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第二章方程与不等式第8节一次方程组
■考点1.
二元一次方程(组)的相关概念
1．二元一次方程：含有___________未知数，并且未知数的项的次数都是___，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
2．二元一次方程组：具有相同未知数的_______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
3.二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有
个解.??
4.二元一次方程组的解：?二元一次方程组的两个方程的
，叫做二元一次方程组的解.?
■考点2.
二元一次方程(组)的解法
解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有_______消元法和__________消元法．
■考点3二元一次方程组的应用
一般步骤
1．______________；
2．______________；
3．找出能够包含未知数的______________；
4．______________；
5．______________；
6．______________．
■考点4.解简单的三元一次方程组
实质就是利用代入法或加减法消元
■考点1：二元一次方程(组)的相关概念
◇典例：
已知（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y=1，则k=________时，它是二元一次方程；k=________时，它是一元一次方程．
【考点】一元一次方程的定义，二元一次方程的定义
【分析】根据二元一次方程含未知数的项的次数为1，系数不为0可求得k的值，当未知数x的系数为零时，原方程是一个一元一次方程．
解：∵（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y=1是二元一次方程，
∴|k|﹣1=1，k﹣2≠0．
解得：k=﹣2．
∵当k﹣2=0时，原方程是一元一次方程，
∴k=2．
故答案为：-2,2．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，二元一次方程的定义概念．关键要抓住“元”与“次”．
（2019年湖北省荆门市）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．3
D．﹣3
【考点】二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【分析】首先解方程组，求出x、y的值，然后代入所求代数式即可．
解：，
①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，
把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，
∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于x、y的方程组是关键．
（2020年黑龙江省齐齐哈尔市、黑河市、大兴安岭地区）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案．
解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：2x+3y＝30，
∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴，，，，
∴小明有4种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
◆变式训练
（2019年山东省菏泽市）已知是方程组的解，则a+b的值是（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣5
D．5
（2018年山东省枣庄市）若二元一次方程组的解为，则a﹣b=
．
（2019年黑龙江省绥化市）小明去商店购买两种玩具，共用了元钱，种玩具每件元，种玩具每件元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量多于种玩具的数量．则小明的购买方案有（　　）
A．种
B．种
C．种
D．种
■考点2：二元一次方程(组)的解法
◇典例
（2020年天津市）方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】利用加减消元法解出的值即可．
解：
①+②得：，解得：，
把代入②中得：，解得：，
∴方程组的解为：；
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法，根据具体的方程组选取合适的方法是解决本类题目的关键．
（2020年湖南省益阳市）同时满足二元一次方程和的，的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】联立和解二元一次方程组即可．
解：有题意得：
由①得x=9+y③
将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5
则x=9+（-5）=4
所以x=4，y=-5．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及解法，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
（2020年辽宁省朝阳市）已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________．
【考点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可．
解：，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵，
∴2-a=-3，
∴a=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
◆变式训练
（2019年广西贺州市）已知方程组，则2x+6y的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
（2020年浙江省绍兴市）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．
（2020年广西桂林市）解二元一次方程组：．
■考点3：二元一次方程组的应用
◇典例：
（2019年浙江省嘉兴市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位），马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位），马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
（2020年四川省绵阳市）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（　　）
A．160钱
B．155钱
C．150钱
D．145钱
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，
依题意，得：，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（2020年湖北省黄石市）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可．
(2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可．
解：(1)设每头牛x银两,每只羊y银两．
解得:
答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．
(2)设买牛a头,买养b只．
3a+2b=19,即．
解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．
答:三种购买方法,
买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
◆变式训练
（2019年山东省泰安市）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为　
　．
（2020年湖南省常德市）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．
（2020年江西省）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．
■考点4.解简单的三元一次方程组
