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第二章方程与不等式第10节
一元二次方程的应用
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列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．
■考点1.
增长率问题
增长后的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
■考点2.销售问题
销售利润＝销售价－进价
销售利润率=利润总额/营业收入×100%
销售毛利率=（营业收入－营业成本）/营业收入×100%
利润总额=营业收入－营业成本－费用
■考点3.几何问题
这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)或者法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。如，几何图形的面积、体积问题，可以按照面积、体积的计算公式列方程。
■考点4.求互相联系的两数
求互相联系的两数：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式.
■考点5.赛制循环问题
单循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1
)/2
双循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1
)
■考点6.利率问题
利息=本金×年利率（百分数）×存期
存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本金×（1+a%）n
■考点7.传染问题
公式：(a+x)n
=M
其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1：增长率问题
◇典例：
（2018年宁夏）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（　　）
A．300（1+x）=507
B．300（1+x）2=507
C．300（1+x）+300（1+x）2=507
D．300+300（1+x）+300（1+x）2=507
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设这两年的年利润平均增长率为x，
根据题意得：300（1+x）2=507．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键
（2020年湖北省鄂州市）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的用户数量之和=8.72万户即得关于x的方程，解方程即得答案．
解：设全市用户数年平均增长率为，根据题意，得：
，
解这个方程，得：，（不合题意，舍去）．
∴x的值为40%．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
（2020年上海市）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【考点】一元二次方程的应用-增长率问题
【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
◆变式训练
（2019年湖南省衡阳市）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　）
A．9（1﹣2x）＝1
B．9（1﹣x）2＝1
C．9（1+2x）＝1
D．9（1+x）2＝1
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
9（1﹣x）2＝1，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
（2018年四川省眉山市）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（　　）
A．8%
B．9%
C．10%
D．11%
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1﹣x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1﹣x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
（2019年广西贺州市）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率，
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论，
（2）根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入＝2018年该贫困户的家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4200比较后即可得出结论．
解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意，得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．
（2）3600×（1+20%）＝4320（元），
4320＞4200．
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
■考点2：销售问题
◇典例
（2019年四川省达州市）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500（1+x%）2＝9100
C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
（2019年广西玉林市）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率，
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
【考点】一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论，
（2）设至少再增加y个销售点，根据题意列不等式即可得到结论．
解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6，
解得：x＝0.2，x＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%，
（2）设再增加y个销售点，
根据题意得，3.6+0.32y≥3.6×（1+20%），
解得：y≥，
答：至少再增加3个销售点．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
◆变式训练
（2019年贵州省遵义市）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为125.6万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．50.7（1+x）2＝125.6
B．125.6（1﹣x）2＝50.7
C．50.7（1+2x）＝125.6
D．50.7（1+x2）＝125.6
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设投入的年平均增长率为x，由题意得等量关系：2016年销量×（1+增长率）2=2018年销量，根据等量关系列出方程．
解：设年平均增长率为x，可列方程为：50.7（1+x）2＝125.6，故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
（2019年湖北省宜昌市）HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．
（1）求2018年甲类芯片的产量，
（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．
【考点】一元二次方程的应用，一元一次方程的应用
【分析】（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可，
（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，由题意得出400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，化简得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），即可得出答案．
解：（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，
由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，
解得：x＝400，
答：2018年甲类芯片的产量为400万块，
（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，
设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，
则1600+1600+y+1600+2y＝14400，
解得：y＝3200，
∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，
2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，
400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），
设m%＝t，
化简得：3t2+2t﹣56＝0，
解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），
∴t＝4，
∴m%＝4，
∴m＝400，
答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法，弄清数量关系列出方程是解题的关键．
■考点3：几何问题
◇典例：
（2020年贵州省黔东南州）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）
A．16
B．24
C．16或24
D．48
【考点】菱形的性质，一元二次方程的应用，三角形的三边关系
【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
◆变式训练
（2020年湖北省孝感市）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】如图（见解析），设，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出的值，再根据建立等式，然后根据建立等式求出a的值，最后代入求解即可．
解：如图，由题意得：，，，是直角三角形，且均为正数
则大正方形的面积为
小正方形的面积为
设
则
又，即
解得或（不符题意，舍去）
将代入得：
两边同除以得：
令
则
解得或（不符题意，舍去）
即的值为
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出的值是解题关键．
■考点4.求互相联系的两数
◇典例：
（一元二次方程的应用-数字问题）两个数之差为5，之积是84，设较小的数是x，则所列方程为____．
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】如果设较小的数是x，那么较大的数为（x＋5），根据题意可列出方程．
解：设较小的数是x，
那么较大的数为（x＋5），
∴（x＋5）?x＝84．
故填空答案：（x＋5）x＝84．
【点评】本题主要考查一元二次方程的运用，重在看准题，找到列方程的数量关系是关键．
（一元二次方程的应用-数字问题）三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间一个数的6倍多3，求这三个数．
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】设中间的一个奇数为x，得到的方程(x＋2)(x－2)＝6x＋3，解方程即可．
解：设这三个连续的正奇数为(x－2)，x，(x＋2)，根据题意，得(x＋2)(x－2)＝6x＋3，整理，得x2－6x－7＝0.解这个方程，得x1＝7，x2＝－1(不合题意，舍去)．当x＝7时，x－2＝5，x＋2＝9.答：这三个数为5，7，9
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是明确连续正奇数的关系，设出未知数，列方程求解.
◆变式训练
（一元二次方程的应用-数字问题）一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x，则所列方程为(　　)
A．x2＋(x＋4)2＝10(x－4)＋x－4
B．x2＋(x＋4)2＝10x＋x＋4
C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4
D．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】由题意知，这个两位数的十位数字为x＋4，则这个两位数为10(x＋4)＋x，其个位数字与十位数字的平方和为x2＋(x＋4)2；根据其个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，可得方程，
解：依题意得十位数字为：x＋4，则这个数为：10(x＋4)＋x，个位数字与十位数字的平方和为：x2＋(x＋4)2.
∵个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，
∴x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4.
故选C.
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键根据等量关系列出方程；
一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知
这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设该三位数的百位数字是x，则十
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)位数字是（x+3），个位数字是（2x+3）．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程．
解：设该三位数的百位数字是x（x为正整数），则十位数字是（x+3），个位数字是（2x+3）．则
100x+10（x+3）+（2x+3）=5（2x+3）2+12，
整理，得
5x2-13x+6=0，
所以，（x-2）（5x-3）=0．
所以x-2=0或5x-3=0，
解得，x=2，则x+3=5，2x+3=7，
则该三位数是257．
答：这个数是257．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．
■考点5.赛制循环问题
◇典例：
在一次同学聚会上，有一位同学建议在场的45位同学均要与其他同学握一次手，则他
们共握了????次手．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】此题利用基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为??
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)x（x-1）解决问题即可．
解：由题意列代数式得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)x（x-1），
当x=45，代入得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)×45×（45-1）=990
故答案为：990．
【点评】此题主要由x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)x（x-1），利用这一基本数量关系类比运用解决问题．
某次围棋比赛采用单循环制（即每个选手必须和其余的选手都比赛一场），共赛了36
场，则选手有????名
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设选手有x名，则共进行的比赛场数为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)场，根据单循环的比赛场数为36场建立方程求出其解即可．
解：设选手有x名，则共进行的比赛场数为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)场，由题意，得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)=36，
解得：x1=-8（舍去），x2=9，
∴x=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据单循环的比赛场数为36场建立方程是关键．
◆变式训练
春节期间有10名同学互相打电话拜年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，每两人打电话一次，一共需打电话（
）次．
A．55
B．40
C．45
D．50
【考点】一元二次方程的应用
【分析】每人与另外的9人打电话，共90次
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，打电话是在两人之间进行的，故一共打电话90÷2=45次．
解：10×（10-1）÷2，
=10×9÷2，
=45（次）；
故选C．
【点评】点评：本题考查了一元二次方程的应用，此为基本的握手问题，人数与握手次数的关系为：握手次数=人数×（握手次数-1）÷2．
参加会议的人，每两人都握过一次手．有人统计共握了91次手，那么到会的人数是????．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】握手要做到不重不漏，可类比线段上放点数有多少线段来做．人数类似线段上的点数，握手次数类似线段的总条数．因此可列出方程．
解：设到会的人数是n．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)=91
n=14或n=-13（舍去）
故答案为14．
【点评】本题考查类比思想的灵活运用，数线段我们都熟悉，这个题和那个解题思路一样，可以类比去做．
■考点6.利率问题
◇典例：
小明的妈妈前年买了某公司的两年期债券5000元，今年到期（不计利息税）共得本息和为5400元，则这种债券的年利率为????
