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数与式
第5节
分式
考点1.分式的概念
1．分式：形如____(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
2．与分式有关的结论
(1)分式无意义的条件是__B＝0__．
(2)分式有意义的条件是__B≠0__．
(3)分式值为0的条件是__A＝0且B≠0__．
考点2.　分式的性质
1．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变.＝，＝(其中M是不等于零的整式)．
2．约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的__公因式__约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．
3．通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为__同分母__的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
4．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
考点3.　分式的计算
分式的运算法则
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
(2)分式的加减法：同分母加减法，__分母不变，分子相加减__；异分母加减法，__先通分，后加减__．
(3)分式的乘除法：·＝____；÷＝____．
(4)分式的乘方：()n＝____．
（5）分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
?先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，按从左到右的顺序做，有括号的先
算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。?
注：分式运算结果一定是一个最简分式（或整式）。
考点1.分式的概念
◇典例
：
1.
下列式子是分式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的定义
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
解：A、分母中不含有字母的式子是整式，故A错误；
B、分母中含有字母的式子是分式，故B正确；
C、分母中不含有字母的式子是整式，故C错误；
D、分母中不含有字母的式子是整式，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2.一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要________小时．
【考点】列分式
【分析】甲单独做一天可完成工程总量的，乙单独做一天可完成工程总量的，二人合作一天可完成工程总量的，工程总量除以二人合作一天可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需天数．
解：设该工程总量为1，二人合作完成该工程所需天数=
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
3.（2020年贵州省贵阳、安顺市）当时，下列分式没有意义的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式有意义的条件
【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.
解：,当x=1时,分母为零,分式无意义.
故选B.
【点评】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.
4.（2020年浙江省金华市、丽水市）分式的值是零，则x的值为（
）
A．5
B．2
C．－2
D．－5
【考点】分式的值为零的条件
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
解：
解：依题意，得
x+5=0，且x-2≠0，
解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
◆变式训练
下列式子是分式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的定义
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.
解：、
、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
（2019年广西贵港市）若分式的值等于0，则x的值为（　　）
A．±1
B．0
C．﹣1
D．1
【考点】分式的值为零的条件
【分析】化简分式＝＝x﹣1＝0即可求解，
解：＝＝x﹣1＝0，
∴x＝1，
经检验：x＝1是原分式方程的解，
故选：D．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握因式分解的方法，分式方程的解法是解题的关键．
（2020年江苏省宿迁市）若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．
【考点】分式有意义的条件
【分析】分式有意义时，分母x-1≠0，据此求得x的取值范围．
解：依题意得：x-1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（2018年浙江省湖州市）当x=1时，分式的值是　
　．
【考点】分式的值
【分析】将x=1代入分式，按照分式要求的运算顺序计算可得．
解：当x=1时，原式==，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的值，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
考点2.分式的性质
◇典例：
1.
如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．
扩大4倍
B．
扩大2倍
C．
不变
D．
缩小2倍
【考点】分式的基本性质．
【分析】
把分式中的x和y都扩大2倍，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
解：把分式中的x和y都扩大2倍后得：
==2?，
即分式的值扩大2倍．
故选：B．
【点评】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．
2.不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的基本性质
【分析】分式的分子、分母同乘以-1，再同乘以10，再化简即可．
解：原式===，
故选D．
【点评】解答本题关键是要不改变分式的值．同学们在解答时，一定要注意这一点．
◆变式训练
1.
把分式（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（
）
A．扩大2倍
B．缩小2倍
C．变为原来的
D．不变
【分析】根据题意得出式子，化简后即可得出答案．
解：把分式（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍得出：，
∵=，
∴把分式（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍，分式的值不变，
故选D．
【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）一个不为0的数，分式的值不变．
2.
下列变形不正确的是（
）
A．-=
B．
C．=
D．=
【分析】同时改变分式和分子的符号可对A、B进行判断；同时改变分子和分母的符号可对C、D进行判断．
解：A、-=，所以A选项的计算正确；
B、=-，所以B选项的计算错误；
C、=，所以C选项的计算正确；
D、=，所以D选项的计算正确．
故选B．
【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点3.　分式的计算
◇典例：
（2020年山东省临沂市）计算的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】异分母分式的减法
【分析】利用异分母分式的加减法计算即可.
解：
=
=
=
故选A.
【点睛】本题考查了异分母分式的减法，掌握先通分，后加减的运算顺序是解题的关键.