◇典例：（2019年重庆市（a卷））在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4：3：5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3：4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是　
　．
【考点】三元一次方程组的应用
【分析】设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积x、贝母已种植面积x，黄连已种植面积
依题意列出方程组，用y的代数式分别表示x、y，然后进行计算即可．
解：设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积x、贝母已种植面积x，黄连已种植面积
依题意可得，
由①得
x＝③，
将③代入②，z＝y，
∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比＝，
故答案为3：20．
【点评】本题考查了三元一次方程组，正确找出等量关系并列出方程是解题的关键．
◆变式训练
（2020年重庆市中考数学试题B卷）为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为____元．
（2019年四川省巴中市）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）
A．1
B．2
C．﹣1
D．0
（2020年浙江省嘉兴、舟山市
）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣②
B．②×（﹣3）﹣①
C．①×（﹣2）+②
D．①﹣②×3
（2019年湖北省孝感市）已知二元一次方程组，则的值是（　　）
A．﹣5
B．5
C．﹣6
D．6
（2019年广西贺州市）已知方程组，则2x+6y的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
（2020年辽宁省沈阳市）二元一次方程组的解是_____________。
（2019年江苏省常州市）若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝　
　．
（2020年江苏省南京市）已知x、y满足方程组，则的值为__________．
（2020年四川省南充市）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多可以购买钢笔_______支．
（2020年四川省乐山市）解二元一次方程组：
（2020年海南省）某村经济合作社决定把吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工吨，前后共用天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
选择题
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（
）
A．3
B．3，－3
C．
D．，－
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（
）
A．种
B．种
C．种
D．种
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（　　）
A．3种
B．4种
C．5种
D．9种
（2019年浙江省宁波市）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元，若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（　　）
A．31元
B．30元
C．25元
D．19元
（2019年天津市）方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年辽宁省铁岭、葫芦岛市）我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，所列方程组正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省临沂市）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省襄阳市）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（
）
A．B．C．D．
（2020年浙江省宁波市）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A．
B．C．
D．
（2019年吉林省长春市）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱，每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省绍兴市）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）
A．120km
B．140km
C．160km
D．180km
（2019年四川省乐山市）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（　　）
A．1，11
B．7，53
C．7，61
D．6，50
填空题
（2019年江苏省苏州市）若，则的值为__________________.
（2020年贵州省黔南州）方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文为：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两”．若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为____________．
（2020年四川省成都市）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________．
（2020年湖南省岳阳市）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为_____．
（2020年重庆市中考数学试题A卷）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是__________．
解答题
（2020年江苏省连云港市）解方程组．
（2019年山东省枣庄市）对于实数a、b，定义关于“?”的一种运算：a?b＝2a+b，例如3?4＝2×3+4＝10．
（1）求4?（﹣3）的值，
（2）若x?（﹣y）＝2，（2y）?x＝﹣1，求x+y的值．
（2020年辽宁省大连市）某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
（2020年江苏省徐州市）本地某快递公司规定：寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地
起步价（元）
超过千克的部分（元千克）
上海
北京
实际收费
目的地
质量
费用（元）
上海
北京
求，的值．
（2020年江苏省淮安市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？
（2020年湖北省黄冈市）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”．一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元．如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元．请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
（2020年江苏省扬州市）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则________，________；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________．
13第二章方程与不等式第8节一次方程组
■考点1.
二元一次方程(组)的相关概念
1．二元一次方程：含有__两个__未知数，并且未知数的项的次数都是__1__，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
2．二元一次方程组：具有相同未知数的__两个__二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
3.二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有
无数多
个解.??
4.二元一次方程组的解：?二元一次方程组的两个方程的
公共解
，叫做二元一次方程组的解.?
■考点2.