【考点】一元一次方程的应用
【分析】直接假设出这种债券的年利率，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)从而列出方程，利用两年利率相同，可以求出．
解：假设这种债券的年利率为x，列方程得：
5000+2×5000x=5400，
解得：x=4%．
故填：4%．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及解决实际问题，题目比较典型．
◆变式训练
某人把500元存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是275元，求这种存款的年利率（不计利息税）
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设定期一年的利率是x，则存入一年后的利息和是500（1+x）元，取300元后余[500（1+x）-300]元，再存一年则有方程[500（1+x）-300]?（1+x）=275，解这个方程即可求解．
解：设定期一年的利率是x，
根据题意得：一年时：500+500x=500（1+x），
取出300后剩：500（1+x）-300，
同理两年后是[500（1+x）-300]（1+x），
即方程为[500（1+x）-300]?（1+x）=275，
解得：x1=10%，x2=-（不符合题意，故舍去）．
答：定期一年的利率是10%．
【点评】此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和=本金×（1+利率×期数），难度一般．
■考点7.传染问题
◇典例：
我们知道，“传销”能扰乱一个地区正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的．你了解传销吗？某非法传销组织由头目一人可发展若干数目的下线成员，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后，非法传销组织成员共有421人．问，在每轮发展中平均一个成员发展下线多少人？
【考点】一元二次方程的实际应用
【分析】设在每轮发展中平均一个成员发展下线x人，根据一个传销组织头目经过两轮发展后，非法传销组织成员共有421人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设在每轮发展中平均一个成员发展下线人，依题意，有，解得，（舍去）．
答：在每轮发展中平均一个成员发展下线20人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
◆变式训练
截止4月15日全国已通报确诊63例人感染H
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)7N9禽流感病例，H7N9是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽．如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活禽传染了x只活禽，那么可列方程为????；?n轮感染后，被感染的活禽只数为????只．（用含n的代数式表示）
【考点】一元二次方程的应用
【分析】可设每轮感染中平均一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)只活禽会感染x个只，则第一轮后共有1+x只感染，两轮后有1+x+x（1+x）知感染，列出方程求解即可；
解：设每轮感染中平均一只活禽会感染x个只，
则由题意知：1+x+x（1+x）=36
整理得：（x+1）2=36
解得x1=5，x2=-7（舍去）
n轮感染后，被感染的活禽只数为（5+1）n=6n
故答案为：（x+1）2=36；6n
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（一元二次方程的应用-数字问题）(易错题)若两个连续整数的积是20,那么这两个整数的和是　　(　　)
A．9
B．-9
C．9或-9
D．12或-12
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】设这两个连续整数分别是n，n+1，根据两个连续整数的积是20列方程求解即可.
解：设这两个连续整数分别是n，n+1，由题意得，
n(n+1)=20,
解之得，
n1=4,n2=-5,
∴这两个连续整数分别是4,5或-5，-4，
∴这两个整数的和是4+5=9或-5-4=-9.
故选C.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据两个连续整数的积是20列出方程是解答本题的关键.本题的易错点是有些同学容易把负整数忽视了.
