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第二章方程与不等式第9节一元二次方程
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■考点1.
一元二次方程的概念、解法
1．一元二次方程的概念：只
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)含有__一__个未知数，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__
其中
ax2
叫做二次项，
bx
叫做一次项，
c
叫做常数项；
a
叫做二次项的系数，
b
叫做一次项的系数．
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思想是__降次__．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__b＝0__．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝____的形式，再利用直接开平方法求解．21教育网
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝____．
■考点2.　一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__不相等__的实数根．
2．b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__相等__的实数根．
3．b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有__实数根．
■考点3.　一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__－__，x1x2＝____．
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1：一元二次方程的概念、解法
◇典例：
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（
）
A．-1或2
B．-1
C．2
D．0
【考点】一元二次方程的解，一元二次方程的定义
【分析】首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值
解：把x=1代入得：
=0，
，
解得：m1=2，m2=﹣1
∵是一元二次方程，
∴
，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
（2020年山东省临沂市）一元二次方程的解是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【考点】解一元二次方程
【分析】得出方程各项系数，再利用公式法求解即可.
解：∵中，
a=1，b=-4，c=-8，
∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x=，
即，，
故选B.
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．
（2020年江苏省镇江市）一元二次方程x2﹣2x=0的解是
．
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解：方程整理得：x（x﹣2）=0，
可得x=0或x﹣2=0，
解得：x1=0，x2=2．
故答案为x1=0，x2=2.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
（2020年江西省）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________．
【考点】一元二次方程的解，解一元二次方程
【分析】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．
解：将x=1代入一元二次方程有：，k=-1，
方程
即方程的另一个根为x=-2
故本题的答案为-2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．
◆变式训练
（2020年辽宁省营口市）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3
B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3
D．x1＝2，x2＝3
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【分析】利用因式分解法解方程．
解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（2020年山东省聊城市）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
解：
移项得，
二次项系数化1的，
配方得
即
故选：A
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方
（2020年贵州省毕节市）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．
【考点】一元二次方程的解，解一元二次方程
【分析】把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．
解：∵方程是一元二次方程，
∴k+2≠0，即k≠-2；
又0是该方程的一个根，
∴，
解得，，，
由于k≠-2，
所以，k=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．
（2020年江苏省南京市）解方程：.
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【分析】将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
■考点2.　一元二次方程的根的判别式
◇典例
（2020年新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（??
）
A．
B．x2+2x+4=0
C．x2-x+2=0
D．x2-2x=0
【考点】根的判别式
【分析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．
解：A.此方程判别式
，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B.此方程判别式
方程没有实数根，不符合题意;
C.此方程判别式
，方程没有实数根，不符合题意;
D
.此方程判别式
，方程有两个不相等的实数根，符合题意;
故答案为：
D.
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
（2020年广西北部湾经济区）一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式
【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
解：∵，，，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
（2020年上海市）如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是____．
【考点】根的判别式
【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值．
解：依题意．
∵方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0，
解得：m=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△=b2-4ac＜0时，方程无实数根．
◆变式训练
（2020年安徽省）下列方程中，有两个相等实数根的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】根的判别式
【分析】根据根的判别式逐一判断即可．
解：A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；
B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误；
C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；
D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.
故选：A.
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．且
【考点】根的判别式
【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可．
解：
关于的一元二次方程有两个实数根，，
故选B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
（2020年云南省）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是________．
【考点】根的判别式
【分析】根据判别式得到?=22-4c=0，然后解方程即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根，
∴?=22-4c=0，
∴c=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式?=b2-4ac：当?＞0，方程有两个不相等的实数根；当?=0，方程有两个相等的实数根；当?＜0，方程没有实数根．
（2020年湖南省娄底市）一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【考点】根的判别式
【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，则
从而列方程可得答案．
解：
方程有两个相等的实数根，
故答案为：
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．
■考点3：一元二次方程的根与系数的关系
◇典例：
（2020年贵州省黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7
B．7
C．3
D．﹣3
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
【点评】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
（2020年湖北省孝感市）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；
（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案.
