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第三章函数
第13节
平面直角坐标系和函数的概念
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)■考点1：用坐标表示位置
平面直角坐标系的相关内容：
(1)平面直角坐标系的有关概念：在平面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)内两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系.水平的数轴称为横轴（或x轴），竖直的数轴称为纵轴（或y轴）．两条数轴把平面分成四个部分，这四个部分称作四个象限【来源：21cnj
y.co
m】
(2)点的坐标：在平面内，任意一个点都可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)以用一组有序实数对来表示，如A(a，b)．(a，b)即为点A的坐标，其中a是点A的
横
坐标，B是点A的
纵坐标．
■考点2：平面直角坐标系内点的坐标特征
【设点P(a，b)】：
①各象限点的特征：
第一象限(+，+)
；
第二象限（—，+）
；
第三象限（一，一）
；
第四象限（+，一）．
②特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则b=0
；
若点P在y轴上，则a=0
；
若点P在一、三象限角平分线上，则a=b
；
若点P在二、四象限角平分线上，则a+b=0．
■考点3：平面直角坐标系中的对称点的坐标
点P(a，b)关于x轴的对称点P’（a，一b）
点P(a，b)关于y轴的对称点P’（一a，b）
点P(a，b)关于原点的对称点P’（一a，一b）
．
■考点4.坐标与图形变化
点的坐标延伸【设点P(a，b)、点M(c，d)】：
①点P到y轴的距离为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，到y轴的距离为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．到原点的距离为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．
②1)将点P沿水平方向平移m(m>0)个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a+m，b)；
点P沿水平向左方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a-m，b)；
2)将点P沿竖直方向平移n(n>0)个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n(n>0)个单位后坐标为(a，b+n)；
点P沿竖直方向向下平移n(n>0)个单位后坐标为(a，b—n)．
③若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；
④点P到点M的距离：PM=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
⑤线段PM的中点坐标：(
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?))
■考点5.函数自变量的取值范围
①函数表达式是整式，自变量的取值是__全体实数__；
②函数表达式是分式，自变量的取值要使得__分母不等于0__；
③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得__被开方数__为非负数；
④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.
函数的有关知识及其图象：
(1)常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生
变化
的量叫做变量．
21·世纪
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(2)函数的定义：一般的，在某个变化过程
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数．
(3)函数的表示方法：①解析式法；②
图象法；③列表法．
(4)函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：
（5）描点法画图像的一般步骤：列表、描点、连线
■考点6.函数图象的判断
（1）分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t（或线段长为x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，
再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
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■考点1：用坐标表示位置
◇典例：
（2020年湖北省宜昌市）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（
）．
A．小李现在位置为第1排第2列
B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列
D．小谢现在位置为第4排第2列
【考点】坐标确定位置
【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．
解：A.
小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；
B.
小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；
C.
小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；
D.
小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了位置的确定，根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．
◆变式训练
（2018年北京市）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③
B．②③④
C．①④
D．①②③④
【考点】坐标确定位置
【分析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标即可判断．
解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及各点的横纵坐标．
■考点2：平面直角坐标系内点的坐标特征
◇典例：
（2020年贵州省毕节市）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】点的坐标
【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标．
解：设点M的坐标是（x，y）．
∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，
∴|y|=5，|x|=4．
又∵点M在第二象限内，
∴x=-4，y=5，
∴点M的坐标为（-4，5），
故选C．
【点评】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；第二象限点的坐标符号（-，+）．
（2020年江苏省扬州市）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】各象限内点的坐标特点
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
解：∵x2＋2＞0，
∴点P（x2＋2，?3）所在的象限是第四象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
◆变式训练
（2020年湖南省株洲市）在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则a的取值可以是（
）
A．1
B．
C．
D．4或-4
【考点】四个象限内点坐标的特征
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断．
解：∵点是第二象限内的点，
∴，
四个选项中符合题意的数是，
故选：B
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
（2020年辽宁省朝阳市）如图，动点P从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…则第2068秒点P所在位置的坐标是_______________．
【考点】点的坐标规律
【分析】分析点P的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解．
解：由题意分析可得，
动点P第8=2×4秒运动到（2，0）
动点P第24=4×6秒运动到（4，0）
动点P第48=6×8秒运动到（6，0）
以此类推，动点P第2n(2n+2)秒运动到（2n，0）
∴动点P第2024=44×46秒运动到（44，0）
2068-2024=44
∴按照运动路线，点P到达（44，0）后，向右一个单位，然后向上43个单位
∴第2068秒点P所在位置的坐标是（45，43）
故答案为：（45，43）
【点评】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
■考点3：平面直角坐标系中的对称点的坐标
◇典例
（2020年四川省阿坝州）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数'解答即可.
