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§4　数列在日常经济生活中的应用
学习目标
1.理解单利、复利的含义(数学抽象)2.能在具体的问题情境中发现数列的等差、等比关系,并解决相应的问题(数学建模)
必备知识·自主学习
导思
1.数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些?2.建立数学模型的关键是什么?
1.三种常见的应用模型
(1)零存整取:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取,规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).
(2)定期自动转存:例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.
(3)分期付款:分期付款是购物的一种付款方式.即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求,分期付清.
数列在日常经济生活中的应用主要有哪些?
提示:零存整取,定期自动转存,分期付款等.
2.常用公式
(1)复利公式:按复利计算的一种储蓄,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和S=P(1+r)n.
(2)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为r,对于时间x的总产值y=N(1+r)x.
(3)单利公式:利息按单利计算,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和为S=P(1+nr).
复利与单利的区别是什么?
提示:(1)复利在第二次以后计算时,将上一次得到的利息也作为了本金,而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.
(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)银行的定期自动转存是复利计息方式.
(　　)
(2)企业对某一项目投资,每年比上一年递增50万元,则各年的投资额构成等差数列.
(　　)
(3)企业对某一项目投资,每年比上一年递增10%,则各年的投资额也构成等差数列.
(　　)
提示:(1)√.
(2)√.
(3)×.应是等比数列.
2.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%,q%,则这两年的平均增长率是
(　　)
A.
B.p%·q%
C.
D.
-1
【解析】选D.设该工厂最初的产值为1,这两年的平均增长率为r,则(1+p%)(1+q%)=(1+r)2.
于是r=-1.
3.我国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中115.1寸表示115寸1分(1寸=10分).
节气
冬至
小寒(大雪)
大寒(小雪)
立春(立冬)
雨水(霜降)
惊蛰(寒露)
春分(秋分)
晷影长(寸)
135
125.
115.1
105.2
95.3
85.4
75.5
节气
清明(白露)
谷雨(处暑)
立夏(立秋)
小满(大暑)
芒种(小暑)
夏至
晷影长(寸)
65.5
55.6
45.7
35.8
25.9
16.0
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为　　　　寸.?
【解析】设晷影长为等差数列{an},公差为d,a1=130.0,a13=14.8,
则130.0+12d=14.8,解得d=-9.6.
所以a6=130.0-9.6×5=82.0.
所以《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸.
答案:82.0
4.(教材二次开发:习题改编)2020年5月小刘在中国银行存入10万元定期存款,存期1年,年利率为2.25%,那么10年后共得本息为　　　　万元.(精确到0.001)?
【解析】10年后的本息a10=10×(1+0.022
5)10≈12.492(万元).
答案:12.492
关键能力·合作学习
类型一　等差数列模型(数学建模、逻辑推理)
【典例】我国古代著名的《周髀算经》中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分;且“冬至”时日影长度最大,为1
350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为
(　　)
A.953分
B.1
052分
C.1
151分
D.1
250分
【思路导引】首先“冬至”时日影长度最大,为1
350分,“夏至”时日影长度最小,为160分,即可求出d=-,进而求出立春”时日影长度为1
052分.
【解析】选B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分,且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.所以1
350+12d=160,解得d=-,所以“立春”时日影长度为1
350+×3=1
052(分).
　等差数列模型的判定
(1)认真审题:解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.
(2)抓住关键:若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.
(3)常见问题:银行的单利计息;出租车费用;电话计费等.
　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1
150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部按期付清后,买这40套住房实际花了多少钱?
【解析】因购房时付150万元,
则欠款1
000万元,依题意分20次付款,
则每次付款的数额顺次构成数列{an}.
则a1=50+1
000×1%=60,
a2=50+(1
000-50)×1%=59.5,
a3=50+(1
000-50×2)×1%=59,
a4=50+(1
000-50×3)×1%=58.5,…
所以an=50+[1
000-50(n-1)]×1%
=60-(n-1)(1≤n≤20,n∈N+).
所以{an}是以60为首项,-为公差的等差数列.
所以a10=60-9×=55.5.
所以第10个月应付55.5(万元).a20=60-19×=50.5.
所以S20=×(a1+a20)×20=10×(60+50.5)=1
105.
所以实际共付1
105+150=1
255(万元).
类型二　等比数列模型(数学建模、逻辑推理)
【典例】(2020·安福高一检测)某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于2018年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清,若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该学生家长每年的偿还金额是
(　　)
A.
B.
C.
D.
【思路导引】根据题意建立方程a=x+x++…+x,再结合等比数列求和公式,即可求出x的值.
【解析】选D.设每年偿还的金额为x,则a=x+x+x+…+x,
所以a=x,解得x=.
　等比数列模型的判定
(1)复利的计算是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式为:本利和=本金×(1+利率)n.
定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的应用.
(2)在数列应用题中,通过阅读题目题意,发现an+1与an之间的关系满足=q
(q为常数,且q≠0),则数列{an}为等比数列.所以这一类题目可用等比数列的模型解决.
　某大学张教授年初向银行贷款20万元用于购房,银行贷款的年利率为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10次等额还清,每年年初还一次,并且在贷款后次年年初开始归还,问:每年应还多少万元?(参考数据:1.110≈2.594)
【解析】设每年还款x万元,则每年还款后的余额为:
第一年:20×(1+10%)-x,
第二年:(20×1.1-x)×1.1-x=20×1.12-(1.1+1)x,
第三年:[20×1.12-(1.1+1)x]×1.1-x
=20×1.13-(1.12+1.1+1)x,
第n年:20×1.1n-(1.1n-1+1.1n-2+…+1.1+1)x.
an=20×1.1n-x=20×1.1n-x,
十年还清,即十年以后余额为零,
所以20×1.110-x=0,x=≈3.255(万元)
答:如果10年还清,每年应还约3.255万元.
类型三　等差数列、等比数列的综合应用(逻辑推理、数学建模)
【典例】某企业进行技术改造,有两种方案:甲方案,一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案,每年贷款1万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前年多获利5千元.两种方案,使用期限都是十年,到期一次性归还本息,若银行贷款利息按年息10%的复利计算,比较两种方案,哪个获利更多?(计算数据精确到千元,1.110≈2.594,1.310≈13.786)
【思路导引】分清两种方案分别属于什么数列模型,然后分别建立不同数列模型解决.
【解析】方案甲:十年获利中,每年获利数构成等比数列,首项为1,公比为1+30%,前10项和为S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9,所以S10=≈42.62(万元).又贷款本息总数为
10(1+10%)10=10×1.110≈25.94(万元),
甲方案净获利42.62-25.94≈16.7(万元).
乙方案获利构成等差数列,首项为1,公差为,前10项和为
T10=1+++…+
==32.50(万元),
而贷款本息总数为1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)9]=1.1×≈17.53(万元),
乙方案净获利32.50-17.53≈15.0(万元).
比较两方案可得甲方案获利较多.
　将实际问题转化为数列问题的注意事项
(1)分清是等差数列还是等比数列.
(2)分清是求an,还是求Sn,特别要准确确定项数n.
(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式.
　甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为(n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元.
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式,
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?
【解析】(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an,bn.
则有a1=a,当n≥2时,
an=(n2-n+2)-[(n-1)2-(n-1)+2]=(n-1)a,
所以an=
bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=a(n∈N+).
(2)易知bn<3a,所以乙超市将被甲超市收购,
由bn所以n+4>7,所以n≥7,
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.
课堂检测·素养达标
1.某工厂总产值月平均增长率为p,则年平均增长率为
(　　)
A.p
B.12p
C.(1+p)12
D.(1+p)12-1
【解析】选D.设原有总产值为a,年平均增长率为r,则a(1+p)12=a(1+r),解得r=(1+p)12-1.
2.通过测量知道,温度每降低6℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34℃时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温27℃时,该元件的电子数目接近
(　　)
A.860个　
B.1
730个　
C.3
072个　
D.3
900个
【解析】选C.由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列,
且a1=3,q=2,由27-(-34)=61,=10,
可得a11=3·210=3
072.
3.(教材二次开发:习题改编)根据市场调查,预测某种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位:万件)大约是Sn=(n=1,2,…,12).据此预测,本年度内,需求量超过5万件的月份是
(　　)
A.5月、6月
B.6月、7月
C.7月、8月
D.8月、9月
【解题指南】现根据题意得到第n个月时的需求量,再由需求量大于5得到n的范围,进而得到结果.
【解析】选C.日用品从年初开始的n个月内累计的需求量Sn(单位:万件)大约是Sn=(n=1,2,…,12),
则第n个月的需求量an=Sn-Sn-1=>5?3n2-45n+27×6<0,n2-15n+54<0,64.一个热气球在第一分钟上升了25米的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125米吗?
【解析】用an表示热气球在第n分钟上升的高度,由题意,
得an+1=an,因此,数列{an}是首项a1=25,公比q=的等比数列.
热气球在前n分钟内上升的总高度为:
Sn=a1+a2+…+an==
=125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125米.
PAGE第一章　数　　列
§1　数　　列
1.1　数列的概念　
学习目标
1.了解数列、通项公式的概念,能根据通项公式确定数列中的项(数学抽象)2.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.{an}与an有什么区别?2.1,2,3,4与1,2,3,4,…是否是相同的数列?
1.数列的概念
(1)数列:一般地,按一定次序排列的一列数叫作数列.
(2)项:数列中的每一个数叫作这个数列的项.
(3)数列的表示:数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为:{an}.数列的第1项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项.
{an}与an有什么区别?
提示:{an}与an是不同的概念.{an}表示数列a1,a2,a3,…,an…,而an仅表示数列{an}的第n项.
2.数列的分类
(1)项数有限的数列叫作有穷数列.
(2)项数无限的数列叫作无穷数列.
1,2,3,4与1,2,3,4,…是否是相同的数列?
提示:两数列不是相同的数列.1,2,3,4是有穷数列,1,2,3,4,…是无穷数列.
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n),那么这个式子叫作数列{an}的通项公式.
4.数列与函数的关系
数列可以看作是定义域为正整数集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列.
数列和函数值域有什么区别?
提示:数列是一种特殊的函数,并且数列有序,函数值域是集合,具有无序性.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)数列a1,a2,a3,…,an可以表示为{a1,a2,a3,…,an}.
(　　)
(2)数列看作函数时,其定义域可以是正整数集的任意子集.
(　　)
(3)数列的通项公式是唯一的.
(　　)
提示:(1)×.数列中的项是有次序的,集合中的元素是无序的.
(2)×.数列看作函数时,其定义域可以是正整数集的子集,但必须是从1开始,从小到大的正整数.
(3)×.不一定,如数列1,0,1,0,…的通项公式可以是an=也可以是an=或an=等.
2.下列说法中,正确的是
(　　)
A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列
C.数列中的项可以相等
D.数列a,b,c和数列c,b,a一定不是同一数列
【解析】选C.{1,3,5,7}不表示数列,故A错误;数列具有有序性,故B错误;D中,当a=c时,数列a,b,c和数列c,b,a表示同一数列,故D错误;数列中的项可以相等,故C正确.
3.(教材二次开发:练习改编)数列2,3,4,5,…的一个通项公式为
(　　)
A.an=n
B.an=n+1
C.an=n+2
D.an=2n
【解析】选B.这个数列的前4项都比序号大1,所以它的一个通项公式为an=n+1.
关键能力·合作学习
类型一　数列的有关概念(数学抽象)
1.下列说法正确的是
(　　)
A.数列1,2,3,4,5,6与数列1,2,5,6,3,4是同一个数列
B.数列1,2,3,4,5,6可以表示为
C.0,2,4,6,8,…,2n是无穷数列　
D.同一个数在一个数列中可以重复出现
2.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于
(　　)
A.11
B.12
C.13
D.14
3.下列说法正确的是
(　　)
A.1,4,2,,不是数列
B.数列的第k项为1+
C.-1,1,3,5,…是数列
D.数列0,2,4,6,8,…可记为{2n}
【解析】1.选D.两个数列只有元素相同,排列顺序也相同时,才是同一个数列,故A不正确;数列与集合不同,数列不能表示成集合的形式,故B不正确;当n确定后,数列0,2,4,6,8,…,2n的项数就确定了,所以该数列是有穷数列,故C错误;根据数列定义知D正确.
