资源简介

【步骤】
1.
找圆心；2.
找半径；3.
画轨迹。
【公式】
1.
基本公式：
R=
T=
=
4.
带电粒子在磁场中偏转时间：t
=
【方法】
一、利用两个速度垂线的交点找圆心
由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。
【例】
如图所示，一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求：匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
二、利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心
带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。
【例】
电子自静止开始经M、N板间（两板间的电压为U）的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图所示。求：
（1）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；
（2）匀强磁场的磁感应强度。（已知电子的质量为m，电量为e）
三、利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心
当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
【例】
一质量为m、带电量为+q
的粒子以速度v
从O点沿y
轴正方向射入磁感应强度为B
的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从B
处穿过x轴，速度方向与x
轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了B点正下方的C点。如图所示，不计重力。试求：
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（2）C点到B点的距离h。
【规律】
一、有界磁场中的运动轨迹特点
(1)直线边界：进出磁场具有对称性。
(2)平行边界：存在临界条件。
(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。
【练习】1．(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度＜v＜
2.
(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　)
A．B＞，垂直纸面向里　
B．B＞，垂直纸面向里
C．B＞，垂直纸面向外
D．B＞，垂直纸面向外
3.
(多选)如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场，欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是(　　)
A．
B．
C．
D．
二、动态圆
（一）缩放圆
带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆，利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。
【例】如图所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为θ。已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。
?
（二）旋转圆
?　　在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆，用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
【例】如图所示，S为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的范围为多大？
?
（三）平移圆
带电粒子在两个或更多个并列匀强磁场中运动，粒子从一个匀强磁场进入另一个匀强磁场后，若磁场方向相反，根据左手定则得粒子旋转方向相反，轨迹在交界处必外切，轨迹可认为是圆的平移所得，如磁感应强度大小也变再结合缩放圆处理；若磁感应强度大小变化，根据洛伦兹力提供向心力得粒子运动半径改变，轨迹在交界处必内切，轨迹可认为两个半径不同的圆通过交替平移所得。
【例】在x轴上方有匀强电场，场强为E，在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图所示。在x轴上有一点M，离O点距离为l，现有一带电量为＋q的粒子，从静止开始释放后能经过M点，求如果此粒子在y轴上静止释放，其坐标应满足什么关系？(重力忽略不计)
（四）动态弦
当带电粒子垂直射入有界匀强磁场的速率v一定时，粒子运动的时间与弦长成正比，弦越长、圆心角越大，带电粒子在磁场中做圆周运动的时间越长。
【例】1.
如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤a/2范围内有垂直与xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
（1）速度的大小；
（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
2．如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S．某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场．已知∠AOC=60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为（　　）
A．
B．
C．
D．
（五）磁会聚与磁扩散
当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；
规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（
）
A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长
D．只要速度满足，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6
m，宽ab=0.3
m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7
kg、电荷量q=+2×10-3
C的带正电粒子以速度v=5×102
m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（
）
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边
D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点
3．如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy内，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为L的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ。电场的场强大小均为E，区域Ⅰ的场强方向沿x轴正方向，其下边界在x轴上，右边界刚好与区域Ⅱ的边界相切；区域Ⅱ的场强方向沿y轴正方向，其上边界在x轴上，左边界刚好与刚好与区域Ⅳ的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为，区域Ⅲ的圆心坐标为（0，）、磁场方向垂直于xOy平面向外；区域Ⅳ的圆心坐标为（0，）、磁场方向垂直于xOy平面向里。两个质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子M、N，在外力约束下静止在坐标为（，）、（，）的两点。在x轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy平面。将粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求：
（1）粒子离开电场Ⅰ时的速度大小。
（2）粒子M击中感光板的位置坐标。
（3）粒子N在磁场中运动的时间。
4．如图甲所示，质量m=8.0×10?25kg，电荷量q=1.6×10?15C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v0=2.0×107m/s。现在某一区域内加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上,并且当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(π=3.14)求：
（1）粒子从y轴穿过的范围；
（2）荧光屏上光斑的长度；
（3）打到荧光屏MN上最高点和最低点的粒子运动的时间差；
（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。
三、仪器
（一）质谱仪
1．原理图：如图所示。
2．加速
带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：qU＝mv2。①
3．偏转
带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：qvB＝。②
4．由①②两式可以求出粒子的运动半径r、质量m、比荷等。其中由r＝
可知电荷量相同时，半径将随质量变化。
5．质谱仪的应用
可以测定带电粒子的质量和分析同位素。
【练习】1.
1922年，英国物理学家阿斯顿因质谱仪的发明、同位素和质谱的研究荣获了诺贝尔化学奖。质谱仪的两大重要组成部分是加速电场和偏转磁场。图示为质谱仪的原理图，设想有一个静止的带电粒子(不计重力)P，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到底片上的D点。设OD＝x，则在下列中能正确反映x2与U之间函数关系的是(　　)
2.
图示为某种质谱仪的工作原理示意图。此质谱仪由以下几部分构成：粒子源N；P、Q间的加速电场；静电分析器；磁感应强度为B的有界匀强磁场，方向垂直纸面向外；胶片M.若静电分析器通道中心线半径为R，通道内有均匀辐射电场在中心线处的电场强度大小为E；由粒子源发出一质量为m、电荷量为q的正离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后，垂直场强方向进入静电分析器，在静电分析器中，离子沿中心线做匀速圆周运动，而后由S点沿着既垂直于静电分析器的左边界，又垂直于磁场方向射入磁场中，最终打到胶片上的某点。下列说法中正确的是(　　)
A．P、Q间加速电压为ER
B．离子在磁场中运动的半径为
