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6.3.2　平面向量的坐标及其运算
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解平面向量的坐标的定义．2．掌握平面向量的运算与坐标的关系．3．掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式，中点坐标公式．4．掌握向量平行的坐标表示．
1.通过对平面向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养．2．通过平面向量的坐标运算，提升学生的数学运算素养．3．通过学习平面直角坐标系内两点之间的距离公式、中点坐标公式，培养学生的数学运算素养．4．通过学习向量平行的坐标表示，培养学生的逻辑推理、数学运算素养．
必备知识·探新知
知识点1?平面向量的坐标
(1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作__
__.规定零向量与任意向量都__
__．
(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，__
__，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
(3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的__
__向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称__
__为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
知识点2?平面上向量的运算与坐标的关系
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则：
(1)a＋b＝__
_，
(2)a－b＝__
__，
(3)λa＝_
__．
(4)向量相等的充要条件：a＝b?__
．
(5)模长公式：|a|＝__
__．
知识点3?平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
如图所示，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)向量
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，向量＝(x2－x1，y2－y1)．
(2)它们之间的距离：AB＝||＝
____．
(3)设AB的中点M(x，y)，则x＝__
__，y＝____．
知识点4?向量平行的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?__
__．
关键能力·攻重难
题型一、?向量的坐标表示
　典例1　(1)已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a＝4e1－3e2，则向量a的坐标为(　　)A．(4e1,3e2)
B．(4e1，－3e2)
C．(4,3)
D．(4，－3)
(2)已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为____．
对点训练__■
1．已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
题型二、?向量的坐标运算
典例2　(1)已知点A(0,1),
B(3,2)，向量＝(－3，－3)，则向量＝(　　
)
A．(3,2)
B．(－3，－2)
C．(－1，－2)
D．(1,2)
(2)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则||＝__
_，点P的坐标为__
_．
对点训练__■
2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋2，－的坐标．
题型三、?向量共线的坐标表示
典例3　已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
对点训练__■3．已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝，求证：∥．
典例4　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
对点训练__■
4．设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
易错警示
　
典例5　已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，＝＋λ(λ∈R)，点P在第三象限，求λ的取值范围．
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