(1)证明：∵，
∵无论为何实数，，
∴，
∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)由一元二次方程根与系数的关系得：
，，
∵，
∴，
∴，
∴，化简得：，
解得，．
【点评】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.
◆变式训练
（2020年江苏省泰州市）方程的两根为、则的值为______．
【考点】根与系数的关系
【分析】直接根据韦达定理x1·x2=可得．
解：∵方程的两根为x1、x2，
∴x1·x2==-3，
故答案为：-3．
【点评】本题主要考查韦达定理，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则x1+x2=?，x1·x2=．
（2020年四川省宜宾市）一元二次方程的两根为，则________________
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系表示出和即可；
解：∵，
∴，，，
∴，，
∴，
=，
=．
故答案为．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．
（2020年湖北省鄂州市）已知关于x的方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，即≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3．
（2）由根与系数的关系可得，
由可得，
代入x1＋x2和x1x2的值，可得：
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的根，
故．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（2020年山东省泰安市）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（
）
A．，21
B．，11
C．4，21
D．，69
【考点】解一元二次方程
【分析】根据配方法步骤解题即可．
解：
移项得，
配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
故选：A
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
（2020年四川省凉山州）一元二次方程x2=2x的解为（
）
A．x=0
B．x=2
C．x=0或x=2
D．x=0且x=2
【考点】解一元二次方程
【分析】首先把方程化成一般形式，再把方程的左边分解因式，即可得到答案．
解：x2=x2，
移项得：x2-2x=0，
∴x（x-2）=0，
x=0或x-2=0，
∴x1=0，x2=2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
（2020年江苏省扬州市）方程的根是_______．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法
【分析】利用直接开平方法解方程.
解：
，
∴，
故答案为：.
【点评】此题考查一元二次方程的解法：直接开平方法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
（2020年山东省威海市）一元二次方程的解为__________．
【考点】解一元二次方程
【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．
解：
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=,
故答案为:x=或x=2．
【点评】本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．
（2020年辽宁省沈阳市）一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式
【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
解：∵，，，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
（2020年湖南省怀化市）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】根的判别式
【分析】根据题意可得方程的判别式△=0，进而可得关于k的方程，解方程即得答案．
解：由题意，得：，解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键．
（2020年山东省潍坊市）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式
【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
解：△=(k-3)2-4(1-k)
=k2-6k+9-4+4k
=k2-2k+5
=(k-1)2+4，
∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
（2020年四川省攀枝花市）若关于的方程没有实数根，则的值可以为（
）．
A．
B．
C．0
D．1
【考点】根的判别式
【分析】根据关于x的方程没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．
解：∵关于的方程没有实数根，
∴△=＜0，
解得：，
故选项中只有A选项满足，
故选A.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零.
（2020年贵州省遵义市）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5
B．10
C．11
D．13
【考点】根与系数的关系
【分析】利用根与系数的关系得到再利用完全平方公式得到然后利用整体代入的方法计算．
解：根据题意得
所以
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年黑龙江省齐齐哈尔市、黑河市、大兴安岭地区）解方程：x2﹣5x+6＝0
【考点】解一元二次方程
【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
【点评】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.