C．若一质量为4m、电荷量为q的正离子加速后进入静电分析器，离子不能从S射出
D．若一群离子经过上述过程打在胶片上同一点，则这些离子具有相同的比荷
（二）回旋加速器
1．交变电压的周期：带电粒子做匀速圆周运动的周期T＝与速率、半径均无关，运动相等的时间(半个周期)后进入电场，为了保证带电粒子每次经过狭缝时都被加速，须在狭缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压，所以交变电压的周期也与粒子的速率、半径无关，由带电粒子的比荷和磁场的磁感应强度决定。
2．带电粒子的最终能量：由r＝知，当带电粒子的运动半径最大时，其速度也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Ekm＝。可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度B和D形盒的半径R。
3．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n＝(U是加速电压的大小)，一个周期加速两次。
4．粒子在回旋加速器中运动的时间：在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2＝T＝(n是粒子被加速次数)，总时间为t＝t1＋t2，因为t1?t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。
【练习】1．(多选)1932年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是(　　)
A．离子由加速器的中心附近进入加速器
B．离子由加速器的边缘进入加速器
C．离子从磁场中获得能量
D．离子从电场中获得能量
2．(多选)图甲是回旋加速器的工作原理图。D1和D2是两个中空的半圆金属盒，它们之间有一定的电势差，A处的粒子源产生的带电粒子，在两盒之间被电场加速。两半圆盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，所以粒子在半圆盒中做匀速圆周运动。若带电粒子在磁场中运动的动能Ek随时间t的变化规律如图乙所示，不计带电粒子在电场中的加速时间，不考虑由相对论效应带来的影响，下列判断正确的是(　　)
A．在Ek?t图中应该有tn＋1－tn＝tn－tn－1
B．在Ek?t图中应该有tn＋1－tnC．在Ek?t图中应该有En＋1－En＝En－En－1
D．在Ek?t图中应该有En＋1－En（三）速度选择器
1．平行板间电场强度E和磁感应强度B互相
.这种装置能把具有一定
的粒子选择出来，所以叫做速度选择器。
2．粒子能够通过选择器的条件是qE＝qvB，即v＝。
3．速度选择器只选择速度(大小、方向)，而不选择粒子的质量和电荷量。
4．若射入的是正电荷，当v′＞v＝E/B时，则qv′B＞qE，粒子向
偏转；当v′＜v＝E/B时，qv′B＜qE，粒子向
偏转。
（四）磁流体发电机
1．磁流体发电是一项新兴技术，它可以把
能直接转化为
能。
2．根据左手定则，如图中的B板是发电机
。
3．磁流体发电机两极板间的距离为d，等离子体速度为v，磁场磁感应强度为B，则两极板间能达到的最大电势差U＝___
_.电源电阻r
=
ρd/S，外电阻R中的电流可由闭合电路欧姆定律求出，
即I
=
E/(R
+
r)
=
BdvS/(RS
+ρd)。
（五）霍尔元件
如图所示，厚度为h，宽度为d的导体板放在垂直于它的磁感应强度为B的均匀磁场中。当电流通过导体板时，在导体板的上侧面A和下侧面A′之间会产生电势差，这种现象称为霍尔效应。
实验表明，当磁场不太强时，电势差U、电流I和B的关系为U=K。式中的比例系数K称为霍尔系数。霍尔效应可解释如下：外部磁场的洛仑兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧会出现多余的正电荷，从而形成横向电场。横向电场对电子施加一洛伦兹力方向相反的静电力。当静电力与洛伦兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就会形成稳定的电势差。
设电流I是由电子的定向流动形成的，电子的平均定向速度为v，电量为e，回答下列问题：
（1）达到稳定状态时，导体板上侧面A的电势
下侧面A′的电势（填“高于”“低于”或“等于”）；
（2）电子所受的洛伦兹力的大小为
；
（3）当导体板上下两侧之间的电势差为U时，
电子所受静电力的大小为
；
（4）由静电力和洛伦兹力平衡的条件，证明霍尔系数为K=，其中n代表导体板单位体积中电子的个数。
【例】1.如图所示，一段长方体形导电材料，左右两端面的边长都为a和b，内有带电量为q的某种自由运动电荷。导电材料置于方向垂直于其前表面向里的匀强磁场中，内部磁感应强度大小为B。当通以从左到右的稳恒电流I时，测得导电材料上、下表面之间的电压为U，且上表面的电势比下表面的低。由此可得该导电材料单位体积内自由运动电荷数及自由运动电荷的正负分别为(　
　)
A．，负　　　　　　　
　B．
，正
C．，负
D．，正
2.利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域。如图是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度B垂直于霍尔元件的工作面向下，通入图示方向的电流I，C、D两侧面会形成电势差UCD，下列说法中正确的是(　　)
A.电势差UCD仅与材料有关
B.若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势差UCD＜0
C.仅增大磁感应强度时，电势差UCD可能不变
D.在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平
（六）电磁流量计
1．如图所示，一圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体流过导管．
2．原理：如图所示，圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电液体在管中向左流动，导电液体中的自由电荷（正、负离子），在洛伦兹力的作用下横向偏转，a、b间出现电势差，形成电场，当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定，即：qvB=qE=qU/D，所以v
=
，因此液体流量Q
=
vS
=
。
【例】1．医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度。电磁血流计由一对电极a和b以及一对磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的。使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的连线、磁场方向和血流速度方向两两垂直，如图所示。由于血液中的正负离子随血流一起在磁场中运动，电极a、b之间会有微小电势差。在达到平衡时，血管内部的电场可看做匀强电场，血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零。在某次监测中，两触点间的距离为3.0
mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势差为160
μV，磁感应强度的大小为0.040
T。则血流速度的近似值和电极a、b的正负为(　　)
A．1.3
m/s，a正、b负
B．2.7
m/s，a正、b负
C．1.3
m/s，a负、b正
D．2.7
m/s，a负、b正
2．电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方体的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c。流量计的两端与输送流体的管道相连接（图中虚线）。图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料。现于流量计所在处加磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面。当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R的电流两端连接，I表示测得的电流值。已知流体的电阻率为，不计电流表的内阻，则可求得流量为（
）
Ａ.
B.
C.
D.
【题型】
一、带电粒子在组合场中的运动
1.组合场模型
电场、磁场、重力场(或其中两种场)并存，但各自位于一定区域，并且互不重叠的情况.
2.带电粒子在组合场中运动的处理方法
(1)分别研究带电粒子在不同场区的运动规律.在匀强磁场中做匀速圆周运动.在匀强电场中，若速度方向与电场方向平行，则做匀变速直线运动；若速度方向与电场方向垂直，则做类平抛运动.
(2)带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系处理.
(3)当粒子从一个场进入另一个场时，该位置粒子的速度大小和方向往往是解题的突破口.
【练习】1．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴负方向.在第一、四象限内有一个圆，圆心O′坐标为(r,0)，圆内有方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计粒子所受的重力)，从P(－2h，h)点，以大小为v0的速度沿平行于x轴正方向射入电场，通过坐标原点O进入第四象限，又经过磁场从x轴上的Q点离开磁场.求：
(1)电场强度E的大小；
(2)圆内磁场的磁感应强度B的大小；
(3)带电粒子从P点进入电场到从Q点射出磁场的总时间t.
2．如图所示，平面直角坐标系xOy在第一象限内存在水平向左的匀强电场，第二、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，第三象限内存在与x轴负方向成30°角斜向上的匀强电场.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以一定初速度从y轴上的A点与y轴正方向成60°角垂直磁场方向射入第二象限，粒子从x轴上的C点与x轴正方向成30°角进入第三象限.粒子到达y轴上的D点(未画出)时速度刚好减半，经第四象限内磁场偏转后又能垂直x轴进入第一象限内，最后恰好回到A点.已知OA＝a，第二象限内匀强磁场的磁感应强度为B.粒子重力不计，求：
(1)粒子初速度v0和第四象限内匀强磁场的磁感应强度B1的大小；
(2)第一、三象限内匀强电场的电场强度E1和E2的大小；
(3)粒子在第一、三象限内运行的时间比t1∶t3.
二、带电粒子在叠加场中的运动
带电粒子在叠加场中运动的处理方法
(1)明种类：明确叠加场的种类及特征.
(2)析特点：正确分析带电粒子的受力特点及运动特点.
(3)画轨迹：画出运动过程示意图，明确圆心、半径与边角关系.
(4)用规律：灵活选择不同的运动规律.
