资源简介

4.3　简单线性规划的应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
关键能力·合作学习
类型一　费用最少问题(数学建模)
1.(2020·大同高一检测)某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车,甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次,乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次,甲型车每天费用320元,乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站,则通过合理调配车辆,运送这批水果的费用最少为
(　　)
A.2
400元
B.2
560元
C.2
816元
D.4
576元
2.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为
(　　)
A.2
000元
B.2
200元
C.2
400元
D.2
800元
3.营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075
kg的碳水化合物,0.06
kg的蛋白质,0.06
kg的脂肪,1
kg食物A含有0.105
kg碳水化合物,0.07
kg蛋白质,0.14
kg
脂肪,花费28元;而1
kg食物B含有0.105
kg碳水化合物,0.14
kg蛋白质,0.07
kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B各多少千克?
将已知数据列成下表:
食物/kg
碳水化合物/kg
蛋白质/kg
脂肪/kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
【解析】1.选B.设甲型车x辆,乙型车y辆,运送这批水果的费用为z元,则目标函数z=320x+504y,作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的阴影部分:
作直线320x+504y=0,并平移,分析可得当直线过点(8,0)时,z取得最小值,
即zmin=8×320+0×504=2
560元.
2.选B.设需使用甲型货车x辆,乙型货车y辆,运输费用z元,
根据题意,得线性约束条件
求线性目标函数z=400x+300y的最小值,
可行域如图阴影部分(含边界)所示,
解得当时,z有最小值,故zmin=2
200(元).
3.设每天食用x
kg食物A,y
kg食物B,总成本为z,那么
?
目标函数为z=28x+21y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,
把目标函数z=28x+21y变形为y=-x+,
它表示斜率为-,且随z变化的一组平行直线,
是直线在y轴上的截距,当截距最小时,z的值最小.如图可见,当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时,截距最小,即z最小.
解方程组得M点的坐标为.
所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A
kg,食物B
kg.
　解答线性规划实际应用题的基本思路
(1)模型建立:正确理解题意,将一般文字语言转化为数学语言,进而建立数学模型.
(2)模型求解:画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点,选定可行域中的特殊点作为最优解.
(3)模型应用:将求解出来的结论反馈到具体的实例中,设计出最佳的方案.
类型二　获利最大问题(数学建模)
【典例】(2020·绵阳高一检测)某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为
(　　)
甲
乙
每天原料的可用总量
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12万元
B.16万元
C.17万元
D.18万元
四步
内容
理解题意
设甲、乙产品每天的产量分别为x,y,则可表示出每天利润表达式.
思路探求
根据条件列约束条件与目标函数,作出对应可行域,结合图像确定最大值取法,即得结果.
书写表达
选D.
设每天甲、乙产品的产量分别为x吨,y吨.由已知可得目标函数z=3x+4y,作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,可得目标函数在点P处取得最大值,由得P(2,3),则zmax=3×2+4×3=18(万元).
题后反思
线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
　解答线性规划应用题的一般步骤
(1)审题——仔细阅读,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些,由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来理顺.
(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题.
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答.
　某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲种产品1吨,需矿石4吨,煤3吨;生产乙种产品1吨,需矿石5吨,煤10吨.每1吨甲种产品的利润是16万元,每1吨乙种产品的利润是12万元.工厂在生产这两种产品的计划中,要求消耗矿石不超过20吨,煤不超过30吨,则甲、乙两种产品应各生产多少,才能使利润总额达到最大?最大利润是多少?
【解析】设甲乙两种产品分别生产x吨,y吨,利润为z万元,
则线性约束条件为
线性目标函数为z=16x+12y,作出可行域,如图(包括坐标轴),
令z=0,得直线l0:y=-,
平移直线l0到直线l1,此时经过点A(5,0).
将该点的坐标代入目标函数得zmax=80(万元).
所以当甲种产品生产5吨,乙种产品生产0吨,才能使利润总额达到最大,最大利润是80万元.
【补偿训练】
　　某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为
(　　)
A.36万元
B.31.2万元
C.30.4万元
D.24万元
【解析】选B.设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元,可获得利润为z万元,则z=0.4x+0.6y.
由图像知,目标函数z=0.4x+0.6y在A点取得最大值.
所以zmax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元).
类型三　线性规划中的整数解问题(数学建模、数学抽象)
【典例】要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示:
规格类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少?
【思路导引】先设出变量x,y,z,再找出线性约束条件以及目标函数,利用线性规划求出最值,最后得出实际问题的结论.
【解析】设需第一种钢板x张,第二种钢板y张,钢板总数z张,
则目标函数z=x+y.
作出可行域如图所示,作出直线x+y=0.作出一族平行直线x+y=t(其中t为参数).
经过可行域内的点且和原点距离最近的直线,此直线经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A,直线方程为x+y=.
由于和都不是自然数,而最优解(x,y)中,x,y必须都是自然数,所以,可行域内点不是最优解.
经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点距离最近的直线是x+y=12,得
y=-x+12,代入
得即
所以3≤x≤4.5,由于x∈N,则x=3或x=4,此时y=9,y=8,故经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解.
所以要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种,第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张.
　线性规划中最优解为整数的三种解法
(1)平移找解法:先打网格,描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点便是最优整点解,这种方法应充分利用非整点最优解的信息,结合精确作图才行,当可行域是有限区域且整点个数又较少时,可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解.
(2)小范围搜寻法:即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来,代入目标函数,直接求出目标函数的最大(小)值.
(3)调整优值法:先利用平行线组经过关键点时的直线方程的可行解作为参照值,根据图形信息进行“微调”估值得最优整数值,再代入线性约束条件中的相关二元一次不等式求解,直到取得最优解,这是既容易操作又十分简捷有效的解题方法.
1.一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品,甲每件4元,乙每件7元,甲商品每件卖出去后可赚1元,乙商品每件卖出去后可赚1.8元.若要使赚的钱最多,那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为
(　　)
A.7件,3件　
B.9件,2件
C.4件,5件　
D.2件,6件
【解析】选D.设甲、乙各买x,y件,总利润为z元.则目标函数为z=x+1.8y,约束条件为
作出可行域为如图所示阴影部分对应的整点,
由z=x+1.8y,得y=-x+,斜率为->-,
所以,由图可知直线过点A时,z取得最大值.又x,y∈N,所以点A不是最优解,点(7,3),(2,6),(9,2)都在可行域内,
逐一验证可得,当x=2,y=6时,z取得最大值.
2.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表:
每亩年产量
每亩年种植成本
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为
(　　)
A.50,0
B.30,20
C.20,30
D.0,50
【解析】选B.设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩,y亩,
则总利润z=4×0.55x+6×0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.
此时x,y满足条件
画出可行域如图,得最优解为A(30,20).
3.(2020·石家庄高一检测)某校“棋乐无穷”社团计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的象棋和围棋.根据需要,象棋至少买3盒,围棋至少买2盒,则不同的选购方式共有
(　　)
A.5种
B.6种
C.7种
D.8种
【解析】选C.
设购买象棋x盒,围棋y盒.
由题意得即
①当x=3时,7y≤32,y≤<5,因为y∈N
,且y≥2,
所以y=2或y=3或y=4,此时有3种选购方式.
②当x=4时,7y≤26,y≤<4,因为y∈N
,且y≥2,
所以y=2或y=3,此时有2种选购方式.
③当x=5时,y≤<3,因为y∈N
,且y≥2,所以y=2,此时有1种选购方式.
④当x=6时,y≤2,因为y∈N
,且y≥2,所以y=2,此时有1种选购方式.
⑤当x=7时,y≤,因为y∈N
,且y≥2,所以y无解;
因为y∈N
,且y≥2,所以x≥7,x∈N
时,y均无解;
所以共有7种选购方式.
【补偿训练】
　　配制A,B两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂A种药需甲料3
mg,乙料5
mg;配一剂B种药需甲料5
mg,乙料4
mg.今有甲料20
mg,乙料25
mg,若A,B两种药至少各配一剂,共有配制方法
(　　)
A.6种　　　B.7种　　　C.8种　　　D.9种
【解析】选C.设A,B两种药分别配x剂、y剂(x,y∈N),
则不等式组的解集是以直线x=1,y=1,3x+5y=20及5x+4y=25为边界(含边界)所围成的区域,
这个区域内的整点为点(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1).
所以,在A,B两种药至少各配一剂的情况下,共有8种不同的配制方法.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂检测·素养达标
1.某学校用800元购买A、B两种教学用品,A种教学用品每件100元,B种教学用品每件160元,两种教学用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A、B两种教学用品应各买的件数为
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2件,4件　
B.3件,3件
C.4件,2件
D.不确定
【解析】选B.设买A种教学用品x件,B种教学用品y件,剩下的钱为z元,则
求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解(x,y),
用图解法求得整数解为(3,3).
2.(2020·成都高一检测)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元/分钟,假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元/分钟,那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间,能使公司获得最大的收益是　　　万元
(　　)?
A.72
B.80
C.84
D.90
【解析】选B.设公司在甲、乙两个电视台的广告时间分别为x,y分钟,总收益为z元,
则由题意可得
目标函数为z=4
000x+2
000y,化简得,
在平面直角坐标系内,画出可行域,如图所示:
作直线l:4
000x+2
000y=0,即2x+y=0,平行移动直线l,
当直线l过M点时,目标函数取得最大值,
联立解得x=100,y=200,
所以M点坐标为(100,200),
因此目标函数最大值为zmax=4
000×100+2
000×200=800
000.
3.(教材二次开发:习题改编)铁矿石A和B的含铁率为a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表:
a
b/万吨
c/百万元
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为　　　　(百万元).?
【解析】设购买铁矿石A为x万吨,购买铁矿石B为y万吨,购买铁矿石的总费用为z百万元.
则根据题意得到约束条件为:
即
则z=3x+6y,作出可行域.如图,
解方程组得点P的坐标为(1,2),
当目标函数经过(1,2)点时取得最小值为:
zmin=3×1+6×2=15.
答案:15
4.(2020·承德高一检测)某饮料厂生产A,B两种饮料.生产1桶A饮料,需该特产原料100公斤,需时间3小时;生产1桶B饮料,需该特产原料100公斤,需时间1小时,每天A饮料的产量不超过B饮料产量的2倍,每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤,每天生产A饮料的时间不低于生产B饮料的时间,每桶A饮料的利润是每桶B饮料利润的1.5倍,若该饮料厂每天生产A饮料m桶,B饮料n桶时(m,n∈N
)利润最大,则m+n=　　　　.?