（2019年四川省宜宾市）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是　
　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据利润＝售价﹣成本价结合半年以后的销售利润为（65﹣50）元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设每个季度平均降低成本的百分率为x，
依题意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
故答案为：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（一元二次方程的应用-数字问题）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，则这个两位数是________．
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】分析题目可以知道，本题存在了两个等量关系，即：个位上的数字-十位上的数字=2；十位上的数字×个位上的数字×3=这个两位数的值，根据这两个等量关系，列方程求解．
解：设个位数字为x，则十位上的数字是（x-2），根据题意得
3x（x-2）=10（x-2）+x，
整理，得3x2-17x+20=0，即（x-4）（3x-5）=0，
解得
x1=4，x2=
（不合题意，舍去），
则x-2=4-2=2，
答：这两位数是24．
故答案为：24．
【点评】解决此类问题的关键在于找出，题目中所提到的等量关系，得出方程求解，注意用字母表示数的正确方法．
（2020年四川省阿坝州）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．
【考点】三角形三边关系,
一元二次方程的应用
【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．
解：解方程得x1=2，x2=6，
当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去；
当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.
故答案为：17．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（2020年贵州黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了____人．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】如果设每轮传染中平均每人传染了x人，那么第一轮传染中有x人被传染，第二轮则有x（x+1）人被传染，已知“共有121人患了流感”，那么可列方程，然后解方程即可．
解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
则第一轮传染中有x人被传染，
第二轮则有x(x+1)人被传染，
又知：共有121人患了流感，
∴可列方程：1+x+x(x+1)=121，
解得，（不符合题意，舍去）
∴每轮传染中平均一个人传染了10个人.
故答案为10.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系.
（2019年广西贺州市）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率，
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论，
（2）根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入＝2018年该贫困户的家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4200比较后即可得出结论．
解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意，得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．
（2）3600×（1+20%）＝4320（元），
4320＞4200．
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（2019年湖南省邵阳市）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】根据a（1﹣x）2＝b增长率公式建立方程30（1+x）2＝36.3，解方程即可．
解：设平均增长率为x，根据题意列方程得
30（1+x）2＝36.3
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍）
答：我国外贸进出口总值得年平均增长率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程应用问题关于增长率类型，利用公式建立方程即可，记忆公式并运用公式是本题的关键．
（2018年江苏省盐城市）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【分析】（1）根据等量关系“原销售件数+2×降价数=降价后的销售件数”计算；（2）根据等量关系“每件盈利×销量=利润”，可设降价x元，则销量根据（1）的等量关系可得为（20+2x）件，而每件盈利为（40-x）元，利润为1200元，代入等量关系解答即可。
解：（1）26
（2）解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，则平均每天销售数量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且40-x≥25,即x≤15.根据题意可得（40-x）（20+2x）=1200，
整理得x2-30x+200=0,
解得x1=10,x2=20（舍去），
答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。
（一元二次方程的应用-数字问题）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：
x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，∴10x+（x﹣4）＝84．
答：这个两位数为84．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用；用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字．
（2019年湖北省襄阳市）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设小路的宽应为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x），那么根据题意得出方程，解方程即可．
解：设小路的宽应为xm，
根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
解得：x1＝1，x2＝16．
∵16＞9，
∴x＝16不符合题意，舍去，
∴x＝1．
答：小路的宽应为1m．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
1、
选择题
（2020年浙江省衢州市）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1﹣x）2=461
B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442
D．368（1+x）2=442
【考点】一元二次方程的应用
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．
（一元二次方程的应用-数字问题）一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大，已知十位上的数字比个位上的数字大．则这个两位数是（
）
A．64
B．75
C．53或75
D．64或75
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】令个位上的数字为x，然后用x表示出十位上的数字，再根据题意列出方程求解出x的具体数值，最后写出这个两位数.
解：令个位上的数字为x，则依据题意可知十位上的数字为(x+2)，该两位数可表示为：
10(x+2)+x
依据题意列出方程：10(x+2)+x=x(x+2)+40
整理得到：x2-9x+20=0
(x-4)(x-5)=0
解得：x1=4，x2=5
则该两位数为64或75,
故选择D.