二元一次方程(组)的解法
解二元一次方程组的基本思想是__消元__，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有__代入__消元法和__加减__消元法．
■考点3二元一次方程组的应用
一般步骤
1．__审题__；
2．__设元__；
3．找出能够包含未知数的__等量关系__；
4．__列出方程(组)__；
5．__求出方程(组)的解__；
6．__验根并作答__．
■考点4.解简单的三元一次方程组
实质就是利用代入法或加减法消元
■考点1：二元一次方程(组)的相关概念
◇典例：
已知（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y=1，则k=________时，它是二元一次方程；k=________时，它是一元一次方程．
【考点】一元一次方程的定义，二元一次方程的定义
【分析】根据二元一次方程含未知数的项的次数为1，系数不为0可求得k的值，当未知数x的系数为零时，原方程是一个一元一次方程．
解：∵（k﹣2）x|k|﹣1﹣2y=1是二元一次方程，
∴|k|﹣1=1，k﹣2≠0．
解得：k=﹣2．
∵当k﹣2=0时，原方程是一元一次方程，
∴k=2．
故答案为：-2,2．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，二元一次方程的定义概念．关键要抓住“元”与“次”．
（2019年湖北省荆门市）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．3
D．﹣3
【考点】二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【分析】首先解方程组，求出x、y的值，然后代入所求代数式即可．
解：，
①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，
把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，
∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于x、y的方程组是关键．
（2020年黑龙江省齐齐哈尔市、黑河市、大兴安岭地区）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案．
解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：2x+3y＝30，
∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴，，，，
∴小明有4种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
◆变式训练
（2019年山东省菏泽市）已知是方程组的解，则a+b的值是（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣5
D．5
【考点】二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
解：将代入，
可得：，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
（2018年山东省枣庄市）若二元一次方程组的解为，则a﹣b=
．
【考点】二元一次方程组的解
【分析】把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出a﹣b的值．
解：将代入方程组，得：，
①+②，得：4a﹣4b=7，
则a﹣b=，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a﹣b的值，本题属于基础题型．
（2019年黑龙江省绥化市）小明去商店购买两种玩具，共用了元钱，种玩具每件元，种玩具每件元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量多于种玩具的数量．则小明的购买方案有（　　）
A．种
B．种
C．种
D．种
【考点】二元一次方程的应用——方案问题
【分析】设种玩具的数量为，种玩具的数量为，根据共用10元钱，可得关于x、y的二元一次方程，继而根据以及x、y均为正整数进行讨论即可得.
解：设种玩具的数量为，种玩具的数量为，
则，
即，
又x、y均为正整数，且，
当时，，不符合；
当时，，符合；
当时，，符合；
当时，，符合，
共种购买方案，
故选C.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用——方案问题，弄清题意，正确进行分析是解题的关键.
■考点2：二元一次方程(组)的解法
◇典例
（2020年天津市）方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】利用加减消元法解出的值即可．
解：
①+②得：，解得：，
把代入②中得：，解得：，
∴方程组的解为：；
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法，根据具体的方程组选取合适的方法是解决本类题目的关键．
（2020年湖南省益阳市）同时满足二元一次方程和的，的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】联立和解二元一次方程组即可．
解：有题意得：
由①得x=9+y③
将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5
则x=9+（-5）=4
所以x=4，y=-5．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及解法，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
（2020年辽宁省朝阳市）已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________．
【考点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可．
解：，
①+②，得
3x+3y=6-3a，
∴x+y=2-a，
∵，
∴2-a=-3，
∴a=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
◆变式训练
（2019年广西贺州市）已知方程组，则2x+6y的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
【考点】解二元一次方程组
【分析】两式相减，得x+3y＝﹣2，所以2（x+3y）＝﹣4，即2x+6y＝﹣4．
解：两式相减，得x+3y＝﹣2，
∴2（x+3y）＝﹣4，
即2x+6y＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组，对原方程组进行变形是解题的关键．
（2020年浙江省绍兴市）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．
【考点】二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解
【分析】根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可.
解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
而1﹣1＝0，
∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．
故答案为：答案不唯一，如x﹣y.
【点评】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键.
