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5.5　数学归纳法
最新课程标准
1.理解数学归纳法的原理及其使用范围．
2．会利用数学归纳法证明一些简单问题.
[教材要点]
知识点一　归纳法
由有限多个个别的特殊事例得出________的推理方法，通常称为归纳法．
　设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
根据以上事实，归纳推理，得
当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
[提示]　依题意，先求函数结果的分母中x项的系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…可推知an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项bn＝2n，所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
[答案]　
知识点二　数学归纳法
对于某些与自然数有关的数学命题，常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性：
(1)证明当n取________(例如n0＝0，n0＝1等)时命题成立．
(2)假设当________(k为自然数，k≥n0)时命题正确，证明当________时命题也正确．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．
[基础自测]
1．一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，第n层和第n＋1层花盆总数分别是f(n)和f(n＋1)，则f(n)与f(n＋1)的关系为(　　)
A．f(n＋1)－f(n)＝n＋1
B．f(n＋1)－f(n)＝n
C．f(n＋1)－f(n)＝2n
D．f(n＋1)－f(n)＝1
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．0
3．用数学归纳法证明等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”时，从k到k＋1左边需增加的代数式为(　　)
A．2k－2
B．2k－1
C．2k
D．2k＋1
4．用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立．
题型一　数学归纳法的概念
例1　用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是(　　)
A．1　　　　　　　　　　B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
　注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.
方法归纳
1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.
2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
跟踪训练1　
下列四个判断中，正确的是(　　)
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)，当n＝1时为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)，当n＝1时为1＋k
C．式子＋＋＋…＋(n∈N＋)，当n＝1时为1＋＋
D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋
题型二　用数学归纳法证明等式
例2　用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．
　要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增两项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．
方法归纳
1．用数学归纳法证明恒等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．
跟踪训练2　用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(其中n∈N＋)．
题型三　数学归纳法证明整除问题
例3　求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N＋.
　对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那么A能被B整除．若A，B都能被C整除，则A＋B，A－B也能被C整除．
方法归纳
利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．
跟踪训练3　求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除．
题型四　证明几何命题
例4　平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．
　(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．
方法归纳
1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．
2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．并结合图形直观分析，要弄清原因．
跟踪训练4　在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．
题型五　数学归纳法证明不等式
例5　已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)．
　求Sn
再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2，然后证明归纳递推．
方法归纳
此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是＋＋…＋共有多少项之和，实际上
2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.
跟踪训练5　若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>，
f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…”
.试问：你能得到怎样的结论？并加以证明．
教材反思
易错点
1．应用数学归纳法时的常见问题有哪些？
①第一步中的验证，n取的第一个值n0不一定是1，n0指的是适合命题的第一个自然数不是一定从1开始，有时需验证n＝2等．
②对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．
③“假设n＝k时命题成立
，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范．
2．如何理解归纳假设在证明中的作用？
归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形．在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明．否则，就不是数学归纳法．
3．为什么数学归纳法能够证明无限多正整数都成立的问题呢？
这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0时成立，这样假设就有了存在的基础．假设n＝k成立，根据假设和合理推证，证明出n＝k＋1也成立．这实质上是证明了一种循环．如验证了n0＝1成立，又证明了n＝k＋1也成立．这就一定有n＝2成立，n＝2成立，则n＝3也成立；n＝3成立，则n＝4也成立．如此反复，以至无穷．对所有n≥n0的整数就都成立了．数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇．
5．5　数学归纳法
新知初探·自主学习
知识点一
一般结论
知识点二
(1)初始值n0　(2)n＝k　n＝k＋1
[基础自测]
1．答案：A
2．解析：边数最少的凸n边形是三角形．
答案：C
3．解析：等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”中，
当n＝k时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)，
当n＝k＋1时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)，
∴从k到k＋1左边需增加的代数式为2k＋1.
答案：D
4．解析：两个奇数之间相差2，∴n＝k＋2.
答案：k＋2
课堂探究·素养提升
例1　解析：实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1，
所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，
因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.
答案：C
跟踪训练1　解析：对于选项A，n＝1时，式子应为1＋k；选项B中，n＝1时，式子应为1；选项D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.
答案：C
例2　解析：①当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，所以等式成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.则当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋－
＝＋－
＝＋
＝＋…＋＋＋＝右边，
所以，n＝k＋1时等式成立．
由①②知，等式对任意n∈N＋成立．
跟踪训练2　证明：(1)当n＝1时，等式左边＝＝，
等式右边＝＝，
∴等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，
即＋＋…＋＝成立，那么
当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝，
即n＝k＋1时等式成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N＋等式均成立．
例3　证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
由归纳假设，得上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对n∈N＋，命题成立．
跟踪训练3　证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
则n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33
＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)，
由归纳假设知，上式都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立．
例4　解析：当n＝2时，f(2)＝1
；当n＝3时，f(3)＝3；当n＝4时，f(4)＝6.
因此猜想f(n)＝(n≥2，n∈N＋)，
下面利用数学归纳法证明：
(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，
又f(2)＝×2×(2－1)＝1，∴n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝k(k－1)．
当n＝k＋1时，任何其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，lk.
由归纳假设知，它们之间的交点个数为f(k)＝.
由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，
所以直线l与l1，l2，l3，…，lk的交点共有k个．
∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝
＝＝.
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，命题对一切n∈N＋且n≥2时成立．
跟踪训练4　解析：设分割成线段或射线的条数为f(n)．则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.
猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．
(1)当n＝2时，显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，结论成立，f(k)＝k2，
则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，lk，lk＋1共k＋1条直线满足题设条件．
不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．
直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，lk－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．
故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
∴当n＝k＋1时，结论正确．
由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2均成立．
例5　解析：(1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋.
当n＝k＋1时，
S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋
>1＋＋＋＋…＋
>1＋＋＝1＋＋＝1＋.
故当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．
跟踪训练5　解析：数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列，1，，2，…，通项公式为an＝，
∴猜想：f(2n－1)>.下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，
即f(2k－1)>，
当n＝k＋1时，
则f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋＞f(2k－1)＋＋…＋＝f(2k－1)＋>＋＝.