（2020年湖北省随州市中考数学试题卷）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】（1）求出△的值即可证明；
（2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可．
（1）证明：依题意可得
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：
由，得，解得．
【点评】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=?，x1x2=．
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1、
选择题
（2020年内蒙古通辽市）若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1
B．k≤1
C．k＜1且k≠0
D．k≤1且k≠0
【考点】一元二次方程的定义，根的判别式
【分析】分类讨论：当k=0，原方程变形为-6x+9=0，解得x=；当k≠0，则△=（-6）2-4×k×9≥0，解得k≤1，然后综合两种情况得到k的取值范围．
解：（1）当k=0时，-6x+9=0，解得x=；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根，
∴△=（-6）2-4k×9≥0，解得k≤1，
由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
（2020年湖北省随州市中考数学试题卷）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】换元法解一元二次方程
【分析】先求得，代入即可得出答案．
解：∵，
∴，，
∴
=
=
=
=
=，
∵，且，
∴，
∴原式=，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．
（2020年山东省滨州市）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（
）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判定
【考点】根的判别式
【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．
解：，
，
不论k为何值，，
即，
所以方程没有实数根，
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2-bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
（2020年浙江省湖州市）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【考点】根的判别式
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
（2020年四川省自贡市）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】根的判别式
【分析】由题意，根据一元二次方程根的判别式值为零，求可解．
解：由一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于0可得，
，得，
故应选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解答时注意△=0?方程有两个相等的实数根．
（2020年河南省）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【考点】定义新运算,根的判别式
【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．
解：根据定义得：
＞
原方程有两个不相等的实数根，
故选
【点评】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（
）
A．
B．
C．或1
D．或4
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．
解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
（2020年四川省眉山市）已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】配方法的应用
【分析】根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解．
解：∵
∴
即，
∴求得：，
∴把和代入得：
故选：A
【点评】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．
（2020年江苏省南京市）关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（
）
A．两个正根
B．两个负根
C．一个正根，一个负根
D．无实数根
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
解：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，
∵，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：，
（2020年湖北省荆州市）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数）
是关于x的方程，则它的根的情况是（
）
A．有一个实根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【考点】定义新运算，根的判别式
【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.
解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【点评】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
（2020年贵州黔西南州）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（
）
A．m＜2
B．m≤2
C．m＜2且m≠1
D．m≤2且m≠1
【考点】根的判别式，一元二次方程的定义
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，∴b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又∵(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，∴m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
（2020年湖南省邵阳市）设方程的两根分别是，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
【考点】根与系数的关系
【分析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
解：由可知，其二次项系数，一次项系数，
由韦达定理：，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．
1、
填空题
（2020年四川省雅安市）若，则__________．
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【分析】将看作一个整体，然后采用十字相乘法进行因式分解，可解出答案.
解：
∴或
又∵，
∴
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，将看作一个整体，当作一个未知数看待是关键，最后还要注意是非负数，舍去负根.
（2020年湖南省常德市）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
【考点】解一元二次方程
【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．
解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．
（2020年四川省乐山市）已知，且．则的值是_________．
【考点】换元法解一元二次方程
【分析】将已知等式两边同除以进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．
解：
将两边同除以得：
令
则
因式分解得：
解得或
即的值是4或
故答案为：4或．
【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．
（2020年江苏省常州市）若关于x的方程有一个根是1，则_________．
【考点】一元二次方程的解
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
解：把x=1代入方程得1+a-2=0，
解得a=1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
（2020年山东省烟台市）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
【考点】一元二次方程的定义，根的判别式
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得二次项系数不等于零,△大于零,求解不等式组即可.
解：∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,即,
解得：k＞0且k≠1.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式,中等难度,考虑二次项系数是解题关键.
（2020年四川省眉山市）设，是方程的两个实数根，则的值为______．
【考点】根与系数的关系
【分析】由韦达定理可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解．
解：由方程可知
，
．
故答案为：
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理可简便运算．
三、解答题
（2020年江苏省徐州市）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【考点】解一元二次方程，解一元一次不等式组
【分析】（1）根据因式分解法即可求解；
（2）分别求出各不等式的解集，即可求出其公共解集．
解：（1）解方程：
∴2x-3=0或x-1=0
解得x1=,x2=1;
（2）解
解不等式①得x＜3
解不等式②得x＞-4
∴不等式组的解集为-4＜x＜3．
【点评】此题主要考查方程与不等式的求解，解题的关键是熟知其解法．
（2020年四川省广元市）先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根．
【考点】分式的化简求值，解一元二次方程
【分析】首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可．
解：
=a2+2a+1
∵a是关于x的方程的根，
∴a2-2a-3=0，
∴a=3或a=-1，
∵a2+a≠0，
∴a≠-1，
∴a=3，
∴原式=9+6+1=16.