①两场共存时，电场与磁场中满足qE＝qvB或重力场与磁场中满足mg＝qvB或重力场与电场中满足mg＝qE，都表现为匀速直线运动或静止，根据受力平衡列方程求解.
②三场共存时，合力为零，受力平衡，粒子做匀速直线运动.其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直.
③三场共存时，粒子在叠加场中做匀速圆周运动.mg与qE相平衡，根据mg＝qE，由此可计算粒子比荷，判定粒子电性.粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，应用受力平衡和牛顿运动定律结合圆周运动规律求解，有qvB＝mrω2＝m＝mr＝ma.
④当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解.
【练习】1.
如图所示，在无限长的水平边界AB和CD间有一匀强电场，同时在AEFC、BEFD区域分别存在水平向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小相同，EF为左右磁场的分界线.AB边界上的P点到边界EF的距离为(2＋)L，一带正电微粒从P点正上方的O点由静止释放，从P点垂直AB边界进入电、磁场区域，且恰好不从AB边界飞出电、磁场.已知微粒在磁场中的运动轨迹为圆弧，重力加速度大小为g，电场强度大小E(E未知)和磁感应强度大小B(B未知)满足＝2，不考虑空气阻力，求：
(1)O点距离P点的高度h多大；
(2)若微粒从O点以v0＝水平向左平抛，且恰好垂直下边界CD射出电、磁场，则微粒在磁场中运动的时间t多长？
2.
如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5
N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5
T.有一带正电的小球，质量m＝1×10－6
kg，电荷量q＝2×10－6
C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g＝10
m/s2，求：
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.
三、带电粒子在交变电磁场中的运动
带电粒子在交变电磁场中运动的处理方法
(1)若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间或粒子穿越电场的时间极短可忽略时，则粒子在穿越电场的过程中，电场可看做匀强电场.
(2)空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波”的特点.交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经历不同特点的电场或磁场或叠加场，从而表现出“多过程”现象.其运动特点既复杂又隐蔽.分析时应该注意以下三点：①仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁场中的运动周期相关联.有一定的联系，应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口；②必要时，可把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析；③把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一阶段上的受力情况确定粒子的运动规律.
【例】1.如图甲所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点(3L,0)为中心、边长为2L的正方形区域，其边界ab与x轴平行，正方形区域与x轴的交点分别为M、N.在该正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，现有一质量为m、带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v0沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点以与x轴夹角为30°的方向进入正方形区域，并恰好从d点射出.
(1)求匀强电场E的大小；
(2)求匀强磁场B的大小；
(3)若当电子到达M点时，在正方形区域换加如图乙所示周期性变化的磁场(以垂直于纸面向外为磁场正方向)，最后电子运动一段时间后从N点飞出，求正方形磁场区域磁感应强度B0大小的表达式、磁场变化周期T与B0的关系式.
2.
如图甲所示，在竖直边界MN的左侧存在与水平方向成θ＝60°斜向右上方的匀强电场.其电场强度大小E1＝N/C，在MN的右侧有竖直向上的匀强电场，其电场强度大小E2＝1.5
N/C，同时，在MN的右侧还有水平向右的匀强电场E3和垂直纸面向里的匀强磁场B(图甲中均未画出)，E3和B随时间变化的情况如图乙所示.现有一带正电的微粒，带电荷量q＝1×10－5
C，从左侧电场中距MN边界x1＝
m的A点无初速度释放后，微粒水平向右进入MN右侧场区，设此时刻t＝0，取g＝10
m/s2.求：
(1)带电微粒的质量m；
(2)带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5
s时的速度v(取2＝4.5)；
(3)带电微粒从A点运动到MN右侧场区中计时为1.5
s的过程中，各电场对带电微粒做的总功W.(取3π＝10)
四、带电粒子在磁场中运动的多解问题
求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧：
(1)分析题目特点，确定题目多解的形成原因．
(2)作出粒子的运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)．
(3)若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件．
（一）磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．
【例】(多选)在M、N两条长直导线所在的平面内，一带电粒子的运动轨迹示意图如图所示．已知两条导线M、N中只有一条导线中通有恒定电流，另一条导线中无电流，关于电流方向和粒子带电情况及运动的方向，可能是(　　)
A．M中通有自上而下的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动
B．M中通有自上而下的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动
C．N中通有自上而下的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动
D．N中通有自上而下的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动
（二）临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解．
【例】
(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直于磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度v满足＜v＜
（三）带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解．
【例】
如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界．现有质量为m，电荷量的绝对值为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少？
（四）运动的往复性形成多解
空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解．
【例】某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示．装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点．改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．
(1)求磁场区域的宽度h；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；
(3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值．
（五）带电粒子在磁场中极值、临界问题
1.临界问题的分析思路
物理现象从一种状态变化成另一种状态时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件称为临界条件．临界问题的一般解题模式为：
(1)找出临界状态及临界条件；
(2)总结临界点的规律；
(3)解出临界量．
2．带电体在磁场中的临界问题的处理方法
(1)带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零．
(2)射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切．
【例】如图所示，两个同心圆半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放射出的粒子质量为m、电荷量为－q(q＞0)，假设粒子速度方向都和纸面平行．
(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向的夹角为60°，要想使该粒子经过环形区域磁场一次后通过A点，则初速度的大小是多少？
(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？
　
式题1
(多选)(矩形边界磁场的临界、极值问题)如图所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t.若加上磁感应强度为B、垂直纸面向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出磁场时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的(　　)
A．带电粒子的比荷
B．带电粒子在磁场中运动的周期
C．带电粒子的初速度
D．带电粒子在磁场中运动的半径
式题2
(多选)(半无界磁场的临界、极值问题)如图所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场(方向垂直纸面向里)的边界．一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场．若粒子速度为v0，最远可落在边界上的A点．下列说法中正确的有(　　)
A．若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0
B．若粒子落在A点的右侧，其速度一定大于v0
C．若粒子落在A点左右两侧距离为d的范围内，其速度不可能小于v0－
D．若粒子落在A点左右两侧距离为d的范围内，其速度不可能大于v0＋
式题3
(半圆形磁场的临界、极值问题)如图所示，长方形abcd长ad＝0.6
m，宽ab＝0.3
m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25
T．一群不计重力、质量m＝3×10－7
kg、电荷量q＝＋2×10－3
C的带电粒子以速度v＝5×102
m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则(　　)
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边
D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和bc边
式题4
(直线边界磁场的临界、极值问题)如图所示，一个质量为m、电荷量为－q(q＞0)的带电粒子从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限．求匀强磁场的磁感应强度B的大小和射出点的坐标．
式题5
(三角形磁场的临界、极值问题)如图所示，△ABC为与匀强磁场(方向垂直纸面向外)垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为(　　)
A．B＞　　
B．B＜
C．B＞
D．B＜
■
注意事项
许多临界问题、题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时一定要抓住此类特定的词语，挖掘出隐藏的规律，找出临界条件．【步骤】
1.
找圆心；2.
找半径；3.
画轨迹。
【公式】
1.
基本公式：
R=
T=
=
4.