∴当n＝k＋1时不等式也成立．
据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立．
PAGEwww.
5．1　数列基础
5．1.1　数列的概念
最新课程标准
1.理解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．
2．掌握数列的通项公式及应用．(难点)
3．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
[教材要点]
知识点一　数列的概念及一般形式
数列的项与项数一样吗？
[提示]　不一样．
知识点二　数列的分类
类别
含义
按项的个数
有穷数列
项数________的数列
无穷数列
项数________的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都________它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都________它的前一项的数列
常数列
各项都________的数列
摆动数列
从第2项起，有些项________它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
知识点三　数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与________之间的关系可以用一个函数式________来表示，那么这个________叫做这个数列的通项公式．
　数列一定有通项公式吗？
[提示]　不一定．
知识点四　数列与函数的关系
　从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域
正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
自变量______________时对应的一列函数值
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)________法；(3)________法
　数列所对应的图像是连续的吗？
[提示]　不连续．
[基础自测]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的(　　)
A．第4项　　　　　　　　B．第5项
C．第6项
D．第7项
2．下列四个数中，哪个是数列{n(n＋1)}中的一项(　　)
A．380
B．392
C．321
D．232
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为(　　)
A．1,0,1,0
B．0,1,0,1
C.，0，，0
D．2,0,2,0
4．下列说法正确的是________(填序号)．
①{0,1,2,3,4,5}是有穷数列；
②从小到大的自然数构成一个无穷递增数列；
③数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列．
题型一　数列的概念及分类
例1　已知下列数列：
①2
011,2
012,2
013,2
014,2
015,2
016；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1,0，－1，…，sin，…；
⑤2,4,8,16,32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)
　紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及摆动数列的定义求解．
方法归纳
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．
跟踪训练1　给出下列数列：
①2011～2018年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.
②无穷多个构成数列，
，
，
，….
③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8，16，－32，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
题型二　由数列的前几项求通项公式
例2　写出下列数列的一个通项公式：
(1)，2，，8，，…；
(2)9,99,999,9
999，…；
(3)，，，，…；
(4)－，，－，，….
　先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．
方法归纳
1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
2．观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
跟踪训练2　写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1,11,111,1
111，….
题型三　数列的单调性及应用
　
1．数列，，，，，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？是否为该数列中的一项？为什么？
[提示]　由数列各项的特点可归纳出其通项公式为an＝，当n＝7时，a7＝＝，若为该数列中的一项，则＝，解得n＝8，所以是该数列中的第8项．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示]　由数列与函数的关系可知，数列{an}的图像是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．
例3　已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的增减性．
　先根据已知条件解方程求an，再利用作差法或作商法判断数列{an}的增减性．
方法归纳
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．
3．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法；
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去，由于数列对应的函数图像是离散型的点，故其单调性不同于函数的单调性，本例(2)在求解时常因误用二次函数的单调性导致求错实数k的取值范围．
在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．
跟踪训练3　已知数列的通项公式为an＝n2＋2n－5.
(1)写出数列的前三项；
(2)判断数列{an}的单调性．
题型四　数列的最大(小)项的求法
例4　已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．
方法归纳
求数列的最大(小)项的两种方法
一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．
二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N＋且k≥2都成立，解不等式组即可．
跟踪训练4　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
教材反思
1．本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公式的求法．难点是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式．
2．要掌握由数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法以及由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一项的方法．
易错点　要注意以下两个易错点：
1．并非所有的数列都能写出它的通项公式，例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
2．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
第五章　数列
5．1　数列基础
5．1.1　数列的概念
新知初探·自主学习
知识点一
每一个数　第一位　{an}
知识点二
有限　无限　大于　小于　相等　大于　
知识点三
n　an＝f(n)　公式
知识点四
从小到大依次取正整数值　列表　图像
[基础自测]
1．解析：设是数列中的第n项，则＝，解得n＝4或n＝－5.∵－5?N＋，∴n＝－5应舍去，故n＝4.
答案：A
2．解析：因为19×20＝380，
所以380是数列{n(n＋1)}中的第19项．应选A.
答案：A
3．解析：当n分别等于1,2,3,4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
答案：A
4．解析：因为{0,1,2,3,4,5}是集合，而不是数列，所以①错误；②正确；数列1,2,3,4，…，2n共有2n项，是有穷数列，所以③错误．
答案：②
课堂探究·素养提升
例1　解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．
答案：①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④
跟踪训练1　解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．
答案：①　②③　①　②　③
例2　解析：(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以，它的一个通项公式为an＝(n∈N＋)．
(2)各项加1后，变为10,100,1
000,10
000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N＋)．
(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝(n∈N＋)．
(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n·(n∈N＋)．
跟踪训练2　解析：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N＋)．
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)．
(3)此数列的整数部分为1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N＋)．
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9
999，…，易知数列9,99,999,9
999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N＋)．
例3　解析：(1)∵f(x)＝x－，f(an)＝－2n，
∴an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0，
解得an＝－n±，
∵an>0，∴an＝－n.
(2)法一(作差法)
∵an＋1－an＝－(n＋1)－(－n)
＝－－1
＝－1
＝－1，
又>n＋1,
>n，
∴<1.
∴an＋1－an<0，即an＋1法二(作商法)
∵an>0，∴＝
＝<1.
∴an＋1跟踪训练3　解析：(1)数列的前三项：a1＝12＋2×1－5＝－2；
a2＝22＋2×2－5＝3；
a3＝32＋2×3－5＝10.
(2)∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5
＝2n＋3.
∵n∈N＋，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
例4　解析：法一：∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)·n＝n·，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，
即a9＝a10＝.
法二：设ak是数列{an}的最大项．
则即
整理得
得9≤k≤10，
所以k＝9或10，
即数列{an}中的最大项为a9＝a10＝.
跟踪训练4　解析：(1)由n2－5n＋4<0，
解得1∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又∵n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
法二：设第n项最小，由
得
解这个不等式组，得2≤n≤3，
∴n＝2,3，∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
PAGE5．1.2　数列中的递推
最新课程标准
1.理解递推公式的含义．(重点)
2．掌握递推公式的应用．(难点)
3．理解数列中的an与Sn的关系.