解：点关于轴对称的点的坐标是，
故选：A
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
（2020年湖北省黄石市）在平面直角坐标系中，点G的坐标是，连接，将线段绕原点O旋转，得到对应线段，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】关于原点对称的点的坐标
【分析】根据题意可得两个点关于原点对称，即可得到结果．
解：根据题意可得，与G关于原点对称，
∵点G的坐标是，
∴点的坐标为．
故选A．
【点睛】本题主要考察了平行直角坐标系中点的对称变换，准确理解公式是解题的关键．
◆变式训练
（2020年广东省）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
解：点关于轴对称的点的坐标为（3，-2），
故选：D．
【点评】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．
（2020年江苏省淮安市）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】关于原点对称
【分析】根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．
解：关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,
所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),
故选C．
【点评】本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识．
■考点4.坐标与图形变化
◇典例：
（2020年江苏省连云港市）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为________．
【考点】坐标与图形性质
【分析】先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可．
解：设正方形的边长为，
则由题设条件可知：
解得：
点A的横坐标为：，点A的纵坐标为：
故点A的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键．
（2020年山东省烟台市）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转
【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．
解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），
故答案为：（4，2）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
◆变式训练
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为__________．
【考点】坐标与图形变化-平移
【分析】根据B点横坐标与A点横坐标之差和E点横坐标与D点横坐标之差相等即可求解．
解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为：，
由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与B、A两点横坐标之差相等，
设E点横坐标为a，
则a-6=1，∴a=7，
∴E点坐标为(7,0)
．
故答案为：(7,0)
．
【点评】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键.
（2020年江苏省南通市）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】坐标与图形变化-旋转
【分析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限．
解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，
得点Q所在的象限为第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
■考点5.函数自变量的取值范围
◇典例
（2020年山东省菏泽市）函数的自变量的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围．
解：由题意得：
解得：且
故选D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键．
◆变式训练
（2020年江苏省无锡市）函数中自变量的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数自变量取值范围
【分析】由二次根式的被开方数大于等于0问题可解
解：由已知，3x﹣1≥0可知，故选B．
【点评】本题考查了求函数自变量取值范围，解答时注意通过二次根式被开方数要大于等于零求出x取值范围．
（2020年湖北省黄石市）函数的自变量x的取值范围是（
）
A．，且
B．
C．
D．，且
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．
解：依题意可得x-3≠0，x-2≥0
解得，且
故选A．
【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．
■考点6.函数图象的判断
◇典例
（2020年湖北省恩施州）甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（
）．
A．甲车的平均速度为
B．乙车的平均速度为
C．乙车比甲车先到城
D．乙车比甲车先出发
【考点】函数的图象
【分析】根据图象逐项分析判断即可．
解：由图象知：
A．甲车的平均速度为=，故此选项正确；
B．乙车的平均速度为，故此选项正确；
C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确；
D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．