2.选C.由前6项可知:从第3个数起,每一个数都是它前面两个数的和.所以x=13.
3.选C.A
中的1,4,2,,是数列;B中,数列的第k项为1+;D中,数列应记为{2n-2},所以D不正确;很明显C正确.
数列概念的三个注意点
(1)数列{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一个集合,与集合表示有本质的区别.
(2)从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.
【补偿训练】
下列说法正确的是
(　　)
A.数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列
B.数列2,3,4,4可以记为{2,3,4}
C.数列1,,,…,,…可以记为
D.数列{2n+1}的第5项是10
【解析】选C.数列是有序的,选项A错;数列与数集是两个不同的概念,选项B错;对于D,当n=5时,2×5+1=11,选项D错,故C正确.
类型二　通项公式的应用(逻辑推理)
　角度1　由通项公式写出数列的项?
【典例】根据下面数列{an}的通项公式,写出它的前5项.
(1)an=;(2)an=(-1)n·.
【思路导引】把数列的通项公式中的序号n用1,2,3,4,5代替就可以求出数列的相应项.
【解析】(1)因为an=,
所以a1==0,a2==,a3===,
a4==,a5===.
(2)因为an=(-1)n·,
所以a1=(-1)1·=0,a2=(-1)2·=,
a3=(-1)3·=-1,a4=(-1)4·=,
a5=(-1)5·=-=-.
　角度2　判断一个数是否是数列中的项?
【典例】已知数列{an}的通项公式是an=.
试判断和是否是该数列中的项?若是,求出它是第几项;若不是,说明理由.
【思路导引】某一个数是数列中的项,则必对应通项公式中的一个正整数n.
【解析】令=,得n2=9,
所以n=3(n=-3舍去),
故是该数列中的项,并且是第3项;
令=,得n2=,所以n=±,
由于与-都不是正整数,因此不是数列中的项.
已知:an=,(1)求a3.(2)若an=,求n.
【解析】(1)将n=3代入an=,得a3==.
(2)将an=代入an=,得=,解得n=8.
1.利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.
2.判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数,则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项.
1.已知数列{an}的通项公式是an=n2+2,则其第3,4项分别是
(　　)
A.11,3　　　B.11,15　　　C.11,18　　　D.13,18
【解析】选C.a3=32+2=11,a4=42+2=18.
2.已知数列1,,,,…,,…,则3是它的
(　　)
A.第22项
B.第23项
C.第24项
D.第28项
【解析】选B.令=3=,即2n-1=45,解得n=23.
3.(2020·玉溪高一检测)已知数列满足a1=1,an+1=-,n∈N
,则a2
019=　　　　.?
【解析】根据题干表达式得到a2=-=-,a3=-=-2,a4=-=1,
a5=-=-,a6=-=-2,a7=-=1.所以数列具有周期性,周期为3,又2
019÷3=673.故得到a2
019=-2.
答案:-2
类型三　求通项公式(数学抽象)
　角度1　观察法求通项公式?
【典例】把1,3,6,10,15,21这些数叫作三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示),则第七个三角形数是
(　　)
A.27
B.28
C.29
D.30
【解析】选B.观察三角形数的增长规律,可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号,所以根据这个规律计算即可,根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.
如图所示的是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两点之间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图有化学键
(　　)
A.6n个
B.(4n+2)个
C.(5n-1)个
D.(5n+1)个
【解析】选D.由题中图形知,各图中“短线”个数依次为6,6+5,6+5+5,…若把6看作1+5,则上述数列为1+5,1+2×5,1+3×5,…于是第n个图形有(5n+1)个化学键.
　角度2　归纳法求通项公式?
【典例】根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式.
(1),,,,…
(2),2,,8,,…
(3)-1,2,-3,4,…
(4)2,22,222,2222,…
【思路导引】观察、分析、归纳各个数列中前几项与其序号之间的关系,把这个规律性的关系用通项公式表示出来.
【解析】(1)分子均为偶数,分母分别为
1×3,3×5,5×7,7×9,…是两个相邻奇数的乘积.
故an=.
(2)将分母统一成2,则数列变为,,,,,…,其各项的分子为n2,所以an=.
(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同,且奇数项为负,偶数项为正,故an=(-1)n·n.
(4)数列各项可化为:×9,×99,×999,…所以通项公式为an=(10n-1).
　由数列的前几项求通项公式的思路
(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等,然后通过观察、分析、联想、比较,去发现项与序号之间的关系.
(2)如果关系不明显,可将各项同时加上或减去一个数,或分解、还原等,将规律呈现,便于找通项公式.
(3)要借助一些基本数列的通项,如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等.
(4)符号用(-1)n或(-1)n+1来调整.
(5)分式的分子、分母分别找通项,还要充分借助分子、分母的关系.
(6)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等求通项.
1.若数列{an}的前4项分别是,-,,-,则此数列的一个通项公式为an=(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为数列各项正、负相间,且奇数项为正,偶数项为负,所以可以用(-1)n+1控制,又各项的分母比数列的该项的项数大1,所以an=.
2.若数列{an}的通项公式是an=3-2n,则a2n=　　　　,=　　　　.?
【解析】因为an=3-2n,
所以a2n=3-22n=3-4n,==.
答案:3-4n　
3.(2020·临川高一检测)在数列中,若a1=1,且对任意的n∈N
都有an+1=an+n+1,则数列的通项公式an=　　　　.?
【解析】因为an+1=an+n+1,所以an
=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=n+(n-1)+…+2+1=,(n≥2),
因为a1=1=,所以an=.
答案:
课堂检测·素养达标
1.将正整数的前5个数排列如下:
①1,2,3,4,5;
②5,4,3,2,1;
③2,1,5,3,4;
④4,1,5,3,2.
那么可以称为数列的有
(　　)　　　　　　　　　　　
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
【解析】选D.数列是按“一定顺序”排列着的一列数.
2.下面有三种说法:
①如果已知一个数列{an}满足an+2=an+an+1,a1=1,那么可以写出这个数列的任何一项;
②数列,,,,…的通项公式是an=;
③数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列.其中正确说法的个数
是
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选D.①错误,已知an+2=an+an+1,a1=1无法写出a2;②错误,an=;③错误,两数列是不同的数列.
3.数列0.8,0.98,0.998,0.999
8…的一个通项公式是an=　　　　.?
【解析】0.8=1-0.2=1-,0.98=1-0.02=1-,
0.998=1-0.002=1-,
0.999
8=1-0.000
2=1-,…
归纳可得an=1-.
答案:1-
4.数列,,,1,,,…的一个通项公式为an=　　　　　.?
【解析】将原数列变形为,,,,,,…,所以an=.
答案:
5.(教材二次开发:练习改编)观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式:
(1),,,(　　),,,…
(2)2,1,(　　),,…
(3),,(　　),,…
【解析】(1)根据观察:分母的最小公倍数为12,把各项都改写成以12为分母的分数,则
序号
1
2
3
4
5
6
↓
↓
↓
↓
↓
↓
数
(　　)
于是括号内填,而分子恰为10减序号,故括号内填,通项公式为an=.
(2)因为2=,1=,=,所以数列缺少部分为,数列的通项公式为an=.
(3)先将原数列变形为1,2,(　　),4,…,所以应填3,数列的通项公式为an=n+.
6.写出下列数列的一个通项公式an:
(1)1,-3,5,-7,9,…
(2),,,,…
【解析】(1)由数列
1,-3,5,-7,9,…可以看出:符号正负相间,通项的绝对值为1,3,5,7,9,…,其通项公式bn=2n-1.
所以数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(2)数列中每一项由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,可用2n-1表示;分子的前一部分是从2开始的正整数的平方,可用(n+1)2表示,分子的后一部分是减去一个正整数,可用n表示,综上,原数列的一个通项公式为an=.
PAGE1.2　数列的函数特性
学习目标
1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念(数学抽象)2.数列的图像表示(直观想象)3.会判断数列的增减性并能简单应用(逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.
如何判断数列的单调性?2.若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,那么数列an=f(n)也单调递增吗?反之成立吗?
1.数列的三种表示法
(1)列表法.(2)图像法.(3)通项公式法.
2.数列的增减性
(1)递增数列:一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即an+1>an(n∈N+),那么这个数列叫作递增数列.
(2)递减数列:一个数列{an},如果从第2项起,每一项都小于它前面的项,即an+1(3)常数列:如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.
(4)一个数列{an},如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫摆动数列.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)数列的图像可以分布在坐标系内的任意象限.
(　　)
(2)递增数列没有最大项.
(　　)
(3)递减数列的最大项一定是当n=1时取得.
(　　)
提示:(1)×.数列的定义域决定了数列的图像只可能在y轴右侧,不可能在第二、三象限.
(2)×.递增数列是有穷数列时必有最大项.
(3)√.由递减数列的概念可知.
2.数列{an}满足an+1=an+1,则数列{an}是
(　　)
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
【解析】选A.因为an+1-an=1>0,所以{an}为递增数列.
3.数列{an}中,an=-n2+11n,则此数列最大项的值是
(　　)
A.
B.30
C.31
D.32
【解析】选B.an=-n2+11n=-+,
因为n∈N+,所以当n=5或6时,an取最大值30.
关键能力·合作学习
类型一　数列的表示方法(直观想象)
【典例】在数列{an}中,an=n2-8n,
(1)画出{an}的图像.
(2)根据图像判定数列{an}的增减性.
【思路导引】列表、描点画图像,再判断增减性.
【解析】(1)列表
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
an
-7
-12
-15
-16
-15
-12
-7
0
9
…
描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像:(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),
(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),…
图像如图所示.
(2)数列{an}的图像既不是上升的,也不是下降的,则{an}既不是递增的,也不是递减的.
画数列的图像的方法
　　数列是一个特殊的函数,因此也可以用图像来表示,以位置序号n为横坐标,相应的项为纵坐标,即坐标为(n,an)描点画图,就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n}),所以其图像是一群孤立的点,这些点的个数可以是有限的,也可以是无限的.
根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图像表示出来.
(1)an=(-1)n+2;
(2)an=.
【解析】(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.
图像如图.
(2)a1=-,a2=-,a3=-,a4=-2,a5=2.
图像如图所示.
类型二　数列的增减性(逻辑推理)
　角度1　数列增减性的判断?
【典例】1.已知数列{an}的通项公式为an=,按项的变化趋势,该数列
是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.递增数列
B.递减数列
C.摆动数列
D.常数列
2.已知函数f(x)=(x≥1),构造数列an=f(n)(n∈N+).
(1)求证:an>-2.
(2)数列{an}是递增数列,还是递减数列?为什么?
【思路导引】通过计算an+1-an,判断差的符号确定增减性.
【解析】1.选B.因为an+1-an=-
=<0,
所以an+12.(1)由题意得an=f(n)===-2+.因为n∈N+,所以>0.
所以an=-2+>-2.
(2)数列{an}是递减数列,证明如下:
因为an=,an+1==,
所以an+1-an=-
=
=
=<0,
所以an+1如果{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为
(　　)
A.an=-2n+3　　　　
B.an=-n2-3n+1
C.an=
D.an=log2
n
【解析】选D.A选项是n的一次函数,一次项系数为-2,所以为递减数列;B选项是n的二次函数,图像开口向下,且对称轴为n=-,所以为递减数列;
C选项是n的指数函数,且底数为,是递减数列;
D选项是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.
　角度2　数列增减性的应用?
【典例】(2020·贵阳高一检测)若数列的通项公式是an=(n+1)·0.9n,对于任意的正整数n都有an≤aN成立,则N为
(　　)
A.6或7　　　B.7或8　　　C.8或9　　　D.9或10
【思路导引】作差判断数列的单调性,得到当n<8时,an+1>an,数列单调递增;当n>8时,an+1【解析】选C.an+1-an=(n+2)·0.9n+1-(n+1)·0.9n
=0.9n=0.9n,
当n=8时,an+1-an=0,当n<8时,
an+1-an>0,当n>8时,an+1-an<0.