带电粒子在磁场中偏转时间：t
=
【方法】
一、利用两个速度垂线的交点找圆心
由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。
【例】
如图所示，一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（a，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求：匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
二、利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心
带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。
【例】
电子自静止开始经M、N板间（两板间的电压为U）的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图所示。求：
（1）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；
（2）匀强磁场的磁感应强度。（已知电子的质量为m，电量为e）
三、利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心
当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
【例】
一质量为m、带电量为+q
的粒子以速度v
从O点沿y
轴正方向射入磁感应强度为B
的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从B
处穿过x轴，速度方向与x
轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了B点正下方的C点。如图所示，不计重力。试求：
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（2）C点到B点的距离h。
【规律】
一、有界磁场中的运动轨迹特点
(1)直线边界：进出磁场具有对称性。
(2)平行边界：存在临界条件。
(3)圆形边界：沿径向射入必沿径向射出。
【练习】1．(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度＜v＜
解析：选AB　如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有，又r1＝，所以v1＝。粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，v2＝。
综合上述分析可知，选项A、B正确。
2.
(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　)
A．B＞，垂直纸面向里　
B．B＞，垂直纸面向里
C．B＞，垂直纸面向外
D．B＞，垂直纸面向外
解析：选BD　当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设圆周运动半径为r1，由几何关系可知，sin
30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得：B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，由几何关系，s＝＋r2，得r2＝，r2＝，所以B2＝，选项B、D正确，A、C错误。
3.
(多选)如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场，欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选BC　粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R＝知，粒子的入射速度v0越大，R越大。当粒子的径迹和边界QQ′相切时，粒子刚好不从QQ′射出，此时其入射速度v0应为最大。若粒子带正电，其运动轨迹如图甲所示(此时圆心为O点)，容易看出R1sin
45°＋d＝R1，将R1＝代入得v0＝，选项B正确。
若粒子带负电，其运动轨迹如图乙所示(此时圆心为O′点)，容易看出R2＋R2cos
45°＝d，将R2＝代入得v0＝，选项C正确。
二、动态圆
（一）缩放圆
带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆，利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。
【例】如图所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为θ。已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。
?
（二）旋转圆
?　　在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆，用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
【例】如图所示，S为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的范围为多大？
?
（三）平移圆
带电粒子在两个或更多个并列匀强磁场中运动，粒子从一个匀强磁场进入另一个匀强磁场后，若磁场方向相反，根据左手定则得粒子旋转方向相反，轨迹在交界处必外切，轨迹可认为是圆的平移所得，如磁感应强度大小也变再结合缩放圆处理；若磁感应强度大小变化，根据洛伦兹力提供向心力得粒子运动半径改变，轨迹在交界处必内切，轨迹可认为两个半径不同的圆通过交替平移所得。
【例】在x轴上方有匀强电场，场强为E，在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度为B，方向如图所示。在x轴上有一点M，离O点距离为l，现有一带电量为＋q的粒子，从静止开始释放后能经过M点，求如果此粒子在y轴上静止释放，其坐标应满足什么关系？(重力忽略不计)
解析：要使带电粒子从静止释放后能运动到M点，必须把粒子放在电场中A点先加速才行，当粒子经加速以速度v进入磁场后，只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，运动半周后到达B点，再做减速运动，上升到与A点等高处，再返回做加速运动，到B点后又以速度v进入磁场做圆周运动，半径与前者相同，以后重复前面的运动，从图中可以看出，要想经过M点，OM距离应为直径的整数倍，即满足2R·n＝＝l。
2R·n＝l①
R＝②
Eq·y＝mv2③
联立①②③可得：y＝(n＝1、2、3……)。
（四）动态弦
当带电粒子垂直射入有界匀强磁场的速率v一定时，粒子运动的时间与弦长成正比，弦越长、圆心角越大，带电粒子在磁场中做圆周运动的时间越长。
【例】1.
如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤a/2范围内有垂直与xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
（1）速度的大小；
（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
2．如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S．某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场．已知∠AOC=60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：粒子在磁场中运动做匀速圆周运动，入射点是S，出射点在OC直线上，出射点与S点的连线为轨迹的一条弦．
当从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间最短时，轨迹的弦最短，
根据几何知识，作ES⊥OC，则ES为最短的弦，粒子从S到E的时间即最短．
由题，粒子运动的最短时间等于，则θ=60°
设OS=d，则ES=d
由几何知识，得粒子运动的轨迹半径为R=ES=d，直径D=
当粒子轨迹的弦是直径时运动时间最长，根据几何知识，轨迹SD如图．
可见粒子在磁场中运动的最长时间为tmax=，故选B。
（五）磁会聚与磁扩散
当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；
规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（
）
A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长
D．只要速度满足，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6
m，宽ab=0.3
m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7
kg、电荷量q=+2×10-3
C的带正电粒子以速度v=5×102
m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（
）
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边
D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点
3．如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy内，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为L的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ。电场的场强大小均为E，区域Ⅰ的场强方向沿x轴正方向，其下边界在x轴上，右边界刚好与区域Ⅱ的边界相切；区域Ⅱ的场强方向沿y轴正方向，其上边界在x轴上，左边界刚好与刚好与区域Ⅳ的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为，区域Ⅲ的圆心坐标为（0，）、磁场方向垂直于xOy平面向外；区域Ⅳ的圆心坐标为（0，）、磁场方向垂直于xOy平面向里。两个质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子M、N，在外力约束下静止在坐标为（，）、（，）的两点。在x轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy平面。将粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求：
（1）粒子离开电场Ⅰ时的速度大小。
（2）粒子M击中感光板的位置坐标。
（3）粒子N在磁场中运动的时间。
解析：（1）粒子在区域Ⅰ中运动，由动能定理得
解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有，又有，解得
因M运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故M在磁场Ⅲ中运动四分之一个周期后经过原点进入磁场Ⅳ，再运动四分之一个周期后平行于x轴正方向离开磁场，进入电场Ⅱ后做类平抛运动。
假设M射出电场后再打在x轴的感光板上，则
M在电场Ⅱ中运动的的时间
沿电场方向的位移
假设成立，运动轨迹如图所示。
沿电场方向的速度
速度的偏向角
设射出电场Ⅱ后沿x轴方向的位移x1，有
M击中感光板的横坐标，位置坐标为（2L，0）
（3）N做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得N将从b点进入磁场Ⅲ，从原点O离开磁场Ⅲ进入磁场Ⅳ，然后从d点离开磁场Ⅳ，沿水平方向进入电场Ⅱ。轨迹如图。
在磁场Ⅲ中，由几何关系，则θ=300，圆弧对应的圆心角φ=1800?300=1500
粒子在磁场中运动的周期
粒子在磁场Ⅲ中运动的时间
由对称关系得粒子在磁场Ⅲ、Ⅳ中运动时间相等；
故粒子在磁场中运动的时间
4．如图甲所示，质量m=8.0×10?25kg，电荷量q=1.6×10?15C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v0=2.0×107m/s。现在某一区域内加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上,并且当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(π=3.14)求：
（1）粒子从y轴穿过的范围；
（2）荧光屏上光斑的长度；
（3）打到荧光屏MN上最高点和最低点的粒子运动的时间差；
（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。
解析：粒子在磁场中匀速圆周运动，有
解得
当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子是沿水平方向从磁场中出射，则所加的磁场为圆形，同时圆形磁场的半径与电子在磁场中匀速圆周运动的半径相等，即R=0.1m；且圆形磁场的圆心在y轴上O点正上方，如图所示的O1点。
（1）初速度沿y轴正方向的粒子直接从原点穿过y轴；
初速度与x轴正方向成300的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，设该粒子圆周运动的圆心为O2，则∠OO2B=1500；设此粒子从y轴上的A点穿过y轴，由几何关系知∠OAO2=300，则有。
粒子从y轴穿过的范围为。
（2）初速度沿y轴方向入射的粒子经四分之一圆周后速度水平，如图所示，打在光屏上的P点，有；
初速度与x轴正方向成300入射的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，如图所示，打在光屏上的Q点，有；
荧光屏上光斑的长度
（3）粒子在磁场中运动的周期
打到最高点和最低点的粒子在磁场中运动多用的时间
打到最高点和最低点的粒子在磁场外运动多用的时间
打到最高点和最低点的粒子运动的时差间
（4）所加磁场的最小范围如图所示，其中从B到C的边界无磁场分布。
三、仪器
（一）质谱仪
1．原理图：如图所示。
2．加速
带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：qU＝mv2。①
3．偏转
带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：qvB＝。②
4．由①②两式可以求出粒子的运动半径r、质量m、比荷等。其中由r＝
可知电荷量相同时，半径将随质量变化。
5．质谱仪的应用
可以测定带电粒子的质量和分析同位素。
【练习】1.