[教材要点]
知识点一　数列递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的________________；
②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的________公式．
　
由数列的递推公式能否求出数列的项？
[提示]　能，但是要逐项求．
知识点二　数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项________(或前几项)之间的关系
表示an与________之间的关系
联系
(1)都是表示________的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
知识点三　
an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
[基础自测]
　　
1．已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，则该数列的第5项等于(　　)
A．6
B．7
C．8　　
D．9
2．已知非零数列{an}的递推公式为a1＝1，an＝·an－1(n≥2)，则a4＝________.
3．已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，则a5＝________.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.
题型一　由递推关系写数列的项
例1　(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2
018＝2，则a2
019＝(　　)
　　　
A．－
B.
C．－
D.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(　　)
A．31
B．32
C．61
D．62
方法归纳
由递推公式写出数列的项的方法
1．根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
2．若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.
3．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.
跟踪训练1　已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
题型二　由an与Sn的关系求通项公式
例2　已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.
方法归纳
已知Sn求an的三个步骤
1．利用a1＝S1求出a1.
2．当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．
3．看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝
跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.
题型三　数列的递推公式与通项公式的关系
　1.某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？
[提示]　由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，
a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，
由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.
即an＝2n＋18(n∈N＋，n≤30)．
2．在数列{an}中，a1＝3，＝2，照此递推关系，你能写出{an}任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？
[提示]　按照＝2可得＝2，＝2，＝2，…，＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得···…·＝2·2·…·2.
则＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N＋)．
3．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1－an＝2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？
[提示]　由an＋1－an＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝2，
a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，将这些式子两边分别相加得：a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，
所以有an＝2(n－1)＋a1＝2n＋1(n∈N＋)．
例3　设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1＝an(n∈N＋)，求数列的通项公式．
　由递推公式，分别令n＝1,2,3，得a2，a3，a4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用an＋1＝an反复迭代；或将an＋1＝an变形为＝进行累乘；或将an＋1＝an变形式＝1，构造数列{nan}为常数列．
方法归纳
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
1．累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．
2．累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．
跟踪训练3　已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，写出这个数列的前5项，猜想an并加以证明．
教材反思
1．本节课的重点是数列递推公式的应用，难点是数列函数性质的应用及由递推公式求数列的通项公式．
2．要掌握判断数列单调性的方法，掌握求数列最大(小)项的方法．
3．要会用数列的递推公式求数列的项或通项．
4．要注意通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
5．1.2　数列中的递推
新知初探·自主学习
知识点一
(1)首项(或前几项)　(2)递推
知识点二
an－1　n　数列
知识点三
S1　Sn－Sn－1
[基础自测]
1．解析：因为an＝an－1＋an－2(n≥3)且a1＝1，a2＝2.所以a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，
a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
答案：C
2．解析：依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝a2＝3；当n＝4时，a4＝a3＝4.
答案：4
3．解析：因为a1＝－，an＋1＝1－，
所以a2＝1－＝1＋2＝3，
a3＝1－＝，a4＝1－＝－，a5＝1＋2＝3.
答案：3
4．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，
故an＝
答案：
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)由anan＋1＝1－an＋1，
得an＋1＝，
又∵a2
018＝2，
∴a2
019＝，故选B.
(2)∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，
∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.
答案：(1)B　(2)A
跟踪训练1　解析：∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝.
故该数列的前5项为1，，，，.
例2　解析：a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
答案：4n－5
跟踪训练2　解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
所以an＝
答案：
例3　解析：因为an＋1＝an.
法一：(归纳猜想法)a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，a4＝×＝，…
猜想an＝.
法二：(迭代法)因为an＋1＝an，
所以an＝an－1＝·an－2＝…＝··…·a1，从而an＝.
法三：(累乘法)因为an＋1＝an，
所以＝，
则··…·＝··…·，
所以an＝.
法四：(转化法)因为＝，
所以＝1，
故数列{nan}是常数列，nan＝a1＝1，所以an＝.
跟踪训练3　解析：a1＝2，a2＝a1＋3＝5，
a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，
a5＝a4＋3＝14，
猜想：an＝3n－1.
证明如下：由an＋1＝an＋3得
a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，
a4＝a3＋3，
…，
an＝an－1＋3.
将上面的(n－1)个式子相加，得
an－a1＝3(n－1)，
所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.
PAGE5.2　等差数列
等差数列
5．2.1
第1课时　等差数列的定义
最新课程标准
1.理解等差数列的概念．(难点)
2．掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)
3．掌握等差数列的判定方法．(重点)
[教材要点]
知识点一　等差数列的概念
如果一个数列{an}从第________项起，每一项与它的前一项之差都等于________常数d，那么这个数列{an}就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的________．
　等差数列的定义用符号怎么表示？
[提示]　an＋1－an＝d(n≥1，d为常数)．
知识点二　等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝________.
　等差数列的通项公式是什么函数模型？
[提示]　d≠0时，一次函数；d＝0时，常值函数．
知识点三　等差数列的单调性
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为________数列；若公差d<0，则数列{an}为________数列．
[基础自测]
　　　
1．下列数列中不是等差数列的为(　　)
A．6,6,6,6,6　
B．－2，－1,0,1,2
C．5,8,11,14
D．0,1,3,6,10
2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　)
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
3．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________.
4．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________.
题型一　等差数列的概念
例1　已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)设cn＝an＋1－an；求证：对任意实数p和q，数列{cn}是等差数列．
　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，在数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是不是等差数列？
[提示]　可以利用a1和d写出bn的通项公式，也可以直接利用定义判断bn＋1－bn是不是常数．
根据题意，知bn＋1＝3an＋1＋4，则bn＋1－bn＝3an＋1＋4－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d(常数)．
由等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列．
方法归纳
等差数列的判定方法有以下三种：
1．定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)?{an}为等差数列；
2．等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}为等差数列；
3．通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)?{an}为等差数列．
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
跟踪训练1　
数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列(　　)
A．是公差为4的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为－3的等差数列
D．是首项为4的等差数列
题型二　等差数列的通项公式及其应用
　在等差数列{an}中，能用a1，d两个基本量表示an，那么能否用{an}中任意一项am和d表示an?