【解析】设每天A,B两种饮料的生产数量分别为x桶,y桶,
则有
则其表示的可行域如图中阴影部分所示,
设B饮料每桶利润为1,
则目标函数为z=1.5x+y,
则y=-1.5x+z,z表示直线在y轴上的截距,
因为x,y只取整数,所以当直线y=-1.5x+z经过点(4,3),
即m=4,n=3时,z取得最大值,故m+n=7.
答案:7
5.为配合国庆黄金周,促进旅游经济的发展,某火车站在调查中发现:开始售票前,已有a人在排队等候购票;开始售票后,排队的人数平均每分钟增加b人.假设每个窗口的售票速度为c人/min,且当开放2个窗口时,25
min后恰好不会出现排队现象(即排队的人刚好购完);若同时开放3个窗口,则15
min后恰好不会出现排队现象.若要求售票10
min后不会出现排队现象,则至少需要同时开几个窗口?
【解析】设需要同时开放x个窗口,则有
由①②得c=2b,a=75b.
代入③得75b+10b≤20bx,
所以x≥,又x∈N,
所以至少同时开5个窗口才能满足.
PAGE第三章　不　等　式
§1　不
等
关
系
学习目标
1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系(数学抽象)2.会用不等式(组)正确表示出不等关系(逻辑推理)3.理解并掌握不等式的常用基本性质(数学抽象)
【必备知识·自主学习】
导思
1.如何比较实数大小?2.不等式性质有哪些?
1.不等关系
在数学意义上,不等关系可以体现为以下几种:
(1)常量与常量之间的不等关系.
(2)变量与常量之间的不等关系.
(3)函数与函数之间的不等关系.
(4)一组变量之间的不等关系.
【思考】
表示不等关系的数学不等号有哪些?
提示:表示不等关系的数学不等号有>,<,≥,≤,≠.
2.实数比较大小法则
任意两个实数a,b
都能比较大小:
(1)如果a-b>0,那么a>b.
(2)如果a-b<0,那么a(3)如果a-b=0,那么a=b.
【思考】
如何比较两个实数的大小?
提示:比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小,也可以比较它们的商与1的大小.
3.不等式的八个性质
①对称性:a>b?b②传递性:a>b,b>c?a>c;
③同加性:a>b?a+c>b+c;
④同乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac⑤累加性:对于同向不等式?a+c>b+d;
⑥累乘性:对于同向不等式?ac>bd;
⑦不等式的乘方:a>b>0?an>(n∈N,且n≥2);
⑧不等式的开方:a>b>0?>(n∈N,且n≥2).
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)对于实数a与b,a2+b2≥2ab.
(　　)
(2)对于实数a与b,若a>b,则a2>b2.
(　　)
(3)对于实数a与b,若a>b,则a3>b3.
(　　)
(4)若a>b,则ac>bc.
(　　)
(5)a2一定大于a.
(　　)
提示:(1)√.对于实数a与b,(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab.
(2)×.对于实数a与b,若a>b>0,则a2>b2;
若a>0>b,则a2>b2不一定成立.
(3)√.对于实数a与b,若a>b>0,则a3>b3;
若a>0>b,则a3>0>b3;若0>a>b,则0<-a<-b,
(-a)3<(-b)3,即-a3<-b3,所以a3>b3.
综上所述,对于实数a与b,若a>b,则a3>b3.
(4)×.当c=0时,ac=bc;当c<0时,ac(5)×.当0≤a≤1时,a2≤a.
2.(2020·上海高一检测)若a<0A.>
B.-a>b
C.a2>b2
D.a3【解析】选D.因为a<03.(教材二次开发:例题改编)比较大小(用“>”“<”填空):
(1)a+6　　　　a-1;(2)a2-a　　　　a-2.?
【解析】(1)由(a+6)-(a-1)=7>0,知a+6>a-1.
答案:>
(2)由(a2-a)-(a-2)=a2-2a+2=(a-1)2+1>0,知a2-a>a-2.
答案:>
【关键能力·合作学习】
类型一　用不等式表示不等关系(数学抽象)
【题组训练】
1.今天的天气预报说:明天早晨最低温度为9℃,白天的最高温度为16℃,那么明天白天的温度t℃满足的不等关系为　　　　　.?
2.如图,在一个面积为350
m2的矩形地基上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍,上述不等关系可用W表示为　　　　.?
3.某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2
000本.若把提价后杂志的售价设为x元,用不等式表示销售的总收入不低于20万元为　　　　.?
【解析】1.白天的温度介于最低温度与最高温度之间,
故9≤t≤16.
答案:9≤t≤16
2.仓库的长L=-10,所以-10>4W.
答案:-10>4W
3.售价为x元时的销量为8-×0.2,故销售总收入不低于20万元表示为·x≥20.
答案:·x≥20
【解题策略】
(1)常见的文字语言与数学符号之间的转换
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
>
至多
≤
小于
<
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
(2)列不等式表示不等关系的步骤
①分析题意,找出题中的各种量;
②寻找各种量之间的相等或不等关系;
③用代数式表示各种量;
④用适当的不等号将表示不等关系的量连接起来.
【补偿训练】
某种植物适宜生长的地方为18℃-20℃的山区,已知山区海拔每升高100
m,气温下降0.55℃.现测得山脚下的平均气温为22℃,该植物种在山区多高处为宜?(只需列出关系式)
【解析】设该植物适宜的种植高度为x
m,由题意得18≤22-≤20.
类型二　不等式性质的应用(逻辑推理)
【典例】已知a>b>0,c.
四步
内容
理解题意
分式证明可借助不等式性质.
思路探求
依据已知条件得出a-c与b-d的大小,从而得到与的大小,再利用e<0得出结论.
书写表达
因为c-d>0,又因为a>b>0,所以a+(-c)>b+(-d)>0,即a-c>b-d>0,所以0<<.又因为e<0,所以>.
题后反思
在利用不等式的性质,解决与不等式有关的问题时,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过对其条件与结论的分析,利用不等式的性质,探索论证的思路,选择合理的论证方法予以证明.
【解题策略】
利用不等式的性质证明不等式
(1)不等式的性质是证明不等式的基础,对任意两个实数a,b,有a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a(2)利用不等式的性质证明不等式,关键要对性质正确理解和运用,要弄清楚每一条性质的条件和结论,注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.
说明:运用不等式的性质判断不等式是否成立时要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,更不要想当然地运用一些不存在的性质.
【跟踪训练】
1.(2020·济南高一检测)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是
(　　)
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ab>0,bc-ad>0,则-<0
C.若a>b,c>d,则a-d>b-c
D.若a>b,c>d>0,则>
【解析】选C.若a>0>b,0>c>d,则ac0,bc-ad>0,则>0,化简得->0,故B错;若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>b-c,故C对;若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,==-1,故D错.
2.已知1【解析】因为1所以2<2a<8,6<3b<24,所以8<2a+3b<32.
因为2所以1+(-8)类型三　比较大小(逻辑推理)
角度1　作差法比较大小?
【典例】(2020·贺州高一检测)已知a>0,b>0,且a≠b,比较+与a+b的大小.
【思路导引】将+与a+b进行作差、化简,然后利用a>0,b>0,a≠b判断式子的正负,即可得出大小关系.
【解析】-(a+b)==.因为a>0,b>0,a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,
所以>0,故+>a+b.
【变式探究】
已知x∈R,比较x3-1与2x2-2x的大小.
【解析】(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),
因为x2-x+1=+≥>0,
所以当x>1时,(x-1)(x2-x+1)>0,
即x3-1>2x2-2x;
当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;
当x<1时,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.
角度2　作商法比较大小?
【典例】若m>2,则mm与2m的大小关系是　　　　.?
【思路导引】比较mm与2m大小,如果作差,则不能再变形化简,可尝试作商再变形化简,与1比较大小即可得出结论.
【解析】因为=,又m>2,
所以>1,所以>1,又2m>0,故mm>2m.
答案:mm>2m
【解题策略】
比较大小的方法
(1)作差法:比较两个代数式的大小,可以根据它们的差的符号进行判断,一方面注意题目本身提供的字母的取值范围,另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘,或通过配方转化为几个非负实数之和,然后判断正负.
作差法的一般步骤:
作差——变形——判号——定论.
(2)作商法:作商比较通常适用于两代数式同号的情形,然后比较它们的商与1的大小.
作商法的一般步骤:
作商——变形——与1比较大小——定论.
(3)单调性法:利用函数单调性比较大小,通常先构造一个函数,再利用单调性.
提醒:在用“比较法”时,有时可先将原数或式变形后再作差或作商进行比较,若是选择题还可用特殊值法比较大小.
【题组训练】
1.已知0【解析】因为00,1+b>0,1-ab>0,所以M-N=+=>0,即M>N.
答案:M>N
2.若a>b>0,比较aabb与abba的大小.
【解析】=aa-bbb-a=()a-b,
因为a>b>0,
所以>1,a-b>0,
所以()a-b>1,
即>1,
又因为a>b>0,所以aabb>abba.
3.(1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中x∈R.
(2)设x,y,z∈R,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.
【解析】(1)因为x6+1-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=
x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)2(x2+1)≥0.
所以当x=±1时,x6+1=x4+x2;
当x≠±1时,x6+1>x4+x2.
综上所述,x6+1≥x4+x2,当且仅当x=±1时取等号.
(2)因为(5x2+y2+z2)-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,
所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,
当且仅当x=y=且z=1时取等号.
【补偿训练】
(2020·济南高一检测)已知a∈R,且a≠1,比较a+2与的大小.
【解析】(a+2)-====.
因为+>0恒成立,所以当a-1>0,
即a>1时(a+2)->0;当a-1<0,
即a<1时,(a+2)-<0.
综上可知,当a>1时,a+2>;
当a<1时,a+2<.
【课堂检测·素养达标】
1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120
km/h.行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于100
m,用不等式表示为
(　　)　
A.v≤120或d≥100
B.
C.v≤120
D.d≥100
【解析】选B.最大限速与车距是同时的.
2.若实数a,b满足0(　　)
A.(-2,3)
B.(-3,2)
C.(2,3)
D.(-2,2)
【解析】选A.因为-13.(教材二次开发:习题改编)已知实数a>b>0,c∈R,则下列不等式恒成立的是
(　　)
A.acB.<
C.>
D.ac≥bc
【解析】选C.当c≥0时,不等式ac0,故B错误C正确;当c<0时,不等式ac≥bc不成立,D错误.
