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第一章
数与式
第6节
二次根式
考点1.
二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子__
__叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数__
__；
②被开方数中__
__的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果
，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.
2．二次根式的性质：
(1)
（a≥0）具有
性，一是
0，二是
．
(2()2＝__
__．
(3)＝|a|＝
考点2.　二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是
．
2.乘除运算：（1）二次根式的乘法：·＝__
__(a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝__
__(a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方，再算
，最后算
，如果有
，就先算
里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
下列各式中，，，，，，二次根式的个数有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据形如
（a≥0）是二次根式，可得答案．
解：，，，是二次根式，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
（2020年浙江省宁波市）二次根式中字母x的取值范围是（　　）
A．x＞2
B．x≠2
C．x≥2
D．x≤2
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
（2020年江苏省泰州市）下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断．
解：A、3和不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．
◆变式训练
下列各式中，不是二次根式的是（??
）
A、
B、
C、
D、
（2020年湖北省武汉市）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年内蒙古呼伦贝尔市）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（
）
A．
B．
C．1
D．
■考点2.
最简二次根式与同类二次根式
◇典例:
1．下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】最简二次根式．
【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有C选项符合最简二次根式的要求．
解：因为：A、=；
B、=2；
D、=|b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（　　）
A．
B．
C．2
D．5
【考点】同类二次根式．
【分析】根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x﹣3，
解得x=2．
故选C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
◆变式训练
1．若和都是最简二次根式，则m=　
　，n=　
　．
2．（2016年福建省龙岩）与是同类二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
■考点3.二次根式的运算?
◇典例：
（2020年江苏省南通市）下列运算，结果正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可．
解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．，此选项错误；
D．，此选项计算正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键．
（2020年云南省昆明市）下列运算中，正确的是（　　）
A．﹣2＝﹣2
B．6a4b÷2a3b＝3ab
C．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
D．
【考点】幂的乘方与积的乘方,单项式除单项式,分式的乘除,二次根式的加减
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则和整式的除法运算法则、分式的乘法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
解：A、﹣2＝﹣，此选项错误，不合题意；
B、6a4b÷2a3b＝3a，此选项错误，不合题意；
C、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，正确；
D、＝＝-a，故此选项错误，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算和整式的除法运算、分式的乘法运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（2020年山东省聊城市）计算的结果正确的是（
）．
A．1
B．
C．5
D．9
【考点】二次根式的乘除法
【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
解：
，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（2020年山西省）计算：
________．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先进行完全平方公式的运算，然后合并
解：原式=2+2+3?2=5.
故答案为5.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简与合并．
◆变式训练
（2020年广东省广州市）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年广西北部湾经济区）计算：．
（2020年江苏省南京市）计算的结果是__________．
（2020年湖南省株洲市）计算的结果是________．
（2018年山东省枣庄市）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　
　．
（2020年内蒙古鄂尔多斯市）二次根式中，x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省济宁市）下列各式是最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年上海市）下列各式中与是同类二次根式的是
A．
B．
C．
D．
（2020年黑龙江省绥化市）下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省日照市）下列各式中，运算正确的是（　　）
A．x3+x3＝x6
B．x2?x3＝x5
C．（x+3）2＝x2+9
D．﹣＝
（2020年湖北省武汉市）计算的结果是_______.
（2020年山东省威海市）计算的结果是__________．
（2020年河北省）已知：，则_________．
（2020年辽宁省大连市）计算．
（2020年辽宁省朝阳市）先化简，再求值：，其中．
1、
选择题
（2020年广西河池市）若y＝有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0
B．x≥0
C．x＞2
D．x≥2
（2020年浙江省衢州市）要使二次根式有意义，x的值可以是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
（2020年广东省）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年内蒙古赤峰市）估计的值应在
（
）
A．4和5之间
B．5和6之间
C．6和7之间
D．7和8之间
（2020年辽宁省朝阳市）计算的结果是（
）
A．0
B．
C．
D．
（2020年重庆市A卷）下列计算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省宜昌市）对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（
）．
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省孝感市）已知，，那么代数式的值是（
）
A．2
B．
C．4
D．
（2020年湖北省荆州市）若x为实数，在的“”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省攀枝花市）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（
）．
A．
B．0
C．
D．
（2020年浙江省杭州市）×＝（　　）
A．
B．
C．
D．3
（2020年湖南长沙市）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
1、
填空题
（2020年西藏）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________．
（2020年黑龙江省哈尔滨市）计算：的结果是___________________．
（2020年辽宁省营口市）（3+）（3﹣）＝_____．
（2020年湖南省益阳市）若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可）
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是__________．
（2020年陕西省）计算：（2+）（2﹣）＝_____．
1、
解答题
（2020年上海市）计算：+﹣()﹣2+|3﹣|．
（2020年吉林省长春市）先化简，再求值：，其中．
（2020年江西省）先化简，再求值：，其中．
（2020年福建省）先化简，再求值：，其中．
（2020年宁夏）先化简，再求值：，其中．
（2020年新疆）先化简，再求值：，其中．
（2020年贵州省毕节市）先化简，再求值：，其中．
（2020年内蒙古通辽市）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．
（1）求；
（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
11数与式
第6节
二次根式
考点1.