【点评】本题三个关键，第一是要会用字母表示出这个两位数，第二是要能够根据题意列出方程，第三是要能够合理选择方法解方程.
（一元二次方程的应用-数字问题）如图，是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，那么这四个数的和为(　　)
A．40
B．48
C．52
D．56
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】根据题意，设最小数为x，则另外三个数为x＋1，x＋7，x＋8，根据题意可列方程x(x＋8)＝128，结合月历表的数据情况选出合适的数.
解：设最小数为x，则另外三个数为x＋1，x＋7，x＋8，根据题意可列方程x(x＋8)＝128，解得x1＝8，x2＝－16(不符合题意，舍去)，∴x＝8，x＋1＝9，x＋7＝15，x＋8＝16，∴四个数分别为8，9，15，16.∵8＋9＋15＋16＝48，∴四个数的和为48.
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用.找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键.
（2020年贵州省遵义市）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600
B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600
D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
（2020年湖南省张家界市）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（
）
A．2
B．4
C．8
D．2或4
【考点】等腰三角形的性质，三角形的三边关系，一元二次方程的应用
【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
解：x2－6x+8=0
（x－4）（x－2）=0
解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
（2019年黑龙江省伊春市）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
解：设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得：
（舍去），．
故选：C．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
（2020年广西河池市）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
【考点】一元二次方程的应用
【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．
解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
解：设共有x个班级参赛，根据题意得：
=15，
解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
（2016年浙江省台州市）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．
x（x﹣1）=45
B．
x（x+1）=45
C．x（x﹣1）=45
D．x（x+1）=45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）=45．
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）=45，
故选A．
1、
填空题
（2019年贵州省铜仁市）某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为________.
【考点】一元二次方程的应用
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），再根据题意列出方程5(1+x)2＝7.2，即可解答
解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：
5(1+x)2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(不合题意舍去).
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%.
故答案是：20%.
【点评】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
（一元二次方程的应用-数字问题）大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小于各位,各位平方与寿符.那位学子算得快,周瑜岁数为____________．
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】这是一道数字问题的应用题，等量关系隐于诗词中，及周瑜去世时年龄为两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方等于这两个数，于是可以设个位数字为x，列出一元二次方程求解．
解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3.
依题意得x2=10（x-3）+x，即x2-11x+30=0．
解得x1=5，x2=6．
当x=5时，十位数字是2，即是25，与“而立之年督东吴”不符，故舍去，
当x=6时，年龄为36．
即：周瑜去世时36岁．
【点评】判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
（一元二次方程的应用-数字问题）在三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方和恰好等于中间一个数的10倍，则此三个数是__________．
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】由题设中间数为x，根据连续奇数相差2可列出方程，再求解．
解：设中间的奇数为Ｘ
方程：(x-2)(x-2)+(x+2)(x+2)=10x
得：x=1或４．
∵４为偶数，所以舍去．
当Ｘ＝１时，得另２个基数为-1和３
所以，三个奇数为１，３，-1.
【点评】了解连续奇数之间的关系，熟练掌握方程的建立是解题的关键．
（2020年山东省德州市数学中考试卷）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为________．
【考点】菱形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系
【分析】解方程得出x=4，或x=5，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵
因式分解得：（x-4）（x-5）=0，
解得：x=4，或
x=5，
分两种情况：
当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；
当AB=AD=5时，5+5＞8，可构成三角形；
∴菱形ABCD的周长=4AB=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．
（2020年山东省济南市）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
解：设道路的宽为x
m，根据题意得：
（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），
则道路的宽应为1米；
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
（2020年内蒙古通辽市）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解
解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x=169
解得：x=12或x=-14（舍去）．
∴平均一人传染12人．
故答案为：12．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．
1、
解答题
（2020年湖南省湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案．
解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝?2.1（不合题意舍去），
∴x＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）依据题意可得：
24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．
（2019年广东省广州市）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座。
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率。
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）2020年全省5G基站的数量=目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G基站的数量是（万座）.
答：到2020年底，全省5G基站的数量是6万座.