4.某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持工厂正常生产,甲、乙两种材料总量至少需要120吨,则x,y应满足的不等关系是　　　　.?
【解析】两种总量至少120吨,用不等式表示为x+y≥120.
答案:x+y≥120
5.(2020·德阳高一检测)已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.
【证明】x2+2y2-(2xy+2y-1)
=x2-2xy+y2+y2-2y+1
=(x-y)2+(y-1)2≥0,
所以x2+2y2≥2xy+2y-1成立.
PAGE§2　一元二次不等式
2.1　一元二次不等式的解法
学习目标
1.通过实例了解一元二次不等式的含义.(数学抽象)2.掌握一元二次不等式的解法,弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的内在联系.(数学运算)3.能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来.(逻辑推理)4.能够利用分类讨论方法,求解简单的含字母的一元二次不等式.(数学抽象、数学运算)
【必备知识·自主学习】
导思
1.一元二次不等式的形式是怎样的?2.如何求解一元二次不等式?
1.一元二次不等式及其解集
(1)形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.
(2)一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值,叫作这个一元二次不等式的解,一元二次不等式的所有解的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.
【思考】
一元二次不等式中未知数的最高次数是多少?
提示:一元二次不等式中未知数的最高次数是2.
2.
判别式
Δ>0
Δ=0
Δ<0
函数y=f(x)(a>0)的示意图
方程f(x)=0的解
有两相异实根x=x1或x=x2
有两相同实根x=x1=x2
无实根
不等式的解集
f(x)>0
(-∞,x1)∪(x2,+∞)
(-∞,x1)∪(x1,+∞)
R
f(x)<0
(x1,x2)
?
?
【思考】
在解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)时,若ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),还需要判断Δ的符号吗?
提示:不需要,因为此时方程ax2+bx+c=0一定有解,即Δ≥0一定成立.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不等式x2>y是一元二次不等式.
(　　)
(2)不等式x2≥0的解集是R.
(　　)
(3)存在实数x,满足x-1>x2.
(　　)
提示:(1)×.不等式x2>y是二元二次不等式.
(2)√.对于任意实数x,不等式x2≥0恒成立,
所以不等式x2≥0的解集是R.
(3)×.不等式x-1>x2即x2-x+1<0,
因为二次函数y=x2-x+1=+的图像恒在x轴上方,所以不存在实数x,满足x-1>x2.
2.若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2),则下列说法不正确的是
(　　)
A.函数y=ax2+bx+c的零点为1,2
B.关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为1,2
C.函数y=ax2+bx+c的图像开口向上
D.ax2+bx+c<0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞)
【解析】选C.因为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2),所以函数y=ax2+bx+c的零点为1,2,即关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为1,2,函数y=ax2+bx+c的图像开口向下,不等式ax2+bx+c<0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞).
3.(教材二次开发:例题改编)不等式-x2-x+2≥0的解集是(　　)
A.{x|x≤-2或x≥1}
B.{x|-2C.{x|-2≤x≤1}
D.?
【解析】选C.由-x2-x+2≥0,整理得x2+x-2≤0,即(x+2)(x-1)≤0,解得-2≤x≤1,即该不等式的解集为{x|-2≤x≤1}.
【关键能力·合作学习】
类型一　解简单的一元二次不等式(数学运算)
【题组训练】
1.不等式≤的解集为
(　　)
A.[-1,3]
B.[-3,-1]
C.[-3,1]
D.[1,3]
2.(2020·济宁高一检测)不等式2x2-x-3>0的解集为
(　　)
A.
B.
C.
D.
3.(2020·邯郸高一检测)不等式-2x2+3x+14≥0的解集为
(　　)
A.(-∞,-2]∪
B.∪[2,+∞)
C.
D.
【解析】1.选C.≤得≤2-1,故x2+2x-4≤-1,所以x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.
2.选B.由2x2-x-3>0,可得(2x-3)(x+1)>0,解得x>或x<-1.即该不等式的解集为.
3.选D.因为-2x2+3x+14≥0,所以-(2x-7)(x+2)≥0,
解得-2≤x≤.
【解题策略】
一元二次不等式的求解步骤
(1)通过对不等式的变形,使不等式右边为零,左边二次项系数大于零,即将不等式化为ax2+bx+c>0(≥0)(a>0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a>0);
(2)计算出相应的一元二次不等式的判别式;
(3)求出一元二次方程ax2+bx+c=0的实根(或判断相应方程有没有实根);
(4)结合函数图像写出不等式的解集.
简记为:一看、二判、三求、四写.
提醒:(解集记忆口诀,a>0)大于零取两边,小于零取中间.
【补偿训练】
在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为
(　　)
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-1,2)
【解析】选B.由a☉b=ab+2a+b,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2<0,所以-2类型二　解含参数的一元二次不等式(逻辑推理)
【典例】(2020·焦作高一检测)已知ax2+2ax+1≥0恒成立,解关于x的不等式x2-x-a2+a<0.
四步
内容
理解题意
恒成立指的是无论x为何值,此不等式始终成立
思路探求
先根据恒成立分析出a的范围,然后根据a的范围分类讨论求解不等式的解集.
书写表达
当a=0时,1≥0,不等式恒成立;当a≠0时,则解得0a即0≤a<时a题后反思
本题考查根据分类讨论的方法求解不等式解集,难度一般.对于所解不等式中含有字母的情况,首先要思考是否需要对字母分类讨论,然后再考虑求不等式解集.
【解题策略】
含参数的一元二次不等式的解法策略
(1)当二次项系数不确定时,要分二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行讨论.
(2)判别式大于零时,只需讨论两根大小.
(3)判别式不确定时,要分判别式大于零、等于零、小于零三种情况进行讨论.
【跟踪训练】
解关于x的不等式:ax2-2(a+1)x+4<0(a>0).
【解析】因为a>0,所以原不等式化为:a(x-2)<0,
①当0此时原不等式的解集为;
②当a>1时,<2,
此时原不等式的解集为;
③当a=1时,原不等式的解集为?.
类型三　“三个二次”之间的关系(逻辑推理)
　角度1　由不等式的解集确定参数值?
【典例】(2020·新余高一检测)不等式cx2+5x+a>0的解集为,则a、c的值为
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6,1
B.-6,-1
C.1,1
D.-1,-6
【思路导引】根据不等式的解集,即为不等式对应方程的两个根,由根与系数的关系即可求得.
【解析】选D.因为不等式cx2+5x+a>0的解集为
,故方程cx2+5x+a=0对应的两根为和.故可得c≠0,-=+,=
解得c=-6,a=-1.
【变式探究】
关于x的不等式ax2+2x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围为
(　　)
A.{a|a>1}
B.{a|a<-1}
C.{a|a=0或a≥1}
D.{a|a=0或a≤-1}
【解析】选B.当a=0时,2x-1≥0,即x≥,不符合题意;当a≠0时,因为关于x的不等式ax2+2x-1≥0的解集为空集,即所对应方程ax2+2x-1=0无实根,且a<0,所以Δ=4+4a<0,解得a<-1,故实数a的取值范围是{a|a<-1}.
　角度2　与不等式有关的恒成立问题?
【典例】已知:f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-3,2)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
(1)求y=f(x)的解析式.
(2)c为何值时,ax2+bx+c≤0的解集为R.
【思路导引】(1)由不等式的解集可联想到相应方程的解.
(2)由ax2+bx+c≤0的解集为R以及Δ的取值,可考虑相应二次函数的图像位置情况、相应方程解的个数进而求解.
【解析】(1)因为不等式f(x)>0的解集为x∈(-3,2).
所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根.
所以且a<0,可得
所以f(x)=-3x2-3x+18.
(2)由a<0,知二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向下,要使不等式-3x2+5x+c≤0的解集为R,只需Δ≤0,
即25+12c≤0,故c≤-.
所以当c≤-时,不等式ax2+bx+c≤0的解集为R.
【解题策略】
含参数的一元二次不等式的解法策略
(1)一元二次方程的根与一元二次不等式的解集间的关系
设一元二次不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2},{x|x1即不等式的解集的端点值是相应方程的根.
(2)与一元二次不等式有关的题型与方法.
方法
解　读
适合题型
判别式法
(1)ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立的条件是(2)ax2+bx+c≤0对任意实数x恒成立的条件是
二次不等式在R上恒成立
分离参数法
如果不等式中的参数比较“孤单”,分离后其系数与0能比较大小,便可将参数分离出来,利用下面的结论求解:a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min
适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求
主参换位法
把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]上恒成立的问题,若f(x)>0恒成立?若f(x)<0恒成立?
若在分离参数时遇到讨论参数与变量,使求函数的最值比较麻烦,或者即使能容易分离出却难以求出时
【题组训练】
1.若不等式ax2+bx-2>0的解集为,则实数a,b的值分别是
(　　)
A.a=-4,b=9
B.a=4,b=9
C.a=-4,b=-9
D.a=-1,b=2
【解析】选C.由题意得,-2、-为方程ax2+bx-2=0的两个根,由根与系数的关系可得
解得
2.(2020·北京高一检测)若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是
(　　)
A.(-2,2]
B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪[2,+∞)
D.(-∞,2]
【解析】选A.由题意可知不等式(m-2)x2+(2m-4)x-4<0对任意x∈R恒成立.①当m-2=0时,
即当m=2时则有-4<0,合乎题意;
②当m-2≠0时,
则,
解得-2综上所述,实数m的取值范围是(-2,2].
3.设f(x)=(m+1)x2-mx+m-1.
(1)当m=1时,求不等式f(x)>0的解集.
(2)若不等式f(x)+1>0的解集为,求m的值.
【解析】(1)当m=1时,不等式f(x)>0为2x2-x>0,
因此所求解集为(-∞,0)∪.
(2)不等式f(x)+1>0,
即(m+1)x2-mx+m>0,
由题意知,3是方程(m+1)x2-mx+m=0的两根,
因此?m=-.
【补偿训练】
不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3【解析】由题意,得,　
解得.
所以a-b=0.
答案:0
【课堂检测·素养达标】
1.不等式x2+2x-3≥0的解集为
(　　)
A.{x|x≥3或x≤-1}
B.{x|-1≤x≤3}
C.{x|x≥1或x≤-3}
D.{x|-3≤x≤1}
【解析】选C.由x2+2x-3≥0整理可得(x-1)(x+3)≥0,解得x≥1或x≤-3.
