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方程与不等式
第7
节一元一次方程
■考点1.
一元一次方程的有关概念
1．等式：用“=”表示相等关系的式子叫等式．
2．等式性质：
①如果a=b，那么a±c=
；
②如果a=b，那么ac=
；如果a=b且c≠0，那么
3．方程：含有未知数的
叫做方程：使方程左右两边值相等的
叫做方程的解，一元方程的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程．
4．一元一次方程：只含有
个未知数，并且未知数的最高次数是
的整式方程：它的一般形式为
．其解为x＝
．
5.一元一次方程必须
三个条件：
一元一次方程只有一个元并且是整式方程；
一元一次方程未知数的系数不为0；
一元一次方程未知数的最高次数只能为1；
6.解系数中含有字母的一元一次方程，最后都要化成ax+b=0的形式，解有三种不同的情况
（1）a≠0时，x=，是唯一解；
（2）a=0，且b=0时，方程
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（3）a=0，但b≠0时，方程无解
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■考点2.
解方程的一般步骤及每步的理论根据和注意点
解一元一次方程的一般步骤：①去
：②去
：③
：④合并
：⑤系数化为
．
去分母等式性质2
去括号
移项
合并同类项
■考点3.
一次方程(组)的实际应用
步骤：设（未知数）→列（方程）
→解（方程）→答（作答）
■考点1：一元一次方程的有关概念
◇典例：
1．下列语句：
①含有未知数的代数式叫方程;
②方程中的未知数只有用方程的解去代替它时，该方程所表示的等式才成立;
③等式两边都除以同一个数，所得结果仍是等式;
④x=-1是方程-1=x+1的解.
其中错误的语句的个数为（?
）
A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
【考点】等式的性质，方程，方程的解
【分析】根据方程的概念：含有未知数的等式叫方程，可判断①；根据方程的解的概念：使得方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解，可判断②；根据等式的性质2：等式的两边同时除以一个不为0的数，所得结果仍是等式，可判断③；根据方程的解的概念，可知方程的解一定满足方程，把x=1带入方程即可判断④.
解：①含有未知数的等式叫方程，故①错误；
②根据方程的解的概念：使得方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解；可知方程中的未知数只有用方程的解去代替它时，该方程所表示的等式才成立，正确，故②正确；
③根据等式的性质2，两边都除以0，就不是等式，故③错误；
④把x=1带入方程，左边=?1=-1，右边=-1+1=0，左边不等于右边，故④错误.
错误的有：①③④，共3个，
故选：B.
【点睛】本题考查了等式的性质，方程的概念和方程的解的概念，熟练掌握各个概念是解题的关键
2．（2016?大连）方程2x+3=7的解是（　　）
A．x=5
B．x=4
C．x=3.5
D．x=2
【考点】一元一次方程的解．
【分析】方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
解：2x=7-3
2x=4
X=2
【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
◆变式训练
1．（2017?金华）若
=，则
=__________________
2．（2017?杭州）设x，y，c是实数，（　　）
A．若x=y，则x+c=y-c
B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则
D．若
，则2x=3y
3．（2017?永州）x=1是关于x的方程2x-a=0的解，则a的值是（　　）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
■考点2：一元一次方程的解法
◇典例：
（2020年重庆市A卷）解一元一次方程时，去分母正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次方程
【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
解：方程两边都乘以6，得：
3（x+1）＝6﹣2x，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．
（2020年湖北省恩施州）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（
）．
A．
B．1
C．0
D．2
【考点】定义新运算，实数的计算，解一元一次方程
【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．
解：由题意知：，
又，
∴，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．
（2020年四川省广元市）按照如图所示的流程，若输出的M=-6，则输入的m为（
）
A．3
B．1
C．0
D．-1
【考点】代数式求值,解一元一次方程
【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题．
解：当m2-2m≥0时，
，解得m=0，
经检验，m=0是原方程的解，并且满足m2-2m≥0，
当m2-2m＜0时，
m-3=-6，解得m=-3，不满足m2-2m＜0，舍去．
故输入的m为0．
故选：C．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
◆变式训练
（2020年贵州省铜仁市）方程2x+10＝0的解是_____．
（2020年湖北省十堰市）对于实数，定义运算．若，则_____．
（2020年浙江省衢州市）一元一次方程2x+1=3的解是x=_____．
■考点3.
