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第二章方程与不等式式第11节
分式方程及应用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■知识点一：分式方程的概念、解法
1．分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有_______的方程叫做分式方程．
2.分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中看分母是不是为__
__．21教育网
3.
增根：使分式方程
的未知数的值即为分式的增根；不是原分式方程的解，分式方程的增根有两个特征：
(1)增根使分母为零；
(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．
4．解分式方程的基本解法
(1)去分母，把分式方程转化为__
__方程．
(2)解这个整式方程，求得方程的根．
(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的__
__，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．www-2-1-cnjy-com
5
用换元法解分式方程的一般步骤：
①
设
，并用含辅助未知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数的代数式去表示方程中另外的代数式；②
解
方程，求出辅助未知数的值；③
把
代入原设中，求出原未知数的值；④
检验作答.21
cnjy
com
■知识点二：列分式方程解应用题
列分式方程解应用题与列整式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方程解应用题的一般步骤基本相同，都分为：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、_______、作答．但与整式方程不同的是求得方程的解后，要进行两次检验：一是检验所求的解是否是
；二是检验所求的解是否__
__．【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.分式方程的概念、解法
◇典例：
（2020年四川省泸州市）已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】解分式方程，分式方程的解
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．
解：去分母，得：m+2(x-1)=3，
移项、合并，解得：x=，
∵分式方程的解为非负数，
∴≥0且≠1，
解得：m≤5且m≠3，
∵m为正整数
∴m=1，2，4，5，共4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．
（2020年黑龙江省哈尔滨市）方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解分式方程
【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解．
解：方程可化简为
经检验是原方程的解
故选D
【点评】本题考察了分式方程及其解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此类问题的关键．
（2019年四川省巴中市）若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为　
　．
【考点】分式方程的增根
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
解：方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝1
故m的值是1，
故答案为1
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根，②化分式方程为整式方程，③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
◆变式训练
（2017年贵州省毕节）的分式方程+5=有增根，则m的值为（　　）
A．1
B．3
C．4
D．5
（2020年广东省广州市）方程的解是_______．
（2020年江苏省苏州市）解方程：．
■考点2.
列分式方程解应用题
◇典例
（2020年四川省宜宾市）学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等，设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】设文学类图书平均每本x元，根据购买的书本数相等即可列出方程．
解：设文学类图书平均每本x元，依题意可得
故选B．
【点评】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．
（2020年湖北省襄阳市）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？
【考点】分式方程的应用
【分析】设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为吨，原来使用的天数为天，现在使用的天数为天，根据120吨水现在使用的天数比原来使用的天数多用3天列出方程求解即可.
解：设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为吨，根据题意得，
-=3
解得，x=10，
经检验，x=10是原方程的根.
∴吨，
答：现在每天用水量是8吨．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求解后要进行检验．
（2020年山东省威海市）在“旅游示范公路”建设的的中，工程队计划在海边某路段修建一条长的步行道，由于采用新的施工方式平均每天修建步行道的长度是计划的倍，结果提前天完成任务，求计划平均每天修建的长度．
【考点】分式方程的应用
【分析】设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，
依题意，得：
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：计划平均每天修建步行道的长度为80m．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
◆变式训练
（2020年广西柳州市）甲、乙二人做某种零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，若设乙每小时做个，则可列方程（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省绵阳市）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（　　）
A．1.2小时
B．1.6小时
C．1.8小时
D．2小时
（2020年湖南省常德市）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
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（2020年四川省成都市）已知是分式方程的解，那么实数的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（
）
A．3
B．5
C．3或5
D．3或4
（2020年四川省甘孜州）分式方程的解为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年海南省）分式方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省遂宁市）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　）
A．m＝2
B．m＝1
C．m＝3
D．m＝﹣3
（2020年重庆市中考数学试题B卷）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　　　
）
A．-1
B．-2
C．-3
D．0
（2020年广西北部湾经济区）甲、乙两地相距，提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，提速后行车时间比提速前减少，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省菏泽市）方程的解是______．
（2020年广西河池市）方程＝的解是x＝_____．
（2020年江苏省镇江市）（1）解方程：＝+1；
（2）解不等式组：
（2020年云南省）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