[提示]　由an＝a1＋(n－1)d，①
am＝a1＋(m－1)d，②
两式相减可得：an－am＝(n－m)d，
则an＝am＋(n－m)d.
例2　(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．
　设出基本量a1，d.利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n
－m)d求解．
方法归纳
1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
跟踪训练2　－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
题型三　等差数列及其应用
例3　某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安装第1盏后，往后每隔50米安装1盏，试问安装第5盏路灯时距离第1盏路灯有多少米？你能用第1盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗？
跟踪训练3　第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？
教材反思
1．本节课的重点是等差数列的定义、等差中项以及等差数列的通项公式，难点是等差数列的证明．
2．掌握判断一个数列是等差数列的常用方法：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
3．会灵活运用等差数列的通项公式解决问题．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式．反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另外一个量.
5．2　等差数列
5．2.1　等差数列
第1课时　等差数列的定义
新知初探·自主学习
知识点一
2　同一个　公差
知识点二
a1＋(n－1)d
知识点三
递增　递减
[基础自测]
1．解析：A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；
B中给出的数列是等差数列，公差为1；
C中给出的数列是等差数列，公差为3；
D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．
答案：D
2．解析：∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
答案：A
3．解析：∵a1＝4，d＝－2，
∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
答案：6－2n
4．解析：由题意得该等差数列的公差d＝＝，
所以c－a＝2d＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)解：an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0.
故当p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列．
(2)证明：∵cn＝an＋1－an＝2pn＋p＋q，
∴cn＋1＝an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.
而cn＋1－cn＝2p为一个常数，
∴{cn}是等差数列．
跟踪训练1　解析：∵an＋1－an＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3.
∴{an}是公差为－3的等差数列．
答案：C
例2　解析：(1)法一：∵a4＝7，a10＝25，
则得
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋)．
法二：∵a4＝7，a10＝25，
∴a10－a4＝6d＝18，∴d＝3，
∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋)．
(2)法一：由得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋(15－1)d
＝＋14×＝－.
法二：由a7＝a3＋(7－3)d，
即－＝＋4d，
解得d＝－.
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
跟踪训练2　解析：由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为
an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
由题意知，－401＝－4n－1，
得n＝100，即－401是这个数列的第100项．
例3　解析：设第1盏路灯到第1盏路灯的距离记为a1，第2盏路灯到第1盏路灯的距离记为a2，
第n盏路灯到第1盏路灯的距离记为an，
则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝0为首项，以d＝50为公差的一个等差数列．
所以有a1＝0，a2＝a1＋d＝0＋50＝50，
a3＝a2＋d＝a1＋2d＝0＋2×50＝100，
a4＝a3＋d＝a1＋3d＝0＋3×50＝150，
a5＝a4＋d＝a1＋4d＝0＋4×50＝200，
…
an＝a1＋(n－1)d＝50n－50，
所以，第5盏路灯距离第1盏路灯200米，
第n盏路灯距离第1盏路灯(50n－50)米．
跟踪训练3　解析：设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，…，第n届的年份为an，则a1，a2，…，an，…构成一个以a1＝1896为首项，以d＝4为公差的等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1896＋4(n－1)＝4n＋1892，即an＝4n＋1892，由an＝2016，知4n＋1892＝2016，所以n＝31.
故2016年举行的奥运会为第31届．
已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量．
PAGE第2课时　等差数列的性质
最新课程标准
1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)
2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)
[教材要点]
知识点一　等差数列的图像
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以________为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
知识点二　等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的________，且A＝.
　任意两数都有等差中项吗？
[提示]　是．
知识点三　等差数列的性质
(1){an}是等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝________.
①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，2as＝ap＋aq.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的________，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为________数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为________的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为________的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为________的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0?{an}为________数列；
d<0?{an}为________数列；d＝0?{an}为常数列．
　能用am和d表示an吗？如何表示？
[提示]　能．an＝am＋(n－m)d.
[基础自测]
　　1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　)
A．12　　
B．16
C．20　　
D．24
2．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝(　　)
A．36　　
B．37
C．38　　
D．39
3．在等差数列
{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)
A．0
B．37
C．100
D．－37
题型一　等差中项及其应用
例1　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
方法归纳
三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．
跟踪训练1　已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
C.　　
D.
题型二　等差数列通项公式的推广
例2　(1)已知等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为(　　)
A．－　
B.
C．－1
D．1
(2)已知数列{an}中，a3＝，a7＝，且是等差数列，则a5＝(　　)
A.
B.
C.
D.
方法归纳
1．利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．
2．巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．
3．通项公式的变形形式an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，它又可变形为d＝，应注意把握，并学会应用．
跟踪训练2　(1)已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则数列{an}的通项公式为________；
(2)若x≠y，且两个数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么等于________．
题型三　等差数列的性质
　
1.
数列1,2,3,4,5,6,7,8，…是等差数列吗？1,3,5，7，…是等差数列吗？2,4,6,8，…是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？
[提示]　这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列．
2．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1.那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？
[提示]　由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若s，t，p，q∈N＋且s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.
对于任意等差数列{an}，设其公差为d.
则as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d
＝2a1＋(s＋t－2)d，
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d
＝2a1＋(p＋q－2)d，
因s＋t＝p＋q，故as＋at＝ap＋aq对任意等差数列都适用．
3．在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？
[提示]　在2的结论中令s＝t，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；s＝t，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．
例3　(1)等差数列{an}，若a1＋a17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是(　　)
A．a2＋a15
B．a2·a15
C．a2＋a9＋a16
D．a2·a9·a16
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
方法归纳
1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．
2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．
跟踪训练3　在公差为d的等差数列{an}中．
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.
　解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．
题型四　灵活设元解等差数列
例4　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
方法归纳
1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．
2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.
3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
跟踪训练4　三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
教材反思
1．本节课的重点是等差数列性质的应用．
2．要重点掌握等差数列的如下性质：
(1)在等差数列{an}中，当s≠t时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为as＝at＋(s－t)d.