一次方程(组)的实际应用
◇典例：
（2020年四川省内江市）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】设索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程．
解：设索为尺，杆子为()尺，
根据题意得：
()．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
（2020年浙江省金华市、丽水市）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x，则列出方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．
解：设“□”内数字为x，根据题意可得：
3×（20+x）+5=10x+2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键．
（2020年内蒙古呼和浩特市）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（
）
A．102里
B．126里
C．192里
D．198里
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378，
解得：x=6．
32x=192，
6+192=198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故选D.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
◆变式训练
（2019年浙江省杭州市）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　）
A．2x+3（72﹣x）＝30
B．3x+2（72﹣x）＝30
C．2x+3（30﹣x）＝72
D．3x+2（30﹣x）＝72
（2020年江苏省盐城）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价．原价：_________元
（2020年山西省）年月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满元立减元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金元．求该电饭煲的进价．
（2018年吉林省长春市）若x=1是方程2x-a=0的解，则2a=
（
）
A.1
B.-1
C.4
D.-4
（2019年四川省南充市）关于的一元一次方程的解为，则的值为（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
（2020年湖南省张家界市）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年贵州省毕节市）某商店换季准备打折出售某商品，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的成本为
A．230元
B．250元
C．270元
D．300元
（2020年湖南省株洲市）关于x的方程的解为________．
（2020年江苏省无锡市）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子最井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是___________尺．
（2020年黑龙江省牡丹江市）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．
（2020年四川省凉山州）解方程：
（2020年四川省攀枝花市）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？
（2018年湖南省张家界市）列方程解应用题
《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少？
1、
选择题
（2019年四川省南充市）关于的一元一次方程的解为，则的值为（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
（2020年广西玉林市）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（
）
A．499
B．500
C．501
D．1002
（2019年贵州省毕节市）如果3ab2m-1与9abm+1是同类项，那么m等于(
)
A．2
B．1
C．﹣1
D．0
（2019年湖南省怀化市）一元一次方程x﹣2＝0的解是（　　）
A．x＝2
B．x＝﹣2
C．x＝0
D．x＝1
（2019年湖北省襄阳市）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱，每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）
A．5x﹣45＝7x﹣3
B．5x+45＝7x+3
C．＝
D．＝
（2019年福建省）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34
685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是(
).
A．x+2x+4x=34
685
B．x+2x+3x=34
685
C．x+2x+2x=34
685
D．x+x+x=34
685
（2020年贵州省黔南州）某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（
）
A．7.4元
B．7.5元
C．7.6元
D．7.7元
（2020年山东省东营市）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“
三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，
一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（
）
A．里
B．里
C．里
D．里
（2018年浙江省台州市）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
（2018年浙江省杭州市临安市）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（　　）个正方体的重量．
A．2
B．3
C．4
D．5
（2018年湖南省邵阳市）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（　　）
A．大和尚25人，小和尚75人
B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人
D．大、小和尚各100人
（2018年江苏省南通市）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
1、
填空题
（2020年江苏省苏州市）若单项式与单项式是同类项，则___________．
（2020年广西柳州市）一元一次方程2x﹣8＝0的解是x＝_____．
（2020年吉林省）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？
设快马天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）“元旦”期间，某商店单价为130元的书包按八折出售可获利30%，则该书包的进价是____元．
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．
（2020年湖北省随州市卷）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．
（2020年浙江省绍兴市）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．
1、
解答题
（2020年浙江省杭州市）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
（2020年安徽省）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长其中线上销售额增长．线下销售额增长，
设2019年4月份的销售总额为元．线上销售额为元，请用含的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)；
求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
（2019年安徽省）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
（2018年海南省）“绿水青山就是金山银山”，海南省委省政府高度重视环境生态保护，截至2017年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个，其中国家级10个，省级比市县级多5个．问省级和市县级自然保护区各多少个？
（2020年广东省广州市）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
（2020年重庆市B卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
12方程与不等式
第7
节一元一次方程
■考点1.
一元一次方程的有关概念
1．等式：用“=”表示相等关系的式子叫等式．
2．等式性质：
①如果a=b，那么a±c=b±c；
②如果a=b，那么ac=bc；如果a=b且c≠0，那么
3．方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值
叫做方程的解，一元方程的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程．
4．一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为ax+b=0(a≠0)
．其解为x＝
．
5.一元一次方程必须
三个条件：
一元一次方程只有一个元并且是整式方程；
一元一次方程未知数的系数不为0；
一元一次方程未知数的最高次数只能为1；
6.解系数中含有字母的一元一次方程，最后都要化成ax+b=0的形式，解有三种不同的情况
（1）a≠0时，x=，是唯一解；
（2）a=0，且b=0时，方程
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"_blank?)有无穷多解；
（3）a=0，但b≠0时，方程无解
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"_blank?)。
■考点2.
