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第三讲：平行线的性质及平移（1）
主要内容
1、平行线的性质
2、两条平行线的距离
二、基本概念
1、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
1.“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提
“两直线平行”．
2.从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
3.根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
1．如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=________度．
举一反三：【变式】如图，已知，且∠1=48°，则∠2＝
，∠3＝
，∠4＝
.
2、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
要点诠释：
(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则(
)
A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2
D．不确定
举一反三：【变式】如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE，若△ABE的面积为5，则△ABD的面积为（　　）
A．4
B．5
C．10
D．无法判断
三、课堂讲解
1、如图，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直线CD，EF，GH相交于一点O，若∠1=42°，则∠2等于（　　）
A．130°
B．138°
C．140°
D．142°
2、下面两条平行线之间的三个图形，图
的面积最大，图
的面积最小．
3、如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．
已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．
4、已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝
.
【达标检测】
一、选择题
1.如图，∠1=50°，如果AB∥DE，那么∠D=（　　）
A.?40°??B.?50°??C.?130°???D.?140°
2.如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，则∠2的度数是（　　）
A.?90°???B.?100°??C.?110°??D.?120°
3.如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°．则∠3等于（??）．
A.?100°???B.?60°????C.?40°??D.?20°
４．如图，点D是AB上的一点，点E是AC边上的一点，且∠B＝70°，∠ADE＝70°，∠DEC＝100°，则∠C是(
)
．
A．70°
B．80°
C．100°
D．110°
５．如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为(
)
．
A．60°
B．70°
C．80°
D．120°
6．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，符合条件l的条数为(
)．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
7.
两个角α和β的两边互相平行，且一个角α比另一个角β的
多20°，则这个角α的度数为________度．
8.
如图，已知AB∥CD，EF交AB于M，MN⊥EF于M，NN交CD于N，若∠BME=110°，则∠MND=
．
9．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于
　　度．
10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是　　度．
三、解答题
11．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．第三讲：平行线的性质及平移（1）
主要内容
1、平行线的性质
2、两条平行线的距离
二、基本概念
1、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
1.“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提
“两直线平行”．
2.从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
3.根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
1．如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=________度．
【答案】110°
举一反三：【变式】如图，已知，且∠1=48°，则∠2＝
，∠3＝
，∠4＝
.
【答案】48°，132°，48°
2、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
要点诠释：
(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则(
)
A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2
D．不确定
【答案】B
【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．
【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．
举一反三：【变式】如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE，若△ABE的面积为5，则△ABD的面积为（　　）
A．4
B．5
C．10
D．无法判断
【答案】B．解：∵在五边形ABCDE中，AB∥DE，
∴点E、点D到直线AB上的垂线段相等，即在△ABE与△ABD中，边AB上的高线相等，
∴△ABE与△ABD是同底等高的两个三角形，S△ABE=S△ABD=5．
三、课堂讲解
1、如图，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直线CD，EF，GH相交于一点O，若∠1=42°，则∠2等于（　　）
A．130°
B．138°
C．140°
D．142°
【答案】B
解：∵AB⊥GH，CD⊥GH，∴∠GMB=∠GOD=90°，
∴AB∥CD，∴∠BPF=∠1=42°，
∴∠2=180°﹣∠BPF=180°﹣42°=138°，
2、下面两条平行线之间的三个图形，图
的面积最大，图
的面积最小．
【答案】图3，图2
【解析】解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；
所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.
【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.
3、如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填人“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．
已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．
【答案与解析】
解：三个论断分别可以组成①②③；①③②；②③①三种不同情形的命题，选择其中任何一个即可．
以①②③为例，说明如下
已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，∠B＝∠E，AB∥DE，试说明BC∥EF．
理由叙述：因为AB∥DE，所以∠B＝∠CKD．
又因为∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．
【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是否正确．
4、已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝
.
【答案】115°
【达标检测】
一、选择题
1.如图，∠1=50°，如果AB∥DE，那么∠D=（　　）
A.?40°??B.?50°??C.?130°???D.?140°
2.如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，则∠2的度数是（　　）
A.?90°???B.?100°??C.?110°??D.?120°
3.如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°．则∠3等于（??）．
A.?100°???B.?60°????C.?40°??D.?20°
４．如图，点D是AB上的一点，点E是AC边上的一点，且∠B＝70°，∠ADE＝70°，∠DEC＝100°，则∠C是(
)
．
A．70°
B．80°
C．100°
D．110°
５．如图所示，已知AD与BC相交于点O，CD∥OE∥AB．如果∠B＝40°，∠D＝30°，则∠AOC的大小为(
)
．
A．60°
B．70°
C．80°
D．120°
6．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，符合条件l的条数为(
)．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
7.
两个角α和β的两边互相平行，且一个角α比另一个角β的
多20°，则这个角α的度数为________度．
8.
如图，已知AB∥CD，EF交AB于M，MN⊥EF于M，NN交CD于N，若∠BME=110°，则∠MND=
．
9．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于
　　度．
10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是　　度．
三、解答题
11．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．
【答案与解析】
一、选择题
1.C
2.B
3.A
4.Ｂ
5.B
6.
C
二、填空题
7.15或120
8.20；
9.30°
10.90°
三、解答题
11.解：（1）①∠AED=70°；
②∠AED=80°；
③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，
证明：延长AE交DC于点F，
∵AB∥DC，
∴∠EAB=∠EFD，
∵∠AED为△EDF的外角，
∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC；
（2）根据题意得

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