（2020年山东省东营市）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】根据图象可知点P沿匀速运动到点C，此时AC最长，CP在AB边上先变小后变大，从而可求出AB上的高，从图象可以看出点P运动到点B时CP=CB=13，可知△ABC是等腰三角形，进而得出结论．
解：由图象可知：点P在A上时，CP=AC=13，
点P在AB上运动时，在图象上有最低点，即AB边上的高，为12，
点P与点B重合时，CP即
BC最长，为13，
所以，△ABC是等腰三角形，
∴AB的长=2×
故选：C
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度．
◆变式训练
（2020年江苏省连云港市）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图像得出如下结论：
①快车途中停留了；
②快车速度比慢车速度多；
③图中；
④快车先到达目的地．
其中正确的是（
）
A．①③
B．②③
C．②④
D．①④
【考点】函数的图象
【分析】根据函数图像与路程的关系即可求出各车的时间与路程的关系，依次判断．
解：当t=2h时，表示两车相遇，
2-2.5h表示两车都在休息，没有前进，2.5-3.6时，其中一车行驶，其速度为=80km/h，
设另一车的速度为x,
依题意得2（x+80）=360,
解得x=100km/h,
故快车途中停留了3.6-2=1.6h，①错误；
快车速度比慢车速度多，②正确；
t=5h时，慢车行驶的路程为（5-0.5）×80=360km，即得到目的地，比快车先到，故④错误；
t=5h时，快车行驶的路程为（5-1.6）×100=340km，
故两车相距340m，故③正确；
故选B．
【点评】此题主要考查函数的图象，解题的关键是根据函数图像得到路程与时间的关系．
（2020年山东省淄博市）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（
）
A．12
B．24
C．36
D．48
【考点】动点问题的函数图象
【分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．
解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，
故选：D．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
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（2020年湖南省邵阳市）已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】四个象限内点坐标的特征
【分析】根据，得出，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
解：∵
∴
选项Ａ：在第一象限
选项Ｂ：在第二象限
选项Ｃ：在第三象限
选项Ｄ：在第四象限
小手盖住的点位于第二象限
故选：B
【点评】本题考查了点的象限的判断，熟练进行正负的判断是解题的关键．
（2020年四川省成都市）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】坐标与图形变化-平移
【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，即可解答．
解：将点P向下平移2个单位长度所得到的点坐标为，即，
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
（2020年四川省甘孜州）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数'解答即可.
解：点关于轴对称的点的坐标是，
故选：A
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
（2020年四川省阿坝州）函数中，自变量的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
解：由题意，得x+3≠0，
解得x≠-3．
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
（2020年湖北省黄冈市）2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象是（
）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象
【分析】正确理解函数图象与实际问题的关系，题目中的脱销时库存量为0．
解
：根据题意：一开始销售量与生产量持平，此时图象为平行于x轴的线段，
当下列猛增是库存随着时间的增加而减小，
时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．
故选：D．
【点评】本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
（2020年四川省攀枝花市）甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（
）．
A．两人出发1小时后相遇
B．赵明阳跑步的速度为
C．王浩月到达目的地时两人相距
D．王浩月比赵明阳提前到目的地
【考点】动点问题的函数图像
【分析】根据图像可得两地之间的距离，再分别算出两人的行进速度，据此可得各项数据进而判断各选项.
解：由图可知：当时间为0h时，两人相距24km，
即甲乙两地相距24km，
当时间为1h时，甲乙两人之间距离为0，
即此时两人相遇，故A正确；
∵24÷1=24，可得两人的速度和为24km/h，
由于王浩月先到达目的地，故赵明阳全程用了3h，
∴赵明阳的速度为24÷3=8km/h，故B正确；
可知王浩月的速度为24-8=16km/h，
∴王浩月到达目的地时，用了24÷16=h，
此时赵明阳行进的路程为：×8=12km，
即此时两人相距12km，故C错误；
赵明阳到达目的地时，用了3h，
则3-==1.5h，
∴王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地，故D正确.
故选C.
【点评】本题考查了动点问题的函数图像，解题时要充分理解题意，读懂函数图像的意义.