（2020年广西桂林市）解二元一次方程组：．
【考点】解二元一次方程组
【分析】利用加减消元法对二元一次方程组进行求解即可．
解：①+②得：6x＝6，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：，
则方程组的解为．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解决本题的关键．
■考点3：二元一次方程组的应用
◇典例：
（2019年浙江省嘉兴市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位），马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位），马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
（2020年四川省绵阳市）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（　　）
A．160钱
B．155钱
C．150钱
D．145钱
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，
依题意，得：，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（2020年湖北省黄石市）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可．
(2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可．
解：(1)设每头牛x银两,每只羊y银两．
解得:
答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．
(2)设买牛a头,买养b只．
3a+2b=19,即．
解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．
答:三种购买方法,
买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
◆变式训练
（2019年山东省泰安市）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为　
　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量，②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
（2020年湖南省常德市）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：
，
整理得：，
解得：．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组求解．
（2020年江西省）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】（1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答；
（2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
解：（1）设单独购买一支笔芯的价格为x元，一本笔记本的价格为y元，
有，解得；
故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．
（2）两人共有金额19+26+2=47元，
若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，
故两人买到各自的文具需要花费10×2.5+3×5=40（元），剩余47-40=7（元），可购买两件单价为3元的小工艺品；
故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
【点评】（1）本题主要考查了二元一次方程组的求解，其中根据题目信息找到等量关系，；列出方程组是解题的关键；
（2）本题主要是对题目中关键信息的理解以及应用，其中观察到整盒购买享受优惠是成功让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品的关键．
■考点4.解简单的三元一次方程组
◇典例：（2019年重庆市（a卷））在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4：3：5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3：4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是　
　．
【考点】三元一次方程组的应用
【分析】设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积x、贝母已种植面积x，黄连已种植面积
依题意列出方程组，用y的代数式分别表示x、y，然后进行计算即可．
解：设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为（x+y），川香已种植面积x、贝母已种植面积x，黄连已种植面积
依题意可得，
由①得
x＝③，
将③代入②，z＝y，
∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比＝，
故答案为3：20．
【点评】本题考查了三元一次方程组，正确找出等量关系并列出方程是解题的关键．
◆变式训练
（2020年重庆市中考数学试题B卷）为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为2510元，第三时段返现金额比第一时段多420元，则第二时段返现金额为____元．
【考点】三元一次的方程组的应用
【分析】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c．根据题意得到关于a，b，c方程组，根据a，b，c均为正整数，求解即可．
解：设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c．由题意得，
即，
其整数解为（其中n为整数），
又∵a，b，c均是正整数，易得n=1.
所以.
∴150a+60b+40c=150×5+60×4+40×6=1230．
故答案为：1230．
另解：由上9b+c=42，得知b=1，2，3，4.列举符合题意的解即可．
【点评】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意得到方程组，求出方程组的整数解是解题关键．解题时注意题目中隐含条件a，b，c，均为正整数．
（2019年四川省巴中市）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）
A．1
B．2
C．﹣1
D．0
【考点】二元一次方程组的解，解二元一次方程组
【分析】将代入即可求出a与b的值，
解：将代入得：
，
∴a+b＝2，
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．
（2020年浙江省嘉兴、舟山市
）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣②
B．②×（﹣3）﹣①
C．①×（﹣2）+②
D．①﹣②×3
【考点】解二元一次方程组
【分析】根据各选项分别计算，即可解答．
解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；
B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；
D、①﹣②×3无法消元，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元．
（2019年湖北省孝感市）已知二元一次方程组，则的值是（　　）
A．﹣5
B．5
C．﹣6
D．6
【考点】解二元一次方程组
【分析】解方程组求出x、y的值，再把所求式子化简后代入即可．
解：，
②﹣①×2得，2y＝7，解得，
把代入①得，+y＝1，解得，
∴＝．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（2019年广西贺州市）已知方程组，则2x+6y的值是（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
【考点】解二元一次方程组
【分析】两式相减，得x+3y＝﹣2，所以2（x+3y）＝﹣4，即2x+6y＝﹣4．
解：两式相减，得x+3y＝﹣2，
∴2（x+3y）＝﹣4，
即2x+6y＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组，对原方程组进行变形是解题的关键．
（2020年辽宁省沈阳市）二元一次方程组的解是_____________。
【考点】解二元一次方程组
【分析】先用加减消元法，再用代入消元法解方程组即可．
解：，
①＋②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
所以方程组的解为．
故答案为．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，根据方程组中未知数系数的特点选择恰当的方法消元是解决此题的关键．
（2019年江苏省常州市）若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝　
　．
【考点】二元一次方程的解
【分析】把代入二元一次方程ax+y＝3中即可求a的值．
解：把代入二元一次方程ax+y＝3中，
a+2＝3，解得a＝1．
故答案是：1．
【点评】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
（2020年江苏省南京市）已知x、y满足方程组，则的值为__________．
【考点】解二元一次方程组