(2)等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
(3)等差数列{an}中，若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，特别地，若2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq.
3．等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
第2课时　等差数列的性质
新知初探·自主学习
知识点一
d
知识点二
等差中项
知识点三
(1)ap＋aq　和　(2)等差　(3)d　cd　2d　(4)pd1＋qd2　(5)递增　递减
[基础自测]
1．解析：在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.
答案：B
2．解析：a3＋a5＝a2＋a6＝5＋33＝38.
答案：C
3．解析：因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.
所以a5＝90，
a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
答案：180
4．解析：设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.
答案：C
课堂探究·素养提升
例1　解析：∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
跟踪训练1　解析：因为a＋b＝＋
＝＝＝2，
所以a，b的等差中项为.
答案：A
例2　解析：(1)∵a3＝9，a9＝3，又a9－a3＝6d，
∴3－9＝6d，即d＝－1.
(2)设等差数列的公差为d，则＝＋4d，∴＝＋4d，解得d＝2.
∴＝＋2d＝10，解得a5＝.
答案：(1)C　(2)B
跟踪训练2　解析：(1)设{an}的公差为d，则a8－a4＝4d，∴d＝－1.∴an＝a8＋(n－8)d＝4＋(n－8)×(－1)＝12－n.
(2)∵数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y均为等差数列，
∴∴＝1，
即＝，故＝.
答案：(1)an＝12－n　(2)
例3　解析：(1)因为a1＋a17为一确定常数，又a1＋a17＝a2＋a16＝2a9，所以a2＋a16＋a9为一确定常数，故选C.
(2)法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴数列{an＋bn}也构成等差数列，
∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.
答案：(1)C　(2)35
跟踪训练3　解析：法一：(1)化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48.
∴4a13＝48.∴a13＝12.
(2)化成a1和d的方程如下：
解得或
∴d＝3或－3.
法二：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得
2(a2＋a5)＝34，
即a2＋a5＝17.
解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
例4　解析：法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得
解得或
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得
化简，得
解得或
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
化简，得解得
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
跟踪训练4　解析：设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则解得.
∴这三个数为4,3,2.
PAGE5.2.2　等差数列的前n项和
最新课程标准
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点)
2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点)
3．能灵活应用等差数列前n项和的性质解题．(难点、易错点)
4．会求等差数列前n项和的最值
[教材要点]
知识点一　数列的前n项和的概念
一般地，称________________为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝________________.
知识点二　等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝________________
Sn＝________________
　已知n，an，d能求a1吗？
[提示]　能，a1＝an＋(1－n)d，然后代入公式．
知识点三　等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为________项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最________值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为________项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最________值．
特别地，若a1>0，d>0，则________是{Sn}的最________值；若a1<0，d<0，则________是{Sn}的最大值．
　{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{|an|}的前n项和也是Sn吗？
[提示]　不一定．
[基础自测]
　　　
1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝(　　)
A．10　
B．12
C．20
D．24
2．已知{an}是等差数列，a1＝10，前10项和S10＝70，则其公差d＝(　　)
A．－
B．－
C.
D.
3．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝(　　)
A．7
B．8
C．9
D．17
4．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝________.
题型一　等差数列Sn中基本量的计算
例1　在等差数列{an}中．
(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(3)已知a16＝3，求S31.
方法归纳
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，
注意利用等差数列的性质以简化计算过程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
跟踪训练1　在等差数列{an}中．
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
题型二　等差数列中的最值问题
　
1．将首项为a1＝2，公差d＝3的等差数列的前n项和看作关于n的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？
[提示]　首项为2，公差为3的等差数列的前n项和为Sn＝2n＋＝n2＋n，
显然Sn是关于n的二次型函数．
如果一个数列的前n项和为Sn＝3n2＋n，那么当n＝1时，S1＝a1＝4.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－2，a1也适合此式，则该数列的通项公式为an＝6n－2，所以该数列为等差数列．
一般地，等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋n，若令A＝，B＝a1－，则上式可写成Sn＝An2＋Bn(A，B可以为0)．
2．已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，试画出Sn关于n的函数图像．
你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？
[提示]　Sn＝n2－5n＝2－，它的图像是分布在函数y＝x2－5x的图像上的离散的点，由图像的开口方向可知该数列是递增数列，图像开始下降说明了{an}前n项为负数．由Sn的图像可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小．
例2　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)问{an}的前多少项和最大；
(3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′.
　(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．
(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．
(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解．
方法归纳
1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻找正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．
(2)借助二次函数的图像及性质求最值．
2．寻找正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的一侧的一个正整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．
跟踪训练2　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－3n，求证：数列{an}是等差数列；
(2)数列{an}的前n项和Sn＝35n－2n2，求使Sn最大的n的值．
(3)在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.
①该数列第几项开始为负；
②求数列{|an|}的前n项和．
题型三　等差数列前n项和性质的应用
例3　(1)已知等差数列{an}中，若a1
009＝1，求S2
017；
(2)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，求.
　由等差数列的前n项和公式及通项公式列方程组求解，或结合等差数列的性质求解．
方法归纳
等差数列的前n项和常用性质
1．若{an}是等差数列，则Sn＝·n＝na中(a中为a1与an的等差中项)．
2．若{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
3．等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
4．若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
跟踪训练3　(1)已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于(　　)
A．160　　　　　　　　　B．180
C．200
D．220
(2)一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________．
(3)在等差数列{an}中，已知a3＋a15＝40，求S17.
教材反思
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq(s，t，p，q∈N＋)，若2s＝p＋q，则2as＝ap＋aq.
5．2.2　等差数列的前n项和
新知初探·自主学习
知识点一
a1＋a2＋…＋an－1＋an　a1＋a2＋…＋an－1＋an
知识点二
　na1＋d
知识点三
(1)负数　小　(2)正数　大　S1　小　S1
[基础自测]
1．解析：由S10＝＝120，得a1＋a10＝24.
答案：D
2．解析：S10＝10a1＋d＝70，又a1＝10，所以d＝－.
答案：A
3．解析：a4＝S4－S3＝(42－1)－(32－1)＝7.
