点的距离为：L＝＝∝v2，则由题意可知初速度为v0、2v0分别抛出小球P、Q，则有：s2＝4s1；落到斜面上的速度方向与水平方向的夹角满足tan
θ＝＝＝0，即速度方向均为水平，vP、vQ方向相同，故选项A正确．
【题型六】有其他约束条件的平抛运动
1.
对着竖直墙壁平抛
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝。
【例13】从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕。如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)(　　)
A．初速度之比是∶∶
B．初速度之比是1∶∶
C．从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D．从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
【答案】　AC
【解析】　水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动．又因为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知ta∶tb∶tc＝1∶∶，由水平方向x＝v0t可得va∶vb∶vc＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误．
【变式】如图是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出。不计空气阻力，则(　　)
A．a和b的飞行时间相同
B．b的飞行时间比c的短
C．a的水平初速度比b的小
D．c的水平初速度比a的大
【答案】　D
【解析】　根据t＝可知，b下落的高度比a大，则b飞行的时间较长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比b的大，选项A、C错误；b的竖直高度比c大，则b飞行的时间比c长，选项B错误；a的竖直高度比c大，则a飞行的时间比c长，根据v0＝，因水平位移相同，则a的水平初速度比c的小，选项D正确．
2.
半圆内的平抛问题
如图所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t：h＝gt2，R±＝v0t。联立两方程可求t。
【例14】如图，从O点以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v1∶v2为
(　　)
A．tan
α
B．cos
α
C．tan
α
D．cos
α
【答案】　C
【解析】　设圆弧半径为R，两小球运动时间分别为t1、t2.对球1：Rsin
α＝v1t1，Rcos
α＝gt12，对球2：Rcos
α＝v2t2，Rsin
α＝gt22，解四式可得：＝tan
α，C正确．
【变式】如图所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R。一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力，下列判断正确的是(　　)
A．只要v0足够大，小球可以击中B点
B．v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
C．v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上
D．无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上
【答案】　D
【解析】　小球做平抛运动，竖直方向有位移，v0再大也不可能击中B点，A错误；v0不同，小球会落在半球壳内不同点上，落点和A点的连线与AB的夹角φ不同，由推论tan
θ＝2tan
φ可知，小球落在半球壳的不同位置上时的速度方向和水平方向之间的夹角θ也不相同，若小球垂直撞击到半球壳上，则其速度反向延长线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与AB的交点为水平位移的中点，而这是不可能的，故B、C错误，D正确．
【题型七】平抛运动中的临界、极值问题
在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况。
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
3.平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。　
1.
运用极端分析法求解平抛运动中的临界、极值问题
【例15】(多选)某次排球比赛中，球员甲接队友的一个传球，在网前L＝3.60
m处起跳，在离地面高H＝3.20
m处将球以v0＝12
m/s的速度正对球网水平击出，对方球员乙刚好在进攻路线的网前，她可利用身体任何部位进行拦网阻击。假设球员乙的直立和起跳拦网高度分别为h1＝2.50
m和h2＝2.95
m，g取10
m/s2。下列情景中，球员乙可能拦网成功的是(　　)
A．乙在网前直立不动
B．乙在甲击球时同时起跳离地
C．乙在甲击球后0.2
s起跳离地
D．乙在甲击球前0.3
s起跳离地
【答案】BC
【解析】排球运动到乙位置的时间为t＝＝＝0.3
s；该段时间排球下降的距离为h＝gt2＝×10×0.32
m＝0.45
m；此时排球离地高度为h3＝H－h＝3.2
m－0.45
m＝2.75
m>h1，故乙在网前直立不动拦不到，故A错误；球员乙起跳拦网高度为h2＝2.95
m，跳起的高度为Δh＝(2.95－2.5)
m＝0.45
m，竖直上抛运动的下降时间与上升时间相等，故有t′＝＝
s＝0.3
s，故乙在甲击球时同时起跳离地，在球到达乙位置时，运动员乙刚好到达最高点，可以拦住，故B正确；结合选项B的分析，乙在甲击球后0.2
s起跳离地，初速度为v0＝gt′＝10×0.3
m/s＝3
m/s，上升时间0.1
s时球到达乙位置，球员乙上升的高度为Δh′＝0.25
m，刚好可以拦到球，故C正确；乙在甲击球前0.3
s起跳离地，经过0.6
s刚好落地，拦不到球了，故D错误．
2.
运用对称法求解平抛运动的临界、极值问题
【例16】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，求P1点距O点的距离x1。
(2)若球从O点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(如图中虚线所示)，求v2的大小。
(3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距O点的高度h3。
【答案】(1)v1　(2)　(3)h
【解析】(1)如图甲所示，根据平抛规律得
h1＝gt，x1＝v1t1，联立解得：x1＝v1.