解方程的一般步骤及每步的理论根据和注意点
解一元一次方程的一般步骤：①去分母
：②去括号
：③移项
：④合并
同类项
：⑤系数化为1．
去分母等式性质2
去括号
移项
合并同类项
■考点3.
一次方程(组)的实际应用
步骤：设（未知数）→列（方程）
→解（方程）→答（作答）
■考点1：一元一次方程的有关概念
◇典例：
1．下列语句：
①含有未知数的代数式叫方程;
②方程中的未知数只有用方程的解去代替它时，该方程所表示的等式才成立;
③等式两边都除以同一个数，所得结果仍是等式;
④x=-1是方程-1=x+1的解.
其中错误的语句的个数为（?
）
A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
【考点】等式的性质，方程，方程的解
【分析】根据方程的概念：含有未知数的等式叫方程，可判断①；根据方程的解的概念：使得方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解，可判断②；根据等式的性质2：等式的两边同时除以一个不为0的数，所得结果仍是等式，可判断③；根据方程的解的概念，可知方程的解一定满足方程，把x=1带入方程即可判断④.
解：①含有未知数的等式叫方程，故①错误；
②根据方程的解的概念：使得方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解；可知方程中的未知数只有用方程的解去代替它时，该方程所表示的等式才成立，正确，故②正确；
③根据等式的性质2，两边都除以0，就不是等式，故③错误；
④把x=1带入方程，左边=?1=-1，右边=-1+1=0，左边不等于右边，故④错误.
错误的有：①③④，共3个，
故选：B.
【点睛】本题考查了等式的性质，方程的概念和方程的解的概念，熟练掌握各个概念是解题的关键
2．（2016?大连）方程2x+3=7的解是（　　）
A．x=5
B．x=4
C．x=3.5
D．x=2
【考点】一元一次方程的解．
【分析】方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
解：2x=7-3
2x=4
X=2
【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
◆变式训练
1．（2017?金华）若
=，则
=__________________
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．
解：根据等式的性质：两边都加1，
+1＝+1，
则=，
故答案为：
【点评】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式性质1是解题的关键。
2．（2017?杭州）设x，y，c是实数，（　　）
A．若x=y，则x+c=y-c
B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则
D．若
，则2x=3y
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式的性质，可得答案．
解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；
B、两边都乘以c，故B符合题意；
C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；
D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式性质是解题的关键。
3．（2017?永州）x=1是关于x的方程2x-a=0的解，则a的值是（　　）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
【考点】一元一次方程的解．
【分析】根据方程的解的概念即可求出a的值．
解：将x=1代入2x-a=0中，
∴2-a=0，
∴a=2
故选B
【点评】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键．
■考点2：一元一次方程的解法
◇典例：
（2020年重庆市A卷）解一元一次方程时，去分母正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次方程
【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
解：方程两边都乘以6，得：
3（x+1）＝6﹣2x，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．
（2020年湖北省恩施州）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（
）．
A．
B．1
C．0
D．2
【考点】定义新运算，实数的计算，解一元一次方程
【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．
解：由题意知：，
又，
∴，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．
（2020年四川省广元市）按照如图所示的流程，若输出的M=-6，则输入的m为（
）
A．3
B．1
C．0
D．-1
【考点】代数式求值,解一元一次方程
【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题．
解：当m2-2m≥0时，
，解得m=0，
经检验，m=0是原方程的解，并且满足m2-2m≥0，
当m2-2m＜0时，
m-3=-6，解得m=-3，不满足m2-2m＜0，舍去．
故输入的m为0．
故选：C．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
◆变式训练
（2020年贵州省铜仁市）方程2x+10＝0的解是_____．
【考点】解一元一次方程
【分析】方程移项，把x系数化为1，即可求出解．
解：方程2x+10＝0，
移项得：2x＝﹣10，
解得：x＝﹣5．
故答案为：x＝﹣5．
【点评】此题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
（2020年湖北省十堰市）对于实数，定义运算．若，则_____．
【考点】定义新运算，解一元一次方程
【分析】根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于a的一元一次方程，求解即可．
解：∵，
∴，，
∵，
∴，解得，
故答案为：．
【点评】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．
（2020年浙江省衢州市）一元一次方程2x+1=3的解是x=_____．
【考点】解一元一次方程
【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解．
解：将方程移项得，
2x=2，
系数化为1得，
x=1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查学生对解一元一次方程这一知识点的理解和掌握，此题比较简单，属于基础题
■考点3.