（2020年湖南省衡阳市）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段、，……，（为正整数），则点的坐标是_________．
【考点】规律型：点的坐标,坐标与图形变化-旋转
【分析】根据题意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到线段OP3=4=22，OP4=8=23…，OPn=2n-1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．
解：∵点P1的坐标为，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP1；
∴OP1=1，OP2=2，
∴OP3=4，如此下去，得到线段OP4=23，OP5=24…，
∴OPn=2n-1，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8=252…4，
∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴负半轴上，
∴点P2020的坐标是（0，-22019）．
故答案为：（0，-22019）．
【点评】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2014的坐标与点P6的坐标在同一直线上是解题关键．
（2020年江苏省南通市）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．96cm2
B．84cm2
C．72cm2
D．56cm2
【考点】动点问题的函数图象
【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当x=14时，点P与点D重合，则AD=12，可得出答案．
解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，
过点E作EH⊥BC，
由三角形面积公式得：y＝，
解得EH＝AB＝6，
∴BH=AE=8,
由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，
∴ED=4,
∴BC=AD＝12，
∴矩形的面积为12×6＝72．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．
（2020年广西北部湾经济区）在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为__________．
【考点】坐标与图形变化-旋转
【分析】建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B的坐标即可．
解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（-4，3）．
故答案为（-4，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
（2019年黑龙江省齐齐哈尔、黑河市）甲、乙两地间的直线公路长为千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是_______千米/小时；轿车的速度是_______千米/小时；值为_______．
（2）求轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距千米．
【考点】函数的图像
【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）分别求出得、、的坐标，运用待定系数法解得即可；
（3）根据题意列方程解答即可．
解：（1）车的速度是千米/小时；轿车的速度是：千米/小时；．
故答案为：；；；
（2）由题意可知：，，，
设直线的解析式为，
，
当时，，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得，
，
；
（3）设货车出发小时后两车相距千米，根据题意得：
或，
解得或．
答：货车出发小时或小时后两车相距千米．
【点睛】本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类题的一个难度，必须分段研究.
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1、
选择题
（2020年湖北省黄冈市）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】四个象限内点坐标的特征
【分析】根据点在第三象限，可得，，进而判定出点B横纵坐标的正负，即可解决．
解：∵点在第三象限，
∴，，
∴，
∴，
∴点B在第一象限，
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握点的坐标特征．
（2020年山东省滨州市）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点
【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可.
解：设点M的坐标为（x，y），
∵点M到x轴的距离为4，
∴，
∴，
∵点M到y轴的距离为5，
∴，
∴，
∵点M在第四象限内，
∴x=5，y=-4，
即点M的坐标为（5，-4）
故选：D.
【点评】此题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点.
（2020年四川省凉山州）点A(2,3)关于x轴对称的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标
【分析】利用平面直角坐标系内，对称坐标的特点即可解答.
解：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数
∴点关于x轴对称的点的坐标是（2，-3）
故选B
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数；关于y轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数.
（2020年浙江省台州市）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，-1）对应点的坐标为（
）
A．（0，0）
B．（1，2）
C．（1，3）
D．（3，1）
【考点】坐标与图形变化-平移
【分析】先找到顶点C的对应点为F，再根据直角坐标系的特点即可得到坐标．
解：∵顶点C的对应点为F，
由图可得F的坐标为（3，1），
故选D．
【点评】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知直角坐标系的特点．
（2020年山东省青岛市）如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（
）
A．（0，4）
B．（2，-2）
C．（3，-2）
D．（-1，4）
【考点】坐标与图形变化-平移，坐标与图形变化-旋转
【分析】根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标．
解：如图所示：A的坐标为（4，2），向上平移1个单位后为（4，3），再绕点P逆时针旋转90°后对应点的坐标为（-1，4）．
故选：D．
【点评】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键．
（2020年湖北省恩施州）函数的自变量的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式分母不等于0列式计算即可得解．
解：根据题意得，x＋1≥0且x≠0，
解得：x≥?1且x≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
（2020年贵州省遵义市）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　）
A．
B．C．
D．
【考点】函数的图象
【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化．问题便可解答．