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1、
选择题
（2020年黑龙江省牡丹江市）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
（2020年四川省阿坝州）分式方程的解为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省荆门市）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（
）
A．正数
B．负数
C．零
D．无法确定
（2020年山东省枣庄市）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
（2020年云南省）若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（
）
A．或
B．或
C．或
D．或或
（2020年重庆市中考数学试题A卷）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（
）
A．7
B．－14
C．28
D．－56
（2020年上海市）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0
B．y2+2y+1=0
C．y2+y+2=0
D．y2+y﹣2=0
（2020年福建省）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年云南省昆明市）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（　　）
A．1600元
B．1800元
C．2000元
D．2400元
1、
填空题
（2020年四川省广元市）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_____________．
（2020年江苏省淮安市）方程的解为__________．
（2020年内蒙古呼和浩特市）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．
（2020年西藏）分式方程＝的解为_____．
（2020年浙江省杭州市）若分式的值等于1，则x＝_____．
（2020年山东省潍坊市）若关于x的分式方程有增根，则_________．
（2020年四川省遂宁市）如图所示，将形状大小完全相同的“?”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“?”的个数为a1，第2幅图中“?”的个数为a2，第3幅图中“?”的个数为a3，…，以此类推，若+++…+＝．（n为正整数），则n的值为_____．
（2020年四川省内江市）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____________
1、
解答题
（2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试题）如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．
(1)求被墨水污染的部分；
(2)原分式的值能等于吗？为什么？
（2020年江苏省常州市）解方程和不等式组：
（1）；
（2）
（2020年江苏省扬州市）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
（2020年吉林省长春市）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
（2020年辽宁省丹东市）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人数是多少？
（2020年湖南省岳阳市）为做好复工复产，某工厂用、两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比型机器人每小时多搬运，且型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．
（2020年湖南省益阳市）“你怎么样，中国便是怎么样：你若光明，中国便不黑暗”。年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城。针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有人不能到厂生产，为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作小时增加到小时，每小时完成的工作量不变原来每天能生产防护服套，现在每天能生产防护服套．
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为小时公司决定将复工后生产的防护服套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
（2020年湖北省恩施州）某校足球队需购买、两种品牌的足球．已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高20元，且用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等．
（1）求、两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买、两种品牌的足球共90个，且品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买品牌足球个，总费用为元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
（2020年内蒙古赤峰市）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米?
（2）我市计划修建长度为3600
m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.
5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天?
（2020年江苏省连云港市）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
（2020年湖南省永州市）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
（2020年浙江省湖州市）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产?
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一
甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二
乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
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11第二章方程与不等式第11节
分式方程及应用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■知识点一：分式方程的概念、解法
1．分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有__未知数__的方程叫做分式方程．
2.分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中看分母是不是为__零__．21
cnjy
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3.
增根：使分式方程分母为零的未知数的值即为分式的增根；不是原分式方程的解，分式方程的增根有两个特征：【来源：21cnj
y.co
m】
(1)增根使分母为零；
(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．
4．解分式方程的基本解法
(1)去分母，把分式方程转化为__整式__方程．
(2)解这个整式方程，求得方程的根．
(3)检验，把解得整式方程的根代入最简
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的__增根__，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．
5
用换元法解分式方程的一般步骤：
①
设辅助未知数
，并用含辅助未知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数的代数式去表示方程中另外的代数式；②
解
方程，求出辅助未知数的值；③
把辅助未知数代入原设中，求出原未知数的值；④
检验作答.