(2)根据平抛规律得：h2＝gt，x2＝v2t2，且h2＝h，2x2＝L，联立解得v2＝.
(3)如图乙所示，得：h3＝gt，x3＝v3t3，且3x3＝2L
设球从恰好越过球网到达到最高点时所用的时间为t，水平距离为s，有h3－h＝gt2，s＝v3t
由几何关系得：x3＋s＝L，解得：h3＝h.
【题型八】水平面内圆盘模型的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
【例17】(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(　　)
A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω>，绳子一定有弹力
C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
【答案】　ABD
【解析】　当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B项正确；当ω>时，B已达到最大静摩擦力，则ω在<ω<范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以Ff－FT＝mLω2，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确．
【变式1】(多选)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑。今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB。若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是(　　)
A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3
B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB＝2∶9
C．转速增加后滑块B先发生滑动
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
【答案】　ABC
【解析】　由题意可知两轮盘边缘的线速度v大小相等，由v＝ωr，r甲∶r乙＝3∶1，可得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，故A正确；滑块相对盘开始滑动前，根据加速度公式：a＝Rω2，又RA∶RB＝2∶1，ωA：ωB＝1∶3，所以A、B的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，故B正确；滑块的最大静摩擦力分别为
FfA＝μmAg，FfB＝μmBg，则最大静摩擦力之比为FfA∶FfB＝mA∶mB；转动中所受的静摩擦力之比为FfA′∶FfB′＝mAaA∶mBaB＝mA∶4.5mB，由上可得滑块B先达到最大静摩擦力而先开始滑动，故C正确，D错误．
【变式2】(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是(　　)
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
【答案】　AC
【解析】　两物体A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细绳拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝
，故A、C正确，B错误．烧断细绳瞬间A物体所需的向心力为2μmg，此时烧断细绳，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，故D错误．
【题型九】竖直面内圆周运动的临界极值问题
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“轻绳模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“轻杆模型”。
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
轻绳模型
轻杆模型
实例
球与绳连接、沿内轨道运动的球
球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
最高点
受力特征
重力、弹力，弹力方向向下或等于零
重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征
mg＋FN＝m
mg±FN＝m
临界特征
FN＝0，vmin＝
竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件
v≥
v≥0
速度和弹力关系讨论分析
①能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力为FN②不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动
①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心②当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
1.
球—绳模型或单轨道模型
【例18】(多选)如图所示，长为L的细绳一端拴一质量为m小球，另一端固定在O点，绳的最大承受能力为11mg，在O点正下方O′点有一小钉，先把绳拉至水平再释放小球，为使绳不被拉断且小球能以O′为轴完成竖直面完整的圆周运动，则钉的位置到O点的距离为(　　)
A．最小为L　　　　　　B．最小为L
C．最大为L
D．最大为L
【答案】　BC
【解析】当小球恰好到达圆周运动的最高点时小球的转动半径为r，重力提供向心力，则有mg＝m，根据机械能守恒定律可知，mg(L－2r)＝mv2，联立解得：r＝L，故钉的位置到O点的距离为L－L＝L；当小球转动时，恰好达到绳子的最大拉力时，即F＝11mg，此时一定处在最低点，设半径为R，则有：11mg－mg＝meq
\f(v,R)，根据机械能守恒定律可知，mgL＝mv，联立解得：R＝L，故此时离最高点距离为L，则可知，距离最小为L，距离最大为L，故B、C正确，A、D错误．
【变式1】如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根轻绳的拉力大小为(　　)
A．mg
B．mg
C．3mg
D．2mg
【答案】A
【解析】小球在运动过程中，A、B两点与小球所在位置构成等边三角形，由此可知，小球圆周运动的半径R＝L·sin
60°＝L，两绳与小球运动半径方向间的夹角为30°，由题意，小球在最高点的速率为v时，mg＝m，当小球在最高点的速率为2v时，应有：F＋mg＝m，可解得：F＝3mg.由2FTcos
30°＝F，可得两绳的拉力大小均为FT＝mg，A项正确．
【变式2】如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图像如图乙所示，则(　　)
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳最高点拉力大小为＋a
D．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a
【答案】　ABD
【解析】　在最高点，FT＋mg＝m，解得：FT＝m－mg，可知纵截距的绝对值为a＝mg，g＝，图线的斜率k＝＝，解得绳子的长度L＝，故A、B正确；当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为：FT＝m－mg＝－a，故C错误；当v2＝b时拉力为零，到最低点时根据动能定理得：2mgL＝mv22－mv2，根据牛顿第二定律：FT′－mg＝m，联立以上可得拉力为：FT′＝6mg＝6a，故D正确．
【变式2】如图所示，半径为R的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨道，通过最高点P时，对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到P点的水平距离为(　　)
A.R
B.R
C.R
D.R
【答案】D
【解析】小球从P点飞出后，做平抛运动，设做平抛运动的时间为t，则2R＝gt2，解得t＝2，在最高点P时，有mg＋mg＝m，解得v＝，因此小球落地点到P点的水平距离为x＝vt＝R，选项D正确．
2.
