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§6.2.4向量数量积(1)
一、学习目标：1.通过物理学中的力做功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象素养．
3.掌握平面向量数量积的重要性质．
一天,物理课上刚学完“做功”这部分内容,小明气喘吁吁地跑进教室,说帮别人抬东西了,太重了,累得不轻,同学说他又没有做功,不要喊累,于是他们争吵了起来……
问题1:小明和同学谁说得对呢?
问题2:从数学的角度能解释这个问题吗?
二、知识梳理：
1.向量夹角
条件
两个非零向量a和b
产生过程
作向量=a,=b,
则
叫做向量a
与b的夹角
范围
1
特殊情况
θ=0
a与b
1
θ=
a与b
,记作
1
θ=π
a与b
2
2.两个非零向量的数量积
已知条件
向量a,b是非零向量,它们的夹角为θ
定义
a与b的数量积(或内积)是数量
记法
a·b=
3.零向量与任一向量的数量积
规定:
．
4.向量的投影及投影向量的概念
如图所示,设a,b是两个非零向量,=a,=b,我们考虑如下变化:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为点A1,B1,得到,称上述变换为向量a向向量b
,
叫做向量a在向量b上的投影向量.
5.向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=|a|cos
θ.
(2)a⊥b?a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=
;当a与b反向时,a·b=
.特别地,a·a=
或|a|=.
(4)|a·b|
|a||b|.
三、数学应用：
探索点一　向量数量积的有关概念
【例1】　以下四种说法中正确的是
．(填序号).
①|a·b|=|a||b|;
②如果向量a与b满足a·b<0,则a与b所成的角为钝角;
③在△ABC中,如果·=0,那么△ABC为直角三角形;
④若向量a与b是两个单位向量,则a2=b2.
【跟踪训练】
1.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中,真命题的是
(
　　)
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则λ=0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
探索点二　数量积的基本运算
【例2】　已知|a|=5,|b|=4,根据下列条件,分别求a与b的数量积.
(1)a∥b;　(2)a⊥b;　(3)a与b的夹角为120°．
【跟踪训练】
2.变式练本例题条件不变,若a·b=-10,则向量a与b的夹角为
．
3.同类练已知等腰三角形ABC的底边BC的长为4,则·=
．
4.拔高练如图所示,设正三角形ABC的边长为,=c,=a,=b,则a·b+b·c+c·a=
．
探索点三　向量投影问题
【例3】　(1)已知|a|=3,向量a与b的夹角为,则a在b方向上的投影为
．
(2)已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为,则a在e方向上的投影是
,投影向量是
．
【跟踪训练】
5.已知e为单位向量,|a|=2,当a与向量e的夹角分别为,,时,求a在向量e上的投影向量.

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