解：对于乌龟，其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；最后同时到达终点，可排除B，D选项
对于兔子，其运动过程可分为三段：据此可排除A选项
开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快．
故选：C
【点评】本题考查了函数图象的性质进行简单的合情推理，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
（2020年湖北省武汉市）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（
）
A．32
B．34
C．36
D．38
【考点】分段函数
【分析】设每分钟的进水量为，出水量为，先根据函数图象分别求出b、c的值，再求出时，y的值，然后根据每分钟的出水量列出等式求解即可．
解：设每分钟的进水量为，出水量为
由第一段函数图象可知，
由第二段函数图象可知，
即
解得
则当时，
因此，
解得
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的应用，理解题意，从函数图象中正确获取信息，从而求出每分钟的进水量和出水量是解题关键．
（2020年北京市）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（
）
A．正比例函数关系
B．一次函数关系
C．二次函数关系
D．反比例函数关系
【考点】列函数关系式
【分析】设水面高度为
注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案．
解：设水面高度为
注水时间为分钟，
则由题意得：
所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，
故选B．
【点评】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市）如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当P在线段AD上时，即时，如解图1
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；
II．当P在线段CD上时，即时，如解图2：
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
1、
填空题
（2020年浙江省金华市、丽水市）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．
【考点】四个象限内点坐标的特征
【分析】根据第二象限的点符号是“-，+”，m取负数即可．
解：∵点P(m，2)在第二象限内，
∴，
m取负数即可，如m=-1，
故答案为：－1（答案不唯一，负数即可）．
【点评】本题考查了已知点所在象限求参数，属于基础题，掌握第二象限点坐标的符号是“-，+”是解题的关键．
（2020年黑龙江省大庆市）点(2，3)关于y轴对称的点的坐标为_____．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
解：点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）如图，已知直线，直线和点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为____．
【考点】规律型：点的坐标
【分析】根据题意求出P1,P5,P9…的坐标，发现规律即可求解．
解：∵，在直线上
∴（1,1）；
∵过点作x轴的平行线交直线b于点，在直线上
∴（-2,1）
同理求出P3（-2，-2），P4（4，-2），P5（4，4），P6（-8，4），P7（-8，-8），P8（16，-8），P9（16，16）…
可得P4n+1(22n,
22n
)(n≥1，n为整数)
令4n+1=2021
解得n=505
∴P2021(,
)
∴的横坐标为．
【点评】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质，找到坐标规律进行求解．
（2020年黑龙江省绥化市）在函数中，自变量x的取值范围是_________．
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解：根据题意得：，
解得：且．
故答案为：且．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
（2020年山东省烟台市）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为_____．
【考点】函数值
【分析】根据﹣3＜﹣1确定出应代入y＝2x2中计算出y的值．
解：∵﹣3＜﹣1，
∴x＝﹣3代入y＝2x2，得y＝2×9＝18，
故答案为：18．
【点评】本题主要考查函数值的计算，理解题意是前提条件，熟练掌握函数值的定义是解题的关键．
（2020年上海市）已知f(x)=，那么f(3)的值是____．
【考点】函数值
【分析】根据f(x)=，将代入即可求解．
解：由题意得：f(x)=，
∴将代替表达式中的，
∴f(3)==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数值的求法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．
（2020年山东省威海市）下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为__________．
……
……
……
……
【考点】函数的三种表达方式
【分析】根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中的点(-1，0)、(0，3)、(1，4)、(3，0)任取三个点带入函数关系式，求出二次项系数、一次项系数、常数项即可求得答案．
解：根据表中x与y之间的数据，假设函数关系式为：，并将表中(-1，0)、(0，3)、(1，4)三个点带入函数关系式，得：
解得：，
∴函数的表达式为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的表达式，解题的关键是掌握函数的三种表达方式：列表法、解析式法、图像法，本题就是将列表法转变为解析式法．
（2020年内蒙古通辽市）如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为_______．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，证明四边形ABCD为菱形，得到点A和点D关于BC对称，从而得到PA+PE=PD+PE，推出当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=，分别求出PA+PE的最小值为3，PC的长，即可得到结果.
解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，
可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC，
∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称，
∴PA+PE=PD+PE，
当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，
观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=，
∵点E是AB中点，
∴BE+BD=3BE=，
∴BE=，AB=BD=，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴DE⊥AB，∠BDE=30°，
∴DE=3，即PA+PE的最小值为3，
即点H的纵坐标为a=3，
当点P为DE和BC交点时，
∵AB∥CD，
∴△PBE∽△PCD，
∴，
∵菱形ABCD中，AD⊥BC，
∴BC=2×=6，
∴，
解得：PC=4，
即点H的横坐标为b=4，
∴a+b=3+4=7，
故答案为：7.