所以当n<8时,an+1>an,数列单调递增;当n>8时,an+1数列增减性两方面的应用
(1)利用数列的增减性可以求参数范围:数列的增减性揭示了项之间的大小关系,可以据此列出不等式(组),求某些参数的范围.
(2)利用数列的增减性求数列的最大或最小项:如果数列先增后减或先减后增,则存在最大(小)项,递增(减)数列中首项是最小(大)项.
1.已知数列{an}的通项公式为an=n2-21n+20.
(1)n为何值时,an有最小值?并求出最小值;
(2)数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项,若没有,说明理由.
【解析】(1)因为an=n2-21n+20=-,可知对称轴方程为n==10.5.又因n∈N+,所以n=10或n=11时,
an有最小值,其最小值为102-21×10+20=-90.
(2)由(1)知,a1>a2>…>a10=a11所以数列{an}没有最大项.
2.已知数列{an}的通项公式为an=2n×0.9n,求数列{an}中的最大项.
【解析】设an是数列{an}中的最大项,则
即
所以
所以即9≤n≤10,
所以当n=9或n=10时,an最大,
最大项a9=a10=2×10×0.910=20×0.910.
3.在数列{an}中,an=(n+1)(n∈N+).
(1)求证:数列{an}先递增,后递减;
(2)求数列{an}的最大项.
【解析】(1)因为an+1-an=(n+2)-(n+1)=·,
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1所以a1a11>a12>…,
所以数列{an}先递增,后递减.
(2)由(1)可知数列中有最大项,最大项为第9,10项,
即a9=a10=.
课堂检测·素养达标
1.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是
(　　)
A.1,,,,…
B.sin
,sin
,sin,sin
,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,2,3,4,…,30
【解析】选C.数列1,,,,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin
,sin
,sin
,sin
,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.
2.已知数列{an}的通项公式是an=,则这个数列是
(　　)
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
【解析】选B.数列{an}的通项公式是an===1+,则当n∈N+时为递减数列.
3.数列{an}的通项公式为an=n2-6n,则它的最小值是　　　　.?
【解析】an=n2-6n=(n-3)2-9,所以当n=3时,an取得最小值-9.
答案:-9
4.已知递增数列{an}的通项公式为an=2kn+1,则实数k的取值范围是　　　　.?
【解析】因为{an}单调递增,
所以an+1-an=[2k(n+1)+1]-(2kn+1)=2k>0,
所以k>0.
答案:(0,+∞)
5.(教材二次开发:习题改编)数列{an}满足an+1=-2an,若{an}单调递增,则首项a1的范围是　　　　.?
【解题指南】先表示出an+1-an,再结合{an}单调递增可求首项a1的范围.
【解析】因为an+1=-2an,所以an+1-an=-3an>0,
解得an>3或an<0,则有a1>3或a1<0.
由于a2=-2a1,所以-2a1>3或-2a1<0,解得a1>3或a1<-1(0答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)
PAGE§2　等
差
数
列
2.1　等
差
数
列
第1课时　等
差
数
列
学习目标
1.理解等差数列的概念(数学抽象)2.掌握等差数列的判断方法(逻辑推理)3.会求等差数列的通项公式,会用通项公式解决问题(逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.数列{an}的各项为:n,2n,3n,4n,…,数列{an}是等差数列吗?2.若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗?
1.等差数列的定义
(1)定义:从第2项起,每一项与前一项的差是同一个常数的数列.
(2)公差:这个常数叫作公差,通常用字母d表示.
如何用符号语言表示等差数列的定义?
提示:an-an-1=常数d(n≥2),或an+1-an=常数d(n∈N+).
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为an=a1+(n-1)d.
要求等差数列的通项公式,需要求哪些基本量?
提示:首项a1,公差d.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)从第2项起,后一项减前一项所得的差是常数的数列就是等差数列.(　　)
(2)任意相邻两项的差都可以看作公差.
(　　)
(3)等差数列的通项公式只能由首项a1和公差d表示.
(　　)
(4)等差数列的通项公式一定是n的一次式.
(　　)
提示:(1)×.所得的差是同一个常数的数列才是等差数列.
(2)×.公差d一定是由后项减前项所得,若前项减后项则为-d.
(3)×.an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.
(4)×.常数列的通项公式不能看作一次式.
2.下列命题:①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列;②数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列;③等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k,b为常数);④数列{2n+1}是等差数列.其中正确命题的序号是
(　　)
A.①②
B.①③
C.②③④
D.③④
【解析】选C.②③④正确,①中公差为-2.
3.等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=4,如果an=2
019,则序号n等于
(　　)
A.502
B.503
C.504
D.505
【解析】选D.由an=a1+(n-1)d得2
019=3+4(n-1).
解得n=505.
4.(教材二次开发:习题改编)已知等差数列{an}中,d=-,a7=8,则a1=　　　　.?
【解析】由a7=a1+6d=8且d=-,
解得a1=8-6d=8+2=10.
答案:10
关键能力·合作学习
类型一　等差数列的判断与证明(逻辑推理)
【典例】已知数列{an}中,a1=2,an+1=2-,数列{bn}中,bn=,其中n∈N+.
(1)求证:数列{bn}是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【思路导引】(1)根据等差数列定义,即证bn+1-bn为常数,将bn用代入,结合条件可证.
(2)写出{bn}的通项公式后,可得{an}的通项公式.
【解析】(1)由题意得b1=1,
bn+1===.
bn+1-bn=-=1,
所以数列{bn}是等差数列,首项为1,公差为1.
(2)由(1)得bn=1+n-1=n.
所以an-1==,
所以an=+1.
判定等差数列的方法
(1)定义法:an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+)?数列{an}是等差数列.
(2)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)?数列{an}为等差数列.
提醒:①若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N+)成立,则无法确定等差数列{an}的公差.②若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则数列是否为等差数列?说明理由.
【解析】数列是等差数列,理由如下:
因为a1=2,an+1=,
所以==+,-=(常数).
所以是首项为=,公差为的等差数列.
类型二　等差数列通项公式的应用(逻辑推理)
　角度1　求项(数)?
【典例】已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断153是不是这个数列的项,如果是,是第几项?
【思路导引】利用等差数列的通项公式求解.
【解析】设首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d,
由已知得
解得
所以an=-23+(n-1)×4=4n-27,
令an=153,即4n-27=153,解得n=45∈N+,
所以153是所给数列的第45项.
(2020·荆州高一检测)已知等差数列满足3a3=4a4,则该数列中一定为零的项为
(　　)
A.a6
B.a7
C.a8
D.a9
【解题指南】由条件可得a3=-4d,进而得an=(n-7)d,从而得解.
【解析】选B.因为3a3=4a4,
所以3a3=4=4a3+4d,所以a3=-4d,
所以an=a3+(n-3)·d=-4d+(n-3)d=(n-7)d,
所以a7=0.
　角度2　求通项公式?
【典例】1.已知等差数列:3,7,11,15,…,求它的通项公式.
2.已知在等差数列{an}中,a5=-20,a20=-35.试求出数列的通项公式.
【思路导引】1.由已知可以确定数列的首项a1=3,公差d=4,代入公式即可.
2.设出首项和公差,利用a5=-20,a20=-35可得方程组:
解方程组得出a1与d的值,代入公式即可.
【解析】1.由已知可得等差数列的首项a1=3,公差d=4,所以an=3+4(n-1)=4n-1,
所以等差数列的通项公式为an=4n-1.
2.设{an}的通项公式是an=a1+(n-1)d(n∈N+),
由已知得:
解这个方程组得a1=-16,d=-1.
故数列{an}的通项公式为an=-16+(n-1)(-1)=-15-n.
等差数列通项公式的四个应用
(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.
(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列{an}是等差数列.
1.(2020·石河子高一检测)已知等差数列的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的第n项为
(　　)
A.2n-5　　　B.2n-3　　　C.2n-1　　　D.2n+1
【解析】选B.已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,故有2(a+1)=a-1+2a+3,解得a=0,故等差数列{an}的前三项依次为-1,1,3,故数列是以-1为首项,以2为公差的等差数列,故通项公式an=-1+(n-1)×2=2n-3.
2.已知数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2.若ak·ak+1<0,则正整数k=
(　　)
A.24
B.23
C.22
D.21
【解析】选B.由3an+1=3an-2得an+1-an=-,
所以数列{an}为首项a1=15,
公差d=-的等差数列,
所以an=15-(n-1)=-n+,
则由ak·ak+1<0得ak>0,ak+1<0,
令an=-n+=0得n=,
所以a23>0,a24<0,所以k=23.
3.已知数列{an},a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
(1)判断数列{an}是否为等差数列?说明理由;
(2)求{an}的通项公式.
【解析】(1)数列{an}不是等差数列,
理由:当n≥3时,an=an-1+2,
即an-an-1=2,
又因为a2-a1=0不满足an-an-1=2(n≥3),
所以{an}不是等差数列.
(2)当n≥2时,令a2=b1=1,
a3=b2=3,a4=b3=5,…
an=bn-1=1+2[(n-1)-1]=2n-3.
又a1=1,
所以an=
课堂检测·素养达标
1.如果一个数列的前三项分别为1,2,3,下列结论中正确的是
(　　)
A.它一定是等差数列
B.它一定是递增数列
C.通项公式是an=n
D.以上结论都不一定正确
【解析】选D.选项A,B,C仅对前三项成立,对整个数列不一定成立,只有选项D符合.
2.在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1=
(　　)
A.-9
B.
-8
C.
-7
D.
-4
【解析】选B.由a6=a4+6,得公差d=3,
所以a1=a2-d=-5-3=-8.
3.若{an}是等差数列,且a1=2,d=1,若an=7,则n=　　　　.?
【解析】因为a1=2,d=1,所以an=2+(n-1)×1=n+1.
由an=7,即n+1=7,得n=6.
答案:6
4.在数列{an}中,已知a1=1,=+(n∈N+),则a50=　　　　.?
【解析】已知条件可化为-=(n∈N+).
由等差数列的定义,知是首项为=1,
公差为d=的等差数列.
所以=1+(50-1)×=.
所以a50=.
答案:
5.(教材二次开发:习题改编)已知点(n,an)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,那么在数列{an}中有
(　　)
A.a7+a9>0　　　　　
B.a7+a9<0
C.a7+a9=0
D.a7·a9=0
【解析】选C.因为(n,an)在直线3x-y-24=0上,
所以an=3n-24,
所以a7=3×7-24=-3,a9=3×9-24=3,
所以a7+a9=0.
6.在等差数列{an}中,a5=10,a12=31,求a20,an.
【解析】由a5=10,a12=31,
得7d=a12-a5=21,
所以d=3,a1=a5-4d=10-4×3=-2.
所以a20=a1+19d=-2+19×3=55,
an=a1+(n-1)d=-2+3(n-1)=3n-5.
第2课时　等差数列的性质
学习目标
1.掌握等差数列的图像和性质(数学抽象)2.掌握等差中项的概念,会求等差中项(数学抽象)3.能解决与等差数列有关的实际问题(逻辑推理)
　
必备知识·自主学习
导思
1.等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系?2.若数列{an}中,an是an-1和an+1的等差中项,那么数列{an}是等差数列吗?为什么?
(1)等差数列的图像.
由an=dn+(a1-d),可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,其中公差d是该直线的斜率.
(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像.
由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d.
当d>0时,{an}为递增数列,如图(甲)所示.
当d<0时,{an}为递减数列,如图(乙)所示.
当d=0时,{an}为常数列,如图(丙)所示.
【思考】
已知等差数列通项公式an=dn+b(其中d,b为常数),如何判断数列的单调性?
提示:观察n的系数d,当d>0时,递增;当d<0时,递减;当d=0时,为常数列.
2.等差中项
如果在a与b中间插入一个数A,使
a
,A,
b成等差数列,那么
A
叫作a与b的等差中项.
如果A是a与b的等差中项,那么A=.
【思考】
“A是a与b
的等差中项”的等价形式有哪些?
提示:A是a与b
的等差中项,等价于a,A,b(或b,A,a)成等差数列,
等价于A=.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)等差数列的单调性只取决于公差d.