■知识点二：列分式方程解应用题
列分式方程解应用题与列整式方程解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)应用题的一般步骤基本相同，都分为：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、__检验__、作答．但与整式方程不同的是求得方程的解后，要进行两次检验：一是检验所求的解是否是所列分式方程的解；二是检验所求的解是否__符合实际意义__．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.分式方程的概念、解法
◇典例：
（2020年四川省泸州市）已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】解分式方程，分式方程的解
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．
解：去分母，得：m+2(x-1)=3，
移项、合并，解得：x=，
∵分式方程的解为非负数，
∴≥0且≠1，
解得：m≤5且m≠3，
∵m为正整数
∴m=1，2，4，5，共4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．
（2020年黑龙江省哈尔滨市）方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解分式方程
【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解．
解：方程可化简为
经检验是原方程的解
故选D
【点评】本题考察了分式方程及其解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此类问题的关键．
（2019年四川省巴中市）若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为　
　．
【考点】分式方程的增根
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
解：方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝1
故m的值是1，
故答案为1
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根，②化分式方程为整式方程，③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
◆变式训练
（2017年贵州省毕节）的分式方程+5=有增根，则m的值为（　　）
A．1
B．3
C．4
D．5
【考点】分式方程的增根．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
解：方程两边都乘（x﹣1），
得7x+5（x﹣1）=2m﹣1，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣1）=0，
解得x=1，
当x=1时，7=2m﹣1，
解得m=4，
所以m的值为4．
故选C．
【点评】本题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为，②确定增根，化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值。　
（2020年广东省广州市）方程的解是_______．
【考点】解分式方程
【分析】根据分式方程的解法步骤解出即可．
解：
左右同乘2(x+1)得:
2x=3
解得x=．
经检验x=是方程的跟．
故答案为:
．
【点评】本题考查解分式方程,关键在于熟练掌握分式方程的解法步骤．
（2020年江苏省苏州市）解方程：．
【考点】解分式方程
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．
解：方程两边同乘以（），得.
解这个一元一次方程，得．
经检验，是原方程的解．
【点评】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．
■考点2.
列分式方程解应用题
◇典例
（2020年四川省宜宾市）学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等，设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】设文学类图书平均每本x元，根据购买的书本数相等即可列出方程．
解：设文学类图书平均每本x元，依题意可得
故选B．
【点评】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．
（2020年湖北省襄阳市）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？
【考点】分式方程的应用
【分析】设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为吨，原来使用的天数为天，现在使用的天数为天，根据120吨水现在使用的天数比原来使用的天数多用3天列出方程求解即可.
解：设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为吨，根据题意得，
-=3
解得，x=10，
经检验，x=10是原方程的根.
∴吨，
答：现在每天用水量是8吨．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求解后要进行检验．
（2020年山东省威海市）在“旅游示范公路”建设的的中，工程队计划在海边某路段修建一条长的步行道，由于采用新的施工方式平均每天修建步行道的长度是计划的倍，结果提前天完成任务，求计划平均每天修建的长度．
【考点】分式方程的应用
【分析】设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，
依题意，得：
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：计划平均每天修建步行道的长度为80m．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
◆变式训练
（2020年广西柳州市）甲、乙二人做某种零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，若设乙每小时做个，则可列方程（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】设乙每小时做个零件，则甲每小时做个零件，根据题意可得，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，据此列方程．
解：设乙每小时做个零件，则甲每小时做个零件，
由题意得：，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
（2020年四川省绵阳市）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（　　）
A．1.2小时
B．1.6小时
C．1.8小时
D．2小时
【考点】分式方程的应用
【分析】设乙驾车时长为x小时，则乙驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．
解：设乙驾车时长为x小时，则乙驾车时长为（3﹣x）小时，
根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，
根据题意得：，
解得：x1＝1.8或x2＝9，
经检验：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，
x2＝9不合题意，舍去，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的关系，找到题意中的等量关系．
（2020年湖南省常德市）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【考点】分式方程的应用
【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系：4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，
由题意得：﹣＝140，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，
15x
=15×4＝60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．
【点睛】本题主要考察的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系，是解答此题的关键．
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（2020年四川省成都市）已知是分式方程的解，那么实数的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】分式方程的解
【分析】将代入原方程，即可求出值．
解：将代入方程中，得
解得：
．
故选：B．
【点评】本题考查了方程解的概念．使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．“有根必代”是这类题的解题通法．
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（
）
A．3
B．5
C．3或5
D．3或4
【考点】分式方程的解，解分式方程
【分析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．
解：，
两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，
当时，是原分式方程的解；
当时，是原分式方程的解；
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
（2020年四川省甘孜州）分式方程的解为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解分式方程
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．
解：方程变形得.