答案：A
4．解析：因为a1＝1，d＝1，
所以Sn＝n＋×1
＝＝＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)∵Sn＝na1＋n(n－1)d，
∴
解方程组得
(2)∵a6＝10，S5＝5，∴
解方程组得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S8＝＝44.
(3)S31＝×31＝a16×31＝3×31＝93.
跟踪训练1　解析：(1)由题意，得Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
(3)由
得
解方程组得或
例2　解析：(1)法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝33－1＝32满足an＝34－2n.故{an}的通项公式为an＝34－2n.
法二：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.
(2)法一：令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，
故数列{an}的前17项大于或等于零．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝.
距离最近的整数为16,17.由Sn＝－n2＋33n的
图像可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
(3)由(2)知，当n≤17时，an≥0；
当n≥18时，an<0.
所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.
当n≥18时，
Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)
＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn
＝n2－33n＋544.
故Sn′＝
跟踪训练2　解析：(1)证明：a1＝S1＝1－3＝－2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4，
当n＝1时，2n－4＝－2＝a1，
∴an＝2n－4.
∵an－an－1＝(2n－4)－[2(n－1)－4]＝2(n≥2)，所以{an}是等差数列．
(2)由Sn＝35n－2n2＝－22＋.
当且仅当n＝9时，Sn最大，故n＝9.
(3)设等差数列{an}中，公差为d，由题意得
∴
①设第n项开始为负，
an＝50－3(n－1)＝53－3n<0，
∴n>，
∴从第18项开始为负．
②|an|＝|53－3n|
＝
当n≤17时，Sn′＝－n2＋n；
当n>17时，
Sn′＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)，
Sn′＝－＋2S17
＝n2－n＋884，
∴Sn′＝
例3　解析：(1)法一：∵a1
009＝a1＋1
008d＝1，∴S2
017＝2
017a1＋d＝2
017(a1＋1
008d)＝2
017.
法二：∵a1
009＝，∴S2
017＝×2
017＝2
017a1
009＝2
017.
(2)法一：＝＝＝＝＝.
法二：∵＝＝，
∴设Sn＝2n2＋2n，Tn＝n2＋3n，∴a5＝S5－S4＝20，b5＝T5－T4＝12，
∴＝＝.
跟踪训练3　解析：(1)∵a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，
∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18＝18，
∴S20＝＝10×18＝180.
(2)由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，
又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，∴a5＋a7＝2a6＝10，
∴中间项a6＝5.
　解析：法一：∵a1＋a17＝a3＋a15，∴S17＝＝＝＝340.
法二：∵a3＋a15＝2a1＋16d＝40，∴a1＋8d＝20，
∴S17＝17a1＋d＝17(a1＋8d)＝17×20＝340.
法三：∵a3＋a15＝2a9＝40，∴a9＝20，∴S17＝17a9＝340.
答案：(1)B　(2)5　(3)340
PAGE5.3　等比数列
5．3.1　等比数列
第1课时　等比数列的定义
最新课程标准
1.理解等比数列的定义．(重点)
2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)
3．熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)
[教材要点]
知识点一　等比数列的概念
　(1)文字语言：
一般地，如果一个数列{an}从第________项起，每一项与它的前一项之比都等于________，那么这个数列{an}就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言：
＝q(q为常数，q≠0，n∈N＋)．
　等比数列还可以用哪种符号语言表示？
[提示]　＝q(q为常数，q≠0，n≥2，n∈N＋)．
知识点二　等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝________.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
知识点三　等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝________，而f(x)＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图像上看，表示数列·qn中的各项的点是函数y＝________的图像上的________点．
[基础自测]
　　　
1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足(　　)
A．a≠1　
B．a≠0或a≠1
C．a≠0
D．a≠0且a≠1
2．已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为(　　)
A．an＝2·3n＋1
B．an＝3·2n＋1
C．an＝2·3n－1
D．an＝3·2n－1
3．在等比数列{an}中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(　　)
A.　
B.
C．－
D.或－
4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.
题型一　等比数列的判断
例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
方法归纳
判断一个数列是否是等比数列的常用方法
1．定义法：＝q(q为常数且不为零)?{an}为等比数列．
2．等比中项法：a＝anan＋2(n∈N＋且an≠0)?{an}为等比数列．
3．通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)?{an}为等比数列．
4．构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
跟踪训练1　已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．
题型二　等比数列的通项公式
　
1.
类比归纳等差数列通项公式的方法，你能归纳出首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式吗？
[提示]　由等比数列的定义可知：
a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，
a5＝a4q＝a1q4，…
由此归纳等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
2．由等比数列的定义式＝q(q≠0)你能用累乘法求出用首项a1，公比q表示的通项公式吗？能用等比数列中任意一项am及公比q表示an吗？
[提示]　由＝q，知＝q，＝q，＝q，…，＝q，将以上各式两边分别相乘可得＝qn－1，则an＝a1qn－1；
由两式相比得＝qn－m，
则an＝am·qn－m，事实上该式为等比数列通项公式的推广．
3．在等比数列的通项公式an＝a1qn－1中，若已知a1＝2，q＝，你能求出a3吗？若已知a1＝2，a3＝8，你能求出公比q吗？这说明了什么？
[提示]　若a1＝2，q＝，则a3＝2·2＝；
若a1＝2，a3＝8，则2·q2＝8，
所以q＝±2，
由此说明在an＝a1qn－1中所含四个量中能“知三求一”．
例2　在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝，求n.
方法归纳
1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
跟踪训练2　在等比数列{an}中．
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
教材反思
1．本节课的重点是等比数列的判定与证明、等比数列的通项问题，难点是等比数列的证明．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)等比数列的判断与证明的方法．
(2)等比数列通项公式的求法．
等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
5．3　等比数列
5．3.1　等比数列
第1课时　等比数列的定义
新知初探·自主学习
知识点一
(1)2　同一常数　公比　
知识点二
a1qn－1　
知识点三
·qn　·qx　孤立
[基础自测]
1．解析：由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.
答案：D
2．解析：由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.
答案：C
3．解析：由解得或.
又a1＜0，因此q＝－.