（2）设年平均增长率为，由题意可得：
，
解得：，（不符合，舍去）
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（2019年辽宁省大连市）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率，
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论，
（2）由2019年村该村的人均收入＝2018年该村的人均收入×（1+年平均增长率），即可得出结论．
解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，
根据题意得：20000（1+x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．
（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．
答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程，（2）根据数量关系，列式计算．
（2019年广西贵港市）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率，
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率，
（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几．
解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，
5（1+x）2＝7.2，
解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：这两年藏书的年均增长率是20%，
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册），
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：×100%＝10%，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题．
（2019年湖南省长沙市）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率，
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解，
（2）用2.42×（1+增长率），计算即可求解．
解：（1）设增长率为x，根据题意，得
2（1+x）2＝2.42，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：增长率为10%．
（2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）．
答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
（2018年山东省德州市中考数学试题）为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
【考点】待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．
解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：
，
解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据题意得：
（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（2019年山东省东营市）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个，若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，根据总利润＝每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，
依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，
整理，得：x2﹣360x+32400＝0，
解得：x1＝x2＝180．
180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（一元二次方程的应用-数字问题）一个两位数，它的两个数字之和为，把这两个数字交换位置后所形成的两位数与原两位数的积是，求原来的两位数．
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】可设个位数字为未知数，利用两个数字和为6表示出十位数字，根据新两位数×原来的两位数=1008列方程求得个位上的数字及十位上的数字，再求原来的两位数即可．
解：设原两位数的个位数字为，十位数字为，
根据题意可知，，
即，
解得，，
∴，或，
∴或，
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解.
（一元二次方程的应用-数字问题）有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】设个位数字为x，则十位数字为(x－2)，进而可表示出这个两位数；再根据“这个两位数等于其各位数字之积的3倍”可列出关于x的方程，通过解方程问题就迎刃而解了.
解：设个位数字为x，则十位数字为(x－2)，这个两位数是[10(x－2)＋x].
根据题意，得10(x－2)＋x＝3x(x－2)，
整理，得3x2－17x＋20＝0，5分
解得x1＝4，x2＝
(不合题意，舍去).
当x＝4时，x－2＝2，
∴这个两位数是24.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用---数字问题，解题关键是掌握数字的表示方法，找出题目中的等量关系.
（2019年江苏省徐州市）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，根据长方体盒子的侧面积为200cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，
依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，
整理，得：2x2﹣25x+50＝0，
解得：x1＝，x2＝10．
当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（2019年江苏省南京
）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．
解：设扩充后广场的长为，宽为.
根据题意，得.
解得（不合题意，舍去）.
所以.
答：扩充后广场的长和宽应分别为和.
【点评】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，以及总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
35第二章方程与不等式第10节
一元二次方程的应用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．
■考点1.
增长率问题
增长后的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
■考点2.销售问题
销售利润＝
销售利润率=
销售毛利率=
利润总额=
■考点3.几何问题
这类问题要结合几何图形的性质、特征、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定理或者法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。如，几何图形的面积、体积问题，可以按照面积、体积的计算公式列方程。
■考点4.求互相联系的两数
求互相联系的两数：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式.