二次根式的概念和性质
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式：式子__(a≥0)__叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件
①被开方数__不含分母__；
②被开方数中__不含开得尽方__的因数或因式．
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同
，则把这几个二次根式叫做同类二次根式．
注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关.
2．二次根式的性质：
(1)
（a≥0）具有双重非负性，一是a≥0，二是≥0．
(2()2＝__a(a≥0)__．
(3)＝|a|＝
考点2.　二次根式的运算
1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．二次根式的加减实质是
合并同类二次根式
．
2.乘除运算：（1）二次根式的乘法：·＝____(a≥0，b≥0)．
（2）二次根式的除法：＝____(a≥0，b＞0)．
3.运算顺序：先算乘方
，再算
乘除
，最后算加减
，如果有
括号
，就先算
括号
里的．实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点1.二次根式的意义及性质
◇典例：
下列各式中，，，，，，二次根式的个数有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据形如
（a≥0）是二次根式，可得答案．
解：，，，是二次根式，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
（2020年浙江省宁波市）二次根式中字母x的取值范围是（　　）
A．x＞2
B．x≠2
C．x≥2
D．x≤2
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
（2020年江苏省泰州市）下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断．
解：A、3和不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．
◆变式训练
下列各式中，不是二次根式的是（??
）
A、
B、
C、
D、
【考点】二次根式的定义
【分析】根据各个选项中的式子可以判断哪个不是二次根式，本题得以解决．
解：∵
是二次根式；
中，3﹣π＜0，故
不是二次根式；
是二次根式；
是二次根式；
故选B．
（2020年湖北省武汉市）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】由二次根式有意义的条件列不等式可得答案．
解：由式子在实数范围内有意义，
故选D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
（2020年内蒙古呼伦贝尔市）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（
）
A．
B．
C．1
D．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a?1）和（a?2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
解：由图知：1＜a＜2，
∴a?1＞0，a?2＜0，
原式＝a?1-＝a?1＋（a?2）＝2a?3．
故选D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a?1＞0，a?2＜0是解题关键．
■考点2.
最简二次根式与同类二次根式
◇典例:
1．下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】最简二次根式．
【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有C选项符合最简二次根式的要求．
解：因为：A、=；
B、=2；
D、=|b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（　　）
A．
B．
C．2
D．5
【考点】同类二次根式．
【分析】根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x﹣3，
解得x=2．
故选C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
◆变式训练
1．若和都是最简二次根式，则m=　
　，n=　
　．
【考点】最简二次根式．
【分析】由于两二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．
解：由题意，知：，解得：；
因此m的值为1，n的值为2．
故答案为：1，2．
【点评】本题考查的最简二次根式的定义．当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．
2．（2016年福建省龙岩）与是同类二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
解：A、与﹣的被开方数不同，故A错误；
B、与﹣的被开方数不同，故B错误；
C、与﹣的被开方数相同，故C正确；
D、与﹣的被开方数不同，故D错误；
故选：C
■考点3.二次根式的运算?
◇典例：
（2020年江苏省南通市）下列运算，结果正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可．
解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．，此选项错误；
D．，此选项计算正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键．
（2020年云南省昆明市）下列运算中，正确的是（　　）
A．﹣2＝﹣2
B．6a4b÷2a3b＝3ab
C．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
D．
【考点】幂的乘方与积的乘方,单项式除单项式,分式的乘除,二次根式的加减
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则和整式的除法运算法则、分式的乘法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
解：A、﹣2＝﹣，此选项错误，不合题意；
B、6a4b÷2a3b＝3a，此选项错误，不合题意；
C、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，正确；
D、＝＝-a，故此选项错误，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算和整式的除法运算、分式的乘法运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（2020年山东省聊城市）计算的结果正确的是（
）．
A．1
B．
C．5
D．9
【考点】二次根式的乘除法
【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
解：
，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（2020年山西省）计算：
________．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先进行完全平方公式的运算，然后合并
解：原式=2+2+3?2=5.
故答案为5.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简与合并．
◆变式训练
（2020年广东省广州市）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的加法，二次根式的乘法，同底数幂的乘法，幂的乘方
【分析】根据二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则依次判断即可得到答案.
解：A、与不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确，
故选：D.
【点评】此题考查计算能力，正确掌握二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则是解题的关键.
