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第二章方程与不等式第12节一元一次不等式（组）及其应用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.
不等式的有关概念和性质
1．用_________连接而成的数学式子叫做不等式．
2．能使不等式成立的未知数的值的全体，叫做___________，简称为不等式的解．
3．求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做_____________．
4.不等式的基本性质
（1）．a＜b，b＜c?a＜c.这个性质也叫做不等式的传递性．
（2）不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向__
__．
即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数，所得的不等式__
__；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须__
__不等号的方向，所得的不等式成立．
a＞b，且c＞0?ac＞bc，＞；
a＞b，且c＜0?ac＜bc，＜.
■考点2.　一元一次不等式(组)的概念及解法
1．一元一次不等式
(1)不等号的两边都是整式，而且只含有______未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．www.21-cn-jy.com
(2)解一元一次不等式的基本步骤：去分母，__
__，移项，__
__，系数化为1.
2．一元一次不等式组
(1)由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．【版权所有：21教育】
(3)先分别求出不等式组中各个不等式的解并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
3.
一元一次不等式组解集的四种情况，如下
两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
?
不等式组（其中a图示
解集
口诀
x≥b
同大取大
x≦a
同小取小
a≦x≦b
大小小大中间找
空集
小小大大找不到
■考点3..不等式（组）的应用
（1）列不等式或不等式组解决实际问题，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、
“超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；②设，设出适当的未知数；③找，找出能够包含未知数的不等量关系；④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；⑤解，求出不等式（组）的解；⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；⑦答，写出答案，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1：不等式的有关概念和性质
◇典例：
（2020年贵州省贵阳、安顺市）已知，下列式子不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】不等式的性质
【分析】根据不等式的性质解答．
解：A、不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a?1＜b?1，故本选项不符合题意；
B、不等式a＜b的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意；
C、不等式a＜b的两边同时乘以，不等式仍成立，即：，再在两边同时加上1，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意；
D、不等式a＜b的两边同时乘以m，当m>0，不等式仍成立，即；当m<0，不等号方向改变，即；当m=0时，；故不一定成立，故本选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
◆变式训练
（2020年江苏省常州市）如果，那么下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
■考点2：一元一次不等式(组)的概念及解法
◇典例
（2020年辽宁省沈阳市）不等式的解集是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式
【分析】根据不等式的基本性质，不等号两边同时除以2即可得出答案．
解:不等式两边同时除以2得：x≤3，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解题关键在于熟练掌握不等式的性质，利用不等式的性质进行解题．
（2020年黑龙江省哈尔滨市）不等式的解集为_______________．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可．
解：
解不等式①得，x≤-3；
解不等式②得，x＜-1；
所以，不等式组的解集为：x≤-3．
【点评】本题主要考查了求不等式组的解集，熟记口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（空集）”．
（2020年广西北部湾经济区）如图，数轴上所表示的x的取值范围为_____．
【考点】在数轴上表示的不等式的解集
【分析】根据数轴上表示的不等式的解集即可得结论．
解：观察数轴可知：
x＞﹣1，且x≤3，
所以x的取值范围为﹣1＜x≤3．
故答案为﹣1＜x≤3．
【点评】本题考查的是不等式的解集在数轴上的表示，注意数轴上的点是空心点还是实心点.
（2020年河南省）已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__________．
【考点】数轴,解一元一次不等式组
【分析】先根据数轴确定a，b的大小，再根据确定不等式组的解集原则：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）确定解集即可．
解：∵由数轴可知，a＞b，
∴关于的不等式组的解集为x＞a，
故答案为：x＞a．
【点评】本题考查的是由数轴确定不等式组的解集，根据“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”得出不等式组的解集是解答此题的关键．
（2020年四川省遂宁市）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是______．
【考点】一元一次不等式组的整数解
【分析】解不等式组得出其解集为﹣2＜x≤，根据不等式组有且只有三个整数解得出1≤＜2，解之可得答案．
解：解不等式，得：x＞﹣2，
解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴1≤＜2，
解得：1≤m＜4，
故答案为：1≤m＜4．
【点评】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．
◆变式训练
（2020年海南省）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省黄石市）不等式组的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省衢州市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省凉山州）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是________________.
■考点3不等式（组）的应用
◇典例：
（2020年重庆市中考数学试题B卷）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元．小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
【考点】一元一次不等式的应用
【分析】设小明最多还可以买个作业本，根据题意列出不等式，利用不等式的正整数解可得答案．
解：设小明最多还可以买个作业本，则
为正整数，
不等式的最大正整数解是：
小明最多还可以买4本作业本．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，掌握根据题意列不等式，以及确定不等式的正整数解是解题的关键．
（2020年四川省雅安市）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）
【考点】一元一次不等式组的应用
【分析】设共有x人，根据如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵，可列出不等式组．
解：设共有x名学生，依题意有：
，
解得：44＜x＜45.5，
∵x为整数，
∴x=45，
∴3x+86=221．
答：共有45名学生，一共种植221棵树.