（2020年湖北省黄冈市）计算：的结果是____________．
【考点】分式的混合运算
【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
解：
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
（2019年四川省眉山市）化简（a﹣）÷的结果是（　　）
A．a﹣b
B．a+b
C．
D．
【考点】分式的混合运算
【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．
解：原式＝×
＝×
＝a+b．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键．
（2020年内蒙古呼伦贝尔市）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=-4代入进行计算即可．
解：原式=
=，
将代入得：原式=-4+3=-1，
故答案为：-1.
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
◆变式训练
（2020年湖南省衡阳市）计算：_________．
【考点】分式的混合运算
【分析】根据分式的四则混合运算法则计算即可．
解：．
故答案为1．
【点评】本题考查了分式的四则混合运算的法则，掌握分式四则混合运算法则是解答本题的关键．
（2018年四川省内江市）已知：﹣=，则的值是（　　）
A．
B．﹣
C．3
D．﹣3
【考点】分式的值；分式的加减法
【分析】由﹣=知=，据此可得答案．
解：∵﹣=，
∴=，
则=3，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则与分式的性质．
（2020年内蒙古鄂尔多斯市）（1）解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（）÷，其中a满足a2+2a﹣15＝0．
【考点】解一元一次不等式组，分式的化简求值
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出a2+2a＝15，整体代入计算可得．
解：（1）
解不等式①，得：x＞﹣，
解不等式②，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣＜x≤4，
∴不等式组的最小整数解为﹣2；
（2）原式＝
＝
＝
＝
＝，
∵a2+2a﹣15＝0，
∴a2+2a＝15，
则原式＝．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和分式的化简求值，正确求出每一个不等式解集是基础，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
（2017年广西贺州市）下列式子中是分式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的定义．
【分析】根据分式的定义求解即可．
解：、、的分母中不含有字母，属于整式，的分母中含有字母，属于分式．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式．
（2019年江苏省扬州）分式可变形为(
)
A．
B．-
C．
D．
【考点】分式的性质
【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可.
解：A.
≠，故A选项错误；
B.
-=≠，故B选项错误；
C.
=-，故C选项错误；
D.
==，故D选项正确，
故选D.
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
（2019年山东省聊城市）如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣1或1
D．1或0
【考点】分式的值为零的条件
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解：根据题意，得
|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得，x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0，（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
（2019年四川省攀枝花市）一辆货车送上山，并按原路下山。上山速度为千米/时，
速度为千米/时。则货车上、下山的平均速度为（
）千米/时。
A．
B．
C．
D．
【考点】列代数式，分式的化简
【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为s，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．
解：设上山的路程为x千米，
则上山的时间小时，下山的时间为小时，
则上、下山的平均速度千米/时．
故选：D．
【点睛】本题考查了列代数式以及分式的化简，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点．
（2019年浙江省湖州市）计算+，正确的结果是（　　）
A．1
B．
C．a
D．
【考点】分式的加减法
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（2020年广西柳州市）若分式有意义，则的取值范围是___________．
【考点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义的条件是分母不能为0，列出关于x的不等式即可得出答案.
解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式有意义的情况，掌握分母不为0是解题的关键．
（2019年广西玉林市）设0＜＜1，则m＝，则m的取值范围是　
　．
【考点】约分，不等式的性质
【分析】把的分子、分母分别因式分解，约分后可得，再根据0＜＜1即可确定m的取值范围．
解：m＝＝，
∵0＜＜1，
∴﹣2＜﹣＜0，
∴﹣1≤1﹣＜1，
即﹣1＜m＜1．
故答案为：﹣1＜m＜1
【点评】本题主要考查了分式的约分以及不等式的基本性质，熟练掌握分解因式的方法是解答本题的关键．
（2020年四川省乐山市）已知，且，求的值．
【考点】分式的化简求值
【分析】先进行分式的加减运算，进行乘除运算，把式子化简为．将代入进行计算即可．
解：原式=
=
=
，
∵，
∴原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，关键在于通过已知用含的表达式表示出．
（2020年辽宁省大连市）计算．
【考点】分式的混合运算
【分析】先由因式分解进行整理，然后除法变为乘法进行化简，再合并同类项即可．
解：
=
=
=
=．
【点评】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
（2020年江苏省盐城）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】根据分式的加减乘除运算法则进行运算即可化简，最后将代入求解即可．
解：原式
当时代入，
原式．
故答案为：1．
【点评】本题考查分式的加减乘除运算法则及化简求值，先乘除，再加减，有括号先算括号内的，熟练掌握运算法则及运算顺序是解决此类题的关键．
1、
选择题
（2020年河北省）若，则下列分式化简正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的基本性质
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
解：∵a≠b，
∴，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
（2020年内蒙古呼和浩特市）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法
【分析】分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.