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，正确化简分式是解题关键．
（2020年湖北省荆州市）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
解：设，则有，
原方程可化为：，
续解：
【考点】解一元二次方程-因式分解法，换元法解一元二次方程，无理方程
【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解．
解：续解：，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
，，
，
经检验都是方程的解．
【点评】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．
（2020年广西玉林市）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值．
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】（1）根据?>0列不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可.
解：（1）由题意得
?=4+4k>0，
∴k>-1；
（2）∵a+b=-2，ab=-k，
∴
=
=
=
=1.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．
（2020年湖北省十堰市）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】(1)根据建立不等式即可求解；
(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．
解：(1)由题意可知，，
整理得：，
解得：，
∴的取值范围是：．
故答案为：．
(2)由题意得：，
由韦达定理可知：，，
故有：，
整理得：，
解得：，
又由(1)中可知，
∴的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．
（2020年湖北省黄石市）已知：关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为、，且满足，求m的值．
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系可得=-，=-2，根据可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
解：（1）根据题意得△＝（）2?4×（?2）≥0，且m≥0，
解得m≥?8且m≥0．
故m的取值范围是m≥0；
（2）方程的两根为、，
∴=-，=-2
∵
∴
即m+8=17
解得m＝9
∴m的值为9．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝?，x1?x2＝．
（2020年四川省南充市）已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．
解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，
∴
解得；
（2）由一元二次方程根与系数关系，
∵，
∴
即，解得．
又由（1）知：，
∴．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
31第二章方程与不等式第9
节一元二次方程
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
■考点1.
一元二次方程的概念、解法
1．一元二次方程的概念：只含有__
_个未知数，并且未知数的最高次数是_____，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是____________________
其中
叫做二次项，
叫做一次项，
叫做常数项；
叫做二次项的系数，
叫做一次项的系数．
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思想是__
__．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__
__．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝__
__的形式，再利用直接开平方法求解．【出处：21教育名师】
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝__
_________．
■考点2.　一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__
__的实数根．
2．b2－4ac＝0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个__________的实数根．
3．b2－4ac＜0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__________实数根．
■考点3.　一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__
__，x1x2＝__
__．
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1：一元二次方程的概念、解法
◇典例：
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（
）
A．-1或2
B．-1
C．2
D．0
【考点】一元二次方程的解，一元二次方程的定义
【分析】首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得m的值
解：把x=1代入得：
=0，
，
解得：m1=2，m2=﹣1
∵是一元二次方程，
∴
，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
（2020年山东省临沂市）一元二次方程的解是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【考点】解一元二次方程
【分析】得出方程各项系数，再利用公式法求解即可.
解：∵中，
a=1，b=-4，c=-8，
∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x=，
即，，
故选B.
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．
（2020年江苏省镇江市）一元二次方程x2﹣2x=0的解是
．
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
解：方程整理得：x（x﹣2）=0，
可得x=0或x﹣2=0，
解得：x1=0，x2=2．
故答案为x1=0，x2=2.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
（2020年江西省）若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________．
【考点】一元二次方程的解，解一元二次方程
【分析】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．
解：将x=1代入一元二次方程有：，k=-1，
方程
即方程的另一个根为x=-2
故本题的答案为-2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．
◆变式训练
（2020年辽宁省营口市）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3
B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3
D．x1＝2，x2＝3
（2020年山东省聊城市）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
（2020年贵州省毕节市）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．
（2020年江苏省南京市）解方程：.
■考点2.　一元二次方程的根的判别式
◇典例
（2020年新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（??