【分析】先解方程组求解，从而可得答案．
解：
①得：
③
③－②得：
把代入①：
所以方程组的解是：
故答案为：
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（2020年四川省南充市）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多可以购买钢笔_______支．
【考点】二元一次方程的应用
【分析】首先设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费=100元，可得，根据x最大且又能被5整除，即可求解．
解：设钢笔x支，笔记本y本，则有7x+5y=100，则，
∵x最大且又能被5整除，y是正整数，
∴x=10，
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系．
（2020年四川省乐山市）解二元一次方程组：
【考点】解二元一次方程组
【分析】方程组利用加减消元法，由②-①即可解答；
解：，
②-①，得
，
解得：，
把代入①，得
；
∴原方程组的解为
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（2020年海南省）某村经济合作社决定把吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工吨，前后共用天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天，根据“前后共用天完成，总共加工22吨”
这两个关键信息建立方程组即可求解．
解:设改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天，
则
解得
经检验，符合题意．
答:改进加工方法前用了天，改进加工方法后用了天．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，找出等量关系，正确列出方程组是解决本题的关键．
1、
选择题
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（
）
A．3
B．3，－3
C．
D．，－
【考点】解二元一次方程组，算术平方根
【分析】将代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．
解：将代入二元一次方程中，
得到：，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解得，将回代方程中，解得，
∴，
∴x＋2y的算术平方根为，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（
）
A．种
B．种
C．种
D．种
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设购买、、三种奖品分别为个，根据题意列方程得，化简后根据均为正整数，结合种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．
解：设购买、、三种奖品分别为个，
根据题意列方程得，
即，
由题意得均为正整数．
①当z=1时，
∴，
∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；
②当z=2时，
∴，
∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；
综上所述：共有8+6=14种购买方案．
故选：D
【点评】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键．
（2019年湖北省江汉油田、潜江、仙桃、天门市）把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（　　）
A．3种
B．4种
C．5种
D．9种
【考点】二元一次方程的应用
【分析】可列二元一次方程解决这个问题．
解：设2m的钢管b根，根据题意得：
a+2b＝9，
∵a、b均为整数，
∴，，，．
故选：B．
【点评】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．
（2019年浙江省宁波市）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元，若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（　　）
A．31元
B．30元
C．25元
D．19元
【考点】二元一次方程的应用
【分析】设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价＝单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y＝x+7，再将其代入5x+3y+10﹣8x中即可求出结论．
解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，
依题意，得：5x+3y+10＝3x+5y﹣4，
∴y＝x+7，
∴5x+3y+10﹣8x＝5x+3（x+7）+10﹣8x＝31．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
（2019年天津市）方程组的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】利用加减消元法求出解即可．
解：，
＋②得：9x=18，即x=2，
把x=2代入②得：y=，
则方程组的解为：
故选：D．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（2020年辽宁省铁岭、葫芦岛市）我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，所列方程组正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据“甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程”和“甲工程队每天比乙工程队多施工2米”可分别列出方程，联立即可．
解：依据题意：“甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程”可列方程，
“甲工程队每天比乙工程队多施工2米”可列方程，
故可列方程组：，
故选：D．
【点评】本题考查列二元一次方程组．能仔细读题，找出描述等量关系的语句是解题关键．
（2020年山东省临沂市）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
解：设有x人，y辆车，
依题意得：
，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系．
（2020年湖北省襄阳市）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（
）
A．B．C．D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设小马有x匹，大马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．
解：设小马有x匹，大马有y匹，由题意可得：
，
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
（2020年浙江省宁波市）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A．
B．C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
（2019年吉林省长春市）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一，人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱，每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱，每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
（2020年浙江省绍兴市）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）
A．120km
B．140km
C．160km
D．180km
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，然后画出图形、确定等量关系、列出关于x和y的二元一次方程组并求解即可．
解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：
，
解得：
．
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．
故答案为B．
【点评】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，弄清题意、确定等量关系、列出方程组是解答本题的关键．
（2019年四川省乐山市）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（　　）
A．1，11
B．7，53
C．7，61
D．6，50
【考点】一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用
【分析】设有x人，物价为y，根据该物品价格不变，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
解：设有x人，物价为y，可得：，
解得：，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
1、
填空题
（2019年江苏省苏州市）若，则的值为__________________.