（2020年广西北部湾经济区）计算：．
【考点】二次根式的加减
【分析】原式各项化为最简后，合并同类二次根式即可得到结果．
解：
【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2020年江苏省南京市）计算的结果是__________．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则计算出分母，最后约分即可．
解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键．
（2020年湖南省株洲市）计算的结果是________．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】利用二次根式的乘除法则运算．
解：原式=
=
=
=2.
故答案是：2.
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
（2018年山东省枣庄市）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　
　．
【考点】二次根式的应用　
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
解：∵S=，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S==1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
（2020年内蒙古鄂尔多斯市）二次根式中，x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式有意义的条件,在数轴上表示不等式的解集
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
解：根据题意得3+x≥0，
解得：x≥﹣3，
故x的取值范围在数轴上表示正确的是．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
（2020年山东省济宁市）下列各式是最简二次根式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】最简二次根式
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
解：A、是最简二次根式，故选项正确；
B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；
D、，不是最简二次根式，故选项错误；
故选A.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
（2020年上海市）下列各式中与是同类二次根式的是
A．
B．
C．
D．
【考点】同类二次根式
【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.
解：A、和是最简二次根式，与的被开方数不同，故A选项错误；
B、，3不是二次根式，故B选项错误；
C、，与的被开方数相同，故C选项正确；
D、，与的被开方数不同，故D选项错误；
故选：C.
【点评】本题主要考查同类二次根式的定义，解题的关键是熟练的掌握同类二次根式的定义：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
（2020年黑龙江省绥化市）下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】算术平方根，立方根，二次根式的性质与化简
【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．
解：A.
,本选项不成立；
B.
，本选项不成立；
C.
=，本选项不成立；
D.
，本选项成立.
故选：D.
【点评】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．
（2020年山东省日照市）下列各式中，运算正确的是（　　）
A．x3+x3＝x6
B．x2?x3＝x5
C．（x+3）2＝x2+9
D．﹣＝
【考点】合并同类项,同底数幂的乘法,完全平方公式,二次根式的加减
【分析】由题意根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；以及二次根式的减法运算法则逐项分析即可．
解：A、x3+x3＝2x3，故选项A不符合题意；
B、x2?x3＝x5计算正确，故选项B符合题意；
C、（x+3）2＝x2+6x+9，故选项C不符合题意；
D、二次根式与不是同类二次根式故不能合并，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的乘法法则和完全平方公式与合并同类项的法则以及二次根式的减法运算法则，解题的关键是熟记各种运算法则．
（2020年湖北省武汉市）计算的结果是_______.
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.
解：==3，
故答案为3.
【点评】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
（2020年山东省威海市）计算的结果是__________．
【考点】二次根式的加减，零指数幂
【分析】根据二次根式的加减运算和零指数幂的运算法则进行计算即可．
解：
=
=，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算和零指数幂，掌握运算法则是解题关键．
（2020年河北省）已知：，则_________．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．
解：∵
∴a=3,b=2
∴6
故答案为：6．
【点评】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
（2020年辽宁省大连市）计算．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先根据平方差公式、立方根、算术平方根进行化简，再计算即可．
解：原式=2-1-2+3=2．
【点评】本题考查了实数的运算．解题的关键是熟练掌握平方差公式、立方根、算术平方根等考点的运算．
（2020年辽宁省朝阳市）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值，分母有理化
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入式子进行计算即可．
解：原式
当时，原式
【点评】本题主要考查的是分式的化简求值，最简二次根式，在解答此类型题目时，要注意因式分解、通分和约分的灵活运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
1、
选择题
（2020年广西河池市）若y＝有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0
B．x≥0
C．x＞2
D．x≥2
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数应大于或等于0，列式计算即可得解．
解：由题意得，2x≥0，
解得x≥0．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数应大于或等于0．
（2020年浙江省衢州市）要使二次根式有意义，x的值可以是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，再解即可．
解：由题意得：x?3?0，
解得：x?3，
故选：D.
【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义.
（2020年广东省）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解．
解：由题意知：被开方数，
解得：，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．
（2020年内蒙古赤峰市）估计的值应在
（
）
A．4和5之间
B．5和6之间
C．6和7之间
D．7和8之间
【考点】二次根式的混合运算，估算无理数的大小
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
解：
=
=2+，
∵4<6<9，
∵2<<3，
∴4<2+<5，
故选：A.
