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洛伦兹力
1．洛伦兹力是指磁场对运动电荷的作用力。
2．如果一个电荷的电量为q，速度为v且与磁场方向垂直，则该电荷受到的洛伦兹力F洛＝qvB，如果v的方向与B的方向成θ角，则F洛＝qvB sinθ(当B// v时：电荷不受洛伦兹力；当B⊥v时：电荷所受的洛伦兹力最大)。
3．洛伦兹力始终与电荷运动方向垂直，只改变速度的方向，而不改变速度的大小，所以洛伦兹力对运动的电荷不做功。
4．运动方向与磁场方向平行时，不受洛伦兹力作用，做匀速直线运动。
5. 运动方向与磁场方向垂直时，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，运动半径 r＝，运动周期： T＝。
6．运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，做半径相等、螺距相等的螺旋运动 。
例1　两块金属板a、b平行放置，板间存在与匀强电场正交的匀强磁场，假设电场、磁场只存在于两板间的空间区域。一束电子以一定的初速度v0从两极板中间，沿垂直于电场、磁场的方向射入场中，无偏转地通过场区，如图所示，已知板长l＝10 cm，两板间距d＝3.0 cm，两板间电势差U＝150 V，v0＝2.0×107 m/s。
(1)求磁感应强度B的大小；
(2)若撤去磁场，求电子穿过电场时偏离入射方向的距离，以及电子通过场区后动能的增加量(电子所带电荷量的大小与其质量之比＝1.76×1011 C/kg，电子带电荷量的大小e＝1.60×10－19 C)。
【解析】 (1)电子进入正交的电、磁场不发生偏转，则满足
Bev0＝e，B＝＝2.5×10－4 T
(2)设电子通过场区偏转的距离为y1
y1＝at2＝··＝1.1×10－2 m
ΔEk＝eEy1＝ey1＝8.8×10－18 J＝55 eV
【答案】 (1)2.5×10－4 T　(2)55 eV
例2　如图所示，在半径R＝的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点P有一速率为v0的带正电的粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计。
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量。
【解析】 (1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，由牛顿第二定律得
Bqv0＝m
所以r＝＝R
带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为。
则它在磁场中运动的时间t＝＝
(2)由(1)知，当v＝v0时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，其运动轨迹如图所示。
由几何关系可知∠PO2O＝∠OO2A＝30°
所以带电粒子离开磁场时偏转角为60°
粒子打到感光板上时速度的垂直分量
v⊥＝v sin 60°＝v0
【答案】 (1)　(2)v0
1．下列关于洛伦兹力的说法中，正确的是(　　)
A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同
B．如果把＋q改为－q，且速度反向，大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变
C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直
D．粒子在只受到洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变
2．如图所示，在竖直绝缘的平台上，一个带正电的小球以水平速度v0抛出，落在地面上的A点，若加一垂直纸面向里的匀强磁场，则小球的落点(　　)
A．仍在A点　　　　　　 B．在A点左侧
C．在A点右侧 D．无法确定
3．如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为。已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
4．(多选)如图两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上，不计重力，下列说法正确的有(　　)
A．a、b均带正电
B．a在磁场中飞行的时间比b的短
C．a在磁场中飞行的路程比b的短
D．a在P上的落点与O点的距离比b的近
5．(多选)一个带正电的小球沿光滑绝缘的水平桌面向右运动，小球离开桌面后进入一水平向里的匀强磁场，已知速度方向垂直于磁场方向，如图所示，小球飞离桌面后落到地板上，设飞行时间为t1，水平射程为x1，着地速度为v1，撤去磁场，其余的条件不变，小球飞行时间为t2，水平射程为x2，着地速度为v2，则下列论述正确的是(　　)
A．x1>x2
B．t1>t2
C．v1和v2大小相等
D．v1和v2方向相同
6．质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是(　　)
A．M带负电，N带正电
B. M的速度率小于N的速率
C．洛伦兹力对M、N做正功
D．M的运行时间大于N的运行时间
7．如图所示，一轨道由两等长的光滑斜面AB和BC组成，两斜面在B处用一光滑小圆弧相连接，BA、BC关于竖直线BD对称且BD右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，B处可认为处在磁场中，P是BC的中点，一带电小球从A点由静止释放后能沿轨道来回运动，C点为小球在BD右侧运动的最高点，则下列说法正确的是(　　)
A．C点与A点不在同一水平线上
B．小球向右或向左滑过B点时，对轨道压力相等
C．小球向上或向下滑过P点时，其所受洛伦兹力相同
D．小球从A到B的时间是从C到P时间的倍
8．如图所示，在加有匀强磁场的区域中，一垂直于磁场方向射入的带电粒子轨迹如图所示，由于带电粒子与沿途的气体分子发生碰撞，带电粒子的能量逐渐减小，从图中可以看出(　　)
A．带电粒子带正电，是从B点射入的
B．带电粒子带负电，是从B点射入的
C．带电粒子带负电，是从A点射入的
D．带电粒子带正电，是从A点射入的
9．如图，空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计重力，该磁场的磁感应强度大小为(　　)