解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、
=
=
=，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选C.
【点评】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则.
（2020年天津市）计算的结果是（
）
A．
B．
C．1
D．
【考点】分式的加减
【分析】本题可先通分，继而进行因式约分求解本题．
解：，
∵，故．
故选：A．
【点评】本题考查分式的加减运算，主要运算技巧包括通分，约分，同时常用平方差、完全平方公式作为解题工具．
（2020年山东省淄博市）化简的结果是（
）
A．a+b
B．a﹣b
C．
D．
【考点】分式的加减
【分析】跟据同分母分式相加减的运算法则计算．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
解：原式＝＝＝＝a﹣b．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的加减，熟记运算法则是解答本题的关键．
（2020年山东省威海市）分式化简后的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的加减
【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算．
解：
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式通分的方法是解答本题的关键．
（2020年湖北省随州市中考数学试题卷）的计算结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的乘除
【分析】先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果．
解：
=
=
=．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的除法，约分是解答的关键．
（2020年四川省雅安市）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
【考点】分式值为0的条件
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
（2020年湖南省衡阳市）若分式
有意义，则x的取值范围是
A．x＞1
B．x＜1
C．x≠1
D．x≠0
【考点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不等于0
解：分式分母不为0，所以，解得.
故选：C.
【点评】本题考查的是分式有意义的条件．当分母不为0时，分式有意义．
1、
填空题
（2020年江苏省南京市）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【考点】分式有意义的条件
【分析】由分式有意义的条件可得答案．
解：由题意得：
故答案为：
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
（2020年北京市）若代数式有意义，则实数的取值范围是_____．
【考点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
解：∵代数式有意义，分母不能为0，可得，即，
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）要使分式有意义，则x应满足条件____．
【考点】分式有意义的条件
【分析】当分式的分母不为零时，分式有意义，即x?1≠0．
解：当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查分式有意义的条件；熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．
（2020年云南省昆明市）要使有意义，则x的取值范围是_____．
【考点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义的条件即可求解．
解：要使分式有意义，
需满足x+1≠0．
即x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
【点评】此题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是熟知分式的分母不为零．
（2020年山东省济宁市）已如m+n=-3.则分式的值是____________．
【考点】分式的化简求值
【分析】先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后将m+n=-3代入即可.
解：原式=
=
=
=
=，
∵m+n=-3，代入，
原式=.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则.
（2020年湖北省武汉市）计算的结果是________．
【考点】分式的减法
【分析】根据分式的减法法则进行计算即可．
解：原式
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的减法运算，熟记运算法则是解题关键．
（2020年四川省南充市）若，则__________．
【考点】分式的化简求值
【分析】中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据，代入化简即可得到结果．
解：
故答案为：-2
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2020年浙江省湖州市）化简：＝_____．
【考点】分式的除法
【分析】先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可．
解：
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法．
（2020年湖南省郴州市）若分式的值不存在，则__________．
【考点】分式有意义的条件
【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
解：∵分式的值不存在，
∴x+1=0，
解得：x=-1，
故答案为：-1．
【点评】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
1、
解答题
（2020年辽宁省铁岭、葫芦岛市）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】原式括号内先通分化简，再把x的值代入化简后的式子计算即可．
解：原式
；
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（2020年江苏省连云港市）化简．
【考点】分式的乘除
【分析】首先把分子分母分解因式，把除法变为乘法，然后再约分后相乘即可．
解：原式
，
，
．
【点评】此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（2020年河南省）先化简，再求值：，其中
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a值代入计算即可．
解：原式==，
当时，原式=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，解答的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则，注意运算结果要化成最简分式或整式．
（2020年广西河池市）先化简，再计算：，其中a＝2．
【考点】分式的化简求值
【分析】先把分子分母因式分解，再约分得到同分母的加法运算，从而得到原式＝，然后把a的值代入计算即可．
解：
＝
＝
＝，
当a＝2时，原式＝＝3．
【点评】本题考查了分式的化简求值：把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（2020年广东省深圳市）先化简，再求值：，其中a=2．
【考点】分式的化简求值
【分析】先将分式进行化简，再把a的值代入化简的结果中求值即可．
解：
当a=2时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是进行分式的化简．
（2020年重庆市中考数学试题B卷）计算：
（1）（x+y）2+y（3x-y）
（2）
【考点】完全平方公式，单项式乘以多项式，分式的混合运算
【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项即可；
（2）先计算小括号里的，再计算乘法即可．
解：（1）原式=x2+2xy+y2+3xy-y2=x2+5xy．
（2）原式=
=
=．
【点评】本题考查了整式混合运算，分式的混合运算．熟知运算法则，运算公式是解题关键．
（2020年云南省）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】先把分子、分母能分解因式的分解因式，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值即可．
解：
当
上式
【点评】本题考查的是分式的除法运算，掌握把除法转化为乘法是解题的关键．
（2020年贵州省遵义市）化简式子，从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值
【分析】先把分式中能分解因式的先分解因式，把除法转化为乘法，约分后代入求值即可．
解：
当时，上式
【点评】本题考查的是分式的化简求值，注意代入时一定要注意使原分式有意义，掌握以上的知识是解题的关键．
（2020年山东省菏泽市）先化简，再求值：，其中满足．
【考点】分式的化简求值
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值．
解：原式=
=
=
=2a(a+2)
=2a2+4a.