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，理解题意的能力，设出人数就能表示出植树棵数，然后根据每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵，可列出不等式组．
◆变式训练
（2020年湖北省宜昌市）红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平均速度，用时2小时到达，由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，这样需要用小时到达，求的取值范围．
（2020年山东省济宁市）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5
000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?
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（2020年江苏省宿迁市）若a＞b，则下列等式一定成立的是（　　）
A．a＞b+2
B．a+1＞b+1
C．﹣a＞﹣b
D．|a|＞|b|
（2020年湖南省株洲市）下列哪个数是不等式的一个解？（
）
A．-3
B．
C．
D．2
（2020年新疆）不等式组的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省眉山市）不等式组的整数解有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
（2020年四川省宜宾市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年吉林省）不等式的解集为_______．
（2020年湖北省鄂州市）关于x的不等式组的解集是___________．
（2020年宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为_____．
（2020年山东省枣庄市）解不等式组，并求它的所有整数解的和．
（2020年江苏省苏州市）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为．
（1）当时，求的值；
（2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
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1、
选择题
（2020年浙江省杭州市）若a＞b，则（　　）
A．a﹣1≥b
B．b+1≥a
C．a+1＞b﹣1
D．a﹣1＞b+1
（2020年山东省德州市）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省襄阳市）不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年甘肃省天水市）若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为(　　　)
A．
B．
C．
D．
（2020年辽宁省铁岭、葫芦岛市）不等式组的整数解的个数是（
）
A．2
B．
3
C．4
D．5
（2020年四川省广元市）关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省潍坊市）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省宜宾市）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（
）
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
1、
填空题
（2020年四川省绵阳市）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
（2020年贵州省毕节市）不等式的解集是_______．
（2020年山东省滨州市）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________．
（2020年贵州省黔东南州）不等式组的解集为_____．
（2020年江苏省宿迁市）不等式组的解集是_____．
（2020年辽宁省鞍山市）不等式组的解集为________．
（2020年湖南省湘西州）不等式组的解集为______________．
（2020年浙江省温州市）不等式组的解集为_______．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
（2020年四川省攀枝花市）世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有________人进公园，买40张门反而合算．
1、
解答题
（2020年江苏省淮安市）解不等式．
解：去分母，得．
……
（1）请完成上述解不等式的余下步骤：
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是
（填“A”或“B”）
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（2020年湖北省黄冈市）解不等式，并在数轴上表示其解集．
（2020年广东省广州市）解不等式组：．
（2020年天津市）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得_______________；
（Ⅱ）解不等式②，得_____________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为_______________．
（2020年河北省）已知两个有理数：－9和5．
（1）计算：；
（2）若再添一个负整数，且－9，5与这三个数的平均数仍小于，求的值．
（2020年四川省自贡市）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
⑴.
发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵.
探究问题：如图，点分别表示的是
，．
∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.的最小值是
；
②.利用上述思想方法解不等式：
③.当为何值时，代数式的最小值是2．
（2020年江苏省扬州市）解不等式组，并写出它的最大负整数解．
（2020年山东省菏泽市）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
（2020年黑龙江省大庆市）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元．
（1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元．求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
15第二章方程与不等式第12节一元一次不等式（组）及其应用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.
不等式的有关概念和性质
1．用__不等号__连接而成的数学式子叫做不等式．
2．能使不等式成立的未知数的值的全体，叫做__不等式的解集__，简称为不等式的解．
3．求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做__解不等式__．
4.不等式的基本性质
（1）．a＜b，b＜c?a＜c.这个性质也叫做不等式的传递性．
（2）不等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向__不变__．
即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)所得的不等式__仍成立__；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须__改变__不等号的方向，所得的不等式成立．
a＞b，且c＞0?ac＞bc，＞；
a＞b，且c＜0?ac＜bc，＜.
■考点2.　一元一次不等式(组)的概念及解法
1．一元一次不等式
(1)不等号的两边都是整式，而且只含有__一个__未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．
(2)解一元一次不等式的基本步骤：去分母，__去括号__，移项，__合并同类项__，系数化为1.
2．一元一次不等式组
(1)由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
(2)一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
(3)先分别求出不等式组中各个不等式的解并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
3.