(　　)
(2)等差数列的公差可以由等差数列中的任意两项求出.(　　)
(3)等差数列中,a2+a4=a6.
(　　)
(4)等差数列中若am+an=ap+aq,则m+n=p+q.
(　　)
提示:(1)√.等差数列的公差是等差数列的图像所在直线的斜率,决定了其单调性.
(2)√.公差d=.
(3)×.在非零常数列中就不成立.
(4)×.在常数列中就不一定成立.
2.已知数列1,a,5是等差数列,则实数a的值为
(　　)
A.2
B.3
C.4
D.
【解析】选B.由等差中项的定义知2a=1+5=6,所以a=3.
3.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=
(　　)
A.12
B.16
C.20
D.24
【解析】选B.因为数列{an}是等差数列,所以a2+a10=a4+a8=16.
4.(教材二次开发:习题改编)等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是
　　
　
　.?
【解析】因为{an}为等差数列,所以a7+a9=a4+a12,所以a12=16-1=15.
答案:15
关键能力·合作学习
类型
一　等差数列的性质(逻辑推理)
【典例】1.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法.
p1:数列{an}是递增数列;
p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列是递增数列;
p4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中正确的是
(　　)
A.p1,p2　　
B.p3,p4　　
C.p2,p3　　
D.p1,p4
2.在等差数列{an}中,若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.
【思路导引】1.判断每一个数列中后一项与前一项的差的正负.
2.应用性质:若m+n=p+q
,
则am+an=ap+aq,可得a3,进而求出公差.
【解析】1.选D.因为an=a1+(n-1)d,
d>0,
所以an+1-an=d>0,命题p1正确.
nan=na1+n(n-1)d,
所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d(n≥2)与0的大小和a1的取值情况有关.
故数列{nan}不一定递增,命题p2不正确.
对于p3:=+d,
所以-=(n≥2),
当d-a1>0,即d>a1时,数列递增,
但d>a1不一定成立,则p3不正确.
对于p4:设bn=an+3nd,
则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0.
所以数列{an+3nd}是递增数列,p4正确.
综上,正确的命题为p1,p4.
2.因为a1+a6=a4+a3=9.
所以a3=9-a4=9-7=2.
由此可得d=a4-a3=7-2=5.
所以a9=a4+5d=32.
【解题策略】
等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和,求其余几项和或者求其中某项,对于这类问题,在解题过程中通常要考虑利用等差数列的性质,尤其要注意利用性质“若m,n,p,k∈N+,且m+n=p+k,则有am+an=ap+ak,其中am,an,ap,ak是数列中的项.特别地,当m+n=2p时,有am+an=2ap”,从而将问题解决.
【跟踪训练】
(2020·哈尔滨高一检测)已知为等差数列,a3=4,a5+a7=10,则a9的值为
(　　)
A.4
B.5
C.6
D.7
【解题指南】由题意利用等差数列的性质可得a9的值.
【解析】选C.由等差数列的性质有:a3+a9=a5+a7=10,所以4+a9=10,a9=6.
类型二　等差数列的应用(逻辑推理)
　角度1　等差中项的应用?
【典例】在等差数列
中,若a1,a2
015为方程
x2-10x+16=0
的两根,则a2+a1
008+a2
014=
(　　)
A.10
B.15
C.20
D.40
【思路导引】根据题意和根与系数的关系求出a1+a2
015,由等差数列的性质求出a2+a1
008+a2
014的值.
【解析】选B.因为a1,a2
015
为方程
x2-10x+16=0
的两根,所以a1+
a2
015=10,由等差数列的性质得2a1
008=10,即a1
008=5,所以a2+a1
008+a2
014=
3a1
008=15.
【变式探究】
(2020·东北师大附中高一检测)设数列为等差数列,若a3+a13=40,则3a8=
(　　)
A.15
B.20
C.3
D.60
【解析】选D.数列为等差数列,a3+a13=40,
由等差中项定义可知a3+a13=2a8,
所以2a8=40,即a8=20,则3a8=3×20=60.
角度2　等差数列的实际应用?
【典例】假设某市2019年新建住房400万平方米,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在哪一年新建住房的面积开始大于820万平方米?
【思路导引】从“每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米”可以确定该市每年的新建住房的面积组成一个等差数列.其首项为400,公差为50.
【解析】设从2019年开始,该市每年新建住房的面积为an万平方米.由题意,得{an}是等差数列,首项a1=400,公差d=50,所以an=a1+(n-1)d=350+50n.
令350+50n>820,解得n>.
由于n∈N+,则n≥10.
所以该市在2028年新建住房的面积开始大于820万平方米.
【解题策略】
解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
(1)解答数列实际应用问题的基本步骤:①审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;②建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;③判型,即判断该数列是否为等差数列;④求解,即求出该问题的数学解;⑤还原,即将所求结果还原到实际问题中.
(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
【题组训练】
1.(2020·宁江区高一检测)在等差数列中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则a2+a8的值为
(　　)
A.15
B.21
C.24
D.18
【解题指南】利用等差数列的性质,将等式全部化为a2+a8的形式,再计算.
【解析】选D.因为a3+a4+a5+a6+a7=45,且a3+a7=a4+a6=2a5,
则a5=9,所以a2+a8=2a5=18.
2.一牧羊人赶着一群羊通过4个关口,每过一个关口,守关人将拿走当时羊的一半,然后退还1只给牧羊人,过完这些关口后,牧羊人只剩下2只羊,则牧羊人在过第一个关口前有　　
　
　只羊.?
【解析】记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列{an}(n=1,2,3,4),
则由题意得a2=a1+1,a3=a2+1,a4=a3+1,
而a4+1=2,解得a4=2,因此得a3=2,…,a1=2.
答案:2
3.有一批豆浆机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类豆浆机,问去哪家商场买花费较少.
【解析】设某单位需购买豆浆机n台,在甲商场购买每台售价不低于440元,售价按台数n成等差数列.
设该数列为{an}.
an=780+(n-1)(-20)=800-20n,
解不等式an≥440,即800-20n≥440,得n≤18.
当购买台数小于等于18台时,每台售价为(800-20n)元,当台数大于18台时,每台售价为440元.
到乙商场购买,每台售价为800×75%=600(元).
作差:(800-20n)n-600n=20n(10-n),
当n<10时,600n<(800-20n)n,
当n=10时,600n=(800-20n)n,
当10当n>18时,440n<600n.
即当购买少于10台时到乙商场花费较少,当购买10台时到两商场购买花费相同,当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.
课堂检测·素养达标
1.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=9,a2+a4+a6=15,则a3+a4=
(　　)
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】选D.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=3a3=9,
所以a3=3;
又a2+a4+a6=3a4=15,
所以a4=5,所以a3+a4=8.
2.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是
(　　)
A.2
B.3
C.6
D.9
【解析】选B.由题意得2n+m=8,2m+n=10.
两式相加得3m+3n=18,所以m+n=6,
所以m和n的等差中项是3.
3.已知数列{an}满足:=+4,且a1=1,an>0,则an=　　
　　.?
【解析】根据已知条件=+4,
即-=4.
所以数列{}是公差为4的等差数列,
则=+(n-1)×4=4n-3.
因为an>0,所以an=.
答案:
4.已知数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2),且a2=5,a5=13,则a8=　　
　　.?
【解析】由an-1+an+1
=2an
(n≥2)知,数列{an}是等差数列,所以a2,a5,a8成等差数列.所以a2+a8=2a5,所以a8=2a5-a2=2×13-5=21.
答案:21
5.(教材二次开发:习题改编)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为
(　　)
A.1升
B.升
C.升
D.升
【解析】选B.
设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则有
即
解得
则a5=a1+4d=,
所以第5节的容积为升.
6.(1)已知{an}是等差数列,且a1-a4+a8-a12+a15=2,求a3+a13的值.
(2)已知在等差数列{an}中,若a49=80,a59=100,求a79.
【解析】(1)因为{an}是等差数列,
所以a1+a15=a4+a12=a3+a13=2a8.
又因为a1-a4+a8-a12+a15=2,
所以a8=2,即a3+a13=2a8=2×2=4.
(2)因为{an}是等差数列,可设公差为d.
由a59=a49+10d,知10d=100-80,解得d=2.
又因为a79=a59+20d,所以a79=100+20×2=140.
PAGE2.2　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和
学习目标
1.理解并掌握等差数列前n项和公式的推导过程,体会其与二次函数的关系.(逻辑推理)2.熟练掌握等差数列中五个基本量:a1,an,n,d,Sn的计算.(逻辑推理、数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗?2.求等差数列的前n项和时,如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式?
1.等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn=
Sn=na1+d
【思考】
　(1)已知等差数列的首项、末项,如何求前n项和?
提示:运用公式Sn=.
(2)已知等差数列的首项、公差,如何求前n项和?
提示:运用公式Sn=na1+d.
2.等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
将等差数列前n项和公式Sn=na1+d整理成关于n的函数可得Sn=n2+n.
【思考】
Sn=an2+bn+c,其中a,b,c为常数,一定为一个等差数列的前n项和吗?
提示:不一定.当c=0时,Sn=an2+bn是一个等差数列的前n项和.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)等差数列{an}中,S9=9a5.
(　　)
(2)等差数列的前n项和Sn一定是n的二次式.
(　　)
(3)和式a4+a5+a6+…+a13中共有9项求和.
(　　)
提示:(1)√.S9===9a5.
(2)×.当公差d=0时,Sn=na1不是n的二次式.
(3)×.a4+a5+a6+…+a13表示前13项的和减去前3项的和,共有10项求和.
2.已知等差数列的首项a1=1,公差d=-2,则前10项和S10=
(　　)
A.-20
B.-40
C.-60
D.-80
【解析】选D.由等差数列前n项和公式,S10=10×1+×10×9×(-2)=-80.
3.在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10的值是
(　　)
A.12
B.24
C.36
D.48
【解析】选B.S10=×10×(a1+a10)=120,所以
a1+a10=24.
4.(教材二次开发:习题改编)Sn+1=1+2+3+…+n+(n+1)=　　　　.?
【解析】由题知等差数列的首项a1=1,末项是n+1,项数为n+1.由前n项和公式得Sn+1=.
答案:
关键能力·合作学习
类型一　等差数列的前n项和(逻辑推理)
角度1　等差数列前n项和的计算?
【典例】在等差数列{an}中.
(1)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
(2)a1=4,S8=172,求a8和d.
【思路导引】利用通项公式和求和公式列出方程,求解各个未知数.
【解析】(1)由题意得,Sn===-5,
解得n=15.
又a15=+(15-1)d=-,所以d=-.
所以n=15,d=-.
(2)由已知得S8===172,
解得a8=39,又因为a8=4+(8-1)d=39,
所以d=5,所以a8=39,d=5.
　角度2　等差数列前n项和的最值?
【典例】(2020·会宁高二检测)在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取最小值.
【思路导引】(1)设公差为d,直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程,求得a1和d,进而得解;
(2)可先求出前n项和公式,再利用二次函数求最值的方法求解,也可以利用通项公式,根据等差数列的单调性求解.
【解析】(1)由题意得
得a1=-9,d=3,所以an=3n-12.
(2)方法一:Sn==(3n2-21n)
=-,所以当n=3或4时,
前n项的和取得最小值S3=S4=-18.
方法二:设Sn最小,则
即解得3≤n≤4,又n∈N+,所以当n=3或4时,前n项和取得最小值S3=S4=-18.
【解题策略】
等差数列前n项和的最值问题的三种解法
(1)利用an:当a1>0,d<0时,前n项和有最大值.可由an≥0,且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0,前n项和有最小值,可由an≤0,且an+1≥0,求得n的值.
(2)利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0),利用二次函数的配方法求得最值时n的值.
(3)利用二次函数图像的对称性.
易错警示:利用二次函数求等差数列前n项和的最值时,不要忽视n是正整数这一隐含条件.
