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数学思想在复数中的运用
一 函数思想
　　函数思想是一种重要的数学思想，有关复数的最值问题，常通过构造函数，利用函数的性质求解．
例1　已知复数，则的最大值是（　　）．
　　（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）
分析：设出复数的代数形式，将问题转化为有关函数的最值问题．
解：设．
　　∵，∴，
　　∴．
　　∵，∴当时，有最大值，故选（Ｂ）．
二 整体思想
　　对于有些复数问题，若从整体上去观察、分析题设结构，充分利用复数的有关概念、共轭复数的性质与模的意义等，对问题进行整体处理，能收到简捷、明快的效果．
例2　设复数和它的共轭复数满足，求复数的值．
分析：在求解过程中，充分利用共轭复数性质，整体代入可获得简捷、明快、别具一格的解法．
解：设，将化为．
由，整体代入，得，．
根据复数相等的充要条件，得
故．
　　
三 分类讨论思想
　　分类讨论就是将数学对象划分为不同种类进行研究或求解的一种数学思想．通过合理的分类讨论，可以使较复杂的问题简单化．复数问题中若含有参数，常常需要根据参数的范围分类讨论．
例3　设，在内解方程．
分析：在复数集内解含有参数的方程，根可能是实数也可能是虚数，因此需对此分类讨论．
解：∵，∴，
　　∴为实数或纯虚数．
　　（1）若为实数，原方程转化为，
　　解得；
　　（2）若为纯虚数，
　　设，
　　于是方程转化为．
　　①当时，解得；
　　②当时，方程无解．
　　综上，时，，或；时，．
四 数形结合思想
　　在处理复数问题时，灵活地运用复数的几何意义，以数思形、以形助数，可使许多问题得到直观、快捷地解决．
例4　已知虚数的模为，求的最大值．
分析：由于与为变量，且，可由已知条件得到关于与的等式，也就是动点的轨迹，再结合图1考虑的取值情况，求出最大值．
解：由是虚数，得．
　　又由，得．
　　这是以为圆心，为半径的圆，是圆上动点（除去）与连线的斜率，过点作圆的切线、，则斜率的最大值为．
　　∴的最大值为．
　　例5 已知，，则_ _____．
解：由联想复数加法的几何性质，不难发现当对应的点在实轴上方时，、、所对应的三点及原点构成平行四边形的四个顶点如图2，则为等边三角形，易求得；当对应的点实轴下方时，，故填或．
　　

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