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
1、
解答题
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：
…
0
1
2
3
4
5
…
…
6
3
2
1.5
1.2
1
…
（1）当
时，；
（2）根据表中数值描点，并画出函数图象；
（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：
．
【考点】函数的图象
【分析】（1）观察列表即可得出答案；
（2）依照表格中的数据描出各个点，然后利用光滑的曲线连接各点即可；
（3）观察函数图像，写出一条符合函数图像的性质即可．
解：（1）通过观察表格发现：当时，，
故答案为：3；
（2）如下图：
（3）观察第（2）问中的图像可以得出一个结论：函数图像与轴无限接近，但没有交点；
【点评】本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象中读取相关的信息．
（2020年天津市）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍，给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开宿舍的时间/
2
5
20
23
30
离宿舍的距离/
0.2
0.7
（Ⅱ）填空：
①食堂到图书馆的距离为_______．
②小亮从食堂到图书馆的速度为_______．
③小亮从图书馆返回宿舍的速度为_______．
④当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为_______．
（Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【考点】函数的图象
【分析】（Ⅰ）根据函数图象分析计算即可；
（Ⅱ）①结合题意，从宿舍出发，根据图象分析即可；
②结合图像确定路程与时间，然后根据速度等于路程除以时间进行计算即可；
③据速度等于路程除以时间进行计算即可；
④需要分两种情况进行分析，可能是从学校去食堂的过程，也有可能是从学校回宿舍；
（Ⅲ）分段根据函数图象，结合“路程=速度时间”写出函数解析式.
解：（Ⅰ）从宿舍到食堂的速度为0.22=0.1，
0.15=0.5；
离开宿舍的时间为23min时，小亮在食堂，故离宿舍的距离为0.7km；
离开宿舍的时间为30min时，小亮在图书馆，故离宿舍的距离为1km
故答案依次为：0.5，0.7，1，
（Ⅱ）①1-0.7=0.3，
∴食堂到图书馆的距离为0.3；
故答案为：0.3；
②（1-0.7）（28-23）=0.06km/min,
∴小亮从食堂到图书馆的速度为0.06
故答案为：0.06；
③1（68-58）=0.1km/min,
∴小亮从图书馆返回宿舍的速度为0.1；
故答案为：0.1；
④当是小亮从宿舍去食堂的过程中离宿舍的距离为，
则此时的时间为0.60.1=6min.
当是小亮从图书馆回宿舍，离宿舍的距离为0.6km,
则从学校出发回宿舍已经走了1-0.6=0.4(km)，
0.4
0.1=4(min)
58+4=62(min)
故答案为：6或62．
（Ⅲ）当时，；
当时，
当时，设，将（23，0.7）（28，1）代入解析式
，解得
∴．
【点评】本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键．
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点__________．
【考点】点的坐标
【分析】直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．
解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．
（2019年广西桂林市）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1，
（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐为（﹣4，3），
（3）在（2）的条件下，直接写出点A1的坐标．
【考点】作图﹣平移变换
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1，
（2）利用A点坐标画出直角坐标系，
（3）利用第二象限点的坐标特征写出点A1的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，
（2）如图，
（3）点A1的坐标为（2，6）．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
34第三章函数
第13节
平面直角坐标系和函数的概念
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)■考点1：用坐标表示位置
平面直角坐标系的相关内容：
(1)平面直角坐标系的有关概念：在平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面内两条
且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系.水平的数轴称为横轴（或x轴），竖直的数轴称为纵轴（或y轴）．两条数轴把平面分成四个部分，这四个部分称作四个
【来源：21cnj
y.co
m】
(2)点的坐标：在平面内，任意一个点都
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)可以用一组
来表示，如A(a，b)．(a，b)即为点A的坐标，其中a是点A的
坐标，B是点A的
坐标．
■考点2：平面直角坐标系内点的坐标特征
【设点P(a，b)】：
①各象限点的特征：
第一象限
；
第二象限
；
第三象限
；
第四象限
②特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则
；
若点P在y轴上，则
；
若点P在一、三象限角平分线上，则
；
若点P在二、四象限角平分线上，则
．
■考点3：平面直角坐标系中的对称点的坐标
点P(a，b)关于x轴的对称点P’
点P(a，b)关于y轴的对称点P’
点P(a，b)关于原点的对称点P’
．
■考点4.坐标与图形变化
点的坐标延伸【设点P(a，b)、点M(c，d)】：
①点P到y轴的距离为
，到y轴的距离为
．到原点的距离为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．
②1)将点P沿水平方向平移m(m>0)个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a+m，b)；
点P沿水平向左方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a-m，b)；
2)将点P沿竖直方向平移n(n>0)个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n(n>0)个单位后坐标为(a，b+n)；
点P沿竖直方向向下平移n(n>0)个单位后坐标为(a，b—n)．
③若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；
④点P到点M的距离：PM=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
⑤线段PM的中点坐标：(
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?))