∵，
∴a2+2a=3.
∴原式=2（a2+2a）=6.
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
（2020年四川省自贡市）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解．
【考点】分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解
【分析】根据分式的运算法则化简式子，再解不等式组得到不等式组的整数解，代入即可．
解：，
解不等式组可得，
∵，即，且为整数，
∴，代入．
【点睛】本题考查分式的化简求值、不等式组的整数解，解题的关键是取值时，注意分式的分母不能为0．
（2020年湖北省鄂州市）先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值
【分析】先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定x的值并代入计算即可．
解：
=
=
=
=
=
=
在、、0、1、2中只有当x=-2时，原分式有意义，即x只能取-2
当x=-2时，．
【点评】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的x的值是解答本题的关键．
（2020年浙江省衢州市）先化简，再求值：，其中a=3．
【考点】分式的化简求值
【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案．
解：原式=?（a﹣1）
=，
当a=3时，
原式=．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
（2020年湖南省永州市）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式的混合运算步骤进行化简，然后代入求值即可．
解：
当时，原式
【点评】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题关键．
23数与式
第5
节
分式
考点1.分式的概念
1．分式：形如__
__(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
2．与分式有关的结论
(1)分式无意义的条件是__
__．
(2)分式有意义的条件是__
__．
(3)分式值为0的条件是__
__．
考点2.　分式的性质
1．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)__
__，分式的值不变.＝，＝(其中M是不等于零的整式)．
2．约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的__
__约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质．
3．通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为_
__的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
4．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
考点3.　分式的计算
分式的运算法则
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
(2)分式的加减法：同分母加减法，__
；异分母加减法，__
(3)分式的乘除法：·＝__
__；÷＝__
__．
(4)分式的乘方：()n＝__
__．
（5）分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
?先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，按从左到右的顺序做，有括号的先
算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。?
注：分式运算结果一定是一个最简分式（或整式）。
考点1.分式的概念
◇典例
：
1.
下列式子是分式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的定义
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
解：A、分母中不含有字母的式子是整式，故A错误；
B、分母中含有字母的式子是分式，故B正确；
C、分母中不含有字母的式子是整式，故C错误；
D、分母中不含有字母的式子是整式，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2.一项工程，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，则两人一起完成这项工程需要________小时．
【考点】列分式
【分析】甲单独做一天可完成工程总量的，乙单独做一天可完成工程总量的，二人合作一天可完成工程总量的，工程总量除以二人合作一天可完成工程量即可得出二人合作完成该工程所需天数．
解：设该工程总量为1，二人合作完成该工程所需天数=
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
3.（2020年贵州省贵阳、安顺市）当时，下列分式没有意义的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式有意义的条件
【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.
解：,当x=1时,分母为零,分式无意义.
故选B.
【点评】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.
4.（2020年浙江省金华市、丽水市）分式的值是零，则x的值为（
）
A．5
B．2
C．－2
D．－5
【考点】分式的值为零的条件
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
解：
解：依题意，得
x+5=0，且x-2≠0，
解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
◆变式训练
下列式子是分式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2019年广西贵港市）若分式的值等于0，则x的值为（　　）
A．±1
B．0
C．﹣1
D．1
（2020年江苏省宿迁市）若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．
（2018年浙江省湖州市）当x=1时，分式的值是　
　．
考点2.分式的性质
◇典例：
1.