一次方程(组)的实际应用
◇典例：
（2020年四川省内江市）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】设索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程．
解：设索为尺，杆子为()尺，
根据题意得：
()．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
（2020年浙江省金华市、丽水市）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x，则列出方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可．
解：设“□”内数字为x，根据题意可得：
3×（20+x）+5=10x+2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键．
（2020年内蒙古呼和浩特市）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（
）
A．102里
B．126里
C．192里
D．198里
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x=378，
解得：x=6．
32x=192，
6+192=198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里，
故选D.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
◆变式训练
（2019年浙江省杭州市）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　）
A．2x+3（72﹣x）＝30
B．3x+2（72﹣x）＝30
C．2x+3（30﹣x）＝72
D．3x+2（30﹣x）＝72
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案．
解：设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：
3x+2（30﹣x）＝72．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出男女生的植树棵树是解题关键．
（2020年江苏省盐城）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解．
解：如图，依题意可得2+5+8=2+7+y
解得y=6
∴8+x+6=2+5+8
解得x=1
故选A．
【点评】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价．原价：_________元
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设原价为x元，根据八折优惠，现价为160元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原价．
解：设原价为x元.
根据题意，得0.8x=160.
解得x=200.
∴原价为200元.
故答案为：200.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确“现价=原价×折扣”，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．
（2020年山西省）年月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满元立减元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金元．求该电饭煲的进价．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】根据满元立减元可知，打八折后的总价减去128元是实际付款数额，即可列出等式．
解：设该电饭煲的进价为元
根据题意，得
解，得．
答；该电饭煲的进价为元
【点评】本题主要考察了打折销售知识点，准确找出它们之间的关系列出等式方程是解题关键．
（2018年吉林省长春市）若x=1是方程2x-a=0的解，则2a=
（
）
A.1
B.-1
C.4
D.-4
【考点】一元一次方程的解
【分析】将x=1代入2x-a=0，得2-a=0，解之
解：将x=1代入2x-a=0，得2-a=0，解得a=2，则2a=2×2=4.
故选C.
【点评】本题主要考查了方程解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解，可把它叫做“有解就代入”．
（2019年四川省南充市）关于的一元一次方程的解为，则的值为（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
【考点】一元一次方程的定义
【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，
解得：a=3，m=2，
所以a+m=3+2=5，
故选：C．
【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
（2020年湖南省张家界市）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：，
∴列出方程为：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（2020年贵州省毕节市）某商店换季准备打折出售某商品，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的成本为
A．230元
B．250元
C．270元
D．300元
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设该商品的售价为x元，根据按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，列方程求出售价，继而可求出成本．
解：设该商品的售价为x元，
由题意得，0.75x+25=0.9x-20，
解得：x=300，
则成本价为：300×0.75+25=250（元）．
故选B．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列方程求解．
（2020年湖南省株洲市）关于x的方程的解为________．
【考点】解一元一次方程
【分析】方程移项、合并同类项、把x系数化为1，即可求出解．
解：方程，
移项,得3x-x=8，
合并同类项，得2x=8.
解得x=4．
故答案为：x=4．
【点评】方程移项，把x系数化为1，即可求出解．
（2020年江苏省无锡市）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子最井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是___________尺．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】先设绳长x尺，由题意列出方程，然后根据绳长即可求出井深．
解：设绳长x尺，
由题意得x-4=x-1，
解得x=36，
井深：×36-4=8（尺），
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．
（2020年黑龙江省牡丹江市）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打x折，根据不等关系列出不等式求解即可.