方程的两边同乘（x-1）,得3=x-1.
解得x=4.
经检验，x=4是原方程的解．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．
（2020年海南省）分式方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解分式方程
【分析】先去分母化成整式方程，然后解整式方程即可．
解：
解：
3=x-2
x=5
经检验x=5是分式方程的解
所以该分式方程的解为x=5．
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的解法，掌握解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1和检验是解答本题的关键，而且检验也是这类题的易错点．
（2020年四川省遂宁市）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　）
A．m＝2
B．m＝1
C．m＝3
D．m＝﹣3
【考点】分式方程的增根
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
（2020年重庆市中考数学试题B卷）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　　　
）
A．-1
B．-2
C．-3
D．0
【考点】解一元一次不等式组，解分式方程
【分析】首先由不等式组的解集为x≥5，得a＜3，然后由分式方程有非负整数解，得a≥-2且a≠2的偶数，即可得解.
解：由题意，得
，即
，即
∴，即
，解得
有非负整数解，即
∴a≥-2且a≠2
∴且
∴符合条件的所有整数a的数有：-2，-1,0,1
又∵为非负整数解，
∴符合条件的所有整数a的数有：-2,0
∴其和为
故选：B.
【点评】此题主要考查根据不等式组的解集和分式方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.
（2020年广西北部湾经济区）甲、乙两地相距，提速前动车的速度为，提速后动车的速度是提速前的倍，提速后行车时间比提速前减少，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】行驶路程都是600千米；提速前后行驶时间分别是：；因为提速后行车时间比提速前减少，所以，提速前的时间-提速后的时间=．
解：根据提速前的时间-提速后的时间=，可得
即
故选：A
【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
（2020年山东省菏泽市）方程的解是______．
【考点】解分式方程
【分析】方程两边都乘以化分式方程为整式方程，解整式方程得出的值，再检验即可得出方程的解．
解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：时，，
所以分式方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2020年广西河池市）方程＝的解是x＝_____．
【考点】解分式方程
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可，注意求出x的值后记得要代入原方程进行检验，看是否有意义．
解：方程的两边同乘（2x+1）×（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1，
解这个方程，得：x＝﹣3，
经检验，x＝﹣3是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了分式的求解，首先需要注意要给等式两边同时乘以最简公分母，其次计算结束后要对方程的解进行检验，要求熟练掌握分式方程的解题规则．
（2020年江苏省镇江市）（1）解方程：＝+1；
（2）解不等式组：
【考点】解一元一次不等式组，解分式方程
【分析】（1）解分式方程的步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验；
（2）先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，然后根据是否存在公共部分求解即可．
解：（1）＝+1，
2x＝1+x+3，
2x﹣x＝1+3，
x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
∴此方程的解是x＝4；
（2），
由①得，4x﹣x＞﹣2﹣7，
3x＞﹣9，
x＞﹣3；
由②得，3x﹣6＜4+x，
3x﹣x＜4+6，
2x＜10，
x＜5，
两个不等式的解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集是﹣3＜x＜5．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组、分式方程，要掌握解方程和不等式的步骤和方法，解分式方程时要进行检验．
（2020年云南省）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
【考点】分式方程的应用
【分析】设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据“实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务”列出方程即可求解．
解：设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据题意，得：
，
解得：x=45，
经检验，x=45是原分式方程的解，
则2x=2×45=90．
答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
【点评】此题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意设出适当的未知数，找出等量关系，列方程求解，注意检验．
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1、
选择题
（2020年黑龙江省牡丹江市）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
【考点】分式方程的解，解分式方程
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解.
解：∵解方程，
去分母得：，
整理得：，
∵方程有解，
∴，
∵分式方程的解为正数，
∴，解得：m＞2，
而x≠-1且x≠0，
则≠-1，≠0，
解得：m≠0，
综上：m的取值范围是：m＞2.
故选C.