【题组训练】
1.(2020·石嘴山高二检测)已知等差数列的前n项和为Sn,且a1+a5=-14,S9=-27,则使得Sn
取最小值时的n为
(　　)
A.1　　
　B.6　　
　C.7　　　
D.6或7
【解析】选B.由等差数列{an}的性质,可得a1+a5=2a3=-14?a3=-7,又S9==-27?a1+a9=-6?a5=-3,所以d==2,所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=-7+(n-3)×2=2n-13,令an≤0?2n-13≤0,
解得n≤,所以数列的前六项为负数,从第七项开始为正数,所以使得Sn取最小值时的n为6.
2.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=　　　　时,{an}的前n项和最大.?
【解析】因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,
所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.
所以当n=8时,其前n项和最大.
答案:8
3.数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负.
(1)求数列的公差.
(2)求前n项和Sn的最大值.
(3)当Sn>0时,求n的最大值.
【解析】(1)由已知a6=a1+5d=23+5d>0,
a7=a1+6d=23+6d<0,
解得:-(2)因为d<0,所以{an}是递减数列,
又a6>0,a7<0,
所以当n=6时,Sn取得最大值,
S6=6×23+×(-4)=78.
(3)Sn=23n+×(-4)>0,整理得:
n(50-4n)>0,
所以0所以n的最大值为12.
类型二　等差数列前n项和的性质(逻辑推理)
　角度1　利用S2n-1=(2n-1)an解题?
【典例】在等差数列{an}中,=,求的值.
【思路导引】利用等差数列前n项和公式,以及等差数列的性质求解.
【解析】因为{an}为等差数列,所以S5==5a3,S9==9a5,所以==×=1.
【变式探究】
　在等差数列{an},{bn}中,Sn,Tn分别是{an},{bn}的前n项和,且=,求.
【解析】因为a5是数列{an}中前9项的等差中项,
所以S9=9a5,同理T9=9b5,所以===.
　角度2　利用S奇与S偶的关系解题?
【典例】一等差数列共有偶数项,且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30,最后一项与第一项之差为10.5,求此数列的首项、公差及项数.
【思路导引】列出关系式,转化成关于k,d的方程组求解.
【解析】设该数列共有2k项,
由题意知?
??
把d=,k=4代入S奇=(a1+a2k-1)=24,
可得a1=.所以此数列的首项为,
公差为,项数为8.
【变式探究】
　在项数为2n+1的等差数列{an}中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n=
(　　)
A.9
B.10
C.11
D.12
【解析】选B.因为等差数列有2n+1项,
所以S奇=,S偶=.
又因为a1+a2n+1=a2+a2n,
所以==,所以n=10.
角度3　利用等差数列的前n项和的性质解题
【典例】已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1
220,求前30项的和.
【思路导引】利用等差数列前n项和公式将已知数据代入求得a1和d,再求S30.或利用等差数列前n项和的性质求S30.
【解析】方法一:由题意可知
S10=310,S20=1
220,
将它们代入公式Sn=na1+d,得到
解这个关于a1与d的方程组,得到a1=4,d=6,
所以S30=30×4+×6=2
730.
方法二:由S10=×10=310,得a1+a10=62,①
S20=×20=1
220.所以a1+a20=122.②
②-①,得10d=60,所以d=6.
代入①,得a1=4,
所以有S30=30×4+×6=2
730.
方法三:由S10=310,S20=1
220得,S20-S10=910,
因为等差数列中,S10,S20-S10,S30-S20仍成等差数列,所以S30-S20=910+(910-310)=1
510,所以S30=S20+(S30-S20)=1
220+1
510=
2
730.
【解题策略】
　巧妙应用等差数列前n项和的性质
(1)“片段和”性质.
若{an}为等差数列,前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…构成公差为n2d的等差数列.
(2)项数(下标)的“等和”性质.
Sn==.
(3)奇(偶)数项和.
{an}为等差数列,公差为d.
①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);
S偶-S奇=nd;=.
②若共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1;=.
(4)等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),
则Sm+n=-(m+n).
(5)等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.
【题组训练】
1.在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为
(　　)
A.9
　　　B.12
　　　
C.16　　　
D.17
【解析】选A.由等差数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,不妨设为{bn},且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是求得b3=5,b4=7,b5=9,即a17+a18+a19+a20=b5=9.
2.(2020·玉溪高一检测)设等差数列,的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有=,则+的值为　　　　.?
【解题指南】由等差数列的性质和求和公式可得原式=,代值计算.
【解析】因为{an},{bn}为等差数列,
所以+=+==,
因为====,所以=.
答案:
3.一个等差数列前12项的和为354,前12项中偶数的项的和与奇数的项的和之比为32∶27,则公差d=　　　　.?
【解析】因为S12=354,所以S奇=354×=162,S偶=354×=192,所以S偶-S奇=30=6d,所以d=5.
答案:5
课堂检测·素养达标
1.已知等差数列中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列的前5项和等于
(　　)
A.30
B.45
C.90
D.186
【解析】选C.由?,
所以an=3+3(n-1)=3n,bn=a2n=6n,
所以S5=×5=90.
2.设等差数列{an}的前n项的和为Sn,若a1>0,S4=S8,则当Sn取得最大值时,n的值为
(　　)
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】选B.方法一:因为a1>0,S4=S8,
所以d<0,且a1=-d,
所以an=-d+(n-1)d=nd-d,
由
得
所以5方法二:因为a1>0,S4=S8,所以d<0且a5+a6+a7+a8=0,
所以a6+a7=0,所以a6>0,a7<0,
所以前六项之和S6取最大值.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a2=7,S7=-7,则a7的值为　　　　.?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,
因为a2=7,S7=-7,所以
解方程组可得
所以a7=a1+6d=11-6×4=-13.
答案:-13
4.(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=　
　　
　.?
【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,
所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),
所以====4.
答案:4
5.(教材二次开发:习题改编)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,则第八个孩子分得斤数为
(　　)
A.65
　
B.176
　
C.183　
D.184
【解析】选D.由已知,每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an},其中d=17,n=8,S8=996.
由等差数列前n项和公式可得8a1+×17=996,解得a1=65.由等差数列通项公式得a8=65+(8-1)×17=184.
6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=14,S10-S7=30,求S9.
【解析】由S4=14,S10-S7=30,
得
即
解得a1=2,d=1.
所以S9=9a1+36d=54.
PAGE第2课时　等差数列习题课
学习目标
1.掌握an与Sn的关系,会由Sn求an.(数学运算)2.掌握与等差数列前n项和有关的数列求和.(数学运算)3.能够应用等差数列前n项和公式解决实际问题.(数学建模)
关键能力·合作学习
类型一　已知Sn求an(数学运算)
【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
【思路导引】由Sn的定义可知,当n=1时,S1=a1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
即an=
【解析】根据Sn=a1+a2+…+an-1+an
与Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),
可知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=n2+n-
=2n-,①
当n=1时,a1=S1=12+×1=.
也满足①式,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-.
由此可知,数列{an}是一个首项为,公差为2
的等差数列.
【解题策略】
由Sn求an的方法
(1)an与Sn的关系:an=
当n=1适合于an时,则a1可以统一到an(n≥2,n∈N+)的形式中,而不用写成分段函数形式.若n=1不适合an,则通项公式应写成分段函数形式.
(2)等差数列{an}中,若d≠0,则Sn可写成关于n的二次函数形式,反之,若Sn=An2+Bn,那么数列{an}一定是等差数列.
【跟踪训练】
已知数列的前n项和Sn=n2+n,则an=　　
　　.?
【解析】当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,n=1时,
a1=2也适合an=2n,
综上an=2n(n∈N
)
答案:2n
类型二　求等差数列绝对值的前n项和(数学运算)
【典例】数列{an}的前n项和Sn=33n-n2,
(1)求{an}的通项公式;
(2){an}的前多少项和最大;
(3)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Sn′.
【思路导引】(1)利用Sn与an的关系求通项,也可由Sn的结构特征求a1,d,从而求出通项.
(2)利用Sn的函数特征求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点求解.
(3)利用an判断哪些项是正数,哪些项是负数,再求解,也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解.
【解析】(1)方法一:(公式法)
①当n≥2时,an=Sn-=34-2n,
②当n=1时,a1=S1=32=34-2×1,满足
an=34-2n.所以{an}的通项公式为an=34-2n.
方法二:(结构特征法)由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数,
所以{an}是等差数列,由Sn的结构特征知
解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.
(2)方法一:(公式法)
令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,
所以数列{an}的前17项大于或等于零,又a17=0,
所以数列{an}的前16项或前17项的和最大.
方法二:(函数性质法)
由y=-x2+33x的对称轴为x=.
距离最近的整数为16,17.
由Sn=-n2+33n的图像可知:当n≤17时,an≥0,当n≥18时,an<0,所以数列{an}的前16项或前17项的和最大.
(3)由(2)知当n≤17时,an≥0;当n≥18时,an<0.
所以当n≤17时,Sn′=b1+b2+…+bn
=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn
=33n-n2.
当n≥18时Sn′=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an|=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)
=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn=n2-33n+544.
所以Sn′=
【解题策略】
　数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略
(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.
(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.
(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.
【跟踪训练】
等差数列{an}中,a1=-10,d=2,则数列{|an|}的前3项的和S3=　　
　
　
,前8项的和S8=　
　　
　.?
【解析】a1=-10,d=2,
所以an=-10+2(n-1)=2n-12,a6=0,
故S3=|-10|+|-8|+|-6|=24,
S8=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|+|a7|+|a8|
=-a1-a2-…-a6+a7+a8=36.
答案:24　36
类型三　等差数列前n项和的应用(数学建模)
　角度1　等差数列前n项和的实际应用?
【典例】如图所示,有一块菜地共有20畦,每畦长12米,宽1.5米,离菜地18米处有一个池塘,浇水的人从池塘挑一担水,绕着第1畦菜地走一圈,浇完第1畦菜,然后他返回池塘边,再挑一担水,绕着第2畦菜地走一圈,浇完第2畦菜,以后照此办法,直至浇完整块菜地,问他一共走了多少路?
【思路导引】由题意知:浇完后一畦菜地比前一畦菜地多走2×1.5米,所以此人每次所走路程为等差数列.
【解析】设浇完第n(1≤n≤20)畦菜地后,再回到池塘边时浇水人所走的路程为an,由题意,数列{an}是等差数列,
其中a1=2×18+2×(12+1.5)=63,
a20=2×18+2×(12+1.5)+19×2×1.5=120.
所以S20===1
830(米).
因为要计算的路程到浇完第20畦为止,
所以所求路程为S=S20-(18+19×1.5)
=1
830-46.5=1
783.5(米).
答:他一共走了1
783.5米.
【变式探究】
　在一次数学竞赛中,获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列,总分为656,且第一名的分数超过了90分(满分为100分).已知同学们的分数都是整数,那么第三名的分数是多少?
【解析】设第一名的分数为a1,公差为d.则S8=8a1+×d=656,所以d=.
因为a1∈(90,100],a1∈Z,d∈Z,所以当a1=96时,d=-4符合题意,此时第三名的分数是88.
　角度2　裂项相消法求和?
【典例】已知数列{an}的各项均为正数,a1=1,且2an+1an+an+1-an=0.
(1)设bn=,求证:数列{bn}是等差数列.
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Sn.
【思路导引】(1)由题意证明bn+1-bn为一个常数,可得数列{bn}是等差数列.
(2)由(1)得an=表示出cn,利用裂项相消法求和.
【解析】(1)因为2an+1an+an+1-an=0.
两边同除以an+1an,得2+-=0,
所以bn+1-bn=-=2,又b1==1,
所以数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)知,bn=2n-1,
所以an=.
所以cn==
=,
Sn=++…+
=
=
=.
【解题思路】
1.等差数列解决实际问题的一般思路
2.裂项相消法求数列的和
　　裂项相消法求数列的和,主要适用于数列的通项公式是分式的形式.
常见的裂项有:
(1)若{an}是等差数列,则=,=
(2)=
(3)==
(4)=-
(5)=
(6)=1+
【题组训练】
1.(2020·威海高一检测)某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费总和为　　　　万元.?
【解析】由题意,从第二年起维修费比上一年增加4万元,即每年的维修费成等差数列.
设每年的维修费构成的等差数列为{an},
则an=12+4(n-1)=4n+8,
S10=10×12+×10×9×4=300(万元).