■考点5..函数自变量的取值范围
①函数表达式是整式，自变量的取值是__
__；
②函数表达式是分式，自变量的取值要使得__
__；
③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得__
__为非负数；
④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.
函数的有关知识及其图象：
(1)常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生
变化
的量叫做变量．
21教育网
(2)函数的定义：一般的，在某个变化过
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)程中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数．
(3)函数的表示方法：①解析式法；②
图象法；③列表法．
(4)函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：
（5）描点法画图像的一般步骤：列表、描点、连线
■考点6.函数图象的判断
（1）分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t（或线段长为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，
再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)■考点1：用坐标表示位置
◇典例：
（2020年湖北省宜昌市）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（
）．
A．小李现在位置为第1排第2列
B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列
D．小谢现在位置为第4排第2列
【考点】坐标确定位置
【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．
解：A.
小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；
B.
小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；
C.
小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；
D.
小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了位置的确定，根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．
◆变式训练
（2018年北京市）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：
①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；
②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；
③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；
④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③
B．②③④
C．①④
D．①②③④
■考点2：平面直角坐标系内点的坐标特征
◇典例：
（2020年贵州省毕节市）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】点的坐标
【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标．
解：设点M的坐标是（x，y）．
∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，
∴|y|=5，|x|=4．
又∵点M在第二象限内，
∴x=-4，y=5，
∴点M的坐标为（-4，5），
故选C．
【点评】本题考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；第二象限点的坐标符号（-，+）．
（2020年江苏省扬州市）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】各象限内点的坐标特点
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
解：∵x2＋2＞0，
∴点P（x2＋2，?3）所在的象限是第四象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
◆变式训练
（2020年湖南省株洲市）在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则a的取值可以是（
）
A．1
B．
C．
D．4或-4
（2020年辽宁省朝阳市）如图，动点P从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…则第2068秒点P所在位置的坐标是_______________．
■考点3：平面直角坐标系中的对称点的坐标
◇典例
（2020年四川省阿坝州）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数'解答即可.
解：点关于轴对称的点的坐标是，
故选：A
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
（2020年湖北省黄石市）在平面直角坐标系中，点G的坐标是，连接，将线段绕原点O旋转，得到对应线段，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】关于原点对称的点的坐标
【分析】根据题意可得两个点关于原点对称，即可得到结果．
解：根据题意可得，与G关于原点对称，
∵点G的坐标是，
∴点的坐标为．
故选A．
【点睛】本题主要考察了平行直角坐标系中点的对称变换，准确理解公式是解题的关键．
◆变式训练
（2020年广东省）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年江苏省淮安市）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
■考点4.坐标与图形变化
◇典例：
（2020年江苏省连云港市）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为________．
【考点】坐标与图形性质
【分析】先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可．
解：设正方形的边长为，
则由题设条件可知：
解得：
点A的横坐标为：，点A的纵坐标为：
故点A的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键．
（2020年山东省烟台市）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转
【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．
解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），
故答案为：（4，2）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
◆变式训练
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为__________．
（2020年江苏省南通市）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
■考点5.函数自变量的取值范围
◇典例
（2020年山东省菏泽市）函数的自变量的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围．
解：由题意得：
解得：且
故选D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键．
◆变式训练
（2020年江苏省无锡市）函数中自变量的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省黄石市）函数的自变量x的取值范围是（
）
A．，且
B．
C．
D．，且
■考点6.函数图象的判断
◇典例
（2020年湖北省恩施州）甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（
）．
A．甲车的平均速度为
B．乙车的平均速度为
C．乙车比甲车先到城
D．乙车比甲车先出发
【考点】函数的图象
【分析】根据图象逐项分析判断即可．
解：由图象知：
A．甲车的平均速度为=，故此选项正确；
B．乙车的平均速度为，故此选项正确；
C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确；
D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．