【点评】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
（2020年四川省阿坝州）分式方程的解为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：3?（x?1）＝0，
去括号得：3?x＋1＝0，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是分式方程的解．
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（2020年湖北省荆门市）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（
）
A．正数
B．负数
C．零
D．无法确定
【考点】解分式方程，解一元一次不等式组
【分析】先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．
解：关于x的分式方程
得x=，
∵
∴
解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3
∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,
故选A．
【点评】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
（2020年山东省枣庄市）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】定义新运算，解分式方程
【分析】根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．
解：
∴方程表达为：
解得：，
经检验，是原方程的解，
故选：B．
【点评】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
【考点】解分式方程,解一元一次不等式
【分析】先解分式方程利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可．
解：方程两边同时乘以得，，
解得：．
∵为正数，
∴，解得，
∵，
∴，即，
∴的取值范围是且．
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程及不等式的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，
（2020年云南省）若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（
）
A．或
B．或
C．或
D．或或
【考点】一元一次不等式组的整数解，解分式方程
【分析】先解不等式组，根据不等式组的整数解确定的范围，结合为整数，再确定的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案．
解：
由①得：
由②得：＞，
因为不等式组有且只有45个整数解，
＜
＜
＜
＜
为整数，
为
，
而
且
又
综上：的值为：
故选B．
【点评】本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正数，易错点是疏忽分式方程有意义，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年重庆市中考数学试题A卷）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（
）
A．7
B．－14
C．28
D．－56
【考点】分式方程的解，解一元一次不等式组
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
解：解不等式，解得x≤7，
∴不等式组整理的，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y?a＋3y?4＝y?2，即3y?2＝a，
解得：y＝，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2020年上海市）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0
B．y2+2y+1=0
C．y2+y+2=0
D．y2+y﹣2=0
【考点】换元法解分式方程
【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．
解：把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．
故选：A．
【点评】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
（2020年福建省）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．
解：由题意得：，
故选A.
【点评】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
（2020年云南省昆明市）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（　　）
A．1600元
B．1800元
C．2000元
D．2400元
【考点】分式方程的应用
【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可．
解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，
根据题意得：，
解得：x＝2000，
经检验：x＝2000是原方程的解，
答：每间直播教室的建设费用是2000元，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
1、
填空题
（2020年四川省广元市）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_____________．
【考点】分式方程的解，解分式方程
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
解：去分母得：m+4x-2=0，
解得：x＝，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴＞0，
∴m<2，
∵2x-1≠0，
∴，
∴m≠0，
∴m的取值范围是m<2且m≠0．
故答案为：m<2且m≠0．
【点评】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
（2020年江苏省淮安市）方程的解为__________．
【考点】异分母分式加法法则，分式为零的条件
【分析】先用异分母分式加法法则运算，然后利用分式为零的条件解答即可．
解：
则：
，解得x=-2．
故答案为x=-2．
【点评】本题考查了异分母分式加法法则和分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键．
（2020年内蒙古呼和浩特市）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．
【考点】最简公分母，解分式方程
【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．
解：∵，
∴分式与的最简公分母是，
方程，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，变形得：，
解得：x=2或-4，
∵当x=2时，=0，当x=-4时，≠0，
∴x=2是增根，
∴方程的解为：x=-4．
【点评】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
（2020年西藏）分式方程＝的解为_____．
【考点】解分式方程
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：方程两边同时乘以(x-1)(x+1)，得：2x+2＝3x﹣3，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时(x-1)(x+1)≠0，
所以x=5是分式方程的解，
故答案为：x＝5.
【点评】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的方法以及注意事项是解题的关键.解分式方程注意要检验．
（2020年浙江省杭州市）若分式的值等于1，则x＝_____．
【考点】解分式方程
【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．
解：由分式的值等于1，得
＝1，
解得x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
故答案为：0．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
（2020年山东省潍坊市）若关于x的分式方程有增根，则_________．
【考点】分式方程的增根
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值．
解：去分母得：，整理得：，
∵关于的分式方程有增根，即，
∴，
把代入到中得：，解得：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
（2020年四川省遂宁市）如图所示，将形状大小完全相同的“?”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“?”的个数为a1，第2幅图中“?”的个数为a2，第3幅图中“?”的个数为a3，…，以此类推，若+++…+＝．（n为正整数），则n的值为_____．
【考点】规律型：图形的变化类，解分式方程
【分析】先根据已知图形得出an＝n（n+1），代入到方程中，再将左边利用裂项化简，解分式方程可得答案．
解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，
∴an＝n（n+1），
∵+++…+＝，
∴+++…+=，
∴2×（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）=，
∴2×（1﹣）＝，
1﹣＝，
解得n＝4039，
经检验：n＝4039是分式方程的解．
故答案为：4039．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形得出an＝n（n+1）及是解题的关键.
