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§6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
[目标]
1.会用坐标表示平面向量的数量积；2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角；3.能够利用坐标判断向量的垂直关系．
[重点]
用坐标表示平面向量的数量积．
[难点]
用坐标求向量的模及两向量的夹角．
“我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞飞过绝望,不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞给我希望……”,如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示.
问题:数量积有什么作用呢?
知识点一　　　　面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝
.即两个向量的数量积等于
[答一答]
1．公式a·b＝|a||b|cosθ与a·b＝x1x2＋y1y2有什么区别与联系？
知识点二　　　　　平面向量长度(模)的坐标表示
若向量a＝(x，y)，则|a|2＝
，或|a|＝
.
[答一答]
2．对于任意的非零向量a＝(x，y)，如何用坐标表示与向量a同向的单位向量？
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求线段AB的长度？
知识点三　　　　　两向量垂直的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?
.
[答一答]
4．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示有何区别？
知识点四　　　　　平面向量夹角的坐标表示
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝
＝
[答一答]
5．两向量a与b满足a·b<0，a与b的夹角一定是钝角吗？
典例讲练破题型
类型一　　　平面向量数量积的坐标运算
[例1]
　已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，(a＋b)·(2a－b)．
?[变式训练1]　向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．－1　　　B．0
C．1　　　　D．2
类型二　　　　　　向量的模的问题
[例2]　(1)向量与向量a＝(－3,4)的夹角为π，||＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为(　　)
A．(－7,8)　　　
B．(9，－4)
C．(－5,10)
D．(7，－6)
(2)设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，则|b|＝________，cosθ＝________.
[变式训练2]　已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，且||＝2，则点B的坐标为(　　)
A．(5，－4)
B．(4,5)
C．(－5，－4)
D．(5,4)
类型三　　　　向量的夹角与垂直问题
[例3]　(1)已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪(－2，)
B．(，＋∞)
C．(－2，)∪(，＋∞)
D．(－∞，)
(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
(3）若点A（1，2），B（2，3），C(-2,5)，则是什么形状？证明你的猜想。
[变式训练3]　平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝
.
类型四　　　向量方法证明公式
[例4]写出两角差的余弦公式，再用向量方法给于证明.

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