球—杆模型或双轨道模型
【例19】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
【答案】A
【解析】轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v＜，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m，随v增大，F减小，若v＞，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m，随v增大，F增大，故C、D均错误．
【变式1】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
【答案】　A
【解析】　当小球到达最高点弹力为零时，有mg＝m，解得v＝，即当速度v＝时，轻杆所受的弹力为零，所以A正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B错误．小球在最高点，若v<，则有：mg－F＝m，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v>，则有：mg＋F＝m，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C、D错误．
【变式2】如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3
s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径为R＝1
m，小球可看做质点且其质量为m＝1
kg，g取10
m/s2，则(　　)
小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9
m
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9
m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1
N
D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2
N
【答案】AC.
【解析】根据平抛运动的规律，小球在C点的竖直分速度vy＝gt＝3
m/s，水平分速度vx＝vytan
45°＝3
m/s，则B点与C点的水平距离为x＝vxt＝0.9
m，选项A正确，B错误；在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有FNB＋mg＝meq
\f(v,R)，vB＝vx＝3
m/s，解得FNB＝－1
N，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项C正确，D错误．
【题型十】斜面上圆周运动的临界问题
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、轻绳控制、轻杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
【例20】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5
m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10
m/s2，则ω的最大值是(　　)
A.
rad/s
B.
rad/s
C．1.0
rad/s
D．0.5
rad/s
【答案】C
【解析】　当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：μmgcos
30°－mgsin
30°＝mω2r
ω＝＝
rad/s＝1.0
rad/s，故选项C正确．
【变式】如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L的细线一端固定，另一端连接质量为m的小球，小球在斜面上做圆周运动，A、B分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A、B点做圆周运动的最小速度分别为vA、vB，重力加速度为g，则
(　　)
A．vA＝0
B．vA＝
C．vB＝
D．vB＝
【答案】C
【解析】在A点，对小球，临界情况是绳子的拉力为零，小球靠重力沿斜面方向的分力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgsin
θ＝meq
\f(v,L)，解得A点的最小速度为：vA＝，对AB段过程研究，根据机械能守恒得：mv＋mg·2Lsin
30°＝mv，解得B点的最小速度为：vB＝＝，故C正确，A、B、D错误．
【题型十一】
圆周运动的动力学问题
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2．运动模型
圆锥摆模型
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
3．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是。
向心力
摆线的拉力
讨论：（1）当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度=也越大。
结论：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快。
（2）当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。
结论：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
【例21】如图所示，一根细线下端拴一个金属小球A，细线的上端固定在金属块B上，B放在带小孔的水平桌面上，小球A在某一水平面内做匀速圆周运动。现使小球A改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，金属块B在桌面上始终保持静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是(　　)
A．金属块B受到桌面的静摩擦力变大
B．金属块B受到桌面的支持力减小
C．细线的张力变大
D．小球A运动的角速度减小
【答案】D
【解析】设A、B质量分别为m、M，A做匀速圆周运动的向心加速度为a，细线与竖直方向的夹角为θ，对B研究，B受到的静摩擦力f＝Tsin
θ，对A，有：Tsin
θ＝ma，Tcos
θ＝mg，解得a＝gtan
θ，θ变小，a减小，则静摩擦力大小变小，故A错误；以整体为研究对象知，B受到桌面的支持力大小不变，应等于(M＋m)g，故B错误；细线的拉力T＝，θ变小，T变小，故C错误；设细线长为l，则a＝gtan
θ＝ω2lsin
θ，ω＝，θ变小，ω变小，故D正确．
【变式】两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是(　　)
【答案】　B
【解析】　小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，则有mgtan
θ＝mω2Lsin
θ，整理得：
Lcos
θ＝，则两球处于同一高度，故B正确．
车辆转弯模型
1.
受力分析：如图所示火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆心，成为使火车拐弯的向心力。
2.
动力学方程：根据牛顿第二定律得
　
其中r是转弯处轨道的半径，是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。
3.