A.　　 B.
C. D.
10．(多选)如图所示，ABC为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB为倾斜直轨道，BC为与AB相切的圆形轨道，并且圆形轨道处在匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，质量相同的甲、乙、丙三个小球中，甲球带正电，乙球带负电，丙球不带电，现将三个小球在轨道AB上分别从不同高度处由静止释放，都恰好通过圆形轨道的最高点，则(　　)
A．经过最高点时，三个小球的速度相等
B．经过最高点时，甲球的速度最小
C．甲球的释放位置比乙球的高
D．运动过程中三个小球的机械能均保持不变
11．如图所示，在x轴上方有匀强磁场B，一个质量为m，带电荷量为－q的粒子，以速度v从O点射入磁场，θ角已知，粒子重力不计，求：
(1)粒子在磁场中运动时间为多少？
(2)粒子离开磁场时的位置到O点的距离为多少？
12．如图所示，分布在半径为r的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，电荷量为q、质量为m的带正电的粒子从磁场边缘A点沿圆的半径AO方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了60°角(重力忽略不计)。试确定：
(1)粒子做圆周运动的半径；
(2)粒子的入射速度；
(3)粒子在磁场中运动的时间。
13．如图所示，以MN为界的两匀强磁场，磁感应强度B1＝2B2，方向垂直纸面向里，现有一质量为m、带电荷量为q的正粒子，从O点沿图示方向进入B1中。
(1)试画出此粒子的运动轨迹；
(2)求经过多长时间粒子重新回到O点？
1．带电粒子垂直于匀强磁场方向运动时，会受到洛伦兹力的作用。下列表述正确的是(　　)
A．洛伦兹力对带电粒子做功
B．洛伦兹力不改变带电粒子的动能
C．洛伦兹力的大小与速度无关
D．洛伦兹力不改变带电粒子的速度方向
2．(2015·新课标)两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行。一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力)，从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的(　　)
A．轨道半径减小，角速度增大
B．轨道半径减小，角速度减小
C．轨道半径增大，角速度增大
D．轨道半径增大，角速度减小
3．两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图。若不计粒子的重力，则下列说法正确的是(　　)
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C．b粒子动能较大
D．b粒子在磁场中运动时间较长
4．(多选)如图所示，在圆形区域里，有匀强磁场，方向如图所示。有一束速率各不相同的质子自A点沿半径方向射入磁场，这些质子在磁场中(　　)
A．运动时间越长的，其轨迹所对应的圆心角越大
B．运动时间越长的，其轨迹越长
C．运动时间越短的射出磁场时，速率越小
D．运动时间越短时，射出磁场时，速度方向偏转越小
5．如右图所示，带负电的粒子以速度v从粒子源P处射出，若图中匀强磁场范围足够大(方向垂直纸面)，则带电粒子的可能轨迹是(　　)
A．a　　　　 B．b
C．c　 D．d
6．(多选)如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场。一个带正电的小球套在竖直绝缘细杆上，与细杆间的动摩擦因数为μ，由静止释放后小球将向下运动，设细杆足够长，则(　　)
A．小球将做匀加速直线运动
B．小球的加速度先增大后减小
C．小球最终将做匀速运动
D．小球将做加速度一直减小的加速运动
7．(多选)如图所示是粒子速度选择器的原理图，如果粒子所具有的速率v ＝ ，那么(　　)
A．带正电粒子必须沿ab方向从左侧进入场区，才能沿直线通过
B．带负电粒子必须沿ba方向从右侧进入场区，才能沿直线通过
C．不论粒子电性如何，沿ab方向从左侧进入场区，都能沿直线通过
D．不论粒子电性如何，沿ba方向从右侧进入场区，都能沿直线通过
8．长为L的水平板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子打在极板上，可采用的办法是(　　)
A．使粒子的速度v<
B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v>
D．使粒子的速度9．在图中虚线所围的区域内，存在电场强度为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场。已知从左方水平射入的电子，穿过这区域时未发生偏转，设重力可以忽略不计，则在这区域中的E和B的方向不可能是(　　)
