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第二讲：幂的运算（2）
一、主要内容
1、同底数幂的除法法则
2、零指数幂与负整数指数幂
3、科学记数法的一般形式
二、基本概念
1、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
1、计算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
2、计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
3、已知，，求的值．
举一反三：【变式】已知以=2，=4，=32．则的值为　　．
2、零指数幂与负整数指数幂
零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
负整数指数幂：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.
（、为整数，）；
（为整数，，）
（、为整数，）.
要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.
4、计算：（1）；（2）．
举一反三：【变式】计算：．
5、
已知，，则的值＝________．
举一反三：【变式】计算：（1）；（2）；
3、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
6、观察下列计算过程：
（1）∵÷=，÷==，∴=
（2）当a≠0时，∵÷===，÷==，=,
由此可归纳出规律是：=（a≠0，P为正整数）
请运用上述规律解决下列问题：
（1）填空：=　　；=　　．
（2）用科学记数法：3×=　
　．（写成小数形式）
（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法的形式是：　
　．
三、课堂讲解
1.
下列计算正确的是（　　）
A．
B．÷=
C．+=
D．?=
2.下列计算中正确的是(
)．
A.
B.
C.
D.
3．近似数0.33万表示为（
）
A．3.3×
B．3.3000×
C．3.3×
D．0.33×
4．的结果是（
）
A．
B．
C．2
D．0
5.．将这三个数按从小到大的顺序排列为（）
A．
B．
C．
D．
6.下列各式中正确的有（
）
①②；③；④；⑤．
A．2个
B．3个
C．4个
D．1个
二.填空题
7.
______，＝______．
8.
__________,__________,______.
9．
＝______，＝______．
10．一种细菌的半径为0.0004，用科学记数法表示为______.
11．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．
12.若=-2,
=-，则=　
　．
三.解答题
13．已知=3，=5．求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
14．用小数表示下列各数：
（1）8.5×
（2）2.25×
（3）9.03×
15.
先化简，后求值：，其中.
【达标检测】
一、单选题
1、下列运算中，正确的是（??
）
A、x3+x3=2x6
B、x2?x3=x6
C、x18÷x3=x6
D、（x2）3=x6
2、下列运算正确的是（??
）
A、a2?a3=a6
B、（﹣a2）3=﹣a6
C、（ab）2=ab2
D、a6÷a3=a2
3、下列运算中，正确的是（??
）
A、3a﹣2a=a
B、（a2）3=a5
C、a2?a3=a6
D、a10÷a5=a2
4、计算（﹣x）2?x3所得的结果是（??
）
A、x5
B、﹣x5
C、x6
D、﹣x6
二、填空题
5、计算：3a3?a2﹣2a7÷a2=
________．
6、若5m=3，5n=2，则52m+n=________．
7、若3n=2，3m=5，则32m+3n﹣1=________．
8、已知8×2x=212
，
那么x=________．
9、22?（﹣2）3=________；（
）0×3﹣2=________；（﹣0.25）2013×42014=________．
三、计算题（共10题；共60分）
10、[（x﹣y）2]3?（x﹣y）3
．
11、（x﹣2y）3?（x﹣2y）5÷[（2y﹣x）2]3
．
12、已知10a=5，10b=6，求102a+3b的值．
13、已知x3n=2，求x6n+x4n?x5n的值．
已知3×9m×27m=321
，
求（﹣m2）3÷（m3?m2）m的值．
已知：x3n﹣2÷xn+1=x3﹣n?xn+2
，
求n的值．
已知am?an=a7
，
am÷an=a5
，
求mn的值．
计算。
(1)若2?8n?16n=222
，
求n的值．
(2)已知3m=6，9n=2，求32m﹣4n的值．第二讲：幂的运算（2）
一、主要内容
1、同底数幂的除法法则
2、零指数幂与负整数指数幂
3、科学记数法的一般形式
二、基本概念
1、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）
要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
1、计算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案与解析】解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．
2、计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案与解析】解：（1）．
（2）
（3）．
（4）．
【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．
3、已知，，求的值．
【答案与解析】解：．
当，时，原式．
【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含，的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．
举一反三：【变式】已知以=2，=4，=32．则的值为　　．
【答案】解：
==8，==16，
=?÷=8×16÷32=4
2、零指数幂与负整数指数幂
零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）
要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
负整数指数幂：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.
（、为整数，）；
（为整数，，）
（、为整数，）.
要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.
4、计算：（1）；（2）．
【答案与解析】解：（1）；
（2）．
【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．
举一反三：【变式】计算：．
【答案】解：
5、
已知，，则的值＝________．
【答案与解析】∵
，∴
．
∵
，，∴
，．∴
．
【总结升华】先将变形为底数为3的幂，，，然后确定、的值，最后代值求．
举一反三：【变式】计算：（1）；（2）；
【答案】解：（1）原式．（2）原式．
3、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
6、观察下列计算过程：
（1）∵÷=，÷==，∴=
（2）当a≠0时，∵÷===，÷==，=,
由此可归纳出规律是：=（a≠0，P为正整数）
请运用上述规律解决下列问题：
（1）填空：=　　；=　　．
（2）用科学记数法：3×=　
　．（写成小数形式）
（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法的形式是：　
　．
【答案与解析】
解：（1）=；
==；
（2）3×=0.0003，
（3）0.00000002=2×．
三、课堂讲解
1.