■考点5.赛制循环问题
单循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1
)/2
双循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1
)
■考点6.利率问题
利息=本金×年利率（百分数）×存期
存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本金×（1+a%）n
■考点7.传染问题
公式：(a+x)n
=M
其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1：增长率问题
◇典例：
（2018年宁夏）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（　　）
A．300（1+x）=507
B．300（1+x）2=507
C．300（1+x）+300（1+x）2=507
D．300+300（1+x）+300（1+x）2=507
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设这两年的年利润平均增长率为x，
根据题意得：300（1+x）2=507．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键
（2020年湖北省鄂州市）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】先用含x的代数式表示出2020年底、2021年底用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的用户数量之和=8.72万户即得关于x的方程，解方程即得答案．
解：设全市用户数年平均增长率为，根据题意，得：
，
解这个方程，得：，（不合题意，舍去）．
∴x的值为40%．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
（2020年上海市）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【考点】一元二次方程的应用-增长率问题
【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
◆变式训练
（2019年湖南省衡阳市）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　）
A．9（1﹣2x）＝1
B．9（1﹣x）2＝1
C．9（1+2x）＝1
D．9（1+x）2＝1
（2018年四川省眉山市）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（　　）
A．8%
B．9%
C．10%
D．11%
（2019年广西贺州市）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率，
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
■考点2：销售问题
◇典例
（2019年四川省达州市）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500（1+x%）2＝9100
C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
（2019年广西玉林市）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率，
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
【考点】一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论，
（2）设至少再增加y个销售点，根据题意列不等式即可得到结论．
解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6，
解得：x＝0.2，x＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%，
（2）设再增加y个销售点，
根据题意得，3.6+0.32y≥3.6×（1+20%），
解得：y≥，
答：至少再增加3个销售点．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
◆变式训练
（2019年贵州省遵义市）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为125.6万辆．设年平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．50.7（1+x）2＝125.6
B．125.6（1﹣x）2＝50.7
C．50.7（1+2x）＝125.6
D．50.7（1+x2）＝125.6
（2019年湖北省宜昌市）HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．
（1）求2018年甲类芯片的产量，
（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．
■考点3：几何问题
◇典例：
（2020年贵州省黔东南州）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）
A．16
B．24
C．16或24
D．48
【考点】菱形的性质，一元二次方程的应用，三角形的三边关系
【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
◆变式训练
（2020年湖北省孝感市）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______．
■考点4.求互相联系的两数
◇典例：
（一元二次方程的应用-数字问题）两个数之差为5，之积是84，设较小的数是x，则所列方程为____．
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】如果设较小的数是x，那么较大的数为（x＋5），根据题意可列出方程．
解：设较小的数是x，
那么较大的数为（x＋5），
∴（x＋5）?x＝84．
故填空答案：（x＋5）x＝84．
【点评】本题主要考查一元二次方程的运用，重在看准题，找到列方程的数量关系是关键．
（一元二次方程的应用-数字问题）三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间一个数的6倍多3，求这三个数．
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】设中间的一个奇数为x，得到的方程(x＋2)(x－2)＝6x＋3，解方程即可．
解：设这三个连续的正奇数为(x－2)，x，(x＋2)，根据题意，得(x＋2)(x－2)＝6x＋3，整理，得x2－6x－7＝0.解这个方程，得x1＝7，x2＝－1(不合题意，舍去)．当x＝7时，x－2＝5，x＋2＝9.答：这三个数为5，7，9
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是明确连续正奇数的关系，设出未知数，列方程求解.
◆变式训练
（一元二次方程的应用-数字问题）一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x，则所列方程为(　　)
A．x2＋(x＋4)2＝10(x－4)＋x－4
B．x2＋(x＋4)2＝10x＋x＋4
C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4
D．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4
一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知
这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
■考点5.赛制循环问题
◇典例：
在一次同学聚会上，有一位同学建议在场的45位同学均要与其他同学握一次手，则他
们共握了????次手．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】此题利用基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为??
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)x（x-1）解决问题即可．
解：由题意列代数式得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)x（x-1），
当x=45，代入得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)×45×（45-1）=990
故答案为：990．
【点评】此题主要由x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)x（x-1），利用这一基本数量关系类比运用解决问题．
某次围棋比赛采用单循环制（即每个选手必须和其余的选手都比赛一场），共赛了36
场，则选手有????名
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设选手有x名，则共进行的比赛场数为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)场，根据单循环的比赛场数为36场建立方程求出其解即可．
解：设选手有x名，则共进行的比赛场数为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)场，由题意，得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)=36，
解得：x1=-8（舍去），x2=9，
∴x=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据单循环的比赛场数为36场建立方程是关键．
◆变式训练
春节期间有10名同学互相打电话拜年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，每两人打电话一次，一共需打电话（
）次．
A．55
B．40
C．45
D．50
参加会议的人，每两人都握过一次手．有人统计共握了91次手，那么到会的人数是????．
■考点6.利率问题
◇典例：
小明的妈妈前年买了某公司的两年期债券5000元，今年到期（不计利息税）共得本息和为5400元，则这种债券的年利率为????