如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．
扩大4倍
B．
扩大2倍
C．
不变
D．
缩小2倍
【考点】分式的基本性质．
【分析】
把分式中的x和y都扩大2倍，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
解：把分式中的x和y都扩大2倍后得：
==2?，
即分式的值扩大2倍．
故选：B．
【点评】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项．
2.不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的基本性质
【分析】分式的分子、分母同乘以-1，再同乘以10，再化简即可．
解：原式===，
故选D．
【点评】解答本题关键是要不改变分式的值．同学们在解答时，一定要注意这一点．
◆变式训练
1.
把分式（x≠0，y≠0）中的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（
）
A．扩大2倍
B．缩小2倍
C．变为原来的
D．不变
2.
下列变形不正确的是（
）
A．-=
B．
C．=
D．=
考点3.　分式的计算
◇典例：
（2020年山东省临沂市）计算的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】异分母分式的减法
【分析】利用异分母分式的加减法计算即可.
解：
=
=
=
故选A.
【点睛】本题考查了异分母分式的减法，掌握先通分，后加减的运算顺序是解题的关键.
（2020年湖北省黄冈市）计算：的结果是____________．
【考点】分式的混合运算
【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
解：
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
（2019年四川省眉山市）化简（a﹣）÷的结果是（　　）
A．a﹣b
B．a+b
C．
D．
【考点】分式的混合运算
【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．
解：原式＝×
＝×
＝a+b．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键．
（2020年内蒙古呼伦贝尔市）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=-4代入进行计算即可．
解：原式=
=，
将代入得：原式=-4+3=-1，
故答案为：-1.
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
◆变式训练
（2020年湖南省衡阳市）计算：_________．
（2018年四川省内江市）已知：﹣=，则的值是（　　）
A．
B．﹣
C．3
D．﹣3
（2020年内蒙古鄂尔多斯市）（1）解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（）÷，其中a满足a2+2a﹣15＝0．
（2017年广西贺州市）下列式子中是分式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2019年江苏省扬州）分式可变形为(
)
A．
B．-
C．
D．
（2019年山东省聊城市）如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣1或1
D．1或0
（2019年四川省攀枝花市）一辆货车送上山，并按原路下山。上山速度为千米/时，
速度为千米/时。则货车上、下山的平均速度为（
）千米/时。
A．
B．
C．
D．
（2019年浙江省湖州市）计算+，正确的结果是（　　）
A．1
B．
C．a
D．
（2020年广西柳州市）若分式有意义，则的取值范围是___________．
（2019年广西玉林市）设0＜＜1，则m＝，则m的取值范围是　
　．
（2020年四川省乐山市）已知，且，求的值．
（2020年辽宁省大连市）计算．
（2020年江苏省盐城）先化简，再求值：，其中．
选择题
（2020年河北省）若，则下列分式化简正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年内蒙古呼和浩特市）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年天津市）计算的结果是（
）
A．
B．
C．1
D．
（2020年山东省淄博市）化简的结果是（
）
A．a+b
B．a﹣b
C．
D．
（2020年山东省威海市）分式化简后的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省随州市中考数学试题卷）的计算结果为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省雅安市）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
（2020年湖南省衡阳市）若分式
有意义，则x的取值范围是
A．x＞1
B．x＜1
C．x≠1
D．x≠0
填空题
（2020年江苏省南京市）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
（2020年北京市）若代数式有意义，则实数的取值范围是_____．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）要使分式有意义，则x应满足条件____．
（2020年云南省昆明市）要使有意义，则x的取值范围是_____．
（2020年山东省济宁市）已如m+n=-3.则分式的值是____________．
（2020年湖北省武汉市）计算的结果是________．
（2020年四川省南充市）若，则__________．
（2020年浙江省湖州市）化简：＝_____．
（2020年湖南省郴州市）若分式的值不存在，则__________．
解答题
（2020年辽宁省铁岭、葫芦岛市）先化简，再求值：，其中．
（2020年江苏省连云港市）化简．
（2020年河南省）先化简，再求值：，其中
（2020年广西河池市）先化简，再计算：，其中a＝2．
（2020年广东省深圳市）先化简，再求值：，其中a=2．
（2020年重庆市中考数学试题B卷）计算：
（1）（x+y）2+y（3x-y）
（2）
（2020年云南省）先化简，再求值：，其中．
（2020年贵州省遵义市）化简式子，从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
（2020年山东省菏泽市）先化简，再求值：，其中满足．
（2020年四川省自贡市）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解．
（2020年湖北省鄂州市）先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
（2020年浙江省衢州市）先化简，再求值：，其中a=3．
（2020年湖南省永州市）先化简，再求值：，其中．
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