1922年，英国物理学家阿斯顿因质谱仪的发明、同位素和质谱的研究荣获了诺贝尔化学奖。质谱仪的两大重要组成部分是加速电场和偏转磁场。图示为质谱仪的原理图，设想有一个静止的带电粒子(不计重力)P，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到底片上的D点。设OD＝x，则在下列中能正确反映x2与U之间函数关系的是(　　)
解析：选A　根据动能定理qU＝mv2
得，v＝
。粒子在磁场中偏转洛伦兹力提供向心力qvB＝m，则R＝。
x＝2R＝
。知x2∝U。故A正确，B、C、D错误。
2.
图示为某种质谱仪的工作原理示意图。此质谱仪由以下几部分构成：粒子源N；P、Q间的加速电场；静电分析器；磁感应强度为B的有界匀强磁场，方向垂直纸面向外；胶片M.若静电分析器通道中心线半径为R，通道内有均匀辐射电场在中心线处的电场强度大小为E；由粒子源发出一质量为m、电荷量为q的正离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后，垂直场强方向进入静电分析器，在静电分析器中，离子沿中心线做匀速圆周运动，而后由S点沿着既垂直于静电分析器的左边界，又垂直于磁场方向射入磁场中，最终打到胶片上的某点。下列说法中正确的是(　　)
A.P、Q间加速电压为ER
B.离子在磁场中运动的半径为
C.若一质量为4m、电荷量为q的正离子加速后进入静电分析器，离子不能从S射出
D.若一群离子经过上述过程打在胶片上同一点，则这些离子具有相同的比荷
答案　AD
解析　直线加速过程，根据动能定理，有：qU＝mv2
①
电场中偏转过程，根据牛顿第二定律，有：qE＝m
②
磁场中偏转过程，根据牛顿第二定律，有：qvB＝m
③
解得：U＝ER，
④
r＝
＝
⑤
由④式，只要满足R＝，所有粒子都可以从辐射电场区通过；
由④⑤知，打到胶片上同一点的粒子的比荷一定相等.
（二）回旋加速器
1．交变电压的周期：带电粒子做匀速圆周运动的周期T＝与速率、半径均无关，运动相等的时间(半个周期)后进入电场，为了保证带电粒子每次经过狭缝时都被加速，须在狭缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压，所以交变电压的周期也与粒子的速率、半径无关，由带电粒子的比荷和磁场的磁感应强度决定。
2．带电粒子的最终能量：由r＝知，当带电粒子的运动半径最大时，其速度也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Ekm＝。可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度B和D形盒的半径R。
3．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n＝(U是加速电压的大小)，一个周期加速两次。
4．粒子在回旋加速器中运动的时间：在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2＝T＝(n是粒子被加速次数)，总时间为t＝t1＋t2，因为t1?t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。
【练习】1．(多选)1932年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是(　　)
A．离子由加速器的中心附近进入加速器
B．离子由加速器的边缘进入加速器
C．离子从磁场中获得能量
D．离子从电场中获得能量
解析：选AD　离子从加速器的中间位置进入加速器，最后由加速器边缘飞出，所以A对，B错。加速器中所加的磁场是使离子做匀速圆周运动，所加的电场由交流电提供，它用以加速离子。交流电的周期与离子做圆周运动的周期相同。故C错，D
对。
2．(多选)图甲是回旋加速器的工作原理图。D1和D2是两个中空的半圆金属盒，它们之间有一定的电势差，A处的粒子源产生的带电粒子，在两盒之间被电场加速。两半圆盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，所以粒子在半圆盒中做匀速圆周运动。若带电粒子在磁场中运动的动能Ek随时间t的变化规律如图乙所示，不计带电粒子在电场中的加速时间，不考虑由相对论效应带来的影响，下列判断正确的是(　　)
A．在Ek?t图中应该有tn＋1－tn＝tn－tn－1
B．在Ek?t图中应该有tn＋1－tnC．在Ek?t图中应该有En＋1－En＝En－En－1
D．在Ek?t图中应该有En＋1－En解析：选AC　根据带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速度无关可知，在Ek?t图中应该有
tn＋1－tn＝tn－tn－1，选项A正确B错误；由于带电粒子在电场中加速，电场力做功相等，所以在Ek?t图中应该有En＋1－En＝En－En－1，选项C正确D错误。
（三）速度选择器
1．平行板间电场强度E和磁感应强度B互相
.这种装置能把具有一定
的粒子选择出来，所以叫做速度选择器。
2．粒子能够通过选择器的条件是qE＝qvB，即v＝。
3．速度选择器只选择速度(大小、方向)，而不选择粒子的质量和电荷量。
4．若射入的是正电荷，当v′＞v＝E/B时，则qv′B＞qE，粒子向
偏转；当v′＜v＝E/B时，qv′B＜qE，粒子向
偏转。
（四）磁流体发电机
1．磁流体发电是一项新兴技术，它可以把
能直接转化为
能。
2．根据左手定则，如图中的B板是发电机
。
3．磁流体发电机两极板间的距离为d，等离子体速度为v，磁场磁感应强度为B，则两极板间能达到的最大电势差U＝___
_.电源电阻r
=
ρd/S，外电阻R中的电流可由闭合电路欧姆定律求出，
即I
=
E/(R
+
r)
=
BdvS/(RS
+ρd)。
（五）霍尔元件
如图所示，厚度为h，宽度为d的导体板放在垂直于它的磁感应强度为B的均匀磁场中。当电流通过导体板时，在导体板的上侧面A和下侧面A′之间会产生电势差，这种现象称为霍尔效应。
实验表明，当磁场不太强时，电势差U、电流I和B的关系为U=K。式中的比例系数K称为霍尔系数。霍尔效应可解释如下：外部磁场的洛仑兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧会出现多余的正电荷，从而形成横向电场。横向电场对电子施加一洛伦兹力方向相反的静电力。当静电力与洛伦兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就会形成稳定的电势差。
设电流I是由电子的定向流动形成的，电子的平均定向速度为v，电量为e，回答下列问题：
（1）达到稳定状态时，导体板上侧面A的电势
下侧面A′的电势（填“高于”“低于”或“等于”）；
（2）电子所受的洛伦兹力的大小为
；
（3）当导体板上下两侧之间的电势差为U时，
电子所受静电力的大小为
；
（4）由静电力和洛伦兹力平衡的条件，证明霍尔系数为K=，其中n代表导体板单位体积中电子的个数。
【例】1.如图所示，一段长方体形导电材料，左右两端面的边长都为a和b，内有带电量为q的某种自由运动电荷。导电材料置于方向垂直于其前表面向里的匀强磁场中，内部磁感应强度大小为B。当通以从左到右的稳恒电流I时，测得导电材料上、下表面之间的电压为U，且上表面的电势比下表面的低。由此可得该导电材料单位体积内自由运动电荷数及自由运动电荷的正负分别为(　
　)
A．，负　　　　　　　
　B．
，正