（2020年四川省内江市）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____________
【考点】解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a5且a≠3，根据不等式组的解集为，即可得出a>0，找出0解：分式方程的解为x=且x≠1，
∵分式方程的解为非负数，
∴且≠1.
∴a5且a≠3.
解不等式①，得.
解不等式②，得y∵关于y的不等式组的解集为，
∴a>0.
∴0又a为整数，则a的值为1，2，4，5.
符合条件的所有整数a的积为.
故答案为：40.
【点评】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为，找出a的取值范围是解题的关键．
1、
解答题
（2020年浙江省杭州市余杭区国际学校中考数学一模试题）如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．
(1)求被墨水污染的部分；
(2)原分式的值能等于吗？为什么？
【考点】解分式方程
【分析】（1）设被墨水污染的部分是A，计算即可得到结论；
（2）令，解得x=4，而当x=4时，原分式无意义，所以不能．
解：（1）设被墨水污染的部分是A，则，解得：A=
x-4；
（2）不能，若，则x=4，由原题可知，当x=4时，原分式无意义，所以不能．
【点评】本题考查了分式方程的解法，在解题过程中注意增根。
（2020年江苏省常州市）解方程和不等式组：
（1）；
（2）
【考点】解分式方程，解一元一次不等式组
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．
解：（1）
去分母得：
解得x=0，
经检验x=0是分式方程的解；
（2）
由①得：x＜3
由②得：x≥﹣2
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3．
【点评】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．
（2020年江苏省扬州市）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
【考点】分式方程的运用
【分析】设出乙的进货价为x，表示出乙的进货数量，表示出甲的进货数量与进货价，根据假的进货数量乘以进货价等于甲的总金额列出方程，解出方程即可．
解：设乙的进货价为x，则乙的进货数量为
件，
所以甲的数量为（+40）件，甲的进货价为x（1+50%）
可列方程为：x（1+50%）（+40）=7200
4800+60x=7200
60x=2400
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解，
所以乙的进价为40元/件．
答：乙商品的进价为40元/件．
，+40=120，x（1+50%）=60，
补全进货单如下表：
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
60
120
7200
乙
40
80
3200
【点评】本题考查了分式方程的运用，分式方程的解法的运用及工程问题的数量关系的运用，解答时根据假的进货数量乘以进货价等于甲的总金额列出方程是关键．
（2020年吉林省长春市）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
【考点】分式方程的应用
【分析】由题意设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
解：设该村企去年黑木耳的年销量为万斤
依题意得
解得：
经检验是原方程的根，且符合题意．
答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．
【点评】本题考查分式方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
（2020年辽宁省丹东市）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人数是多少？
【考点】分式方程的应用
【分析】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，列出方程求解并检验即可．
解：设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据题意得，
，
解得，，
经检验，是原方程的解，
∴
x+150=400+150=450，
答：八年级捐书人数是450人．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程求解并检验．
（2020年湖南省岳阳市）为做好复工复产，某工厂用、两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比型机器人每小时多搬运，且型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．
【考点】分式方程的应用
【分析】设A型号机器人每小时搬运原料，先求出B型号机器人每小时搬运原料，再根据“型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等”建立方程，然后求解即可．
解：设A型号机器人每小时搬运原料，则B型号机器人每小时搬运原料
由题意得：
解得
经检验，是所列分式方程的解
则
答：A型号机器人每小时搬运原料，B型号机器人每小时搬运原料．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键．需注意的是，求出分式方程的解后，一定要进行检验．
（2020年湖南省益阳市）“你怎么样，中国便是怎么样：你若光明，中国便不黑暗”。年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城。针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有人不能到厂生产，为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作小时增加到小时，每小时完成的工作量不变原来每天能生产防护服套，现在每天能生产防护服套．
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为小时公司决定将复工后生产的防护服套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
【考点】分式方程的应用
【分析】（1）设原来生产防护服的工人有人，每小时完成的工作量为套，根据题意列出方程组，求解即可．
（2）求出10天后，还剩余多少防护服没生产，根据（1）求出复工后每天的生产数量，相除即可得出结果．
解：（1）设原来生产防护服的工人有人，每小时完成的工作量为套，
根据原来每天工作小时，每天能生产防护服套，
得．
根据现在每天工作小时，每天能生产防护服套，
得．
联立方程，得
∴
得
解得=20，=5．
经检验x=20，y=5是原方程的解
即原来生产防护服的工人有20人．
（2）复工10天，生产
套，剩余套．
由（1）可知：原来生产防护服的工人有20人，每小时完成的工作量为5套．
由题意知：10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．
则每天生产套．
需要天．
【点睛】本题主要考查函数的性质及整式的乘除，熟练掌握函数的性质及整式的乘除是解题的关键．