【考点】一元一次方程的应用
【分析】直接假设出这种债券的年利率，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)从而列出方程，利用两年利率相同，可以求出．
解：假设这种债券的年利率为x，列方程得：
5000+2×5000x=5400，
解得：x=4%．
故填：4%．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及解决实际问题，题目比较典型．
◆变式训练
某人把500元存入银行，定期一年，到期他取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期仍为一年，利率不变，到期后全部取出，正好是275元，求这种存款的年利率（不计利息税）
■考点7.传染问题
◇典例：
我们知道，“传销”能扰乱一个地区正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的．你了解传销吗？某非法传销组织由头目一人可发展若干数目的下线成员，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后，非法传销组织成员共有421人．问，在每轮发展中平均一个成员发展下线多少人？
【考点】一元二次方程的实际应用
【分析】设在每轮发展中平均一个成员发展下线x人，根据一个传销组织头目经过两轮发展后，非法传销组织成员共有421人，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设在每轮发展中平均一个成员发展下线人，依题意，有，解得，（舍去）．
答：在每轮发展中平均一个成员发展下线20人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
◆变式训练
截止4月15日全国已通报确诊63例人感染H
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)7N9禽流感病例，H7N9是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽．如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活禽传染了x只活禽，那么可列方程为????；?n轮感染后，被感染的活禽只数为????只．（用含n的代数式表示）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（一元二次方程的应用-数字问题）(易错题)若两个连续整数的积是20,那么这两个整数的和是　　(　　)
A．9
B．-9
C．9或-9
D．12或-12
（2019年四川省宜宾市）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是　
　．
（一元二次方程的应用-数字问题）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，则这个两位数是________．
（2020年四川省阿坝州）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．
（2020年贵州黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了____人．
（2019年广西贺州市）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率，
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
（2019年湖南省邵阳市）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．
（2018年江苏省盐城市）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
（一元二次方程的应用-数字问题）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．
（2019年湖北省襄阳市）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
1、
选择题
（2020年浙江省衢州市）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1﹣x）2=461
B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442
D．368（1+x）2=442
（一元二次方程的应用-数字问题）一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大，已知十位上的数字比个位上的数字大．则这个两位数是（
）
A．64
B．75
C．53或75
D．64或75
（一元二次方程的应用-数字问题）如图，是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，那么这四个数的和为(　　)
A．40
B．48
C．52
D．56
（2020年贵州省遵义市）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600
B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600
D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
（2020年湖南省张家界市）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（
）
A．2
B．4
C．8
D．2或4
（2019年黑龙江省伊春市）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年广西河池市）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
（2016年浙江省台州市）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．
x（x﹣1）=45
B．
x（x+1）=45
C．x（x﹣1）=45
D．x（x+1）=45
1、
填空题
（2019年贵州省铜仁市）某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为________.
（一元二次方程的应用-数字问题）大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小于各位,各位平方与寿符.那位学子算得快,周瑜岁数为____________．
（一元二次方程的应用-数字问题）在三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方和恰好等于中间一个数的10倍，则此三个数是__________．
（2020年山东省德州市数学中考试卷）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为________．
（2020年山东省济南市）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．
（2020年内蒙古通辽市）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人．
1、
解答题
（2020年湖南省湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
（2019年广东省广州市）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座。
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率。
（2019年辽宁省大连市）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率，
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？
（2019年广西贵港市）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率，
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
（2019年湖南省长沙市）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率，
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
（2018年山东省德州市中考数学试题）为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
（2019年山东省东营市）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个，若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
（一元二次方程的应用-数字问题）一个两位数，它的两个数字之和为，把这两个数字交换位置后所形成的两位数与原两位数的积是，求原来的两位数．
（一元二次方程的应用-数字问题）有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
（2019年江苏省徐州市）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？
（2019年江苏省南京
）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
18

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