2.若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则实数a的取值范围是
(　　)
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(0,1)
C.(-∞,0]∪(1,+∞)
D.[0,1]
【解析】选B.因为一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,所以解得03.(教材二次开发:习题改编)已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|-1(　　)
A.{x|-1B.{x|x<-1或x>2}
C.{x|0D.{x|x<0或x>1}
【解析】选C.由题意可得A={x|04.下列四个不等式:
①-x2+x+1≥0;
②x2-2x+>0;
③x2+6x+10>0;
④2x2-3x+4<1.
其中解集为R的是　　　　.?
【解析】①中a=-1,Δ=12-4×(-1)×1>0,解集不为R;
②中Δ=(-2)2-4×>0,解集不为R;
③中Δ=62-4×10<0.满足条件;
④中不等式可化为2x2-3x+3<0,所对应的二次函数图像开口向上,显然不可能.
答案:③
5.求不等式4x2-4x+1>0的解集.
【解析】因为Δ=(-4)2-4×4×1=0,
所以方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,
所以原不等式的解集为{x|x≠}.
PAGE2.2　一元二次不等式的应用
学习目标
1.会应用一元二次不等式解决恒成立问题及实际问题.(数学抽象、逻辑推理)2.会解简单的分式不等式与简单的高次不等式.(数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.如何解分式不等式?2.如何求解高次不等式的解集?
1.分式不等式的解法
(1)分式不等式的概念及其标准形式.
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.各种不等式经过同解变形,都可化为标准形式>0(≥0)或<0(≤0)(其中f(x),g(x)为整式且g(x)不为0).
(2)分式不等式的解法.
求解分式不等式的基本思路是将分式不等式的标准形式转化为整式不等式求解,将分式不等式转化为整式不等式的方法如下:
分式不等式
同解不等式
>0
与或同解;与f(x)·g(x)>0同解
<0
与或同解;与f(x)·g(x)<0同解
≥0
与同解
≤0
与同解
≥a的同解不等式是什么?
提示:≥0.
2.形如(x-1)(x-2)(x-3)>0的不等式解法——穿针引线法
(1)设函数:设函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).
(2)求交点:函数f(x)与x轴的交点坐标为(1,0),(2,0),(3,0).
(3)穿针引线:把函数f(x)与x轴的交点形象地看成“针眼”,函数f(x)的图像看成“线”从右到左从上到下进行穿针引线.
分别画出y=x-a,y=(x-a)(x-b),y=(x-a)(x-b)(x-c)(a0,(x-a)(x-b)>0,(x-a)(x-b)(x-c)>0的关系.
提示:
图像
y>0的解集
(a,+∞)
(-∞,a)∪(b,+∞)
(a,b)∪(c,+∞)
不等式的解集恰是对应图像当y>0时对应的横坐标的集合.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不等式>0与(x+1)(x+2)>0同解.
(　　)
(2)不等式≥0与(x+1)(x+2)≥0同解.
(　　)
(3)不等式ax2+bx+c>0恒成立的条件为Δ<0.
(　　)
提示:(1)√.根据实数的乘法和除法法则,不等式>0与(x+1)(x+2)>0同解.
(2)×.因为分式的分母不为0,所以不等式≥0与(x+1)(x+2)≥0不同解.
(3)×.当a<0时,也有Δ<0的情况成立,此时ax2+bx+c>0不恒成立.
2.(2020·芜湖高一检测)不等式≤0的解集为　　　　.?
【解析】根据≤0与
同解可得≤0与同解,
解得x<-2或x≥2,
所以不等式≤0的解集为(-∞,-2)∪[2,+∞).
答案:(-∞,-2)∪[2,+∞)
3.(教材二次开发:例题改编)利用穿针引线法解不等式x(x-1)(1-2x)>0,可得其解集为　　　　.?
【解析】原不等式可化为x(x-1)<0,
分别令x(x-1)各因式为零,可得根依次为0,1,,可画出下图,
故其解集为(-∞,0)∪.
答案:(-∞,0)∪
关键能力·合作学习
类型一　分式不等式的解法(数学运算)
1.(2020·大同高一检测)集合A={x|x2-5x+4>0},B=,则A∩B=
(　　)
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B.(-∞,0)∪(4,+∞)
C.(2,4)
D.(4,+∞)
2.不等式≥2的解集是
(　　)
A.
B.
C.∪(1,3]
D.∪(1,3]
3.(2020·保定高一检测)如果不等式>1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是　　　　.?
　【解析】1.选B.由x2-5x+4>0,
可得(x-1)(x-4)>0,
解得x<1或x>4,故A={x|x<1或x>4}.
由<1,可得-1<0,
即<0,
即x(x-2)>0,
解得x<0或x>2,
故B={x|x<0或x>2},
故A∩B={x|x<0或x>4}.
2.选D.因为(x-1)2>0,
由≥2可得x+5≥2(x-1)2且x≠1.
所以2x2-5x-3≤0且x≠1,
所以-≤x≤3且x≠1.
所以不等式的解集是∪(1,3].
3.由x2+2x+7=(x+1)2+6>0对一切x∈R恒成立,可知原不等式等价于2x2+mx+2m>x2+2x+7恒成立,
即x2+(m-2)x+(2m-7)>0对一切实数x恒成立,
故Δ=(m-2)2-4(2m-7)<0,
整理得(m-4)(m-8)<0,
解得4答案:(4,8)
　解分式不等式注意的问题
(1)有一侧为零的分式不等式,可转化为整式不等式求解,但要注意分母不为零;
(2)两侧均不为零的分式不等式,可通过移项通分,使之转化为一侧为零的分式不等式.
　　　【补偿训练】
　　不等式≥-1的解集为　　　　.?
【解析】将原不等式移项通分得≥0,
等价于
解得x>5或x≤.
所以原不等式的解集为.
答案:
类型二　“穿根法”解高次不等式(数学运算)
【典例】解下列不等式:(6x2-17x+12)(2x2-5x+2)>0.
四步
内容
理解题意
求出满足该不等式的所有x的取值.
思路探求
不等式的左边分解成几个因式的积,然后依据乘积的正负确定不等式的解.
书写表达
原不等式可化为(2x-3)(3x-4)(2x-1)(x-2)>0,进一步化为(x-2)>0,如图所示,得原不等式的解集为.
题后反思
高次不等式的求解需要先找出对应方程的根,然后利用穿针引线法求解
　穿针引线法解不等式的步骤
(1)转化:就是先把不等式化为一端为零,再对另一端分解因式,将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积,各因式的x系数要为正.
(2)标点:将每一个一次因式的根标在数轴上(注意虚实点).
(3)画线:用一条光滑的曲线,从x轴的右端上方起,依次穿过这些零点,穿线时注意是从上到下,从右到左(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过).
(4)写解集:大于零的不等式的解对应着曲线在x轴上方的实数x的取值集合;小于零的不等式的解对应着曲线在x轴下方的实数x的取值集合.
　(2020·榆林高一检测)解不等式:(2x-1)(x+1)(2-x)<0.
【解析】因为(2x-1)(x+1)(2-x)<0,
所以(x+1)(x-2)>0,
又因为方程(x+1)(x-2)=0的根是x1=-1,x2=,x3=2.画出数轴、标出根,再穿针引线如图所示.
所以原不等式的解集为∪(2,+∞).
类型三　一元二次不等式的应用(数学建模)
【典例】遨游于精彩的网络世界,可以进行网上购物,收发邮件,在线交流……上网获取信息已成为人们生活的组成部分,网络服务公司将用户的计算机接入因特网,并收取一定的费用.公司A每小时收费1.5元;公司B一次上网x小时收费x(35-x)÷20元,上网一般不超过17小时,选择哪一家公司上网费用较少?
【思路导引】将已知条件转化为关于x的不等式解决,注意分类讨论,再解决.
【解析】由1.5x=得x2-5x=0,得x=5或x=0(舍去);
由1.5x<得x2-5x<0,解得0由1.5x>得x2-5x>0,解得x<0或x>5.
可见,上网少于5小时公司A收费少;上网恰好5小时公司A、B收费一样;上网超过5小时公司B收费少.
在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300
m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是　　　　.?
【解析】设矩形高为y,由三角形相似得:=,且x>0,y>0,x<40,y<40,xy≥300,整理得y+x=40,将y=40-x代入xy≥300,整理得x2-40x+300≤0,解得10≤x≤30.
答案:[10,30]
　解不等式应用题的四步骤
①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系;
②引进数学符号,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系);
③解不等式(或求函数最值);
④回扣实际问题.
提醒:确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.
1.(2020·北京高一检测)某企业为激励员工创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
(　　)
A.2020年
B.2023年
C.2024年
D.2025年
【解析】选C.设n年开始超过200万元,
则130×(1+12%)n-2
020>200,
所以(n-2
020)×lg
1.12>lg
2-lg
1.3,
所以n-2
020>≈=3.8,
所以n>2
023.8,因为n∈Z,所以2024年开始超过200万元.
2.一辆汽车总重量为ω,时速为v(km/h),设它从刹车到停车行走的距离L与ω,v之间的关系式为L=kv2ω(k是常数).这辆汽车空车以50
km/h行驶时,从刹车到停车行进了10
m,求该车载有等于自身重量的货物行驶时,若要求司机在15
m距离内停车(包含15
m),并且司机从得到刹车指令到实施刹车时间为1
s,汽车允许的最大时速是多少?(结果精确到1
km/h)
【解析】根据已知当L=10,v=50时,
10=k·502·ω?kω=.
又司机反应时间1
s内汽车所走路程与汽车从刹车到停止所走路程之和为kv2·2ω+×1.
依题意得kv2·2ω+×1≤15,即+≤15,
所以18v2+625v-33
750≤0,解得0故汽车允许最大时速为29
km/h.
3.国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨.按规定,农户向国家纳税为:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
【解析】设税率调低后,“税收总收入”为y元,则
y=2
400m(1+2x%)·(8-x)%
=-m(x2+42x-400)(0依题意,得y≥2
400m×8%×78%,
即-m(x2+42x-400)≥2
400m×8%×78%,
整理得x2+42x-88≤0,解得-44≤x≤2.
根据x的实际意义,知0所以x的范围为(0,2].
　　　【补偿训练】
　　某商家一月份至五月份累计销售额达3
860万元,六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增加x%,八月份的销售额比七月份增加x%,九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等,若一月份至十月份的销售总额至少为7
000万元,则x的最小值为　　　　.?
【解析】由题意得七月份的销售额为500(1+x%),八月份的销售额为500(1+x%)2,所以一月份至十月份的销售总额为3
860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7
000,解得1+x%≤-(舍去)或1+x%≥,即x%≥20%,所以xmin=20.