答案：C
4．解析：∵a2＝a1q＝2，①
a5＝a1q4＝，②
∴②÷①得：q3＝，∴q＝.
答案：
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.
又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
跟踪训练1　证明：∵Sn＝2an＋1，
∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an，∴an＋1＝2an，
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴＝2，∴{an}是等比数列．
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
例2　解析：(1)因为a5＝a3q2，所以q2＝＝.
所以q＝±.
当q＝时，an＝a3qn－3＝32×n－3＝28－n；
当q＝－时，an＝a3qn－3＝32×n－3.
所以an＝28－n或an＝32×n－3.
(2)当an＝时，28－n＝或32×n－3＝，
解得n＝9.
跟踪训练2　解析：(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，
q＝＝－3，
∴a5＝405.
(2)∵
∴
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，∴an＝a1qn－1＝2.
PAGE第2课时　等比数列的性质
最新课程标准
1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)
2．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)
3．能用递推公式求通项公式．(难点)
[教材要点]
知识点一　等比中项
(1)前提：三个数x，G，y成等比数列．
(2)结论：________叫做x，y的等比中项．
(3)满足的关系式：G2＝________.
　任意两数都有等比中项吗？
[提示]　不是，只有同号的两数才有．
知识点二　“子数列”性质
对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为________，首项为________，公比为________；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为________，首项为________，公比为________．
知识点三　等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝________.
①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap·aq＝________.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的________，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
知识点四　两个等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为________．
知识点五　等比数列的单调性
[基础自测]
　　　
1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　)
A．±
B．－
C.
D．±
2．已知在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于(　　)
A.
B.
C.
D.
3．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为________．
4．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________．
题型一　等比中项的应用
例1　在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？
方法归纳
由等比中项的定义可知：＝?G2＝xy?G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2＝xy，则＝，即x，G，y成等比数列．所以x，G，y成等比数列?G2＝xy(xy≠0)．
跟踪训练1　若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为(　　)
A．±　　　　　　　　　B.
C．1
D．±1
题型二　等比数列性质的应用
例2　已知数列{an}为等比数列．
(1)将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是(　　)
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．
(3)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
方法归纳
在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦．通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．
跟踪训练2　(1)下列结论错误的是(　　)
A．有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．
B．当q>1时，{an}为递增数列．
C．当q＝1时，{an}为常数列．
D．当a1>0，q>1时，{an}为递增数列．
(2)在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
题型三　灵活设项求解等比数列
例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
方法归纳
合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.
跟踪训练3　三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
教材反思
1．本节课的重点是等比数列性质的应用，难点是等比数列性质的推导．
2．要重点掌握等比数列的常用性质：
(1)如果s＋t＝p＋q，则有asat＝apaq；
(2)如果2s＝p＋q，a＝ap·aq；
(3)若s，t，p成等差数列，as，at，ap成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|；
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝….
第2课时　等比数列的性质
新知初探·自主学习
知识点一
(2)G　(3)xy
知识点二
等比数列　ak＋1　q　等比数列　ak　qk
知识点三
ap·aq　a　积
知识点四
　等比数列
[基础自测]
1．解析：在等比数列中，a＝a1·a5，所以a5＝＝.
答案：C
2．解析：由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，a6＜a4，得a6＝2，a4＝3，＝＝，故选D.
答案：D
3．解析：a4＝a1q3＝×23＝1，
a8＝a1q7＝×27＝16，
∴a4与a8的等比中项为±＝±4.
答案：±4
4．解析：只有非零常数列才满足题意，所以公比q＝1.
答案：1
课堂探究·素养提升
例1　解析：由题意知a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，
∴＝＝.
跟踪训练1　解析：∵1，a,3成等差数列，∴a＝＝2，
∵1，b,4成等比数列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴＝＝±1.
答案：D
例2　解析：(1)由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，
∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B.
(2)∵a＝a1a3代入已知，得a＝8，∴a2＝2.
设前三项为，2,2q，则有＋2＋2q＝7.
整理，得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝.
∴或∴an＝2n－1或an＝23－n.
(3)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
∴a＋2a3a5＋a＝36，
∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
跟踪训练2　解析：(2)因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.
联立可解得或.
当时，q3＝－，故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；
当时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.
答案：(1)B　(2)见解析
例3　解析：法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二：设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)，
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
跟踪训练3　解析：设三个数依次为，a，aq，
∵·a·aq＝512，∴a＝8.
∵＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，
∴这三个数为4,8,16或16,8,4.
PAGE5.3.2　等比数列的前n项和
最新课程标准
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)
2．能用分组转化方法求数列的和．(重点、易错点)
3．会用错位相减法求数列的和．(难点)
[教材要点]
知识点　等比数列的前n项和公式
　
等比数列求和应注意什么？
[提示]　公比q是否等于1.
[基础自测]
　　　
1．在公比为整数的等比数列{an}中，a1－a2＝3，a3＝4，则{an}的前5项和为(　　)
A．10　
B.
C．11
D．12
2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝(　　)
A．3
B．4
C.
D.
3．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.
4．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝________.
题型一　等比数列前n项和公式基本量的运算
例1　在等比数列{an}中．
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5.
方法归纳
1．解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解．
2．运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．
跟踪训练1　在等比数列{an}中，其前n项和为Sn.
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
题型二　等差、等比数列前n项和的综合应用(分组求和法)例2　已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝
an＋
bn，求数列{cn}的前n项和．
　(1)求出等比数列{bn}的公比，再求出a1，a14的值，根据等差数列的通项公式求解；
(2)根据等差数列和等比数列的前n项和公式求数列{cn}的前n项和．
方法归纳
分组转化法求和的常见类型
1．若an
＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．
2．通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
跟综训练2　已知数列{an}满足an＋1＝an＋2，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，
且a1＝b1＝2，b3和b5的等差中项是20，n∈N
.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝a2n－1＋b2n－1，求数列{cn}的前n项和Sn.
题型三　错位相减法求和
　
1．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？
[提示]　由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.
2．在等式
Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
[提示]　在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
两边同乘以{2n}的公比可变形为
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1
＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.
此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．
例3　设数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn－1(x≠0)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.