C．，负
D．，正
2.利用霍尔效应制作的霍尔元件，广泛应用于测量和自动控制等领域。如图是霍尔元件的工作原理示意图，磁感应强度B垂直于霍尔元件的工作面向下，通入图示方向的电流I，C、D两侧面会形成电势差UCD，下列说法中正确的是(　　)
A.电势差UCD仅与材料有关
B.若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势差UCD＜0
C.仅增大磁感应强度时，电势差UCD可能不变
D.在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平
答案　B
解析　由题意可知，CD间存在电势差，即存在电场，载流子在电场力和洛伦兹力作用下处于平衡，设霍尔元件的长、宽、高分别为a、b、c，有q＝qvB，I＝nqvS＝nqvbc，则UCD＝.故A、C错误；根据左手定则，电子向C侧面偏转，C表面带负电，D表面带正电，所以D表面的电势高，则UCD＜0，B正确；在测定地球赤道上方地磁场强弱时，应将元件的工作面保持竖直，让磁场垂直通过.故D错误.
（六）电磁流量计
1．如图所示，一圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体流过导管．
2．原理：如图所示，圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电液体在管中向左流动，导电液体中的自由电荷（正、负离子），在洛伦兹力的作用下横向偏转，a、b间出现电势差，形成电场，当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定，即：qvB=qE=qU/D，所以v
=
，因此液体流量Q
=
vS
=
。
【例】1．医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度。电磁血流计由一对电极a和b以及一对磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的。使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的连线、磁场方向和血流速度方向两两垂直，如图所示。由于血液中的正负离子随血流一起在磁场中运动，电极a、b之间会有微小电势差。在达到平衡时，血管内部的电场可看做匀强电场，血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零。在某次监测中，两触点间的距离为3.0
mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势差为160
μV，磁感应强度的大小为0.040
T。则血流速度的近似值和电极a、b的正负为(　　)
A．1.3
m/s，a正、b负
B．2.7
m/s，a正、b负
C．1.3
m/s，a负、b正
D．2.7
m/s，a负、b正
解析：选A　根据左手定则，正离子在磁场中受到洛伦兹力的作用向上偏，负离子在磁场中受到洛伦兹力的作用向下偏，因此电极a为正极，电极b为负极；当达到平衡时，血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零，则qE＝Bqv，又E＝，得v＝＝
m/s＝1.3
m/s，选项A正确。
2．电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方体的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c。流量计的两端与输送流体的管道相连接（图中虚线）。图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料。现于流量计所在处加磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面。当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R的电流两端连接，I表示测得的电流值。已知流体的电阻率为，不计电流表的内阻，则可求得流量为（
）
Ａ.
B.
C.
D.
【题型】
一、带电粒子在组合场中的运动
1.组合场模型
电场、磁场、重力场(或其中两种场)并存，但各自位于一定区域，并且互不重叠的情况.
2.带电粒子在组合场中运动的处理方法
(1)分别研究带电粒子在不同场区的运动规律.在匀强磁场中做匀速圆周运动.在匀强电场中，若速度方向与电场方向平行，则做匀变速直线运动；若速度方向与电场方向垂直，则做类平抛运动.
(2)带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系处理.
(3)当粒子从一个场进入另一个场时，该位置粒子的速度大小和方向往往是解题的突破口.
【练习】1．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴负方向.在第一、四象限内有一个圆，圆心O′坐标为(r,0)，圆内有方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场.一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计粒子所受的重力)，从P(－2h，h)点，以大小为v0的速度沿平行于x轴正方向射入电场，通过坐标原点O进入第四象限，又经过磁场从x轴上的Q点离开磁场.求：
(1)电场强度E的大小；
(2)圆内磁场的磁感应强度B的大小；
(3)带电粒子从P点进入电场到从Q点射出磁场的总时间t.
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)带电粒子在电场中做类平抛运动，有
水平方向：2h＝v0t1
①
竖直方向：h＝at
②
a＝
③
由①②③式得E＝
④
(2)粒子进入磁场时沿y轴方向的速度vy＝at1＝v0
⑤
粒子进入磁场时的速度v＝
⑥
粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，有qvB＝m
⑦
由几何关系有R＝r
⑧
由③⑤⑥⑦⑧式得B＝
⑨
(3)粒子在磁场中运动的时间t2＝T
⑩
粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝
?
粒子从P点进入电场到Q点射出磁场的总时间t＝t1＋t2
?
由①⑨⑩??解得t＝
2．如图所示，平面直角坐标系xOy在第一象限内存在水平向左的匀强电场，第二、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，第三象限内存在与x轴负方向成30°角斜向上的匀强电场.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以一定初速度从y轴上的A点与y轴正方向成60°角垂直磁场方向射入第二象限，粒子从x轴上的C点与x轴正方向成30°角进入第三象限.粒子到达y轴上的D点(未画出)时速度刚好减半，经第四象限内磁场偏转后又能垂直x轴进入第一象限内，最后恰好回到A点.已知OA＝a，第二象限内匀强磁场的磁感应强度为B.粒子重力不计，求：
(1)粒子初速度v0和第四象限内匀强磁场的磁感应强度B1的大小；
(2)第一、三象限内匀强电场的电场强度E1和E2的大小；
(3)粒子在第一、三象限内运行的时间比t1∶t3.