答案:20
课堂检测·素养达标
1.已知集合A=,则集合A中的元素个数为
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.因为集合A=={x∈N|22.不等式≤5的解集是
(　　)
A.[2,3]
B.(-∞,-1]∪[6,+∞)
C.(-∞,0)∪[2,3]
D.(0,2)∪(3,+∞)
【解析】选C.由≤5,可得≤0,
即
即
解得x<0或2≤x≤3,即(-∞,0)∪[2,3].
3.(教材二次开发:习题改编)若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3
000+20x-0.1x2(0(　　)
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台
【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3
000≤0,
所以x2+50x-30
000≥0,x≥150.
4.不等式≥0的解集为(-∞,-2]∪(1,3],则b+c=　　　　.?
【解析】因为不等式≥0,即≤0其解集为(-∞,-2]∪(1,3],所以-2和3一个为b,另一个为c,a=1,故b+c=-2+3=1.
答案:1
5.解关于x的不等式:<0.
【解析】原不等式变形为>0,
即(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)>0.
令(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)=0,
则有x1=-3,x2=-2,x3=1,x4=3.
如图.
由图可知,原不等式的解集为{x|x<-3或-23}.
PAGE§3　基本不等式
3.1　基本不等式
学习目标
1.了解基本不等式的证明过程及其几何解释.(数学抽象、逻辑推理)2.了解算术平均数、几何平均数的定义.(数学抽象)3.会用基本不等式判断、比较简单的不等式.(逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.重要不等式和基本不等式的形式是怎样的?2.基本不等式的几何意义是什么?
　重要不等式和基本不等式
不等式
重要不等式
基本不等式
条件
x,y∈R
a≥0,b≥0
结论
≥xy
≥
等号成立的条件
当且仅当x=y时
当且仅当a=b时
【说明】(1)基本不等式(均值不等式)的文字语言:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.其中称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数,故基本不等式又被称为均值不等式.
(2)数列意义:两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项.
(1)重要不等式与基本不等式有何异同:
提示:不同点:适用范围不同;相同点:取等号的条件相同.
(2)基本不等式的常见变形:
提示:a+b≥2(a≥0,b≥0),ab≤(a,b∈R).
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不等式x2+y2≥2xy对于任意实数x,y恒成立.
(　　)
(2)不等式x+y≥2对于任意实数x,y恒成立.
(　　)
(3)≥ab成立的条件是a>0,b>0.
(　　)
(4)≥.
(　　)
提示:(1)√.因为不等式(x-y)2≥0对于任意实数x,y恒成立,所以不等式x2+y2≥2xy对于任意实数x,y恒成立.
(2)×.不等式x+y≥2仅对于任意正实数x,y恒成立.
(3)×.由-ab=-ab
==(a-b)2≥0可知,≥ab对任意的a,b∈R都成立.
(4)√.因为=1.5,而≈1.414,所以>.又因为“≥”表示“>”或“=”有一个成立,即≥.
2.(2020·成都高一检测)不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是
(　　)
A.a=±1
B.a=1
C.a=-1
D.a=0
【解析】选B.当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立.
3.(教材二次开发:例题改编)当a,b∈R,下列不等关系成立的是　　　　(填序号).?
①≥;②a-b≥2;③a2+b2≥2ab;
④a2-b2≥2ab.
【解析】根据≥ab,≥成立的条件判断,知①②④错,只有③正确.
答案:③
关键能力·合作学习
类型一　对基本不等式的理解(数学抽象、逻辑推理)
1.(2020·镇江高一检测)设0(　　)
A.aB.a<<C.a<D.2.不等式(x-2y)+≥2成立的条件为
(　　)
A.x≥2y,当且仅当x-2y=1时取等号
B.x>2y,当且仅当x-2y=1时取等号
C.x≤2y,当且仅当x-2y=1时取等号
D.x<2y,当且仅当x-2y=1时取等号
3.(2020·无锡高一检测)给出下面四个推导过程:
①因为a,b∈(0,+∞),所以+≥2=2;
②因为x,y∈(0,+∞),所以lg
x+lg
y≥2;
③因为a∈R,a≠0,所以+a≥2=4;
④因为x,y∈R,xy<0,所以+=-≤-2=-2.
其中正确的推导过程序号为　　　　　　.?
　【解析】1.选B.(解法一)因为b>a>0,
所以>,2b>b+a,
所以b>,
所以a<<(解法二)取a=2,b=8,
则=4,=5,
所以a<<2.选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正,
所以x-2y>0,
即x>2y,且等号成立时(x-2y)2=1,
即x-2y=1.
3.从基本不等式成立的条件考虑.
①因为a,b∈(0,+∞),
所以,∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;
②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lg
x是负数,y∈(0,1)时,lg
y是负数,所以②的推导过程是错误的;
③因为a∈R,不符合基本不等式的条件,所以③的推导过程错误;④由xy<0得,均为负数,但在推导过程中,将整体+提出负号后,-,-均为正数,符合基本不等式的条件,故④推导过程正确.
答案:①④
　基本不等式的理解
基本不等式的结构就是体现了“和式”与“积式”的相互转化,当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时,就要考虑利用基本不等式来解决,在应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.
　　　【补偿训练】
　　如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么
(　　)
A.ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
B.ab≥c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一
C.ab≤c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
D.ab≥c+d,且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一
【解析】选A.因为a+b=cd=4,
所以由基本不等式得a+b≥2,故ab≤4.
又因为cd≤,
所以c+d≥4,
所以ab≤c+d,
当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立.
类型二　利用基本不等式比较大小(数学运算、逻辑推理)
【典例】(2020·南通高一检测)已知a,b为互不相等的正实数,则下列四个数中最大的数是
(　　)
A.
B.+
C.
D.
四步
内容
理解题意
通过不等式性质或基本不等式比较大小,不需要把四个数的大小排起来,只需找到最大的即可
思路探求
选B.通过基本不等式或性质可得+>,<<,<,从而可得最大数
书写表达
a,b为互不相等的正实数,则+>,<=<,<=<,所以下列四个数中最大的数是+
题后反思
本题考查了基本不等式和性质,比较大小可借助中间量
　应用基本不等式比较大小的两个技巧
(1)放缩:通过不等式公式可以对式子放缩,从而达到证明不等式的目的,此种情况要注意不等式的不等号方向,和其适用条件,在实际应用中通常与不等式的性质一起设计题目.
(2)“=”成立的条件:当多次应用基本不等式时,一定要看各式子在用基本不等式时“=”成立的条件是否一致.
　已知m=a+(a>2),n=(b≠0),则m,n之间的大小关系是
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.m>n
B.mC.m=n
D.不确定
【解析】选A.因为a>2,所以a-2>0.
又因为m=a+=(a-2)++2≥2+2=4(当且仅当a-2=,
即a=3时,“=”成立).
即m∈[4,+∞),由b≠0得b2≠0,
所以2-b2<2.所以<4,即n<4.
所以n∈(0,4),
综上易知m>n.
类型三　利用基本不等式证明不等式(数学抽象、逻辑推理)
【典例】若a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)≥9
.
(2)a4+b4≥.
【思路导引】(1)由a+b=1,可将,写成,展开即可;
(2)借助常见不等式变形ab≤,围绕一个中心→转化为a+b的式子.
【证明】(1)因为a>0,b>0,
a+b=1,
所以+≥2,当且仅当a=b=时,
等号成立,
故=
==5+2+≥5+4=9,
当且仅当a=b=时取等号.
(2)因为a>0,b>0,a+b=1,所以a+b≥2,
当且仅当a=b=时,等号成立.
则ab≤=,则a2b2≤.
而a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=[(a+b)2-2ab]2-2a2b2
≥-=,
所以a4+b4≥,当且仅当a=b=时取等号.
　已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.
【证明】因为a,b,c>0,所以a,b,c,,,均大于0,
所以+b≥2=2a,①
+c≥2=2b,②
+a≥2=2c.③
由①②③,得+b++c++a≥2a+2b+2c,
所以++≥a+b+c,
当且仅当=b,=c,=a,即a=b=c>0时等号成立.
　判断、证明不等式的三个技巧
(1)“1”的代换:当题目中出现某些式子的和为1时,对所要证明的不等式中寻找恰当的“1”进行代换,从而达到应用基本不等式证明的目的.
(2)放缩:在确定好证明方向的不等式中,可对一边的式子利用公式适当放大、缩小到一个中间式子,再利用不等式的传递性证明不等式.
(3)累加:累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用;多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立.
1.(2020·南宁高一检测)已知正实数a,b满足a+b=4.证明+≥.
【证明】因为a+b=4,
所以+=(a+b)=≥(2+2)=1,所以≥=,
所以+≥
=≥(当且仅当a=b=2时取等号).
2.如果0【解析】因为P=log0.5,
Q=(log0.5a+log0.5b)=log0.5,
M=log0.5(a+b)=log0.5,
所以只需比较,,的大小.
显然>,又因为<,所以>>.而y=log0.5x为(0,+∞)上的减函数,故Q>P>M.
3.已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.
求证:≥8.
【证明】因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,
所以-1==≥,
同理-1≥,-1≥.
由于上述三个不等式两边均为正,分别相乘得≥··=8.
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
　　　【补偿训练】
　　已知a,b,c∈(0,+∞),a+b+c=1.
求证:≥64.
【证明】+1=+1=2+≥2+=
2≥4,即+1≥4,①
同理可证,+1≥4,②
+1≥4,③
由①②③左右两边分别相乘,
得≥64,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
课堂检测·素养达标
1.若x>0,y>0,且≥,则必有
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2x=y
B.x=2y
C.x=y
D.x=4y
【解析】选B.因为x>0,y>0,所以≥,即≥,所以必有=,所以x=2y.
2.若a(　　)
A.|a|>|b|
B.>
C.a2+b2>2ab
D.a+b>-2
【解析】选D.因为a-b>0
所以|a|>|b|,-<-即>,故A,B恒成立.
因为(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab,因为a,b不相等,所以a2+b2>2ab故C恒成立.当a=-2,b=-1时,a+b<-2,故选D.
3.(教材二次开发:习题改编)下列命题中正确的是
(　　)
A.当a,b∈R时,+≥2=2
B.当a>1,b>1时,lg
a+lg
b≥2
C.当a>4时,a+≥2=6
D.因为x2+1≥2x,当且仅当x=1时,等号成立,所以(x2+1)min=2
【解析】选B.A项中,可能<0,所以A不正确;C项中,a+≥2=6中的等号不成立,所以C项不正确;D项中,右边不是定值,所以D项不正确;很明显,B项中,当a>1,b>1时,lg
a>0,lg
b>0,则lg
a+lg
b≥2成立,所以B项正确.
