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6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.(直观想象)2．能够灵活运用平面向量基本定理解决相关问题.(数据分析)
1．平面向量基本定理沟通了数与形，同时也进一步提出了基底的思想，在学习时要善于类比生活中的实例，如人民币的基本组成，一些社会架构组成的基本单位等.2．在学习平面向量基本定理时要善于结合四边形法则来理解，同时要结合充要条件来加以理解.3．要充分利用平面直角坐标系来加强对平面向量正交分解的理解.
必备知识·探新知
知识点1　平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个__
__向量，那么对于这一平面内的____向量a，__
__实数λ1，λ2，使a＝__
__.
知识点2　基底
若e1，e2__
__，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内__
__向量的一个基底.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一　对基底概念的理解
典例1　(多选)如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)
A．a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝
D．若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
【对点练习】?　(1)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么(　　)
A．若实数m、n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数
C．对于实数m、n，me1＋ne2不一定在此平面上
D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne2
(2)设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是____.(写出所有满足条件的序号)
题型二　用基底表示向量
典例2　(1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论：
①＝－a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＝a.
其中正确的结论的序号为__
__.
(2)如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.
【对点练习】?　如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，
且＝2，则(　　)
A．x＝，y＝　　
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝　　
D．x＝，y＝
题型三　平面向量基本定理的应用
典例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP︰PM与BP︰PN的值.
【对点练习】?　(1)如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝_
.
易错警示
忽视平面向量基本定理的使用条件致误
典例4　已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？
【对点练习】?　已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于____.
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