A．E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相同
B．E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相反
C．E竖直向上，B垂直纸面向外
D．E竖直向上，B垂直纸面向里
10．如图所示，带正电的小球用丝线悬挂着，在水平匀强磁场中摆动，摆动平面与磁场垂直，如图所示，图中C点为小球运动的最低点，小球向右运动和向左运动通过C点时，以下说法中正确
的是(　　)
A．受到的洛伦兹力相同
B．悬线对摆球的拉力相等
C．具有相同的动能
D．具有相同的速度
11．如图所示，质量为m的带正电小球能沿着竖直的绝缘墙竖直下滑，磁感应强度为B的匀强磁场方向水平，并与小球运动方向垂直。若小球带电荷量为q，球与墙间的动摩擦因数为μ，求小球下滑的最大速度和最大加速度。
12．质量为m，电荷量为q的粒子，以初速度v0垂直进入磁感应强度为B、宽度为L的匀强磁场区域，如图所示。求：
(1)带电粒子的运动轨迹及运动性质；
(2)带电粒子运动的轨道半径；
(3)带电粒子离开磁场电的速率；
(4)带电粒子离开磁场时的偏转角θ；
(5)带电粒子在磁场中的运动时间t；
(6)带电粒子离开磁场时偏转的侧位移。
13．如图所示，在x轴的上方(y＞0的空间内)存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带正电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成45°角，若粒子的质量为m，电荷量为q，求：
(1)该粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径；
(2)该粒子在磁场中运动的时间；
(3)该粒子射出磁场的位置坐标。
　洛伦兹力
课堂练习
1．B　2.C　3.B　4.AD　5.ABC　6.A　7.D　8.B　9.A　10.CD
11．【答案】(1)t＝　(2)s＝
【解析】(1)粒子做圆周运动的圆心一定在过O点且与速度v垂直的一条直线上，则有 r＝，T＝，粒子做圆周运动的圆心角(2π－2θ)，所用时间t＝T＝。
(2)粒子离开磁场的位置与入射点的距离即为弦长：s＝2rsin θ＝。
12．【答案】(1)R＝r　(2)v＝　(3)t＝
【解析】(1)设粒子做匀速圆周运动的半径为R，如图所示。sin ∠AOD＝＝，所以∠AOD＝120°，则三角形ADO′是等边三角形，故R＝r。
(2)设洛伦兹力提供向心力：F洛＝， 即qvB＝，所以v＝。
(3)由图知，粒子在磁场中的运动方向偏转了60°角，所以粒子完成了T个圆周运动，根据线速度与周期的关系v＝，得T＝。 粒子在磁场中的运动时间t＝T＝。
13．【答案】(1)　(2)
【解析】(1)设粒子在磁场B1和B2中做圆周运动的半径为r1、r2，则r1＝，r2＝，由题意B1＝2B2，得r1∶r2＝1∶2，根据左手定则判断可以知道，粒子在磁场B1中沿逆时针方向旋转，在磁场B2中沿顺时针方向旋转，则轨迹图如上图。
(2)粒子在磁场B1中运动的时间t1＝T1＝， 粒子在磁场B2中运动的时间t2＝T2＝， 则t＝t1＋t2＝。
课后练习
1．B　2.D　3.C　4.AD　5.B　6.BC　7.AC　8.D
9．D　10.C
11．【答案】，g
【解析】小球静止时只受重力，则加速度为g，下滑后，小球受到洛伦兹力、重力、支持力及摩擦力的作用，洛伦兹力水平向左，摩擦力竖直向上，小球向下做加速运动，速度越大，洛伦兹力越大，则摩擦力越大，加速度越小，当加速度等于零时，速度最大，则mg＝μqvB，得v＝。 此后小球做匀速直线运动，加速度为0，故开始时小球的加速度最大：a＝g。
12．【答案】(1)见解析　(2)　(2)v0　
(3)arcsin 　(5)　(6)(1－cos θ)
【解析】(1)粒子在磁场中受到洛伦兹力作用，力与速度始终垂直，故粒子做匀速圆周运动，轨迹是圆周。如图：
(2)由qv0B＝m　得R＝。
(3)粒子在磁场中只受到洛伦兹力作用，只改变速度方向，不改变大小，故离开磁场时速率仍为初速度大小v0。
(4)由几何关系可知：sin θ＝＝。
(5)在磁场中的运动时间t＝＝。
(6)y＝R(1－cos θ)＝(1－cos θ)。
13．【答案】(1)　(2)　(3)
【解析】(1)设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，由洛伦兹力和牛顿第二定律，有：qvB＝，所以R＝。
(2)粒子在磁场中运动对应的圆心角为270°， 又T＝，所以t＝T＝。
(3)粒子离开磁场的位置，由几何关系得x＝R，又R＝，所以x＝。 所以粒子射出磁场的位置坐标为。

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