（2020年山东省东营市）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象
【分析】根据图象可知点P沿匀速运动到点C，此时AC最长，CP在AB边上先变小后变大，从而可求出AB上的高，从图象可以看出点P运动到点B时CP=CB=13，可知△ABC是等腰三角形，进而得出结论．
解：由图象可知：点P在A上时，CP=AC=13，
点P在AB上运动时，在图象上有最低点，即AB边上的高，为12，
点P与点B重合时，CP即
BC最长，为13，
所以，△ABC是等腰三角形，
∴AB的长=2×
故选：C
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度．
◆变式训练
（2020年江苏省连云港市）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图像得出如下结论：
①快车途中停留了；
②快车速度比慢车速度多；
③图中；
④快车先到达目的地．
其中正确的是（
）
A．①③
B．②③
C．②④
D．①④
（2020年山东省淄博市）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（
）
A．12
B．24
C．36
D．48
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（2020年湖南省邵阳市）已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省成都市）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省甘孜州）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省阿坝州）函数中，自变量的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省黄冈市）2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象是（
）
A．B．
C．D．
（2020年四川省攀枝花市）甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（
）．
A．两人出发1小时后相遇
B．赵明阳跑步的速度为
C．王浩月到达目的地时两人相距
D．王浩月比赵明阳提前到目的地
（2020年湖南省衡阳市）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段、，……，（为正整数），则点的坐标是_________．
（2020年江苏省南通市）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．96cm2
B．84cm2
C．72cm2
D．56cm2
（2020年广西北部湾经济区）在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为__________．
（2019年黑龙江省齐齐哈尔、黑河市）甲、乙两地间的直线公路长为千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是_______千米/小时；轿车的速度是_______千米/小时；值为_______．
（2）求轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距千米．
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1、
选择题
（2020年湖北省黄冈市）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2020年山东省滨州市）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省凉山州）点A(2,3)关于x轴对称的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省台州市）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，-1）对应点的坐标为（
）
A．（0，0）
B．（1，2）
C．（1，3）
D．（3，1）
（2020年山东省青岛市）如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（
）
A．（0，4）
B．（2，-2）
C．（3，-2）
D．（-1，4）
（2020年湖北省恩施州）函数的自变量的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
（2020年贵州省遵义市）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　）
A．
B．C．
D．
（2020年湖北省武汉市）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水，容器内水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是（
）
A．32
B．34
C．36
D．38
（2020年北京市）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（
）
A．正比例函数关系
B．一次函数关系
C．二次函数关系
D．反比例函数关系
（2020年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市）如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
1、
填空题
（2020年浙江省金华市、丽水市）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．
（2020年黑龙江省大庆市）点(2，3)关于y轴对称的点的坐标为_____．
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）如图，已知直线，直线和点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为____．
（2020年黑龙江省绥化市）在函数中，自变量x的取值范围是_________．
（2020年山东省烟台市）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为_____．
（2020年上海市）已知f(x)=，那么f(3)的值是____．
（2020年山东省威海市）下表中与的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为__________．
……
……
……
……
（2020年内蒙古通辽市）如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为_______．
1、
解答题
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：
…
0
1
2
3
4
5
…
…
6
3
2
1.5
1.2
1
…
（1）当
时，；
（2）根据表中数值描点，并画出函数图象；
（3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：
．
（2020年天津市）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍，图书馆离宿舍．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆停留借书后，匀速走了返回宿舍，给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与离开宿舍的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开宿舍的时间/
2
5
20
23
30
离宿舍的距离/
0.2
0.7
（Ⅱ）填空：
①食堂到图书馆的距离为_______．
②小亮从食堂到图书馆的速度为_______．
③小亮从图书馆返回宿舍的速度为_______．
④当小亮离宿舍的距离为时，他离开宿舍的时间为_______．
（Ⅲ）当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
（2019年甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市、陇南市、庆阳市）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点__________．
（2019年广西桂林市）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1，
（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐为（﹣4，3），
（3）在（2）的条件下，直接写出点A1的坐标．
18

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