分析结论：解上述方程可知，可见，最佳情况是由、、共同决定的。
当火车实际速度为v时，可有三种可能：
当时，内外轨均不受侧向挤压的力；
当时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）；
当时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。
还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等。
【例22】如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90
m的大圆弧和
r＝40
m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100
m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10
m/s2，π＝3.14)，则赛车(　　)
A．在绕过小圆弧弯道后加速
B．在大圆弧弯道上的速率为45
m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63
m/s2
D．通过小圆弧弯道的时间为5.58
s
【答案】AB
【解析】因赛车在圆弧弯道上做匀速圆周运动，由向心力公式有F＝m，则在大小圆弧弯道上的运动速率分别为v大＝
＝
＝45
m/s，v小＝
＝
＝30
m/s，可知赛车在绕过小圆弧弯道后做加速运动，则A、B项正确；由几何关系得直道长度为d＝＝50
m，由运动学公式v－v＝2ad，得赛车在直道上的加速度大小为a＝6.50
m/s2，则C项错误；赛车在小圆弧弯道上运动时间t＝＝2.79
s，则D项错误．
【变式】在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则(　　)
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
【答案】ABD
【解析】火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgtan
θ＝m，解得：r＝，故A正确；根据牛顿第二定律得：mgtan
θ＝m，解得：
v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确．
【题型演练】
1.
如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动。红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L。下列说法正确的是(　　)
A．v增大时，L减小　　
B．v增大时，L增大
C．v增大时，t减小
D．v增大时，t增大
【答案】B
【解析】由合运动与分运动的等时性知，红蜡块沿管上升的高度和速度不变，运动时间不变，管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，选项B正确．
2.
下列关于力与运动的叙述中正确的是(　　)
A．物体所受合力方向与运动方向有夹角时，该物体速度一定变化，加速度也变化
B．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心
C．物体运动的速率在增加，所受合力方向与运动方向夹角小于90°
D．物体在变力作用下有可能做曲线运动，做曲线运动物体一定受到变力作用
【答案】　C
【解析】　物体所受合力方向与运动方向有夹角时，该物体速度一定变化，但加速度不一定变化，如平抛运动，A错误；若物体做变速圆周运动，则存在一个切向加速度，合力不指向圆心，B错误；合力方向与运动方向夹角小于90°时合力做正功，速度增大，C正确；如果变力与速度方向不共线，则做曲线运动，但做曲线运动的物体受到的合力可以为恒力，如平抛运动，D错误．
3.
如图所示，光滑水平面内的xOy直角坐标系中，一质量为1
kg的小球沿x轴正方向匀速运动，速度大小为1
m/s，经过坐标原点O时，小球受到的一沿y轴负方向、大小为1
N的恒力F突然撤去，其他力不变，则关于小球的运动，下列说法正确的是(　　)
A．做变加速曲线运动
B．任意两段时间内速度变化大小都相等
C．经过x、y坐标相等的位置时所用时间为1
s
D．1
s末速度大小为
m/s
【答案】　D
4.
如图所示，大河的两岸笔直且平行，现保持快艇船头始终垂直于河岸从岸边某处开始先匀加速而后匀速驶向对岸，在快艇离对岸还有一段距离时开始减速，最后安全靠岸。若河水以稳定的速度沿平行河岸方向流动，且整个河流中水的流速处处相等，快艇实际运动的轨迹可能是图中(　　)
A．①　　　　　　　　　B．②
C．③
D．④
【答案】D
【解析】在垂直于河岸方向上先做匀加速直线运动，即合力沿垂直于河岸方向并指向要驶向的对岸，且指向轨迹的内侧，然后做匀速直线运动，轨迹是一条与河岸有夹角的直线，再做减速运动，合力沿垂直于河岸方向并指向驶出的河岸，所以轨迹为④，故D正确．
5.
下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。其中可能正确的是(　　)
【答案】AB
【解析】当船头垂直指向河岸时，船在静水中的速度与水流速度的合速度方向偏向下游，故A正确，C错误；当船头偏上游时，若船在静水中的速度与水流速度的合速度垂直河岸，则船的运动轨迹垂直河岸，故B正确；当船头偏向下游时，船在静水中的速度与水流速度的合速度方向应偏向下游，故D错误．
6．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连。由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则(　　)
A．v2＝v1
B．v2>v1
C．v2≠0
D．v2＝0
【答案】D
【解析】如图所示，分解A上升的速度v，v2＝vcos
α，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，α＝90°，故v2＝0，即B的速度为零，D正确．
7.
如图所示，这是质点做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知质点在B点的加速度方向与速度方向垂直，下列说法中正确的是(　　)
C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
【答案】C
【解析】质点做匀变速曲线运动，B点到C点的过程中加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以，C点的速率比B点速率大，故A错误，C正确；质点做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以质点经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；若质点从A点运动到C点，质点运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，故D错误．
8.