答案:300
2.数列{an}的通项公式an=,其前n项和Sn=9,则n=　　　　.?
【解析】an==-,
所以Sn=(-1)+(-)+…+(-)
=-1=9.所以n=99.
答案:99
3.在数列{an}中,an=++…+,且bn=,求数列{bn}的前n项的和.
【解析】an=(1+2+…+n)=,
因为bn=,
所以bn=
=8,
所以数列{bn}的前n项和为
Sn=8+++…+-=8=.
课堂检测·素养达标
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和T100为
(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为a5=5,S5=15,
所以=15,
所以a1=1.所以d==1,所以an=n.
所以==-.
则数列的前100项的和为:
T100=++…+
=1-=.
2.数列的前n项和为Sn=2n2-3n(n∈N
),若p-q=5,则ap-aq=(　　)
A.20　　　B.15　　　C.10　　　D.-5
【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3n-3=4n-5,a1=S1=-1适合上式,所以an=4n-5,所以ap-aq=4(p-q),因为p-q=5,所以ap-aq=20.
3.一物体从1
960
m的高空降落,如果第1秒降落4.90
m,以后每秒比前一秒多降落9.80
m,那么经过　　　　秒落到地面.?
【解析】设物体经过t秒降落到地面.
物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.
所以4.90t+t(t-1)×9.80=1
960,
即4.90t2=1
960,解得t=20.
答案:20
4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,则a6+a7+…+a10的值为　　　　　.?
【解析】a6+a7+…+a10=S10-S5=111-31=80.
答案:80
5.(教材二次开发:习题改编)已知数列的前n项和Sn=3n-2,则数列的通项公式是　　　　.?
【解析】当n=1时,a1=S1=31-2=1;
当n≥2时,Sn-1=3n-1-2,
则an=Sn-Sn-1
=(3n-2)-(3n-1-2)
=3n-3n-1=3·3n-1-3n-1=2·3n-1.
此时若n=1,an=2·3n-1=2·31-1=2≠a1,
故an=
答案:an=
6.等差数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn.
【解析】a1=S1=101,当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=-n2+n-
=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,
所以an=-3n+104,令an=0,n≈34.7,
故n≥35时,an<0,n≤34时,an>0,
所以对数列{|an|},n≤34时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+an=-n2+n,
当n≥35时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+|an|
=a1+a2+…+a34-a35-…-an
=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)
=2S34-Sn=n2-n+3
502,
所以Tn=
PAGE§3　等
比
数
列
3.1　等
比
数
列
第1课时　等
比
数
列
　　　　　　　　　　　　　　　学习目标
1.理解等比数列的概念,并掌握等比数列的通项公式(数学抽象)2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系(逻辑推理)3.体会等比数列与指数函数的关系(数学抽象)
必备知识·自主学习
导思
1.等比数列中有0项吗?2.等比数列的通项公式一定是指数函数吗?
1.等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).
如何用符号语言表达等比数列的定义?
提示:=常数q(n≥2).
2.等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),则
递推公式
通项公式
=q(n≥2,n∈N+)
an=a1qn-1(a1≠0,q≠0)
观察等差数列、等比数列的通项公式,比较有何异同?
提示:n个a相加,a+a+…+a=na;n个a相乘,a·a…a=an,它们加法,乘法的“运算符号”不同,书写形式不同,“结构”是相同的,我们称na与an“同构”.等差数列,等比数列的通项公式与此类似.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)a,aq,aq2,aq3,…是等比数列.
(　　)
(2)不存在既是等差数列又是等比数列的数列.
(　　)
(3)等比数列的图像在一个指数函数的图像上.
(　　)
提示:(1)×.
当a=0时,所有项都等于0;当q=0时,第2项及以后的项都等于0,这不符合等比数列的定义.
(2)×.任意一个非零常数列既是等差数列又是等比数列.
(3)×.由an=a1qn-1=qn,可知,当=1并且q>0且q≠1时,等比数列的图像才在指数函数图像上.
2.下列数列为等比数列的是
(　　)
A.2,22,3×22,…
B.,,,…
C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…
D.0,0,0,…
【解析】选B.A,C,D不是等比数列,A中不满足定义,C、D中项可为0,不符合定义.
3.已知数列{an}是等比数列,且a1=,a4=-1,则数列{an}的公比q为　　　　.?
【解析】q3==-8,所以q=-2.
答案:-2
4.(教材二次开发:习题改编)若等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为
(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选B.由等比数列通项公式得,·=,
所以==,所以n=4.
关键能力·合作学习
类型一　等比数列的判断和证明(逻辑推理)
【典例】已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(1)求证:数列{an+1}是等比数列;
(2)求an的表达式.
【思路导引】(1)根据要证明的数列把条件转化为an+1+1=2(an+1).
(2)写出{an+1}的通项公式后再写an的表达式.
【解析】(1)因为an+1=2an+1,
所以an+1+1=2(an+1).
因为a1=1,故an+1≠0,则有=2.
所以{an+1}是等比数列.
(2)由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,所以an+1=2·2n-1,即an=2n-1.
　判断一个数列{an}是等比数列的方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(q为常数且不为零)或=q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
(3)构造法:在条件中出现an+1=kan+b关系时,往往构造数列,方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照,求出x即可.
　已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列.
【证明】因为Sn=2-an,所以Sn+1=2-an+1.
所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1.
所以an+1=an,
又因为S1=2-a1,
所以a1=1≠0,又由an+1=an知an≠0,
所以=.
所以数列{an}是首项为a1=1,公比为的等比数列.
类型二　等比数列的应用(逻辑推理)
　角度1　等比数列的实际应用?
【典例】某人买了一辆价值10万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示第n(n∈N+)年这辆车的价值;
(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱?
【思路导引】“每年按10%的速度贬值”则车的剩余价值为以(1-10%)为公比的等比数列.
【解析】(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为:a1,a2,a3,…,an,
由题意,得a1=10,a2=10×(1-10%),
a3=10(1-10%)2
,….
由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=10,公比q=1-10%=0.9,
所以an=a1·qn-1=10×0.9n-1.
所以第n年车的价值为an=10×0.9n-1万元.
(2)当他用满3年时,车的价值为a4=10×0.94-1=7.29(万元).
所以用满3年卖掉时,他大概能得7.29万元.
　一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2
KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后　　　　分钟,该病毒占据内存64
MB(1
MB=210
KB).?
【解析】由题意可得每3分钟病毒占据的内存容量构成一个等比数列,令病毒占据64
MB时自身复制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,从而复制的时间为15×3=45分钟.
答案:45
　角度2　等比数列的通项公式及其应用?
【典例】在等比数列{an}中.
(1)已知a2=4,a5=-,求an;
(2)已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=,求n.
【思路导引】利用等比数列的通项公式求解.
【解析】(1)方法一:设等比数列的公比为q,
则解得
所以an=a1qn-1=(-8)×=.
方法二:设等比数列的公比为q,
则=q3,即q3=-,q=-.
所以an=a5qn-5=·=.
(2)方法一:设等比数列的公比为q,
则解得从而a1==128.
由a1qn-1=,即=得n=9.
方法二:设等比数列{an}的公比为q.
因为a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q,所以q==.
因为a4+a7=18,所以a4(1+q3)=18.
所以a4=16,an=a4·qn-4=16·.
由16·=,得n-4=5,所以n=9.
1.等比数列应用题的两种常见类型
(1)数学应用问题:解答数学应用题的核心是建立数学模型,如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型.
(2)增长率问题:需要构建的是等比数列模型,利用等比数列的通项公式解决.
2.等比数列通项公式的应用技巧
(1)a1和q是等比数列的基本元素,只要求出这两个基本元素,其余的元素便可求出.
(2)等比数列的通项公式涉及四个量a1,an,n,q,知任意三个就可以求出另一个.
(3)在等比数列的计算问题中,经常使用方程的思想和整体代换的思想.
1.在等比数列{an}中,a5·a7=6,a2+a10=5,则等于
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-或-
B.
C.
D.或
【解析】选D.因为a5·a7=a2·a10,所以a2·a10=a5·a7=6.
由得或
所以==或==.
2.(2020·江门高二检测)已知等比数列满足a1=,且a2·a4=4,则a5=
(　　)
A.8
B.16
C.32
D.64
【解题指南】先由题意求出公比,再根据等比数列的通项公式即可求出a5的值.
【解析】选A.等比数列满足a1=且a2a4=4(a3-1),则×q××q3=4(×q2-1),解得q2=4,所以a5=a1q4=×42=8.
3.已知等比数列{an}中,a1+a3=15,且a1+a2+a3+a4=45.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=11-log2,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q.
由题意得
解得q=2,a1=3,所以an=3·2n-1.
(2)由(1)得a2n+1=3·22n,所以bn=11-log2=11-2n.
所以数列{bn}是首项为9,公差为-2的等差数列.
从而Sn==-n2+10n.
课堂检测·素养达标
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是
(　　)
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
【解析】选D.因为数列{an}为等比数列,设其公比为q,则a3·a9=a1·q2·a1·q8=(a1·q5)2=,
所以,a3,a6,a9一定成等比数列.
2.数列{an}中,若an+1=3an,a1=2,则a4=
(　　)　　
A.108
B.54
C.36
D.18
【解析】选B.因为an+1=3an,a1=2,则数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则a4=a1q3=2×33=54.
3.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=　　　　.?
【解析】设等比数列{an}的公比为q,
则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,
所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),
所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.
答案:42
4.《孙子算经》是我国古代数学专著,其中一个问题为“今有出门,望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色”.问:巢有几何?　　　　.?
【解析】由已知,巢的数列构成以9为首项,9为公比的等比数列模型,由等比数列通项公式可知:巢的数量为:a4=9×93=94=6
561.
答案:6
561
5.(教材二次开发:习题改编)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前三项之和等于21,则该数列的通项公式是　　　　.?
【解析】依题意a1+4a1+42a1=21,所以a1=1,
所以an=a1qn-1=4n-1.
答案:an=4n-1
6.在等比数列{an}中,
(1)若a1=256,a9=1,求q和a12;
(2)若a3·a5=18,a4·a8=72,求q.
【解析】(1)因为a9=a1·q8,所以256·q8=1,即q=±.
当q=时,a12=a1·q11=256×=;
当q=-时,a12=a1·q11=256×=-.
(2)a1·q2·a1·q4=18,即·q6=18.又a1q3·a1q7=72,即·q10=72.两式相除得q4==4,所以q=±.
PAGE第2课时　等比数列的性质　
学习目标
1.理解等比数列的函数特性(数学抽象)2.掌握等比中项的定义并能应用定义解决问题(数学抽象)3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系并解决相应的问题(逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.等比数列{an}中,若公比q>1,则数列{an}是单调递增数列吗?2.任意两个数都有等差中项,任意两个数都有等比中项吗?
1.等比数列的增减性
(1)q<0时,{an}是摆动数列.
(2)00,则{an}是减数列,若a1<0,则{an}是增数列.
(3)q=1时,{an}是常数列,不具有增减性.
(4)q>1时,若a1>0,则{an}是增数列,若a1<0,则{an}是减数列.
等比数列的公比对等比数列项的符号有怎样的影响?
提示:由等比数列的定义可知:
(1)当q=1时,等比数列是一个常数列,各项都等于首项a1.
(2)当q=-1时,等比数列是一个摆动数列,奇数项为a1,偶数项为-a1.
一般地,q>0时,等比数列各项的符号相同;q<0时,等比数列各项的符号正负交替.
2.等比中项
(1)前提:在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列.
(2)结论:G叫作a,b的等比中项.
(3)满足关系式:G2=ab.
“G是a与b
的等比中项”的等价形式有哪些?
提示:G是a与b
的等比中项,等价于a,G,b(或b,G,a)成等比数列,等价于G2=ab.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)等差数列的增减性只由公差决定,等比数列的增减性也只由公比决定.(　　)
(2)任意两个数都有等差中项,也都有等比中项.
(　　)
(3)等差中项是唯一的,等比中项也是唯一的.
(　　)
(4)若G2=ab,则a,G,b一定成等比数列.