　由an＝完成第(1)问；由题设知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，因此可用错位相减法求Tn.
方法归纳
错位相减法的适用范围及注意事项
1．适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
2．注意事项：(1)利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
(2)利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
跟踪训练3　＋＋＋…＋＝________.
教材反思
1．本节课的重点是等比数列前n项和公式的基本运算．
2．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
3．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
5．3.2　等比数列的前n项和
新知初探·自主学习
知识点
na1　　na1　
[基础自测]
1．解析：设公比为q(q∈Z)，则a1－a2＝a1－a1q＝3，a3＝a1q2＝4，求解可得q＝－2，a1＝1，则{an}的前5项和为＝11.
答案：C
2．解析：易知等比数列{an}的首项为a1，则＝＝.
答案：C
3．解析：∵S3＝＝＝26，∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4.
答案：3或－4
4．解析：由S5＝＝44，
得a1＝4.
答案：4
课堂探究·素养提升
例1　解析：(1)法一：设首项为a1，
∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，即a1＝，
∴S8＝＝＝17.
法二：∵S4＝＝1，且q＝2，
∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，
∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×3＝1，
S5＝＝＝.
跟踪训练1　解析：(1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
(2)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，
所以
①÷②得＝，
解得q＝±2，
所以或.
所以an＝或an＝.
例2　解析：(1)等比数列{bn}的公式q＝＝＝3，
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.
设等差数列{an}的公差为d.
因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，
所以1＋13d＝27，即d＝2.
所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．
(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1.
因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.
从而数列{cn}的前n项和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
＝＋＝n2＋.
跟踪训练2　解析：(1)因为an＋1＝an＋2(n∈N
)，即an＋1－an＝2(n∈N
)，
又因为a1＝2，所以an＝2n(n∈N
)．
由题意可知等比数列{bn}公比q>0.
又由b3和b5的等差中项是20，可知b3＋b5＝40
所以2q2＋2q4＝40，即q2＋q4＝20.解得q＝2.
又b1＝2，故bn＝2n(n∈N
)．
(2)由(1)知，a2n－1＝2(2n－1)＝4n－2，b2n－1＝22n－1＝2·4n－1
∴cn＝a2n－1＋b2n－1＝2·4n－1＋4n－2.
∴Sn＝(2＋2)＋(2×4＋6)＋(2×42＋10)＋…＋(2×4n－1＋4n－2)
＝(2＋2×4＋2×42＋…＋2×4n－1)＋[2＋6＋10＋…＋(4n－2)]
＝＋
＝×4n＋2n2－
所以Sn＝×4n＋2n2－(n∈N
)．
例3　解析：(1)∵an＝即an＝
当n＝1时，an＝2n也成立，∴an＝2n，即数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由an＝2n，bn＝xn－1且cn＝anbn可得cn＝2nxn－1，
Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋…＋2nxn－1，①
则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x4＋…＋2nxn.②
①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋…＋2xn－1－2nxn.
当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－2nxn，
∴Tn＝.
当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
跟踪训练3　解析：令Sn＝＋＋＋…＋，①
则Sn＝＋＋＋…＋＋，②
由①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－，
得Sn＝2－－＝.
答案：
PAGE5.4　数列的应用
最新课程标准
1.掌握等差数列与等比数列通项公式及前n项和公式
(重点)
2．能运用等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式解决一些简单的实际问题.
[教材要点]
知识点　
[基础自测]
　　　
1．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为(　　)
A．6里
B．12里
C．24里
D．48里
2．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　)
A．300米
B．299米
C．199米
D．166米
3．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．
4．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式．
题型一　等比数列的应用
例1　借贷10
000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061,1.015≈1.051)?
方法归纳
解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
跟踪训练1　一个热气球在第一分钟上升了25
m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125
m吗？
题型二　等差数列的应用
例2　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
方法归纳
建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．
跟踪训练2　甲、乙两物体分别从相距70
m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2
m，以后每分钟比前1分钟多走1
m，乙每分钟走5
m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1
m，乙继续每分钟走5
m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
题型三　数列求和
例3　(1)已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.
(2)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3×22n－1.
①求数列{an}的通项公式；
②令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
方法归纳
数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．
一般常见的求和方法有：
(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式)；
(2)分组求和法；
(3)错位相减法；
(4)倒序相加法；
(5)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；形如an＝(k为非零常数)型化为an＝＝；
(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
提醒：求和抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
跟踪训练3　已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn.
5．4　数列的应用
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比为的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×＝12(里)．故选B.
答案：B
2．解析：小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．
答案：A
3．解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
答案：10
4．解析：由an＋1－an＝3n－n，
得an－an－1＝3n－1－(n－1)，
an－1－an－2＝3n－2－(n－2)，
…
a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.
当n≥2时，以上n－1个等式两边分别相加，得
(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)
＝3n－1＋3n－2＋…＋3－[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]，
即an－a1＝－.
又∵a1＝1，
∴an＝×3n－－.
显然a1＝1也适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝×3n－－.
课堂探究·素养提升
例1　解析：法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10
000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.
由题意，可知a6＝0，即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，a＝.因为1.016≈1.061，
所以a≈≈1
739(元)．
故每月应支付1
739元．
法二：一方面，借款10
000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝＝a(1.016－1)×102(元)．
由S1＝S2，得a＝≈1
739(元)．
故每月应支付1
739元．
跟踪训练1　解析：用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，
得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为：
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125
m.
例2　解析：从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
跟踪训练2　解析：(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去)
.
第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去)．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
例3　解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，
解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，
故bn＝log3an＝n，
所以＝＝－.
则Sn＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝.
(2)①由已知，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
②由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n×22n－1，①
从而22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n×22n＋1，②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n×22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
答案：(1)　(2)见解析
跟踪训练3　解析：(1)∵点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上，
∴an＋1＝an＋1，∴数列{an}是公差为1的等差数列．
∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)＝n，
∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，
两式相减得：bn＋1＝－bn＋1＋bn，即＝，
由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1.
∴数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，
∴bn＝n－1.
(2)log2bn＋1＝log2n＝－n，
∴cn＝＝－，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
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