如图所示，A、B是两个游泳运动员，他们隔着水流湍急的河流站在岸边，A在上游的位置，且A的游泳技术比B好，现在两个人同时下水游泳，要求两个人尽快在河中相遇，试问应采取下列哪种方式比较好(　　)
A．A、B均向对方游(即沿图中虚线方向)而不考虑水流作用
B．B沿图中虚线向A游；A沿图中虚线偏上方向游
C．A沿图中虚线向B游；B沿图中虚线偏上方向游
D．A、B均沿图中虚线偏上方向游；A比B更偏上一些
【答案】A
【解析】游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动．游泳的方向是人相对于水的方向．选水为参考系，A、B两运动员只有一种运动，由于两点之间线段最短，所以选A.
9．一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角为θ＝30°，B球的速度大小为v2，则(　　)
A．v2＝v1
B．v2＝2v1
C．v2＝v1
D．v2＝v1
【答案】C
【解析】球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin
30°＝v1，球B此时速度方向与杆夹角α＝60°，因此v21＝v2cos
60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确．
10.
如图甲、乙所示，一根长L的轻杆OA，O端用铰链固定于地面，另一端固定着一小球A，图甲中的小球A和图乙中的杆分别贴靠着边长为a和b的立方块，当立方块沿地面向右滑动到图示位置(杆与地面夹角为α)时，速度为v，则甲图中小球的速度大小vA和乙图中小球的速度大小v′A应为(　　)
A．vA＝，v′A＝vsin
α
B．vA＝，v′A＝vsin
α
C．vA＝vsin
α，v′A＝
D．vA＝，v′A＝sin2
α
【答案】D
【解析】图甲中，杆绕O转动，球A的速度vA垂直于杆，将速度vA沿水平和竖直两方向正交分解，则垂直于接触面的水平分速度与立方块的速度相等，如图(a)所示，得vAsin
α＝v，故vA＝，故B、C错误；
图乙中，杆绕O转动，杆顶端小球的速度v′A
和杆与立方块接触点的速度v1的方向都垂直于杆，杆上各点的角速度ω相同，则有
＝.将立方块的速度v沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，如图(b)所示，则杆与立方块接触点的速度v1应与立方块垂直杆的方向的分速度相等，即v1＝vsin
α，联立以上两式得v′A＝sin2α，故A错误，D正确．
11．(多选)如图为研究平抛运动时使用的装置，初始时电路闭合，小球B被电磁铁吸引处于静止状态.
将小球A从轨道顶端释放，离开轨道末端(末端水平)时撞开轻质接触式开关S，被电磁铁吸住的小球B同时自由下落，轨道末端出口与小球B处于同一高度，可看到A、B两球同时落地。下列说法正确的是
(　　)
A．该实验可证明平抛运动的竖直分运动为自由落体运动
B．该实验可证明平抛运动的水平分运动为匀速直线运动
C．将小球A在轨道上更低的位置释放，可使两球在空中相撞
D．增加装置距离地面的高度
H，可使两球在空中相撞
【答案】AD
【解析】“可看到A、B两球同时落地”，说明该实验可证明平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，选项A正确；该实验不可证明平抛运动的水平分运动为匀速直线运动，选项B错误；将小球A在轨道上更高的位置释放，增大了平抛运动的初速度，可使两球在空中相撞，选项C错误；增加装置距离地面的高度H，增加了小球自由落体运动的时间，可使两球在空中相撞，选项D正确．
12．在距地面高为h＝0.4
m处，有一小球A以初速度v0水平抛出，如图甲所示；与此同时，在A的右方等高处有一物块B以大小相同的初速度v0沿倾角为45°的光滑斜面滑下，如图乙所示。若A、B同时到达地面，A、B均可看作质点，空气阻力不计，重力加速度g取10
m/s2，则v0的大小是(　　)
A．1
m/s　　　　　
B.
m/s
C．2
m/s
D．2
m/s
【答案】A
【解析】A球做平抛运动，则h＝gt①，B物块沿斜面做匀变速直线运动，则
h＝v0t2＋gsin
45°t②，根据t1＝t2，由①②得，v0＝＝1
m/s
.
13．某同学玩飞镖游戏，先后将两只飞镖a、b由同一位置水平投出，已知飞镖投出时的初速度va>vb，不计空气阻力，则两支飞镖插在竖直靶上的状态(俯视图)可能是(　　)
【答案】A
【解析】两只飞镖a、b都做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则有x＝v0t，它们的水平位移大小相等，由于va>vb，所以运动时间关系为taα＝，因为va>vb，ta14.