4.若a>0,b>0,则与的大小关系是　　　?.(用“>”“≥”“<”“≤”填空)
【解析】因为=≥=,所以≥,当且仅当a=b>0时,等号成立.
答案:≥
5.已知a,b,c是不全相等的三个正数,求证:++>3.
【证明】++
=+++++-3
=++-3.
因为a,b,c都是正数,所以+≥2=2,
同理+≥2,+≥2,
所以++≥6.
因为a,b,c不全相等,上述三式不能同时取等号,
所以++>6,
所以++>3.
PAGE3.2　基本不等式与最大(小)值
学习目标
1.理解与两正数和积相关的命题.(数学抽象)2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理)3.会用基本不等式解决简单的实际问题.(数学建模、逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.如何记忆利用基本不等式求最值时是最大还是最小?2.利用基本不等式求最值时要满足什么条件?
利用基本不等式求最值
大前提
条件
结论
三个注意点
x,y均为正数
若x+y=s,则当x=y
时
积xy取得最大值
一正:x,y必须是正数;二定:和“x+y”为定值或积“xy”为定值;三相等:等号是否能够取到
若xy=p,则当x=y时
和x+y取得最小值2
在利用基本不等式求两个数或代数式的最值时必须注意的三个条件是什么?
提示:①x,y必须是正数.
②求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为定值.
③等号成立的条件是否满足.
综上,解决问题时要注意“一正、二定、三相等”.
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)对于任意实数x,y,若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值s2.
(　　)
(2)若两个正数的积是定值p,则这两个正数的和一定有最小值2.
(　　)
(3)因为sin
x·=1(x∈(0,2π))为定值,所以y=sin
x+有最小值.
(　　)
(4)若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集为M,则必有2∈M.
(　　)
提示:(1)×.条件中没有说明x,y∈(0,+∞),故错误.
(2)×.等号不一定能取到,故错误.
(3)×.sin
x可正可负,故不满足两数都为正数,故错误.
(4)√.把x=2代入不等式可得(1+k2)×2≤k4+4,即k4-2k2+2≥0,因为k4-2k2+2=+1≥1恒成立,故k4-2k2+2≥0成立.
2.若x>0,则x+的最小值为
(　　)
A.2
B.3
C.2
D.4
【解析】选D.因为x>0,所以x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时等号成立,所以x+的最小值为4.
3.(教材二次开发:例题改编)(2020·大连高一检测)设a,b是实数且a+2b=3,则2a+4b的最小值为　　　.?
【解析】根据题意,有2a+4b≥2=2=2=2=4,当且仅当2a=4b时取最小值4.
答案:4
关键能力·合作学习
类型一　利用基本不等式求最值(逻辑推理)
1.(2020·银川高一检测)已知x>2,y=x+,则y的最小值为
(　　)
A.2
B.1
C.4
D.3
2.已知函数f(x)=x+(x<0),则下列结论正确的是
(　　)
A.f有最小值4
B.f有最大值4
C.f有最小值-4
D.f有最大值-4
3.函数y=log2(x>1)的最小值为　　　　.?
【解析】1.选C.因为x>2,y=x+,所以y=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.
2.选D.由题意,因为x<0,可得-x>0,
则f(x)=x+=-≤-2
=-4,当且仅当-x=,即x=-2时取等号,
所以f(x)的最大值为-4.
3.因为x++5=(x-1)++6
≥2+6=8,
所以log2≥3,所以ymin=3,
当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.
答案:3
　利用基本不等式求最值的两种形式及相应的策略
(1)形式一:积定和最小.
当a,b都为正数,且ab为定值时,有a+b≥2(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时a+b有最小值,即“积定和最小”.
(2)形式二:和定积最大.
当a,b都为正数,且a+b为定值时,有ab≤(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时ab有最大值,即“和定积最大”.
以上两类问题可简称为“积大和小”问题.
【补偿训练】
已知t>0,则函数y=的最小值为　　　　.?
【解析】y==t+-4≥2-4=-2,
当且仅当t=,即t=1或t=-1(舍)时,等号成立,
所以y的最小值为-2.
答案:-2
类型二　利用基本不等式求范围(逻辑推理)
　角度1　一般求范围问题?
【典例】已知x>0,y>0,且满足+=2,则8x+y的取值范围是　　　　.?
【思路导引】利用已知条件,使代数式8x+y能利用基本不等式求最值.
【解析】因为x>0,y>0,+=2,则+=1,
所以8x+y=(8x+y)=5++
≥5+2=9.
当且仅当=?y=4x?x=,y=3时,等号成立.
所以,8x+y的取值范围是[9,+∞).
答案:[9,+∞)
已知a,b为正实数,向量m=(a,a-4),向量n=(b,1-b),若m∥n,则a+b的取值范围为　　　　.?
【解析】因为m∥n,
所以a(1-b)-b(a-4)=0,所以a+4b=2ab,
所以+=1,且a,b为正实数,
所以a+b==++2+≥
2+=,当且仅当=时取“=”.
所以a+b的取值范围为.
答案:
　角度2　含参数不等式的求参数问题?
【典例】不等式|x2-3x|+x2+32≥kx恒成立,则k的取值范围是　　　.?
【思路导引】先分离参数,再利用基本不等式求最值,最后得出范围.
【解析】当x∈[1,9]时,不等式|x2-3x|+x2+32≥kx
等价为≥k,
设f(x)=,
当1≤x≤3时,f(x)=3+在[1,3]上单减,
所以f(x)min=f(3)=,
当3当且仅当2x=,即x=4时成立,
所以f(x)的最小值为13.所以k≤13.
综上所述,k的取值范围是(-∞,13].
答案:(-∞,13]
含有参数的不等式问题解题策略
(1)对于求不等式成立时的参数范围问题,在条件简单的情况下把参数分离出来,使不等式一端是参数,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为求函数的最大值或最小值.如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,就不要使用分离参数法.
(2)一般地,a≥f(x)恒成立时,应有a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立时,应有a≤f(x)min.
一般地,a≥f(x)能成立时,应有a≥f(x)min,a≤f(x)能成立时,应有a≤f(x)max.
1.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是
(　　)
A.[0,2]
B.[-2,0]
C.[-2,+∞)
D.(-∞,-2]
【解析】选D.因为2x+2y≥2,2x+2y=1,
所以2≤1,所以2x+y≤=2-2,
所以x+y≤-2,即(x+y)∈(-∞,-2].
2.已知a>0,b>0,+=,若不等式2a+b≥9m恒成立,则实数m的最大值为
(　　)
A.8
B.7
C.6
D.5
【解析】选C.由已知,可得6=1,
所以2a+b=6·(2a+b)=6≥
6×(5+4)=54,当且仅当=时等号成立,
所以9m≤54,即m≤6.
类型三　基本不等式的实际应用(数学建模、数学运算)
【典例】某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2
000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
四步
内容
理解题意
(1)利用总收入≥原收入列关系式求解;(2)销售收入≥原收入+总投入.
思路探求
(1)设每件定价为t元,将实际问题转化为数学问题,即可解决;(2)分离参数求最值即可.
续表
书写表达
(1)设每件定价为t元,依题意,有t≥25×8,整理得t2-65t+1
000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意,x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,等价于x>25时,a≥+x+有解.因为+x≥2=10(当且仅当x=30时,等号成立),所以a≥10.2.当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
题后反思
正确列出不等关系是解决问题的关键
　在应用基本不等式解决实际问题时需要注意的四点
(1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的变量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最值;
(4)写出正确答案.
　桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1
800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米,其中a∶b=1∶2.
(1)试用x,y表示S;
(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少?
【解析】(1)由题可得,xy=1
800,b=2a,
则y=a+b+6=3a+6,
S=(x-4)a+(x-6)b=(3x-16)a=(3x-16)
=1
832-6x-y(x>6,y>6,xy=1
800).
(2)S=1
832-6x-y≤1
832-2
=1
832-480=1
352,
当且仅当6x=y,xy=1
800,
即x=40,y=45时,S取得最大值1
352.
课堂检测·素养达标
1.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,则+的最小值是
(　　)
A.
B.1
C.4
D.8
【解析】选C.由a>0,b>0,ln(a+b)=0,可得
所以+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立.所以+的最小值为4.
2.函数y=3--x(x>0)的最大值为
(　　)
A.-1
B.1
C.-5
D.5
【解析】选A.因为y=3--x=3-且x>0,故可得y=3-≤3-2=-1.当且仅当x=,即x=2时取得最大值.
3.(教材二次开发:习题改编)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为　　　.?
【解析】因为直线+=1过点(1,2),所以+=1.
因为a>0,b>0,所以2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a时等号成立.
答案:8
4.已知x,y>0且x+y=1,则p=x++y+的最小值为　　　　.?
【解析】x++y+=x++y+
=3+≥3+2=5,当且仅当x=y=时等号成立.
答案:5
PAGE§4　简单线性规划
4.1　二元一次不等式(组)与平面区域
学习目标
1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组).(数学抽象)2.了解二元一次不等式的几何意义.(直观想象)3.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.(直观想象)
必备知识·自主学习
导思
1.如何理解“以线定界,以点定域”?2.如何作出二元一次不等式(组)所表示的平面区域?
1.二元一次不等式与平面区域
(1)概念背景:直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三部分,即自身和它的两侧.
①直线l上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=0;
②直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c>0;
③直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c<0.
(2)判断方法:判断不等式ax+by+c>0所表示的平面区域,只需在直线ax+by+c=0的某一侧的平面区域内选取一个特殊点(x0,y0),从ax0+by0+c值的正负,即可判断不等式表示的平面区域.
(3)画法注意点:若把直线l:ax+by+c=0画成实线,表示平面区域包括这一边界直线;若把直线画成虚线,则表示平面区域不包括这一边界直线.
如何判定二元一次不等式表示平面区域?
提示:以线定界,以点(原点)定域(以ax+by+c>0为例).
(1)“以线定界”,即画二元一次方程ax+by+c=0表示的直线定边界,其中要注意实线或虚线;
(2)“以点定域”,由于对在直线ax+by+c=0同侧的点,实数ax+by+c的值的符号都相同,故为了确定ax+by+c的符号,可采用取特殊点,如取原点等.