答案　(1)　B　(2)　　(3)
解析　(1)粒子在第二象限内运动正好完成半个圆周，则2R1cos
30°＝OA，解得R1＝a
而Bqv0＝，解得v0＝
粒子在第三象限中运动时有CD＝2R1tan
30°＝a
粒子在第四象限中运动时有R2＝CDtan
30°＝a
而B1qv1＝m，v1＝v0，解得B1＝B
(2)在第一象限内：OF＝R2＋R2sin
30°＝a
有OF＝··t，OA＝v1t1
解得E1＝，t1＝
在第三象限内：v－v＝2··CD
代入解得E2＝
(3)在第三象限内有：v0－v1＝·t3
解得t3＝
所以＝
二、带电粒子在叠加场中的运动
带电粒子在叠加场中运动的处理方法
(1)明种类：明确叠加场的种类及特征.
(2)析特点：正确分析带电粒子的受力特点及运动特点.
(3)画轨迹：画出运动过程示意图，明确圆心、半径与边角关系.
(4)用规律：灵活选择不同的运动规律.
①两场共存时，电场与磁场中满足qE＝qvB或重力场与磁场中满足mg＝qvB或重力场与电场中满足mg＝qE，都表现为匀速直线运动或静止，根据受力平衡列方程求解.
②三场共存时，合力为零，受力平衡，粒子做匀速直线运动.其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直.
③三场共存时，粒子在叠加场中做匀速圆周运动.mg与qE相平衡，根据mg＝qE，由此可计算粒子比荷，判定粒子电性.粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，应用受力平衡和牛顿运动定律结合圆周运动规律求解，有qvB＝mrω2＝m＝mr＝ma.
④当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解.
【练习】
1.
如图所示，在无限长的水平边界AB和CD间有一匀强电场，同时在AEFC、BEFD区域分别存在水平向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小相同，EF为左右磁场的分界线.AB边界上的P点到边界EF的距离为(2＋)L，一带正电微粒从P点正上方的O点由静止释放，从P点垂直AB边界进入电、磁场区域，且恰好不从AB边界飞出电、磁场.已知微粒在磁场中的运动轨迹为圆弧，重力加速度大小为g，电场强度大小E(E未知)和磁感应强度大小B(B未知)满足＝2，不考虑空气阻力，求：
(1)O点距离P点的高度h多大；
(2)若微粒从O点以v0＝水平向左平抛，且恰好垂直下边界CD射出电、磁场，则微粒在磁场中运动的时间t多长？
解析　(1)微粒在电磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，重力与电场力合力为零，则：qE＝mg，
粒子运动轨迹如图所示：
由几何知识可得：sin
θ＝，r1＋r1sin
θ＝(2＋)L，
解得：r1＝2L，
微粒做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv1B＝m，
由动能定理得：mgh＝mv－0，
已知：＝2，解得：h＝L；
(2)微粒在进入电磁场前做平抛运动，x1＝v0t1，h＝gt，
代入数据解得：t1＝，x1＝L，
微粒在M点的竖直分速度：v′＝，
速度：v＝2，速度与AB夹角为30°，
微粒运动轨迹如图所示：
微粒轨道半径：r2＝4L，由几何知识可知，微粒从M点偏转30°垂直打在EF边界上，
微粒在磁场中做圆周运动的周期：T＝＝4π
由题意可知，微粒的运动时间：t＝t1′＋t2′＝T＋kT＋T＝T＋kT＋T(k＝0、1、2、3、……)
解得：t＝2π(＋k)(k＝0、1、2、3、……)
答案　(1)L　(2)2π(＋k)(k＝0、1、2、3、……)
2.
如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5
N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5
T.有一带正电的小球，质量m＝1×10－6
kg，电荷量q＝2×10－6
C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g＝10
m/s2，求：
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.
答案　(1)20
m/s　方向与电场方向成60°角斜向上
(2)3.5
s
解析　(1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB＝
①
代入数据解得v＝20
m/s
②
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角满足
tan
θ＝
③
代入数据解得tan
θ＝
θ＝60°
④
(2)解法一　撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，如图所示，设其加速度为a，有
a＝
⑤
设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有
x＝vt
⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，有
y＝at2
⑦
tan
θ＝
⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得
t＝2
s≈3.5
s
⑨
解法二　撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为
vy＝vsin
θ
⑤
若使小球再次穿过P点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，
则有vyt－gt2＝0
⑥
联立⑤⑥式，代入数据解得t＝2
s≈3.5
s.
三、带电粒子在交变电磁场中的运动
带电粒子在交变电磁场中运动的处理方法
(1)若交变电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间或粒子穿越电场的时间极短可忽略时，则粒子在穿越电场的过程中，电场可看做匀强电场.
(2)空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波”的特点.交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经历不同特点的电场或磁场或叠加场，从而表现出“多过程”现象.其运动特点既复杂又隐蔽.分析时应该注意以下三点：①仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁场中的运动周期相关联.有一定的联系，应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口；②必要时，可把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析；③把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一阶段上的受力情况确定粒子的运动规律.
【例】1.如图甲所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点(3L,0)为中心、边长为2L的正方形区域，其边界ab与x轴平行，正方形区域与x轴的交点分别为M、N.在该正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，现有一质量为m、带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v0沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点以与x轴夹角为30°的方向进入正方形区域，并恰好从d点射出.
(1)求匀强电场E的大小；
(2)求匀强磁场B的大小；
(3)若当电子到达M点时，在正方形区域换加如图乙所示周期性变化的磁场(以垂直于纸面向外为磁场正方向)，最后电子运动一段时间后从N点飞出，求正方形磁场区域磁感应强度B0大小的表达式、磁场变化周期T与B0的关系式.
步骤1：在电场中做平抛运动分方向列方程在M点速度分解
(1)在E中：L＝v0t
①vy＝t
②tan
30°＝
③得：E＝
④
步骤2：在磁场中：由几何关系得：列F洛＝Fn方程
(2)R＝
⑤BevM＝
⑥vM＝
⑦得：B＝
⑧
步骤3：从N点射出的几种情景图：根据几何关系，由图得出T、B0的关系：
(3)n·r＝2L(n＝1,2,3……)
⑨r＝＝
⑩得B0＝n·(n＝1,2,3……)
?T0＝
?＝
?得：T＝?
?
④⑧⑨???每式各2分，其余各式1分.
2.
如图甲所示，在竖直边界MN的左侧存在与水平方向成θ＝60°斜向右上方的匀强电场.其电场强度大小E1＝N/C，在MN的右侧有竖直向上的匀强电场，其电场强度大小E2＝1.5
N/C，同时，在MN的右侧还有水平向右的匀强电场E3和垂直纸面向里的匀强磁场B(图甲中均未画出)，E3和B随时间变化的情况如图乙所示.现有一带正电的微粒，带电荷量q＝1×10－5
C，从左侧电场中距MN边界x1＝
m的A点无初速度释放后，微粒水平向右进入MN右侧场区，设此时刻t＝0，取g＝10
m/s2.求：
(1)带电微粒的质量m；
(2)带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5
s时的速度v(取2＝4.5)；
(3)带电微粒从A点运动到MN右侧场区中计时为1.5
s的过程中，各电场对带电微粒做的总功W.(取3π＝10)
答案　(1)1.5×10－6
kg　(2)5
m/s，方向水平向左
(3)4.125×10－5
J
解析　(1)MN左侧匀强电场的电场强度为E1，方向与水平方向夹角为θ，带电微粒受力如图所示.