如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为(　　)
A．1∶1
B．2∶1
C．3∶2
D．2∶3
【答案】　C
【解析】　小球A、B下落高度相同，则两小球从飞出到落在C点用时相同，均设为t，对A球：
x＝v1t①
y＝gt2②
又tan
30°＝③
联立①②③得：v1＝gt④
小球B恰好垂直打到斜面上，则有：tan
30°＝＝⑤
则得：v2＝gt⑥
由④⑥得：v1∶v2＝3∶2，所以C正确．
15.
利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏。如图所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好沿纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角。若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是(　　)
A．在P点将纸团以小于v的速度水平抛出
B．在P点将纸团以大于v的速度水平抛出
C．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出
D．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出
【答案】　C
【解析】　在P点的初速度减小，则下降到篓上沿这段时间内，水平位移变小，则纸团不能进入篓中，故A错误．在P点的初速度增大，则下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B错误．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据x＝v0知，水平位移可以减小，也不会与篓的左边沿相撞，可直接击中篓底的正中间，故C正确．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团可能进篓，但不能直接击中篓底正中间，故D错误．
16．如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将S1球以初速度v1水平向右抛出，同时在地面上N点处将S2球以初速度v2竖直向上抛出，在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力，则两球在这段过程中(　　)
A．做的都是变加速运动
B．速度变化量的大小不相等
C．速度变化量的方向不相同
D．相遇点在N点上方处
【答案】　D
【解析】　由于两个球都只受到重力的作用，做的都是匀变速运动，故A错误；由Δv＝at＝gt，知它们速度的变化量相同，速度变化量的方向都竖直向下，故B、C错误；S1球做平抛运动，竖直方向有h1＝gt2；S2球竖直上抛，则有v2＝gt，h2＝v2t－gt2，由题意得h＝h1＋h2，解得h1＝h2＝，所以相遇点在N点上方处，故D正确．
17.
如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的3把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M、N、P三点上。假设不考虑飞刀的转动，并可将其视为质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是(　　)
A．3把飞刀在击中木板时动能相同
B．到达M、N、P三点的飞行时间之比为1∶∶
C．到达M、N、P三点的初速度的竖直分量之比为∶∶1
D．设到达M、N、P三点，抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1＞θ2＞θ3
【答案】CD
【解析】将运动逆向看，可视为3个平抛运动且到达O点时水平位移相等．由H＝gt2得t＝
，则到达M、N、P三点的飞行时间之比为∶∶1，B错误．在水平方向有l＝vMt1＝vNt2＝vPt3，由Ek＝mv2知3把飞刀在击中木板时打在M点处的动能最小，打在P点处的动能最大，A错误．由vy＝gt可知到达M、N、P三点的初速度的竖直分量之比为∶∶1，C正确．作出抛体运动的轨迹，可知θ1＞θ2＞θ3，D正确．
18．车手要驾驶一辆汽车飞越宽度为d的河流。在河岸左侧建起如图所示高为h、倾角为α的斜坡，车手驾车从左侧冲上斜坡并从顶端飞出，接着无碰撞地落在右侧高为H、倾角为θ的斜坡上，顺利完成了飞越。已知h＞H，当地重力加速度为g，汽车可看成质点，忽略车在空中运动时所受的空气阻力。根据题设条件可以确定(　　)
A．汽车在左侧斜坡上加速的时间t
B．汽车离开左侧斜坡时的动能Ek
C．汽车在空中飞行的最大高度Hm
D．两斜坡的倾角满足α＜θ
【答案】CD
【解析】设汽车从左侧斜坡飞出时的速度大小为v，飞出后，汽车水平方向以vcos
α做匀速直线运动，竖直方向以vsin
α为初速度做竖直上抛运动，则汽车从飞出到最高点的过程中，竖直方向有Hm－h＝，汽车无碰撞地落在右侧斜坡上，说明车落在斜坡上时速度方向与斜坡平行，故汽车落在斜坡上时的速度大小为v′＝，对汽车从最高点到右侧斜坡的过程，竖直方向有Hm－H＝，联立以上三式，解得Hm＝，选项C正确；因为h＞H，汽车落在右侧斜坡上时，竖直方向的分速度v′y大于从左侧斜坡飞出时竖直方向的分速度vy，但水平方向分速度大小相同，故tan
α＝＜＝tan
θ，所以α＜θ，选项D正确；因汽车的质量未知，故汽车离开左侧斜坡时的动能无法求解，选项B错误；因汽车在左侧斜坡运动过程的初速度及加速度均未知，故运动时间无法求解，选项A错误．
19.