2.二元一次不等式组与平面区域的作图
具体步骤如下:(1)画线——画出不等式对应方程表示的直线(如果原不等式带等号,则画成实线,否则画成虚线);
(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;
(3)求“交”——在确定了各个不等式所表示的平面区域之后,再求这些区域的公共部分,该公共部分就是不等式组表示的平面区域.
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不等式y>x表示直线y=x左上方的半平面(不含直线).
(　　)
(2)直线x+y+1=0左下方的半平面(含直线)用不等式x+y+1≥0表示.
(　　)
(3)点(2,4)在不等式x+2y<1表示的平面区域内.
(　　)
(4)由于不等式2x-1>0不是二元一次不等式,故不能表示平面的某一区域.
(　　)
(5)不等式Ax+By+C>0与Ax+By+C≥0表示的平面区域是相同的.
(　　)
提示:(1)√.因为直线y=x将坐标平面分为左上方和右下方两个半平面,不等式y>x表示直线y=x左上方的半平面(不含直线),不等式y(2)×.直线x+y+1=0将坐标平面分为左下方和右上方两个半平面,原点(0,0)在直线右上方,且满足x+y+1>0,那么直线右上方的平面区域用不等式x+y+1≥0表示(含直线),直线左下方的平面区域用不等式x+y+1≤0表示(含直线).
(3)×.由于2+2×4=10>1,所以点(2,4)不在不等式x+2y<1表示的平面区域内.
(4)×.不等式2x-1>0表示直线x=右侧的平面区域.
(5)×.不等式Ax+By+C>0表示的平面区域不包含直线Ax+By+C=0上的点,而Ax+By+C≥0表示的平面区域则包含直线Ax+By+C=0上的点.
2.不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域是
(　　)
【解析】选D.作出直线3x+2y-6=0,代入点(0,0)得3x+2y-6=-6<0,点(0,0)在3x+2y-6≤0所表示的平面区域内.
3.(教材二次开发:例题改编)不等式组表示的平面区域(阴影部分)是
(　　)
【解析】选B.将点代入x-3y+6>0成立,则点在不等式x-3y+6>0所表示的平面区域内.将点代入x-y+2≤0不成立,则点不在不等式x-y+2≤0所表示的平面区域内.所以不等式组,表示的平面区域(阴影部分)为下图.
关键能力·合作学习
类型一　二元一次不等式(组)与平面区域(直观想象)
1.(2020·西安高一检测)原点和点(1,1)在直线x+y=2a两侧,则a的取值范围是
(　　)
A.a<0或a>1
B.0C.a=0或a=1
D.0≤a≤1
【解析】选B.直线方程一般式为x+y-2a=0,
而原点和点在直线x+y=2a两侧,
则-2a(2-2a)<0,解得02.(2020·六安高一检测)(x+2y+1)(x-y+4)<0表示的平面区域为
(　　)
【解析】选B.由题得
或先作出不等式
对应的可行域,是选项B中上面的一部分;
再作出对应的可行域,是选项B中下面的一部分.
3.画出不等式组表示的平面区域.
【解析】如图所示
不等式①表示直线x+y-1=0的上方(包括直线)的平面区域;
不等式②表示直线x-y=0下方(包括直线)的平面区域;
不等式③表示直线x=2左方(包括直线)的平面区域.
所以,原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分).
　画二元一次不等式组表示的平面区域的一般步骤
【补偿训练】
画出不等式组所表示的平面区域.
【解析】先画出直线2x+y-4=0,由于含有等号,所以画成实线.
取直线2x+y-4=0左下方的区域的点(0,0),由于2×0+0-4<0,所以不等式2x+y-4≤0表示直线2x+y-4=0及其左下方的区域.同理对另外两个不等式选取合适的测试点,可得不等式x>2y表示直线x=2y右下方的区域,不等式y≥0表示x轴及其上方的区域.取三个区域的公共部分,就是上述不等式组所表示的平面区域,如图所示.
类型二　二元一次不等式组表示平面区域的面积(数学运算)
　角度1　求平面区域的面积?
【典例】(2020·重庆高一检测)不等式组表示的平面区域的面积为　　　.?
【思路导引】由题画出平面区域,进而求得面积即可.
【解析】作出平面区域如图所示:
所以面积S=×3×2=3.
答案:3
(2020·安阳高一检测)在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是　　　　.?
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,平面区域为一个三角形及其内部,三个顶点的坐标分别为,,,所以平面区域的面积为S=××1=.
答案:
　角度2　由平面区域的面积求参数值?
【典例】若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是
(　　)
A.
B.
C.
D.
【思路导引】注意直线y=kx+平分平面图形的面积,由平面图形的形状以及直线过三角形的一个顶点,所以该直线还应过另一个边的中点.
【解析】选A.不等式组表示的平面区域如图所示.
由于直线y=kx+过定点.因此只有直线过AB的中点时,直线y=kx+能平分平面区域.
因为A(1,1),B(0,4),所以AB的中点坐标为.
当y=kx+过点时,=+,
所以k=.
　与平面区域有关的计算方法
(1)画出不等式组表示的平面区域,并计算端点的坐标.
(2)根据平面区域的形状特点,选择合适的公式计算线段的长度、图形的面积,不规则的图形可用分割法求其面积.
(3)注意转化思想方法的应用,如把最大、最小问题转化为两点间的距离,点到直线的距离等.
1.不等式组所表示的平面区域的面积是　　　　.?
【解析】如图所示,其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域.由得A(1,3).
同理得B(-1,1),C(3,-1).
因为|AC|==2,
而点B到直线2x+y-5=0的距离为d==,
所以S△ABC=|AC|·d=×2×=6.
答案:6
2.(2020·泸州高一检测)不等式组表示的平面区域的面积为
(　　)
A.36
B.36
C.72
D.72
【解析】选A.不等式组表示的平面区域为直角三角形ABC及其内部的部分,
联立解得可得点A,同理可得B,C,
==12,点A到直线x=3的距离为d==6,
△ABC的面积为S△ABC=××d=×12×6=36.
因此不等式组表示的平面区域的面积为36.
3.(2020·九江高一检测)已知不等式组表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的取值范围为
(　　)
A.1
B.-1
C.0
D.-2
【解析】选A.作不等式组所表示的可行域如图所示,由于直线x=1与直线x+y-4=0不垂直,因此直线kx-y=0与直线x=1或直线x+y-4=0垂直.若直线kx-y=0与直线x=1垂直,则k=0,直线kx-y=0为x轴,此时可行域为腰长为3的等腰直角三角形,此时三角形的面积为;若直线kx-y=0与直线x+y-4=0垂直,则k=1,此时,直线x-y=0与直线x=1与直线x+y-4=0分别交于点与点,则可行域是腰长为的等腰直角三角形,此时可行域的面积为×=1.
【补偿训练】
(2020·焦作高一检测)若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的部分区域的面积为
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.1.5
C.0.75
D.1.75
【解析】选D.如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,
动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1,知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形,△EOC是直角边为1的等腰直角三角形,所求区域的面积为
S阴影=S△ADC-S△EOC=×3×-×1×1==1.75.
类型三　用二元一次不等式组表示实际问题(数学建模)
【典例】某人上午7:00乘汽车以v1千米/时(30≤v1≤100)匀速从A地出发到距离300
km的B地,在B地不停留,然后骑摩托车以v2千米/时(4≤v2≤20)匀速从B地出发到距离50
km的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、骑摩托车行驶的时间分别是x,y小时,则在xOy坐标系中,满足上述条件的x,y的范围阴影部分如图表示正确的是
(　　)
【思路导引】先将实际问题,转化为二元一次不等式与平面区域问题,再画出图形即可得出答案.
【解析】选B.由题可得,v1=,v2=.
所以即
作图得B.
　平面区域表示实际问题相关量取值范围的基本方法
(1)用字母表示量:根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量,用字母表示.
(2)用不等式表示不等关系:把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来.
(3)用区域表示不等式(组):把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.
　某厂使用两种零件A,B装配甲、乙两种产品,该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2
500件,每月生产乙产品最多1
200件,而且装一件甲产品需要4个A,6个B,装一件乙产品需要6个A,8个B.某月,该厂能用的A最多有14
000个,B最多有12
000个,用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来,并画出相应的平面区域.
【解析】设甲、乙两种产品产量分别为x,y件,由题意得二元一次不等式组在平面直角坐标系中,画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.
课堂检测·素养达标
1.已知点(1,0)与(2,5)位于mx+y-1=0异侧,则m的取值范围是
(　　)
A.(-2,1)
B.(-1,2)
C.(-1,+∞)
D.(-∞,2)
【解析】选A.若点(1,0)与(2,5)位于mx+y-1=0异侧,将两点分别代入直线方程中,则<0,即<0,所以-22.下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.将原点坐标(0,0)代入2x-y+2得2x-y+2=2>0,于是2x-y+2≥0表示直线2x-y+2=0右下方的平面区域,再结合所给图形,可知C符合.
3.(教材二次开发:习题改编)直角坐标系内的一动点,运动时该点坐标满足不等式x(　　)
【解析】选A.由题意可知,x4.如图中的阴影部分用不等式表示为　　　　.?
【解析】易于看出直线的方程为y=x+5,
又(0,0)不在区域内且边界为虚线,
故不等式为y>x+5,即5x-2y+10<0.
答案:5x-2y+10<0
5.在平面直角坐标系中,求不等式组表示的平面区域面积.
【解析】如图所示,不等式组表示的平面区域为△ABC边界及其内部的部分.由可得A(1,5),同理可得B(-2,2),C(1,-1),故AC=6,△ABC中AC边上的高h=3,
所以S△ABC=·AC·h=9.
PAGE4.2　简单线性规划
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
必备知识·自主学习
导思
1.什么是二元线性规划问题?2.如何确定二元线性规划问题的最值?
1.基本概念
名称
意义
约束条件
变量x,y满足的二元一次不等式组
目标函数
欲求关于x,y的一个线性函数的最大值或最小值的函数
可行解
满足约束条件的解(x,y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
二元线性规划问题
在约束条件下,求关于两个变量的目标函数的最大值或最小值问题
二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的几次不等式或方程的限制条件?
提示:二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的一次不等式或方程的限制条件.
2.最值问题
(1)最值位置:目标函数的最大值与最小值总是在可行域的边界交点或顶点处取得.
(2)实际应用:求解实际应用问题时,只需要求出区域边界的交点,再比较目标函数在交点处的函数值大小,根据问题需求选择所需结论.
目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时,z的意义是什么?
提示:z=2x-y可变形为y=2x-z,所以z的几何意义是该直线在y轴上截距的相反数.
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)线性目标函数z=ax+by表示经过可行域的一组平行线.