解：设应打x折，
则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，
解得：x=8．
故商店应打八折．
故答案为：八．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．
（2020年四川省凉山州）解方程：
【考点】解一元一次方程
【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．
解：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2020年四川省攀枝花市）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设这些学生共有x人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解．
解：设这些学生共有x人，根据题意，得
解得x=48．
答：这些学生共有48人．
【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，其关键是找出等量关系及表示原来和后来各多少组，难度一般．
（2018年湖南省张家界市）列方程解应用题
《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少？
【考点】一元一次方程的应用
【分析】可设买羊人数为未知数，等量关系为：5×买羊人数+45=7×买羊人数+3，把相关数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价．
解：设买羊为x人，则羊价为（5x+45）元钱，
5x+45=7x+3，
x=21（人），
5×21+45=150（元），
答：买羊人数为21人，羊价为150元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
1、
选择题
（2019年四川省南充市）关于的一元一次方程的解为，则的值为（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
【考点】一元一次方程的定义
【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，
解得：a=3，m=2，
所以a+m=3+2=5，
故选：C．
【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
（2020年广西玉林市）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（
）
A．499
B．500
C．501
D．1002
【考点】规律型：数字的变化类,解一元一次方程
【分析】根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n的值．
解：设最后三位数为x－4,x－2,x．
由题意得:
x－4+x－2+x=3000,
解得x=1002．
n=1002÷2=501．
故选C．
【点评】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤．
（2019年贵州省毕节市）如果3ab2m-1与9abm+1是同类项，那么m等于(
)
A．2
B．1
C．﹣1
D．0
【考点】同类项，解一元一次方程
【分析】根据同类项的定义得出m的方程解答即可.
解：根据题意可得：2m﹣1＝m+1，
解得：m＝2，
故选A.
【点睛】本题考查了同类项，解一元一次方程，正确把握同类项的概念是解题的关键.
（2019年湖南省怀化市）一元一次方程x﹣2＝0的解是（　　）
A．x＝2
B．x＝﹣2
C．x＝0
D．x＝1
【考点】解一元一次方程
【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．
解：x﹣2＝0，
解得：x＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键．
（2019年湖北省襄阳市）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱，每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）
A．5x﹣45＝7x﹣3
B．5x+45＝7x+3
C．＝
D．＝
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（2019年福建省）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34
685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是(
).
A．x+2x+4x=34
685
B．x+2x+3x=34
685
C．x+2x+2x=34
685
D．x+x+x=34
685
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可．
解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x＋2x＋4x＝34685，
故选：A．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
（2020年贵州省黔南州）某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（
）
A．7.4元
B．7.5元
C．7.6元
D．7.7元
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设该商品每件的进价为x元，根据利润=售价-成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设该商品每件的进价为x元，
依题意，得：，
解得：．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（2020年山东省东营市）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“
三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，
一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（
）
A．里
B．里
C．里
D．里
【考点】一元一次方程的应用
【分析】根据题意可设第一天所走的路程为，用含的式子分别把这六天的路程表示出来，相加等于总路程378，解此方程即可．
解：设第一天的路程为里
∴
解得
∴第三天的路程为
故答案选B
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，通过每日路程之和等于总路程建立一元一次方程是解题的关键．
（2018年浙江省台州市）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
【考点】一元一次方程的应用
【分析】可设两人相遇的次数为x，根据每次相遇的时间，总共时间为100s，列出方程求解即可．
解：设两人相遇的次数为x，依题意有
x=100，
解得x=4.5，
∵x为整数，
∴x取4．
故选：B．
【点评】考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
（2018年浙江省杭州市临安市）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（　　）个正方体的重量．
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】一元一次方程的应用
【分析】由图可知：2球体的重量=5圆柱体的重量，2正方体的重量=3圆柱体的重量．可设一个球体重x，圆柱重y，正方体重z．根据等量关系列方程即可得出答案．
解：设一个球体重x，圆柱重y，正方体重z．
根据等量关系列方程2x=5y；2z=3y，消去y可得：x=z，
则3x=5z，即三个球体的重量等于五个正方体的重量．
故选：D．
【点评】此题的关键是找到球，正方体，圆柱体的关系．
（2018年湖南省邵阳市）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（　　）
A．大和尚25人，小和尚75人
B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人
D．大、小和尚各100人
　
【考点】一元一次方程的应用
【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．
解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，
根据题意得：3x+=100，
解得x=25
则100﹣x=100﹣25=75（人）
所以，大和尚25人，小和尚75人．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程．
（2018年江苏省南通市）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，根据总分=3×获胜场数+1×负了的场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，
根据题意得：3x+（6﹣x）=12，
解得：x=3．
答：该队获胜3场．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
1、
填空题
（2020年江苏省苏州市）若单项式与单项式是同类项，则___________．
【考点】同类项，解一元一次方程
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n的值，再代入求解即可.