(　　)
提示:(1)×.还必须考虑首项的符号.
(2)×.只有两个同号的数才有等比中项.
(3)×.若两个数有等比中项,一定是互为相反数的两个.
(4)×.当a,G,b都不为零时,a,G,b才成等比数列.
2.已知等比数列{an},a1=1,a3=,则a5等于
(　　)
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.±　
B.-　
C.　
D.±
【解析】选C.根据等比数列的性质可知,a1a5=,a5==.
3.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是
(　　)
A.递增数列
B.递减数列
C.常数数列
D.摆动数列
【解析】选D.因为公比q=-<0,所以数列{an}是摆动数列.
4.(教材二次开发:习题改编)等比数列{an}中,若a1=2,且{an}是递增数列,则数列{an}的公比q的取值范围是　　　　.?
【解析】因为a1=2>0,要使{an}是递增数列,则需公比q>1.
答案:(1,+∞)
关键能力·合作学习
类型一　等比数列性质的应用(逻辑推理)
1.在等比数列{an}中,a3=16,a1a2a3…a10=265,则a7等于　　　　.?　　　　　　　　　　　　
【解析】因为a1a2a3…a10=(a3a8)5=265,
所以a3a8=213,又因为a3=16=24,所以a8=29.
因为a8=a3·q5,所以q=2.
所以a7==256.
答案:256
2.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a3a5=4,则a1a2a3a4a5a6a7=　　　　.?
【解析】因为a3a5==4,an>0,所以a4=2.
所以a1a2a3a4a5a6a7=(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4=43×2=128.
答案:128
3.(2020·余姚高一检测)已知等比数列,若a5=2,a9=32,则a4·a10=(　　)
A.±16
B.16
C.±64
D.64
【解析】选D.因为为等比数列,且a5=2,a9=32,由等比数列的性质得,a4·a10=a5·a9=2×32=64.
4.已知等比数列,满足log2a3+log2a10=1,且a3a6a8a11=16,则数列的公比为
(　　)
A.4
B.2
C.±2
D.±4
【解析】选B.等比数列中,log2a3+log2a10=1?log2(a3a10)=1?a3a10=2①,
a3a6a8a11=16?=16,由等比数列各项正负性的性质可知:a3,a11同号,故a3a11=4②,
②除以①,得:等比数列的公比q==2.
　等比数列的常用性质
性质1:通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N+).
性质2:若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·al=am·an.
性质3:若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{},{an·bn},仍是等比数列.
类型二　等比中项的应用(逻辑推理)
【典例】三个正数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9就成等比数列,求这三个数.
【思路导引】设成等差数列的数为未知数,然后利用等比数列的知识建立方程组求解.另外,对本题若设所求三数为a,b,c,则列出三个方程求解,运算过程冗繁,因此在计算过程中,设的未知数个数应尽可能少.
【解析】设所求之数为a-d,a,a+d,
则由题设得
解此方程组,得或
又三个数为正数,所以d=2所以所求三数为3,5,7.
　应用等比中项解题的两个注意点
(1)要证三个数a,G,b成等比数列,只需证明G2=ab,其中a,b,G均不为零.
(2)已知等比数列中的相邻三项an-1,an,an+1,则an是an-1与an+1的等比中项,即=an-1an+1,运用等比中项解决问题,会大大减少运算过程.
　(2020·包头高一检测)已知等比数列满足a1=,a3a5=4,则a2=
(　　)
A.2
B.1
C.
D.
【解析】选C.由题意可得a3a5==4?a4=2,所以q3==8?q=2,故a2=a1q=.
类型三　等差数列与等比数列的综合应用(逻辑推理)
　角度1　求通项公式?
【典例】已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为2.对任意的n∈N+,bn是an和an+1的等比中项.cn=-,n∈N+.
(1)求证:数列{cn}是等差数列;
(2)若c1=16,求数列{an}的通项公式.
【思路导引】(1)利用条件化简cn-cn-1=常数,证明{cn}为等差数列.
(2)求得a1进而求an.
【解析】(1)因为=anan+1,
所以cn-cn-1=(-)-(-)
=(an+1an+2-anan+1)-(anan+1-an-1an)
=an+1(an+2-an)-an(an+1-an-1)
=an+1·2d-an·2d=2d(an+1-an)=2d2=8(常数),
所以数列{cn}是等差数列.
(2)c1=16,则-=16,
所以a2·a3-a1a2=16,a2(a3-a1)=16,(a1+d)·2d=16,
解得a1=2,所以an=2+(n-1)·2=2n.
　已知数列{an}为等差数列,a1,a2,a3成等比数列,a1=1,则a2
020=
(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.5　
B.1　
C.0　
D.-1
【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,则由a1,a2,a3成等比数列得(1+d)2=1+2d,解得d=0,所以a2
020=a1=1.
　角度2　求前n项的和?
【典例】已知首项为的等比数列{an}是递减数列,且a1,a2,2a3成等差数列;数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,n∈N+.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)已知cn=·log2an,求数列的前n项和Tn.
【思路导引】(1)由a1,a2,2a3成等差数列求q,可得{an}通项公式;由Sn=n2+n,n∈N+
利用bn=求得{bn}通项公式.
(2)整理=,可用裂项相消法求和.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,由题知a1=,
又因为a1,a2,2a3成等差数列,
所以3a2=a1+2a3,
所以q=+q2,解得q=1或q=.
又由{an}是递减数列,所以q=.所以an=a1qn-1=,
当n=1时,b1=2,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1
=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n.
又b1=2满足该式,
所以数列{bn}的通项公式为bn=2n(n∈N+).
(2)由于cn=·log2an=-n(n+1),
所以==-,
所以Tn=-
=-=-,
故Tn=-(n∈N+).
　求解等差、等比数列综合问题的技巧
(1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系.
(2)发挥两个数列的基本量a1,d或a1,q的作用,并用好方程这一工具.
(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验.
1.在等比数列{an}中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于　　　　.?
【解析】因为{an}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=,所以a1a2a3…a13=()6·a7=,又a7=-2,所以a1a2a3…a13=(-2)13=-213.
答案:-213
2.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值为　　　　.?
【解析】因为a1,a3,a9成等比数列,所以=a1·a9;
所以(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,
所以===.
答案:
3.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,
S4=4a1+×2=4a1+12,由题意,
得(2a1+2)2=a1(4a1+12),
解得a1=1,所以an=2n-1.
(2)bn=(-1)n-1=(-1)n-1
=(-1)n-1,
当n为偶数时,Tn=-+…+
-=1-=;
当n为奇数时,Tn=-+…
-+
=1+=,
所以Tn=.
课堂检测·素养达标
1.等比数列{an}中,a2=4,a7=,则a3a6+a4a5的值是
(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.2
C.
D.
【解析】选C.a3a6=a4a5=a2a7=4×=,
所以a3a6+a4a5=.
2.公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=
(　　)
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选B.a3a11=16?=16?a7=4?a16=a7×q9=32?log2a16=5.
3.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=　　　　.?
【解析】由已知,a3=a1+4,a4=a1+6.
因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,
所以(a1+4)2=(a1+6)a1,解得a1=-8,所以a2=-6.
答案:-6
4.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为　　　　.?
【解析】设这8个数组成的等比数列为{an},则a1=1,a8=2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7=(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)=(a1a8)3=23=8.
答案:8
5.(教材二次开发:习题改编)已知数列为等比数列,其中a5,a9为方程x2+2
019x+9=0的两个根,则a7的值为
(　　)
A.-3
B.3
C.±3
D.9
【解题指南】由根与系数的关系求得a5a9,再利用等比数列的下标和性质,即可求得a7.
【解析】选A.因为a5,a9为方程x2+2
019x+9=0的两个根,故可得a5a9=9,a5+a9=-2
019,故a5<0,a9<0,根据等比数列的下标和性质a5a9==9,解得a7=±3.
又因为a7=a5q2,a5<0,故可得a7<0,故a7=-3.
6.设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,若b1+b2+b3=3,b1·b2·b3=-3,求此等比数列的通项公式an.
【解析】
由b1+b2+b3=3,得log2(a1·
a2·a3)=3,
所以a1·a2·a3=23=8,
因为=a1·a3,所以a2=2,又b1·b2·b3=-3,
设等比数列{an}的公比为q,
则log2·log2(2q)=-3.
解得q=4或,
所以所求等比数列{an}的通项公式为
an=a2·qn-2=22n-3或an=25-2n.
PAGE3.2　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和　
　　　　　　　　　学习目标
1.掌握等比数列前n项和公式及其应用(数学抽象)2.会用错位相减法求数列的和(数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.等比数列的前n项和公式中涉及哪些量?2.当等比数列的公比q≠1时,其前n项和公式可化为Sn=-Aqn+A的形式,其中的A是什么?
等比数列的前n项和公式
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)1+x+x2+x3+x4+…+xn=.
(　　)
(2)若Sn是等比数列{an}的前n项和,则Sn=a1+qSn-1.
(　　)
(3)若Sn是等比数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n一定也成等比数列.
(　　)
提示:(1)×.当x=1时,
1+x+x2+x3+x4+…+xn=n.
(2)√.
Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)
=a1+qSn-1.
(3)×.当q=-1时Sn可能为0.
2.等比数列{an}的首项a1=1,公比q=2,则S6=
(　　)　　　　　　
　　　　　　
A.-63
B.31
C.-31
D.63
【解析】选D.S6==26-1=64-1=63.
3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列,则a的值为
(　　)
A.0
B.1
C.-1
D.2
【解析】选C.因为an=
要使数列{an}成等比数列,则3+a=2·31-1=2,即a=-1.
4.(教材二次开发:习题改编)等比数列{an}的前n项和Sn=k·3n+1,则k的值为
(　　)
A.全体实数
B.-1
C.1
D.3
【解析】选B.当n=1时,a1=S1=3k+1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=k·3n-k·3n-1=2k·3n-1.令3k+1=2k得k=-1.
关键能力·合作学习
类型一　等比数列前n项和的基本计算(数学运算)
1.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8=　　　　.?
【解析】设{an}的首项为a1,公比为q,则
解得所以a8=×27=25=32.
答案:32
2.设Sn是等比数列的前n项和,且满足3S9=7S6,mS6=nS3,则=　　　?
【解析】设等比数列的公比为q,
若q=1,则3S9=27a1,7S6=42a1,3S9=7S6,
则a1=0,显然不成立;故q≠1,
因为3S9=7S6,mS6=nS3,
所以3×=7×,
m=n,
所以3(1+q3+q6)=7(1+q3),
解得q3=2或-.
所以=1+q3=3或.
答案:3或
3.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=　　　　.?
【解析】因为a1=2,an+1=2an,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,又因为Sn=126,所以=126,
所以n=6.
答案:6
4.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式.
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.
【解析】(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.
由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若an=2n-1,
则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.
综上,m=6.
　等比数列前n项和的运算技巧
(1)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.
(2)在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,在条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q列方程组求解.
特别提醒:等比数列的公比q一定不为0.
【补偿训练】
已知数列{an}中,a1,a2,a3,…,an,…构成一个新数列:a1,(a2-a1),…,(an-an-1),…,此数列是首项为1,公比为的等比数列.
(1)求数列{an}的通项.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+++…+
=.
(2)Sn=a1+a2+a3+…+an
=++…
+
=
=n-
=(2n-1)+.
类型二　等比数列前n项和的性质(逻辑推理)
【典例】(1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n=(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.80
B.30
C.26
D.16
(2)一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则此数列的公比为　　　　　,项数为　　　　.?
(3)若{an}是等比数列,且前n项和为Sn=3n-1+t,则t=　　　　.?
【思路导引】(1)应用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列求解;
(2)根据所给等式列方程组求解;
(3)利用a1,a2,a3是等比数列求解.
【解析】(1)选B.由题意知:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,设公比为q,则S3n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)=2×(1+q+q2)=14,解得q=2,所以S4n-S3n=2q3=2×8=16,S4n=S3n+(S4n-S3n)=14+16=30.
(2)设数列为{an},其公比为q,项数为2n,则奇数项,偶数项分别组成以q2为公比的等比数列,又a1=1,a2=q,q≠1,
所以
由②÷①,得q=2,所以=85,4n=256,
故得n=4,故项数为8.