如图所示，在倾角为37°的斜坡上有一人，前方有一动物沿斜坡匀速向下奔跑，速度v＝15
m/s，在二者相距L＝30
m时，此人以速度v0水平抛出一石块，击打动物，人和动物都可看成质点。(已知sin
37°＝0.6，g＝10
m/s2)
(1)若动物在斜坡上被石块击中，求v0的大小。
(2)若动物在斜坡末端时，动物离人的高度h＝80
m，此人以速度v1水平抛出一石块打击动物，同时动物开始沿水平面运动，动物速度v＝15
m/s，动物在水平面上被石块击中的情况下，求速度v1的大小。
【解析】(1)设过程中石块运动所需时间为t
对于动物：运动的位移s＝vt
对于石块：竖直方向(L＋s)sin
37°＝gt2
水平方向：(L＋s)cos
37°＝v0t
代入数据，由以上三式可得：v0＝20
m/s.
(2)对动物：x1＝vt1，
对于石块：竖直方向h＝gt，解得t1＝＝4
s
水平方向：＋x1＝v1t1，联立可得v1≈41.7
m/s.
20.
如图所示，水平屋顶高H＝5
m，围墙高h＝3.2
m，围墙到房子的水平距离L＝3
m，围墙外空地宽x＝10
m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，小球离开屋顶时的速度v0应该满足怎样的条件。(g取10
m/s2)
【解析】设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v01，则小球的水平位移：L＋x＝v01t1
小球的竖直位移：H＝gt12
解以上两式得：v01＝(L＋x)
＝13
m/s
设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v02，则此过程中小球的水平位移：L＝v02t2
小球的竖直位移：H－h＝gt22
解以上两式得：v02＝5
m/s
小球抛出时的速度大小为5
m/s≤v0≤13
m/s.
21．公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，则在该弯道处(　　)
路面外侧高、内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
【答案】　AC
【解析】　当汽车行驶的速度为vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高、内侧低，选项A正确．当速度稍大于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确．同样，速度稍小于vc时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误．vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误．
22．(多选)如图为过山车以及轨道简化模型，过山车车厢内固定一安全座椅，座椅上乘坐“假人”，并系好安全带，安全带恰好未绷紧，不计一切阻力，以下判断正确的是(　　)
过山车在圆轨道上做匀速圆周运动
B．过山车在圆轨道最高点时的速度应至少等于
C．过山车在圆轨道最低点时“假人”处于失重状态
D．若过山车能顺利通过整个圆轨道，在最高点时安全带对“假人”一定无作用力
【答案】　BD
【解析】　过山车在运动过程中，重力势能和动能相互转化，即速度大小在变化，所以不是做匀速圆周运动，A错误；在最高点重力完全充当向心力时，速度最小，故有mg＝m，解得v＝，B正确；在最低点，“假人”受到竖直向上指向圆心的加速度，故处于超重状态，C错误；若过山车能顺利通过整个圆轨道，即在最高点重力充当向心力，或重力和座椅对“假人”的支持力的合力充当向心力，所以安全带对“假人”一定无作用力，D正确．
23.
质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．a绳的张力可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>
，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【答案】C
【解析】由于小球m的重力不为零，a绳的张力不可能为零，b绳的张力可能为零，选项A错误；由于a绳的张力在竖直方向的分力等于重力，所以a绳的张力随角速度的增大而不变，b绳的张力随角速度的增大而增大，选项B错误；若b绳中的张力为零，设a绳中的张力为F，对小球m，Fsin
θ＝mg，Fcos
θ＝mω2l，联立解得：ω＝
，即当角速度ω>
，b绳将出现弹力，选项C正确；若ω＝
，b绳突然被剪断，则a绳的弹力不发生变化，选项D错误．
24.
如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN?v2图像如图乙所示．则(　　)
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上
D．v2＝2b
时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a
【答案】A
【解析】由图乙可知当小球运动到最高点时，若v2＝b，则FN＝0，轻杆既不向上推小球也不向下拉小球，这时由小球受到的重力提供向心力，即mg＝，得v2＝gR＝b，故g＝，B错误；当v2>b时，轻杆向下拉小球，C错误；当v2＝0时，轻杆对小球弹力的大小等于小球重力，即a＝mg，代入g＝得小球的质量m＝，A正确；当v2＝2b时，由向心力公式得F＋mg＝，得杆的拉力大小F＝mg，故F＝a，D错误．
25.
如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，AB整体、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为
3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
【答案】BD
【解析】A做圆周运动的向心力由B对A的摩擦力提供，由牛顿第二定律及向心加速度公式有：Ff＝3mω2r，B项正确；AB整体恰好未发生相对转台的滑动时，μ(3m＋2m)g＝(3m＋2m)ω2r，解得角速度最大值为ω＝
，C恰好未发生相对滑动时，μmg＝1.5mω2r，解得：ω＝
，所以D选项正确．
26.