沿竖直方向有：qE1sin
θ＝mg
解得：m＝1.5×10－6
kg.
(2)在MN左侧，对带电微粒沿水平方向有：
qE1cos
θ＝ma1
解得：a1＝
m/s2
对水平方向的匀加速运动有：v＝2a1x1
解得刚到MN时v0＝4.5
m/s
带电微粒在MN右侧场区始终满足：qE2＝mg
在0～1
s时间内，带电微粒在E3电场中有：
a2＝＝
m/s2＝0.5
m/s2
带电微粒在1
s时的速度大小为：
v＝v0＋a2t＝5
m/s
在1～1.5
s时间内，带电微粒在磁场B中做匀速圆周运动，周期为
T＝＝
s＝1
s
在1～1.5
s时间内，带电微粒在磁场B中正好运动了半个圆周，所以带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5
s时的速度大小为5
m/s，方向水平向左.
(3)带电微粒在磁场B中做圆周运动的半径为
r＝＝
m＝
m＝0.75
m
W－mg·2r＝mv2
解得：W＝4.125×10－5
J.
四、带电粒子在磁场中运动的多解问题
求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧：
(1)分析题目特点，确定题目多解的形成原因．
(2)作出粒子的运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)．
(3)若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件．
（一）磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解．
【例】(多选)在M、N两条长直导线所在的平面内，一带电粒子的运动轨迹示意图如图所示．已知两条导线M、N中只有一条导线中通有恒定电流，另一条导线中无电流，关于电流方向和粒子带电情况及运动的方向，可能是(　　)
A．M中通有自上而下的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动
B．M中通有自上而下的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动
C．N中通有自上而下的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动
D．N中通有自上而下的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动
（二）临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解．
【例】
(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直于磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度v满足＜v＜
【解析】
带电粒子刚好打在极板右边缘，有r＝＋l2，又因r1＝，解得v1＝；粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝＝，解得v2＝，故A、B正确．
（三）带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解．
【例】
如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界．现有质量为m，电荷量的绝对值为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少？
答案：　或
【解析】
题目中只给出粒子“电荷量的绝对值为q”，未说明带哪种电荷．
若粒子带正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的圆弧，轨道半径：R＝
又d＝R－，
解得v＝
若粒子带负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN′相切的圆弧，则有：R′＝
d＝R′＋，
解得v′＝
（四）运动的往复性形成多解
空间中部分是电场，部分是磁场，带电粒子在空间运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解．
【例】某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示．装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点．改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．
(1)求磁场区域的宽度h；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；
(3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值．
(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r′
m＝qvB，m＝qv′B，
由题意知　3rsin
30°＝4r′sin
30°
解得Δv＝v－v′＝.
(3)设粒子经过上方磁场n次
由题意知　L＝(2n＋2)dcos
30°＋(2n＋2)rnsin
30°
且　eq
\f(mv,rn)＝qvnB，
解得　vn＝
（五）带电粒子在磁场中极值、临界问题
1.临界问题的分析思路
物理现象从一种状态变化成另一种状态时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件称为临界条件．临界问题的一般解题模式为：
(1)找出临界状态及临界条件；
(2)总结临界点的规律；
(3)解出临界量．
2．带电体在磁场中的临界问题的处理方法
(1)带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零．
(2)射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切．
【例】如图所示，两个同心圆半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放射出的粒子质量为m、电荷量为－q(q＞0)，假设粒子速度方向都和纸面平行．
(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向的夹角为60°，要想使该粒子经过环形区域磁场一次后通过A点，则初速度的大小是多少？
(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？
　(1)　(2)
【解析】
(1)如图所示，粒子经过环形区域磁场一次后通过A点的轨迹为圆弧O1，设粒子在磁场中的轨迹半径为R1，
则由几何关系得R1＝
又qv1B＝meq
\f(v,R1)
得v1＝.
(2)粒子运动轨迹与磁场外边界相切时，粒子恰好不穿出环形区域，设粒子在磁场中的轨迹半径为R2，则由几何关系有
(2r－R2)2＝R＋r2，可得R2＝
又qv2B＝meq
\f(v,R2)，可得v2＝
故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过.
式题1
(多选)(矩形边界磁场的临界、极值问题)如图所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t.若加上磁感应强度为B、垂直纸面向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出磁场时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的(　　)
A．带电粒子的比荷
B．带电粒子在磁场中运动的周期
C．带电粒子的初速度
D．带电粒子在磁场中运动的半径
　答案：AB　
式题2
(多选)(半无界磁场的临界、极值问题)如图所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场(方向垂直纸面向里)的边界．一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场．若粒子速度为v0，最远可落在边界上的A点．下列说法中正确的有(　　)
A．若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0
B．若粒子落在A点的右侧，其速度一定大于v0
C．若粒子落在A点左右两侧距离为d的范围内，其速度不可能小于v0－
D．若粒子落在A点左右两侧距离为d的范围内，其速度不可能大于v0＋
【解析】
因粒子由O点以速度v0入射时，最远落在A点，又粒子在O点垂直于边界射入磁场时，在边界上的落点最远，即＝，所以粒子若落在A的右侧，速度应大于v0，B正确；当粒子落在A的左侧时，由于不一定是垂直于边界入射，所以速度可能等于、大于或小于v0，A错误；当粒子射到A点左侧相距d的点时，设最小速度为xmin，则＝，又因＝，所以vmin＝v0－，所以粒子落在A点左右两侧距离为d的范围内时，其速度不可能小于vmin＝v0－，C正确；当粒子射到A点右侧相距d的点时，最小速度为v1，则＝，又因＝，即v1＝v0＋，D错误．故选BC
式题3
(半圆形磁场的临界、极值问题)如图所示，长方形abcd长ad＝0.6
m，宽ab＝0.3
m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25
T．一群不计重力、质量m＝3×10－7
kg、电荷量q＝＋2×10－3
C的带电粒子以速度v＝5×102
m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则(　　)
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边
D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和bc边
【解析】
由r＝得带电粒子在匀强磁场中运动的半径r＝0.3
m，从Od边射入的粒子，出射点全部分布在ab边；从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边；选项D正确．
式题4
(直线边界磁场的临界、极值问题)如图所示，一个质量为m、电荷量为－q(q＞0)的带电粒子从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限．求匀强磁场的磁感应强度B的大小和射出点的坐标．
【解析】
轨迹示意图如图所示，由射入、射出点对应的半径可找到圆心O′，并得出半径为r＝＝，得B＝；射出点坐标为(0，a)．
式题5
(三角形磁场的临界、极值问题)如图所示，△ABC为与匀强磁场(方向垂直纸面向外)垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为(　　)
A．B＞　　
B．B＜
C．B＞
D．B＜
【解析】
由题意，如图所示，电子正好经过C点，此时圆周运动的半径R＝＝，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于，由带电粒子在磁场中运动的公式r＝
有＜，即B＜，选D.
■
注意事项
许多临界问题、题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时一定要抓住此类特定的词语，挖掘出隐藏的规律，找出临界条件．

展开更多......

收起↑