答案:2　8
(3)由题目条件Sn=3n-1+t得a1=S1=1+t,
a2=S2-S1=2,a3=S3-S2=6,
因为{an}是等比数列,故=a1a3,即4=6(1+t),
解得t=-,经验证,当t=-时,{an}是等比数列.
答案:-
　等比数列前n项和性质的应用技巧
(1)在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时,常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n,则=q(S奇≠0);若项数为2n+1,则=q(S偶≠0).
(2)等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn(q≠-1).
(3)等比数列{an}的公比为q,则Sn+m=Sn+qnSm.
(4)若Sn表示数列{an}的前n项和,且Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0且q≠1),则数列{an}是等比数列.
　已知等比数列{an}的前n项和满足Sn=1-A·3n,数列{bn}是递增数列,且bn=An2+Bn,则A=　　　　,B的取值范围为　　　　.?
【解析】因为任意一个公比不为1的等比数列前n项和Sn==-qn,而等比数列{an}的前n项和满足Sn=1-A·3n,
所以A=1,于是bn=n2+Bn,
又因为数列{bn}是递增数列,
所以bn+1-bn=(n+1)2+B(n+1)-n2-Bn
=2n+1+B>0恒成立,
所以B>-(2n+1)恒成立,
所以B>-3,即B的取值范围为(-3,+∞).
答案:1　(-3,+∞)
类型三　错位相减法(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=an·3n,求数列{bn}的前n项和.
【思路导引】通过错位相减方式把数列变为等比数列的求和问题.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,
则a1+a2+a3=3a1+3d=12,
又a1=2,
所以d=2,所以an=2n.
(2)由bn=an·3n=2n·3n,得
Sn=2·3+4·32+…+(2n-2)·3n-1+2n·3n,①
3Sn=2·32+4·33+…+(2n-2)·3n+2n·3n+1.②
①-②得-2Sn=2(3+32+33+…+3n)-2n·3n+1
=3(3n-1)-2n·3n+1,所以Sn=+n·3n+1.
1.错位相减法求和的适用范围
错位相减法求和主要适用于:如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为q(q≠1),求数列{an·bn}的前n项和.
2.错位相减法求和的注意事项
(1)利用错位相减法时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意两式的对齐方式,以便于相减,正确写出(1-q)Sn的表达式.
(2)利用错位相减法时要注意讨论公比q是否等于1.
　在等差数列{an}中,a3=4,a7=8.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)因为d==1,
所以an=a3+(n-3)d=n+1.
(2)bn==,
Tn=b1+b2+…+bn=2+++…+.①
Tn=++…++,②
由①-②得Tn=2+++…+-
=+1-
=+1-=2+1-
=3-,所以Tn=6-.
课堂检测·素养达标
1.(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=
(　　)　　　　　　
　　　　　　
A.16
B.8
C.4
D.2
【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,
由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,
因为a1>0且q>0,
则可解得q=2,
又因为a1(1+q+q2+q3)=15,
即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.
2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1
000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1
000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为
(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,
则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5===.
3.(教材二次开发:习题改编)在等比数列{an}中,S3=,S6=,则an=　　　　.?
【解析】因为S6≠2S3,所以q≠1,又S3=,S6=,
所以
②÷①得1+q3=9,所以q=2.将q=2代入①中得a1=,
所以an=a1qn-1=·2n-1=2n-2,即an=2n-2.
答案:2n-2
4.在等比数列{an}中,a1=2,S3=26,则公比q=　　　　.?
【解析】因为q≠1,所以S3===26,
所以q2+q-12=0,所以q=3或-4.
答案:3或-4
5.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=　　　　.?
【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=,=a6,
所以=q5,又q≠0,所以q=3,
所以S5===.
答案:
6.数列{an}的通项an=,求前n项的和Sn.
【解析】Sn=++++…+,
Sn=+++…++,
两式相减,得Sn=++++…+-
=+2-,
所以Sn=1+4-
=1+4×-
=3-.
PAGE第2课时　等比数列习题课
学习目标
1.进一步熟练掌握等比数列及其前n项和的应用(数学运算)2.掌握等差、等比数列的综合应用(逻辑推理)
关键能力·合作学习
类型一　等比数列的基本运算(数学运算)
　1.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项公式an=　　　　.?
2.已知数列{an}满足1+log3an=log3an+1(n∈N+)且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值是
(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.5　　　　D.-5
3.(2020·抚州高一检测)等比数列各项均为正数,若a1=1,an+2+2an+1=15an,则的前6项和为
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.364
B.63
C.
D.
【解析】1.由已知得==q7=128=27,故q=2.
所以an=a1qn-1=a1q2·qn-3=a3·qn-3=3×2n-3.
答案:3×2n-3
2.选D.由1+log3an=log3an+1(n∈N+),
得an+1=3an,即{an}是公比为3的等比数列.
设等比数列{an}的公比为q,
又a2+a4+a6=9,
则lo(a5+a7+a9)=lo[q3(a2+a4+a6)]
=lo(33×9)=-5.
3.选A.an+2+2an+1=15an等价于anq2+2anq=15an因为an>0,故可得q2+2q-15=0,解得q=-5(舍),q=3;故由公式可得S6==364.
　等比数列中的基本运算技巧
(1)数列中有五个量a1,n,q,an
,Sn
,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)所求问题可迎刃而解.
(2)解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程.
(3)在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.
类型二　等比数列前n项和的应用(逻辑推理)
　角度1　等比数列前n项和的实际应用?
【典例】某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付38元;第二种,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,以此类推;第三种,第一天付0.4元,以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢?
【思路导引】结合题意建立等比数列模型求解.
【解析】设该学生工作n天,每天领工资an元,共领工资Sn元,则第一种方案an(1)=38,Sn(1)=38n;
第二种方案an(2)=4n,Sn(2)=4(1+2+3+…+n)
=2n2+2n;
第三种方案an(3)=0.4×2n-1,Sn(3)=
=0.4(2n-1).
令Sn(1)≥Sn(2)即38n≥2n2+2n,解得n≤18,即小于或等于18天时,第一种方案比第二种方案报酬高(18天时一样高).令Sn(1)≥Sn(3),即38n≥0.4×(2n-1),
利用计算器计算得小于或等于9天时,第一种方案报酬高,所以少于10天时,选择第一种方案.
比较第二、第三种方案,S10(2)=220,S10(3)=409.2,S10(3)>S10(2),…,Sn(3)>Sn(2).
所以等于或多于10天时,选择第三种方案.
综上,当小于或等于9天时,选择第一种方案,等于或多于10天时,选择第三种方案.
　角度2　错位相减法求和?
【典例】已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列
的前n项和为.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=(an+1)·,求数列{bn}的前n项和Tn.
【思路点拨】数列{an}是等差数列,{}是等比数列,求数列{bn}的前n项和,可采用错位相减法.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,
令n=1,得=,所以a1a2=3.①
令n=2,得+=,所以a2a3=15.②
由①②解得a1=1,d=2,
所以an=2n-1.经检验,符合题意.
(2)由(1)知bn=2n·22n-1=n·4n,
所以Tn=1·41+2·42+…+n·4n,
4Tn=1·42+2·43+…+n·4n+1,两式相减,得-3Tn=41+42+…+4n-n·4n+1=-n·4n+1
=×4n+1-.
所以Tn=×4n+1+=.
1.错位相减法的适用范围及注意事项
(1)适用范围:主要适用于{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和.
(2)注意事项:①利用“错位相减法”时,在写出Sn与qSn的表达式时,应注意使两式对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn的表达式;②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1.
2.错位相减法进行求和的基本步骤
(1)在等式Sn=a1+a2+a3+…+an两边同乘以等比数列的公比q.
(2)两式相减:左边为(1-q)Sn,右边为q的同次式对齐相减.
(3)右边去掉最后一项(有时需要去掉第一项)剩下的各项组成等比数列,可以采用公式求和.
1.国家计划在西部地区退耕还林6
370万亩,2015年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩,以后每年退耕还林的面积按12%递增.试问从2015年底,到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划?(1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年)
【解析】设从2015年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1,a2,a3,…,an,…万亩.
则a1=515(1+12%),a2=515(1+12%)2,…,
an=515(1+12%)n,….
Sn=a1+a2+…+an
==6
370-515,
所以515×1.12×(1.12n-1)=5
855×0.12.
即1.12n≈2.218.
又因为n∈N+,当n=7时,1.127≈2.211,此时完不成退耕还林计划,所以n=8.
故到2023年底西部地区才能完成退耕还林计划.
2.(2020·宁化高一检测)已知是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=3,a3+a4=12,数列满足++…+=an+1.
(1)分别求数列,的通项公式;
(2)设数列的前n项和Tn,求Tn的最小值.
【解题指南】(1)根据是各项均为正数的等比数列,利用“a1,q
”求解,然后利用数列通项公式与前n项和的关系求解bn.
(2)利用错位相减法求Tn,再利用作差法判断Tn的增减性求最值.
【解析】(1)因为是各项均为正数的等比数列,
所以a3+a4=q2,因为a1+a2=3,a3+a4=12,
所以q2=4,所以q=2,
所以a1+a2=3a1=3,所以a1=1,所以an=2n-1,
又因为++…+=an+1,
所以++…+=2n,
n=1时b1=2,所以++…+=2n-1(n≥2),
两式相减得=2n-2n-1=2n-1,
所以bn=(2n-1)2n-1(n≥2),
因为b1=2不满足bn,所以bn=
(2)当n=1时,T1=2;当n≥2时,Tn=2+3·21+5·22+…+(2n-1)2n-1,
2Tn=2·2+3·22+5·23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,
所以-Tn=2+2+2·22+…+2·2n-1-(2n-1)2n
=2-(2n-1)2n
=2-(2n-1)2n,
所以Tn=4+(2n-3)2n,
因为T1=2满足Tn,所以Tn=4+(2n-3)2n,
因为Tn+1-Tn=4+(2n+2-3)2n+1-=(2n+1)·2n>0,所以数列为递增数列,
所以Tn的最小值为2.
课堂检测·素养达标
　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
1.计算机的价格不断降低,若每台计算机的价格每年降低,则现在价格为8
100元的计算机3年后的价格可降低为
(　　)
A.300元
B.900元
C.2
400元
D.3
600元
【解析】选C.降低后的价格构成以为公比的等比数列.则现在价格为8
100元的计算机3年后的价格可降低为8
100×=2
400(元).
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q等于(　　)
A.-3
B.-1
C.1
D.3
【解析】选D.由a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减得a4-a3=2a3,从而q==3.
3.已知等比数列的前n项和为Sn,且满足2Sn=2n+1+λ,则λ的值是(　　)
A.4
B.2
C.-2
D.-4
【解题指南】利用Sn先求出an,然后计算出结果.
【解析】选C.根据题意,当n=1时,2S1=2a1=4+λ,所以a1=,故当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,
因为数列是等比数列,则a1=1,故=1,
解得λ=-2.
4.(教材二次开发:习题改编)若数列满足a1=-2,且对于任意的m,n∈N
,都有am+n=am·an,则a3=　　　　;数列前10项的和S10=　　　　.?
【解析】由am+n=am·an得a2=a1·a1=4,a3=a2·a1=-8,由am+n=am·an得an+1=a1·an=-2an,所以数列为等比数列,因此S10==682.
答案:-8　682
5.设数列{(n2+n)an}是等比数列,且a1=,a2=,则数列{3nan}的前15项和为　　　　.?
【解析】等比数列{(n2+n)an}的首项为2a1=,第二项为6a2=,所以公比为,所以(n2+n)an=·=,
所以an=,
则3nan==-,其前n项和为1-,
当n=15时,为1-=.
答案:
6.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.
【解析】(1)设{an}的公比为q,
由已知又an>0,
解得所以an=2n.
(2)由已知S2n+1==(2n+1)bn+1,
又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,
所以bn=2n+1.
令cn=,则cn=,
所以Tn=c1+c2+…+cn
=+++…++,
又Tn=+++…++,
两式相减得Tn=+-,
所以Tn=5-.
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