如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点，设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是(　　)
细线L1和细线L2所受的拉力之比为
∶1
B．小球m1和m2的角速度大小之比为
∶1
C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1
D．小球m1和m2的线速度大小之比为3∶1
【答案】AC
【解析】对任一小球进行研究，设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则Tcos
θ＝mg，解得T＝，所以细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为＝＝，故A正确；小球所受合力的大小为mgtan
θ，根据牛顿第二定律得mgtan
θ＝mLω2sin
θ，得ω2＝，故两小球的角速度大小之比为＝＝，故B错误；小球所受合力提供向心力，向心力为F＝mgtan
θ，小球m1和m2的向心力大小之比为＝＝3，故C正确．两小球角速度大小之比为∶1，由v＝ωr得线速度大小之比为∶1，故D错误．
27.
如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算知该女运动员(　　)
A．受到的拉力为G
B．受到的拉力为2G
C．向心加速度为3g
D．向心加速度为2g
【答案】B
【解析】对女运动员受力分析如图所示，F1＝Fcos
30°，F2＝Fsin
30°，F2＝G，由牛顿第二定律得F1＝ma，所以a＝g，F＝2G，B正确．
28.
长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动．关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是(　　)
A．当v＝时，轻杆对小球的弹力为零
B．当v由逐渐增大时，轻杆对小球的拉力逐渐增大
C．当v由逐渐减小时，轻杆对小球的支持力逐渐减小
D．当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
【答案】ABD
【解析】在最高点轻杆对小球的作用力为0时，由牛顿第二定律得mg＝，v＝，A正确；当v＞时，轻杆对小球有拉力，则F＋mg＝，v增大，F增大，B正确；当v＜时，轻杆对小球有支持力，则mg－F′＝，v减小，F′增大，C错误；由F向＝知，v增大，向心力增大，D正确．
29.
轻杆一端固定有质量为m＝1
kg的小球，另一端安装在水平轴上，转轴到小球的距离为50
cm，转轴固定在三角形的带电动机(电动机没画出来)的支架上，在电动机作用下，轻杆在竖直面内做匀速圆周运动，如图所示。若转轴达到某一恒定转速n时，在最高点，杆受到小球的压力为2
N，重力加速度g取10
m/s2，则(　　)
小球运动到最高点时，小球需要的向心力为12
N
B．小球运动到最高点时，线速度v＝1
m/s
C．小球运动到图示水平位置时，地面对支架的摩擦力为8
N
D．把杆换成轻绳，同样转速的情况下，小球仍能通过图示的最高点
【答案】C
【解析】小球运动到最高点时，杆受到小球的压力为2
N，由牛顿第三定律可知杆对小球的支持力FN＝2
N，在最高点，小球需要的向心力由重力和杆的支持力的合力提供，为
F＝mg－FN＝8
N，故A错误；在最高点，由F＝m得，v＝＝
m/s＝2
m/s，故B错误；小球运动到图示水平位置时，设杆对小球的拉力为FT，则有FT＝m＝F＝8
N，则小球对杆的拉力FT′＝FT＝8
N，据题意知支架处于静止状态，由平衡条件可知地面对支架的摩擦力Ff＝FT′＝8
N，故C正确；把杆换成轻绳，设小球通过最高点的最小速度为v0，由mg＝m得，v0＝＝
m/s＝
m/s>v，所以在同样转速的情况下，小球不能通过图示的最高点，故D错误．
30．如图所示，AB是长为L＝1.2
m、倾角为53°的斜面，其上端与一段光滑的圆弧BC相切于B点。C是圆弧的最高点，圆弧的半径为R，A、C两点与圆弧的圆心O在同一竖直线上。物体受到与斜面平行的恒力作用，从A点开始沿斜面向上运动，到达B点时撤去该力，物体将沿圆弧运动，通过C点后落回到水平地面上。已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，恒力F＝28
N，物体可看成质点且m＝1
kg。重力加速度g取10
m/s2，sin
53°＝0.8，cos
53°＝0.6，求：
(1)物体通过C点时对轨道的压力大小。(结果保留一位小数)
(2)物体在水平地面上的落点到A点的距离。
【解析】(1)根据题图，由几何知识得，OA的高度H＝＝1.5
m
圆轨道半径R＝＝0.9
m
物体从A到C的过程，由动能定理得(F－μmgcos
53°)L－mg(H＋R)＝mv2
，解得v＝2
m/s
物体在C点，由牛顿第二定律得FN＋mg＝m
由牛顿第三定律得物体通过C点时对轨道的压力大小FN′＝FN＝3.3
N
(2)物体离开C点后做平抛运动
在竖直方向：H＋R＝gt2，在水平方向：x＝vt，解得x＝2.4
m.

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