解：∵单项式与单项式是同类项，
∴m-1=2,n+1=2,
解得：m=3,n=1.
∴m+n=3+1=4.
故答案为：4.
【点评】本题考查了同类项的概念，解一元一次方程，正确理解同类项的定义是解题的关键.
（2020年广西柳州市）一元一次方程2x﹣8＝0的解是x＝_____．
【考点】解一元一次方程
【分析】先移项，然后化系数为1可得出答案．
解：2x﹣8＝0，
移项得：2x＝8，
系数化为1得：x＝4，
故填：4．
【点评】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1．
（2020年吉林省）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？
设快马天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．
【考点】一元一次方程的应用【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前
出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程．
解：题中已设快马x天可以追上慢马，
则根据题意得：（240-150）x=150×12．
故答案为：（240-150）x=150×12．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用问题，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）“元旦”期间，某商店单价为130元的书包按八折出售可获利30%，则该书包的进价是____元．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】根据题意设出方程，解出即可．
解：设书包进价是x元，由题意得：
130×0.8－x=30%x
解得x=80．
故答案为：80．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于根据题意找出等量关系．
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设该对胜x场，则负14-x场，然后根据题意列一元一次方程解答即可．
解：设该对胜x场
由题意得：2x+（14-x）=23，解得x=9．
故答案为9．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意、设出未知数、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．
（2020年湖北省随州市卷）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】本题首先根据每一横行数字之和为15求出第一个方格数字，继而根据对角线斜边数字和为15求出最后一格数字，最后根据每一竖行数字之和为15求出m．
解：设第一方格数字为x，最后一格数字为y，如下图所示：
由已知得：x+7+2=15，故x=6；
因为x+5+y=15，将x=6代入求得y=4；
又因为2+m+y=15，将y=4代入求得m=9；
故答案为：9．
【点评】本题考查新题型，本质是一元一次方程的求解，理清题意，按照图示所给信息逐步列方程求解即可．
（2020年浙江省绍兴市）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．
解：设所购商品的标价是x元，则
①所购商品的标价小于90元，
x﹣20+x＝150，
解得x＝85；
②所购商品的标价大于90元，
x﹣20+x﹣30＝150，
解得x＝100．
故所购商品的标价是100或85元．
故答案为100或85．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．
1、
解答题
（2020年浙江省杭州市）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【考点】解一元一次方程
【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．
解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．
去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
【点评】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法．
（2020年安徽省）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月份销售总额增长其中线上销售额增长．线下销售额增长，
设2019年4月份的销售总额为元．线上销售额为元，请用含的代数式表示2020年4月份的线下销售额(直接在表格中填写结果)；
求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【考点】列代数式，一元一次方程的应用
【分析】根据增长率的含义可得答案；
由题意列方程求解即可得到比值．
解：年线下销售额为元，
故答案为：．
由题意得：
2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：
【点评】本题考查的列代数式及一元一次方程的应用，掌握列一元一次方程解决应用题是解题的关键．
（2019年安徽省）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【考点】一元一次方程的实际应用
【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-2）米，利用甲、乙两工程队3天共掘进26米列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量，再求出结果即可.
解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x-2）米，
由题意得2x+（x+x-2）=26，解得x=7，所以乙工程队每天掘进5米，
（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题关键.
（2018年海南省）“绿水青山就是金山银山”，海南省委省政府高度重视环境生态保护，截至2017年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个，其中国家级10个，省级比市县级多5个．问省级和市县级自然保护区各多少个？
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设市县级自然保护区有x个，则省级自然保护区有（x+5）个，根据国家级、省级和市县级自然保护区共49个，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设市县级自然保护区有x个，则省级自然保护区有（x+5）个，
根据题意得：10+x+5+x=49，
解得：x=17，
∴x+5=22．
答：省级自然保护区有22个，市县级自然保护区有17个．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（2020年广东省广州市）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降，列出式子即可求出答案；
（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程，求解即可．
解：（1）依题意得：（万元）
（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x）辆,依题意得：
解得：
答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程．
（2020年重庆市B卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
【考点】定义新运算,一元一次方程的应用
【分析】（1）根据“好数”的定义进行判断即可；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．根据题意判断出x、y取值，根据“好数”定义逐一判断即可．
解：（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．
∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5．
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7．
【点评】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为所学数学问题是解题关键．
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