【考点】代数式的求值，解二元一次方程组
【分析】将变形可得，因为，所以得到a=2，再求出b，得到a+b
解：将变形可得，因为，所以，得到a=2，将a=2带入，得到b=3，所以a+b=5，故填5
【点睛】本题考查代数式的求值，以及二元一次方程组的解法，本题也可采用加减消元或者代入消元法进行解题
（2020年北京市）方程组的解为________．
【考点】解二元一次方程组
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
解：两个方程相加可得，
∴，
将代入，
可得，
故答案为：．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
（2020年贵州省黔南州）方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文为：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两”．若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为____________．
【考点】由实际问题列二元一次方程组
【分析】根据“有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，列出二元一次方程，即可．
解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，
根据题意得：．
故答案是：．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
（2020年四川省成都市）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设1头牛值金两，1只羊值金两，根据等量关系
“①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，5只羊共价值8两金”，分别列出方程即可求解．
解：设1头牛值金两，1只羊值金两，由题意可得，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
（2020年湖南省岳阳市）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为_____．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
解：设买美酒x斗，买普通酒y斗，
依题意得：，
故答案是：．
【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
（2020年重庆市中考数学试题A卷）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是__________．
【考点】三元一次方程组的应用
【分析】先根据题意设出相应的未知数，再结合题目的等量关系列出相应的方程组，最后求解即可求得答案．
解：设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k，5k，2k，7月份总增加的营业额为m，则7月份摆摊增加的营业额为m，设7月份外卖还需增加的营业额为x．
∵7月份摆摊的营业额是总营业额的，且7月份的堂食、外卖营业额之比为8：5，
∴7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为8：5：7，
∴设7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为8a，5a，7a，
由题意可知：
，
解得：
，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据题意设出相应的未知数，结合题目中的等量关系列出方程组是解决本题的关键．
1、
解答题
（2020年江苏省连云港市）解方程组．
【考点】解二元一次方程组
【分析】根据题意选择用代入法解答即可．
解：，
将②代入①中得
．
解得．
将代入②，
得．
所以原方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解答关键是根据题目特点选择代入法或加减法解答问题．
（2019年山东省枣庄市）对于实数a、b，定义关于“?”的一种运算：a?b＝2a+b，例如3?4＝2×3+4＝10．
（1）求4?（﹣3）的值，
（2）若x?（﹣y）＝2，（2y）?x＝﹣1，求x+y的值．
【考点】实数的运算，解二元一次方程组
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值，
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求．
解：（1）根据题中的新定义得：原式＝8﹣3＝5，
（2）根据题中的新定义化简得：，
①+②得：3x+3y＝1，
则x+y＝．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2020年辽宁省大连市）某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，根据运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车，列方程组求解．
解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥，
由题意得，
，
整理得：
解得：．
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
（2020年江苏省徐州市）本地某快递公司规定：寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地
起步价（元）
超过千克的部分（元千克）
上海
北京
实际收费
目的地
质量
费用（元）
上海
北京
求，的值．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】根据题意“寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费”列出方程组求解即可得到结果．
解：根据题意得：，
解得：，
∴，．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
（2020年江苏省淮安市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】根据题意设中型x辆，小型y辆，即可列出方程组求出答案.
解：设中型x辆，小型y辆，根据题意可得：
，
解得
，
故中型汽车12辆，小型汽车18辆.
【点评】本题主要考查的是方程组，掌握相关方法即可得出答案.
（2020年湖北省黄冈市）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”．一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元．如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元．请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】根据题意列出二元一次方程组解出即可．
解：设每盒羊角春牌绿茶x元，每盒九孔牌藕粉y元，依题意可列方程组：
解得：
答：每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系．
（2020年江苏省扬州市）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则________，________；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________．
【考点】解二元一次方程组，二元一次方程组的应用
【分析】（1）已知，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解；
（3）根据，可得，，，根据“整体思想”，即可求得的值．
解：（1）
①-②，得x-y=-1
①+②，得3x+3y=15
∴x+y=5
故答案为：-1，5
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则
①×2，得40x+6y+4z=64③
③-②，得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
（3）∵
∴①，②，
∴②-①，得③
∴④
①+②，得⑤
⑤-④，得
∴
故答案为：-11
【点评】本题考查了利用“整体思想”解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义结合“整体思想”求代数式的值．
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