(　　)
(2)求线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解都是唯一的.
(　　)
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上.
(　　)
提示:(1)√.因为线性目标函数z=ax+by即y=-x+,斜率k=-为常数,截距是变量,所以二元一次方程z=ax+by表示经过可行域的一组平行线.
(2)×.如果线性目标函数z=ax+by表示的直线与可行域的某一条边界直线平行,则线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解不是唯一的.
(3)×.线性目标函数取得最值的点可能在可行域的边界上,不一定非在顶点上.
2.若x≥0,y≥0,且x+y≤1,则z=x-y的最大值为
(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.-2
【解析】选B.直线x+y=1与坐标轴的交点坐标为A(1,0),B(0,1).则z=x-y即y=x-z,表示经过可行域的平行线组,-z是直线在y轴上的截距,当直线z=x-y经过点A(1,0)时,-z最小,z最大,最大值为z=x-y=1.
3.(教材二次开发:例题改编)已知实数x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为
(　　)
A.-1
B.2
C.7
D.8
【解析】选C.画出实数x,y满足约束条件,表示的平面区域如图:目标函数变形为-2x+z=y,则z表示直线在y轴上截距,截距越大,z越大,作出目标函数对应的直线
L:y=-2x,由可得A(2,3).
目标函数z=2x+y过A(2,3)时,直线的截距最大,z取得最大值为z=7.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
关键能力·合作学习
类型一　求线性目标函数的最值(直观想象)
1.(2020·三明高一检测)已知实数x,y满足,则z=x+2y的最大值为
(　　)
A.2
B.
C.1
D.0
2.(2020·西安高一检测)已知实数x,y满足,则关于目标函数z=3x-y的描述正确的是
(　　)
A.无最大值也无最小值
B.最小值为-2
C.最大值为2
D.最大值为3
3.(2020·南昌高一检测)设x,y满足,则z=x+y的取值范围是
(　　)
A.[-5,3]
B.[2,3]
C.[2,+∞)
D.(-∞,3]
【解析】1.选B.作出实数x,y满足约束条件,对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-x+z,平移直线y=-x+z,由图象可知,当直线y=-x+z经过点A时直线y=-x+z的截距最大,此时z最大.
由,得A,此时z的最大值为z=+2×=.
2.选B.作出不等式组对应的平面区域如图,
由z=3x-y,得y=3x-z,
平移直线y=3x-z,由图象可知当直线y=3x-z,经过点A时,直线y=3x-z的截距最大,此时z最小.
联立,解得A(0,2),
故zmin=3×0-2=-2.无最大值.
3.选C.先根据约束条件画出可行域,z=x+y,
则y=-x+z,由可得A(2,0),
当直线y=-x+z经过点A(2,0)时,z最小,最小值为:2+0=2.没有最大值,故z=x+y的取值范围为[2,+∞).
　求目标函数z=ax+by最值的思路
(1)化:把目标函数z=ax+by化为斜截式y=-x+.
(2)定:z=ax+by中表示直线y=-x+在y轴上的截距.
(3)找:把线性目标函数看成直线系,把目标函数表示的直线y=-x+平行移动,越向上平移越大,若b>0,则对应z越大,若b<0,则对应z越小.
特别提醒:当目标函数所在的直线与边界平行时最优解有无数个.
【补偿训练】
设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为　　　　.?
【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图知当z=2x+3y-5经过点A(-1,-1)时,z取得最小值,zmin=2×(-1)+3×(-1)-5=-10.
答案:-10
类型二　求非线性目标函数的最值(数学抽象、直观想象)
　角度1　可化为斜率最值的问题?
【典例】已知实数x,y满足不等式组
(1)求不等式组表示的平面区域的面积;
(2)试确定的取值范围.
【思路导引】(1)依据线性约束条件,作出可行域,然后求出面积.
(2)因为是分式形式,所以可联想其几何意义,求斜率的取值范围即可.
【解析】(1)由实数x,y满足不等式组
作出可行域,可知不等式组表示的平面区域是△ABC及其内部,如图,
解方程组得A(1,1),
同理,得B(3,3),C(2,6),
记a==(2,2),b==(1,5),
则S△ABC=|a||b|sin∠BAC=|a||b|
=|a||b|
=
==4(面积单位).
(2)由(1)可知,1≤x≤3.
令=k,则y=k(x+1)表示斜率为k且过点D(-1,0)与可行域有公共点的相交线族,由于k=tan
α,α∈是增函数,其中α是相交线族的倾斜角,结合可行域知,kAD=,kCD=2,从而k∈,故∈.
(2020·泉州高一检测)已知实数x,y满足约束条件,则的最大值为
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.
C.1
D.
【解析】选D.令z=,由实数x,y满足约束条件,作出可行域如图,联立,解得A,z=的几何意义为可行域内的动点与定点O(0,0)连线的斜率,当过A时,斜率最大,
即z==,所以z=的最大值为.
　角度2　可化为距离最值的问题?
【典例】已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是　　　　.?
【思路导引】先画出可行域,再依据x2+y2的几何意义,求出最值即可得取值范围.
【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部,如图所示.因为原点到直线2x+y-2=0的距离为,所以(x2+y2)min=,又当(x,y)取点(2,3)时,x2+y2取得最大值13,故x2+y2的取值范围是.
答案:[,13]
　线性规划求目标函数的常见类型
(1)整式是截距:形如ax+by型的线性目标函数,设为z=ax+by,表示平行线族,通过平行线扫描可行域,求线性目标函数的最值或取值范围.
(2)分式是斜率:形如(ac≠0)型的非线性目标函数,设为k==·(ac≠0),将问题转化为过定点P以及可行域内的动点Q(x,y)的相交线族的斜率,通过相交线扫描可行域,求斜率的最值或取值范围.
(3)根式是距离:形如型的非线性目标函数,将问题转化为d=,几何意义为连接定点A(a,b)与可行域内的动点Q(x,y)的距离,再求距离的最值或取值范围.
(4)平方和是距离的平方:形如x2+y2-2ax-2by+a2+b2型的非线性目标函数,将问题转化为d2=()2,几何意义为连接定点A(a,b)与可行域内的动点Q(x,y)的距离的平方,求两点间的距离的最值或取值范围,再求平方即可.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020·成都高一检测)设x,y满足约束条件则的最大值是
(　　)
A.-
B.
C.
D.
【解析】选C.设z=,画出满足条件的平面区域,
如图,由z=的几何意义是可行域内的点与D(-2,0)连线的斜率,由图形可知AD的斜率取得最大值,代入A(3,4),即可得到z最大值,
所以z的最大值是.
2.(2020·邯郸高一检测)设变量x,y满足约束条件则z=(x-3)2+y2的最小值为
(　　)
A.2
B.
C.4
D.
【解析】选D.画出变量x,y满足约束条件的可行域,可发现z=(x-3)2+y2的最小值是(3,0)到2x-y-2=0距离的平方.取得最小值:=.
3.实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,
求:(1)点(a,b)对应的区域的面积;
(2)的取值范围;
(3)(a-1)2+(b-2)2的值域.
【解析】方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是:函数y=f(x)=x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,由此可得不等式组
?由解得A(-3,1);
由解得B(-2,0);
由解得C(-1,0).
所以在如图所示的坐标平面aOb内,满足约束条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界).
(1)△ABC的面积为S△ABC=×|BC|×h=(h为A到Oa轴的距离).
(2)的几何意义是点(a,b)和点D(1,2)连线的斜率.kAD==,kCD==1.
由图可知,kAD<所以<<1,即∈.
(3)因为(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方,所以(a-1)2+(b-2)2∈(8,17).
类型三　已知目标函数的最值求参数的取值范围(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于
(　　)
A.
B.
C.1
D.2
【思路导引】先由前2个条件确定部分区域,再由z=2x+y的最小值为1,即可确定一个平面区域,再结合y≥a(x-3)的几何意义即可求出a的值.
【解析】选B.作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分(含边界)所示.
易知直线z=2x+y过交点B时,z取最小值,
由
得
因为zmin=2-2a=1,解得a=.
　由目标函数的最值求参数的解题思路
　　已知目标函数的最值,求线性约束条件的参数问题,可以先画出线性约束条件中的已知部分,由于最值一般在可行域的顶点或边界处取得,常常利用数形结合的方法求解.
　设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是
(　　)
A.(1,3]
B.[2,3]
C.(1,2]
D.[3,+∞)
【解析】选A.由线性约束条件画出平面区域D,图中阴影部分,观察图形可知当指数函数y=ax为增函数时,可能过区域D,
又当底数越大,在第一象限它的图像越靠近y轴,
所以当y=ax过x+y-11=0与3x-y+3=0的交点A(2,9)时,底数最大.即9=a2,所以a=3,因此1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂检测·素养达标
1.(2019·浙江高考)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1
B.1
C.10
D.12
【解析】选C.由线性约束条件可得可行域为图中阴影部分所示:
由解得所以A(2,2),
所以zmax=3×2+2×2=10.
2.(2020·德阳高一检测)已知实数x,y满足,则关于目标函数z=3x-y的描述正确的是
(　　)
A.最小值为-2
B.最大值为3
C.最大值为2
D.无最大值也无最小值
【解析】选A.由实数x,y满足,作出可行域,如图.
目标函数z=3x-y可以化为y=3x-z.
则z表示直线y=3x-z在y轴上的截距的相反数.由图可知,当直线y=3x-z过点B时,直线y=3x-z在y轴上的截距最大,无最小值.
所以z有最小值-2,无最大值.
3.(教材二次开发:习题改编)(2019·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为
(　　)
A.2
B.3
C.5
D.6
【解析】选C.已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
目标函数的几何意义是直线y=4x+z在y轴上的截距,
故目标函数在点A处取得最大值.
由得A(-1,1),
所以zmax=-4×(-1)+1=5.
4.(2020·洛阳高一检测)若x,y满足约束条件则z=的最大值为
(　　)
A.
B.
C.
D.3
【解析】选C.由题意知,目标函数z=表示经过点A和可行域内的点(x,y)的直线的斜率,作出不等式组表示的可行域如图所示,
根据目标函数z的几何意义,由图可知,当直线过A,C两点时,目标函数z=有最大值,
联立方程
解得
所以点C,代入目标函数可得,z=的最大值为.
5.若变量x,y满足则x2+y2的最大值是　　　　.?
【解析】作出不等式组表示的平面区域,x2+y2表示平面区域内点到原点距离的平方,由
得A(3,-1),
易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.
答案:10
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