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
（2020年辽宁省朝阳市）计算的结果是（
）
A．0
B．
C．
D．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的性质化简第一项，根据二次根式的乘法化简第二项，然后合并即可．
解：原式=
=
=．
故选B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
（2020年重庆市中考数学试题A卷）下列计算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】同类二次根式，二次根式的乘法
【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．
解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C．，此选项计算正确；
D．2与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．
（2020年湖北省宜昌市）对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】分别计算出各选项的结果再进行判断即可．
解：A．不能再计算了，是无理数，不符合题意；
B．，是无理数，不符合题意；
C．，是无理数，不符合题意；
D．，是有理数，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键．
（2020年湖北省孝感市）已知，，那么代数式的值是（
）
A．2
B．
C．4
D．
【考点】分式的化简求值，二次根式的加减
【分析】先按照分式四则混合运算法则化简原式，然后将x、y的值代入计算即可．
解：==x+y=+=2．
故答案为D．
【点评】本题考查了分式的化简求值，根据分式四则混合运算法则化简分式是解答本题的关键．
（2020年湖北省荆州市）若x为实数，在的“”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据题意填上运算符计算即可．
解：A.,结果为有理数;
B.
,结果为有理数;
C.无论填上任何运算符结果都不为有理数;
D.,结果为有理数;
故选C．
【点评】本题考查实数的运算,关键在于牢记运算法则．
（2020年四川省攀枝花市）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（
）．
A．
B．0
C．
D．
【考点】绝对值，实数与数轴，二次根式的性质与化简
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．
解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴
=
=
=-2
故选A.
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
（2020年浙江省杭州市）×＝（　　）
A．
B．
C．
D．3
【考点】二次根式的乘法
【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行运算即可．
解：×＝，
故答案为B．
【点评】本题考查了二次根式的乘法运算法则，灵活应用运算法则是解答本题的关键．
（2020年湖南长沙市）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的乘除，幂的乘方与积的乘方
【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；二次根式的乘法计算；幂的乘方，底数不变，指数相乘，利用排除法求解．
解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的乘除，幂的乘方．很容易混淆，要熟练掌握运算法则．
1、
填空题
（2020年西藏）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________．
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根号下的数非负的性质，得，解不等式即可得出本题答案．
解：∵在实数范围内有意义
∴
∴
故填：．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，即二次根号下的数非负的性质．
（2020年黑龙江省哈尔滨市）计算：的结果是___________________．
【考点】二次根式的加减
【分析】根据题意可知，本题考察二次根式的运算，根据二次根式的化简，即可进行求解．
解：原式==
故答案为：
【点评】本题考察了二次根式的运算，先化简再进行合并二次根式是解决此类问题的关键．
（2020年辽宁省营口市）（3+）（3﹣）＝_____．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
解：原式＝（3）2﹣（）2
＝18﹣6
＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
（2020年湖南省益阳市）若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可）
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据为12，即可得到一个无理数的值．
解：∵，
∴时的结果为正整数，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式，注意是解题的关键．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是__________．
【考点】二次根式的化简求值，绝对值
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
解：
当时，
当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
（2020年陕西省）计算：（2+）（2﹣）＝_____．
【考点】平方差公式，二次根式的性质与化简
【分析】先利用平方差公式展开得到原式＝22﹣，再利用二次根式的性质化简，然后进行减法运算．
解：原式＝22﹣
＝4﹣3
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算及平方差公式．先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
1、
解答题
（2020年上海市）计算：+﹣()﹣2+|3﹣|．
【考点】分数指数幂，负整指数幂，绝对值，分母有理化
【分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．
解：原式=+
﹣4+3﹣
=3+﹣4+3﹣
=0．
【点评】本题考查了分数指数幂的运算，负指数幂的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
（2020年吉林省长春市）先化简，再求值：，其中．
【考点】整式的化简求值
【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．
解：原式，
当时，原式．
【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解．
（2020年江西省）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值，分母有理化
【分析】先进行分式减法的计算，在进行除法计算，化简之后带值计算即可；
解：原式=，
=，
=
=，
把代入上式得，
原式=．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，准确进行分式化简是解题的关键．
（2020年福建省）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值,分母有理化
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：原式
；
当时，原式.
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
（2020年宁夏）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值,二次根式的性质与化简
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．
解：原式
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
（2020年新疆）先化简，再求值：，其中．
【考点】整式的化简求值,二次根式的性质与化简
【分析】先利用整式的乘除与加减运算化简代数式，再代入求值即可．
解：
当，上式
【点评】本题考查的是整式的化简求值，二次根式的乘方运算，掌握整式加减乘除运算是解题的关键．
（2020年贵州省毕节市）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值，分母有理化
【分析】先将括号中的两个分式分别进行约分，然后合并后再算括号外的除法，化简后的结果再将代入即可得出答案.
解：原式
将代入得：.
【点评】本题考查分式的混合运算，遇到分子分母都能因式分解的，可以先把分子分母进行因式分解，将分式进行约分化简之后再进行通分，然后再合并，合并的时候分子如果是多项的话注意符号；求值的时候最后的结果必须是最简的形式.
（2020年内蒙古通辽市）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．
（1）求；
（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
【考点】定义新运算，解一元一次不等式，二次根式的混合运算
【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．
解：（1）=
=
=
（2）∵，
∴
解得：
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤
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