（2020年湖北省恩施州）某校足球队需购买、两种品牌的足球．已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高20元，且用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等．
（1）求、两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买、两种品牌的足球共90个，且品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买品牌足球个，总费用为元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
【考点】分式方程的应用，一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90?m）个B品牌足球，根据总价＝单价×数量结合总价不超过8500元，以及品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据题意，得
解得：x=100
经检验x=100是原方程的解
x-20=80
答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元．
（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90?m）个B品牌足球，则
W=100m+80(90-m)=20m+7200
∵品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．
∴
解不等式组得：60≤m≤65
所以，m的值为：60,61,62,63,64,65
即该队共有6种购买方案，
当m=60时，W最小
m=60时，W=20×60+7200=8400(元)
答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B
品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（2020年内蒙古赤峰市）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米?
（2）我市计划修建长度为3600
m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.
5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天?
【考点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，根据甲工程队修500米公路需要的天数=乙工程队修500米公路需要的天数－5即可列出分式方程，解方程并检验后即得答案；
（2）设安排乙队施工y天，根据甲工程队施工费用+乙工程队施工费用≤40万元即可列出不等式，解不等式即可求出y的范围，进而可得结果．
解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，
根据题意，得，
解得：x=50，
经检验：x=50是所列方程的根，2x=100．
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．
（2）设安排乙队施工y天，根据题意，得，
解得：，所以y最小为32．
答：至少安排乙队施工32天．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等和不等关系是解题的关键．
（2020年江苏省连云港市）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【考点】二元一次方程的应用,分式方程的应用
【分析】（1）设乙公司有x人，则甲公司有人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论;
（2）（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案．
解：（1）设乙公司有人，则甲公司有人，由题意得
，解得．
经检验，是原方程的解．
∴．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，由题意得
，整理得．
又因为，且、为正整数，
所以，．
答：有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资．
【点评】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
（2020年湖南省永州市）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
【考点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为元，列分式方程求解即可；
（2）设购进一次性医用口罩y只，根据题意列不等式求解即可．
解：（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为元
由题意可知，，
解方程
得．
经检验是原方程的解，
当时，．
答：一次性医用口罩和N95口单价分别是2元，12元．
（2）设购进一次性医用口罩y只
根据题意得，
解不等式得．
答：药店购进一次性医用口罩至少1400只．
【点评】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握列分式方程与列不等式是解题的关键．
（2020年浙江省湖州市）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产?
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一
甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二
乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用，分式方程的应用
【分析】（1）设甲、乙两车间各有x、y人，根据甲、乙两车间共有50人和甲、乙两车间20天共生产零件总数之和为2700个列方程组，解方程组即可解决问题；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，根据“完成生产任务的时间相同”列分式方程求解即可；
②先求得企业完成生产任务所需的时间，分别求得需增加的费用，再比较即可解答．
解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：
，
解得．
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
=，
解得m=5．
经检验，m=5是原方程的解，且符合题意，
∴乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为：
=18（天）．
∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500=17700（元）．
选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）．
∵17700＜18000，
∴选择方案一能更节省开支．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
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