）
A．
B．x2+2x+4=0
C．x2-x+2=0
D．x2-2x=0
【考点】根的判别式
【分析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．
解：A.此方程判别式
，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B.此方程判别式
方程没有实数根，不符合题意;
C.此方程判别式
，方程没有实数根，不符合题意;
D
.此方程判别式
，方程有两个不相等的实数根，符合题意;
故答案为：
D.
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
（2020年广西北部湾经济区）一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式
【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
解：∵，，，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
（2020年上海市）如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是____．
【考点】根的判别式
【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值．
解：依题意．
∵方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0，
解得：m=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△=b2-4ac＜0时，方程无实数根．
◆变式训练
（2020年安徽省）下列方程中，有两个相等实数根的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．且
（2020年云南省）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是________．
（2020年湖南省娄底市）一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
■考点3：一元二次方程的根与系数的关系
◇典例：
（2020年贵州省黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7
B．7
C．3
D．﹣3
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
【点评】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
（2020年湖北省孝感市）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；
（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案.
(1)证明：∵，
∵无论为何实数，，
∴，
∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)由一元二次方程根与系数的关系得：
，，
∵，
∴，
∴，
∴，化简得：，
解得，．
【点评】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.
◆变式训练
（2020年江苏省泰州市）方程的两根为、则的值为______．
（2020年四川省宜宾市）一元二次方程的两根为，则________________
（2020年湖北省鄂州市）已知关于x的方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（2020年山东省泰安市）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（
）
A．，21
B．，11
C．4，21
D．，69
（2020年四川省凉山州）一元二次方程x2=2x的解为（
）
A．x=0
B．x=2
C．x=0或x=2
D．x=0且x=2
（2020年江苏省扬州市）方程的根是_______．
（2020年山东省威海市）一元二次方程的解为__________．
（2020年辽宁省沈阳市）一元二次方程的根的情况是（
）
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
（2020年湖南省怀化市）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省潍坊市）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
（2020年四川省攀枝花市）若关于的方程没有实数根，则的值可以为（
）．
A．
B．
C．0
D．1
（2020年贵州省遵义市）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5
B．10
C．11
D．13
（2020年黑龙江省齐齐哈尔市、黑河市、大兴安岭地区）解方程：x2﹣5x+6＝0
（2020年湖北省随州市中考数学试题卷）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
1、
选择题
（2020年内蒙古通辽市）若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1
B．k≤1
C．k＜1且k≠0
D．k≤1且k≠0
（2020年湖北省随州市中考数学试题卷）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省滨州市）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（
）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判定
（2020年浙江省湖州市）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
（2020年四川省自贡市）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年河南省）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（
）
A．
B．
C．或1
D．或4
（2020年四川省眉山市）已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年江苏省南京市）关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（
）
A．两个正根
B．两个负根
C．一个正根，一个负根
D．无实数根
（2020年湖北省荆州市）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数）
是关于x的方程，则它的根的情况是（
）
A．有一个实根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
（2020年贵州黔西南州）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（
）
A．m＜2
B．m≤2
C．m＜2且m≠1
D．m≤2且m≠1
（2020年湖南省邵阳市）设方程的两根分别是，则的值为（
）
A．3
B．
C．
D．
1、
填空题
（2020年四川省雅安市）若，则__________．
（2020年湖南省常德市）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
（2020年四川省乐山市）已知，且．则的值是_________．
（2020年江苏省常州市）若关于x的方程有一个根是1，则_________．
（2020年山东省烟台市）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
（2020年四川省眉山市）设，是方程的两个实数根，则的值为______．
三、解答题
（2020年江苏省徐州市）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
（2020年四川省广元市）先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根．
（2020年湖北省荆州市）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
解：设，则有，
原方程可化为：，
续解：
（2020年广西玉林市）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值．
（2020年湖北省十堰市）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
（2020年湖北省黄石市）已知：关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为、，且满足，求m的值．
（2020年四川省南充市）已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
12

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