下列计算正确的是（　　）
A．
B．÷=
C．+=
D．?=
2.下列计算中正确的是(
)．
A.
B.
C.
D.
3．近似数0.33万表示为（
）
A．3.3×
B．3.3000×
C．3.3×
D．0.33×
4．的结果是（
）
A．
B．
C．2
D．0
5.．将这三个数按从小到大的顺序排列为（）
A．
B．
C．
D．
6.下列各式中正确的有（
）
①②；③；④；⑤．
A．2个
B．3个
C．4个
D．1个
二.填空题
7.
______，＝______．
8.
__________,__________,______.
9．
＝______，＝______．
10．一种细菌的半径为0.0004，用科学记数法表示为______.
11．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．
12.若=-2,
=-，则=　
　．
三.解答题
13．已知=3，=5．求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）的值．
14．用小数表示下列各数：
（1）8.5×
（2）2.25×
（3）9.03×
15.
先化简，后求值：，其中.
【答案与解析】
一.选择题
1.A；2.C；3.C；4.C；5.A；6.D；
二.填空题
7.3；；
8.；
9.；
10.；
11.；
12.-32；
三.解答题
13.（1）=?=3×5=15；
（2）===27；
（3）=?÷2=×5÷2=．
14.（1）8.5×＝0.0085
（2）2.25×＝0.0000000225
（3）9.03×＝0.0000903
15.原式
当时，原式.
【达标检测】
一、单选题
1、下列运算中，正确的是（??
）
A、x3+x3=2x6
B、x2?x3=x6
C、x18÷x3=x6
D、（x2）3=x6
2、下列运算正确的是（??
）
A、a2?a3=a6
B、（﹣a2）3=﹣a6
C、（ab）2=ab2
D、a6÷a3=a2
3、下列运算中，正确的是（??
）
A、3a﹣2a=a
B、（a2）3=a5
C、a2?a3=a6
D、a10÷a5=a2
4、计算（﹣x）2?x3所得的结果是（??
）
A、x5
B、﹣x5
C、x6
D、﹣x6
二、填空题
5、计算：3a3?a2﹣2a7÷a2=
________．
6、若5m=3，5n=2，则52m+n=________．
7、若3n=2，3m=5，则32m+3n﹣1=________．
8、已知8×2x=212
，
那么x=________．
9、22?（﹣2）3=________；（
）0×3﹣2=________；（﹣0.25）2013×42014=________．
三、计算题（共10题；共60分）
10、[（x﹣y）2]3?（x﹣y）3
．
11、（x﹣2y）3?（x﹣2y）5÷[（2y﹣x）2]3
．
12、已知10a=5，10b=6，求102a+3b的值．
13、已知x3n=2，求x6n+x4n?x5n的值．
已知3×9m×27m=321
，
求（﹣m2）3÷（m3?m2）m的值．
已知：x3n﹣2÷xn+1=x3﹣n?xn+2
，
求n的值．
已知am?an=a7
，
am÷an=a5
，
求mn的值．
计算。
(1)若2?8n?16n=222
，
求n的值．
(2)已知3m=6，9n=2，求32m﹣4n的值．
【答案与解析】
一、单选题
1、D
2、B
3、A
4、A
二、填空题
5、
a5
6、18
7、
8、9
9、﹣32；；﹣4
三、计算题
10、原式=（x﹣y）6?（x﹣y）3=（x﹣y）9
．
11、
（x﹣2y）3?（x﹣2y）5÷[（2y﹣x）2]3=（x﹣2y）3?（x﹣2y）5÷[（x﹣2y）2]3
=（x﹣2y）8÷（x﹣2y）6=x2﹣4xy+4y2
12、∵10a=5，10b=6，
∴102a+3b=102a×103b=（10a）2×（10b）3=52×63=25×216=5400
13、∵x3n=2，
∴x6n+x4n?x5n=（x3n）2+x9n=（x3n）2+（x3n）3=4+8=12．
14、3×9m×27m=321
，
31+2m+3m=321
，
m=4，
（﹣m2）3÷（m3?m2）m=﹣m6÷m5m=﹣46÷45×4=﹣46﹣20=﹣4﹣14=﹣
．
15、x3n﹣2÷xn+1=x3n﹣2﹣n﹣1=x2n﹣3
，
x3﹣n?xn+2=x3﹣n+n+2=x5
，
∵x2n﹣3=x5
，∴2n﹣3=5，解得：n=4．
16、由题意得，am+n=a7
，
am﹣n=a5
，
则
，解得：
，
故mn=6
17、2?8n?16n
=2×23n×24n
=27n+1
，∵2?8n?16n=222
，∴7n+1=22，解得n=3
（2）解：∵3m=6，9n=2，
∴32m=（3m）2=36，34n=（32n）2=（9n）2=4，
则32m﹣4n=9

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