一元一次不等式组解集的四种情况，如下
两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
不等式组（其中a图示
解集
口诀
x≥b
同大取大
x≦a
同小取小
a≦x≦b
大小小大中间找
空集
小小大大找不到
■考点3..不等式（组）的应用
（1）列不等式或不等式组
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、
“超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
（2）列不等式（组）解应用题
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的一般步骤：①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；②设，设出适当的未知数；③找，找出能够包含未知数的不等量关系；④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；⑤解，求出不等式（组）的解；⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；⑦答，写出答案，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1：不等式的有关概念和性质
◇典例：
（2020年贵州省贵阳、安顺市）已知，下列式子不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】不等式的性质
【分析】根据不等式的性质解答．
解：A、不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a?1＜b?1，故本选项不符合题意；
B、不等式a＜b的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意；
C、不等式a＜b的两边同时乘以，不等式仍成立，即：，再在两边同时加上1，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意；
D、不等式a＜b的两边同时乘以m，当m>0，不等式仍成立，即；当m<0，不等号方向改变，即；当m=0时，；故不一定成立，故本选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
◆变式训练
（2020年江苏省常州市）如果，那么下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】不等式的性质
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、由x＜y可得：，故选项成立；
B、由x＜y可得：，故选项不成立；
C、由x＜y可得：，故选项不成立；
D、由x＜y可得：，故选项不成立；
故选A.
【点评】本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
■考点2：一元一次不等式(组)的概念及解法
◇典例
（2020年辽宁省沈阳市）不等式的解集是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式
【分析】根据不等式的基本性质，不等号两边同时除以2即可得出答案．
解:不等式两边同时除以2得：x≤3，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解题关键在于熟练掌握不等式的性质，利用不等式的性质进行解题．
（2020年黑龙江省哈尔滨市）不等式的解集为_______________．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可．
解：
解不等式①得，x≤-3；
解不等式②得，x＜-1；
所以，不等式组的解集为：x≤-3．
【点评】本题主要考查了求不等式组的解集，熟记口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（空集）”．
（2020年广西北部湾经济区）如图，数轴上所表示的x的取值范围为_____．
【考点】在数轴上表示的不等式的解集
【分析】根据数轴上表示的不等式的解集即可得结论．
解：观察数轴可知：
x＞﹣1，且x≤3，
所以x的取值范围为﹣1＜x≤3．
故答案为﹣1＜x≤3．
【点评】本题考查的是不等式的解集在数轴上的表示，注意数轴上的点是空心点还是实心点.
（2020年河南省）已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__________．
【考点】数轴,解一元一次不等式组
【分析】先根据数轴确定a，b的大小，再根据确定不等式组的解集原则：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）确定解集即可．
解：∵由数轴可知，a＞b，
∴关于的不等式组的解集为x＞a，
故答案为：x＞a．
【点评】本题考查的是由数轴确定不等式组的解集，根据“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”得出不等式组的解集是解答此题的关键．
（2020年四川省遂宁市）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是______．
【考点】一元一次不等式组的整数解
【分析】解不等式组得出其解集为﹣2＜x≤，根据不等式组有且只有三个整数解得出1≤＜2，解之可得答案．
解：解不等式，得：x＞﹣2，
解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴1≤＜2，
解得：1≤m＜4，
故答案为：1≤m＜4．
【点评】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．
◆变式训练
（2020年海南省）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式
【分析】直接运用不等式的性质解答即可．
解：
x＜1+2
x＜3．
故答案为A．
【点评】本题考查了不等式的解法和不等式的性质，灵活运用不等式的性质是解答本题的关键．
（2020年湖北省黄石市）不等式组的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其公共部分即可．
解
由①得，
x＜?2；
由②得，x≥?3，
所以不等式组的解集为．
故选：C．
【点睛】本题的实质是求不等式的公共解，解答时要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
（2020年浙江省衢州市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集
【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
解：，
由①得x≤1；
由②得x＞﹣1；
故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
在数轴上表示出来为：
．
故选：C．
【点睛】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
（2020年四川省凉山州）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是________________.
【考点】一元一次不等式的整数解，一元一次不等式组
【分析】解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解，进而求出a的范围．
解：
解不等式①得，x＞8；
解不等式②得，x＜2-4a；
∴不等式组的解集为8＜x＜2-4a.
∵不等式组有4个整数解，
∴12＜2-4a≤13，
∴-≤a＜-
【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
■考点3不等式（组）的应用
◇典例：
（2020年重庆市中考数学试题B卷）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元．小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
【考点】一元一次不等式的应用
【分析】设小明最多还可以买个作业本，根据题意列出不等式，利用不等式的正整数解可得答案．
解：设小明最多还可以买个作业本，则
为正整数，
不等式的最大正整数解是：
小明最多还可以买4本作业本．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，掌握根据题意列不等式，以及确定不等式的正整数解是解题的关键．
（2020年四川省雅安市）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）
【考点】一元一次不等式组的应用
【分析】设共有x人，根据如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵，可列出不等式组．
解：设共有x名学生，依题意有：
，
解得：44＜x＜45.5，
∵x为整数，
∴x=45，
∴3x+86=221．
答：共有45名学生，一共种植221棵树.
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，理解题意的能力，设出人数就能表示出植树棵数，然后根据每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵，可列出不等式组．
◆变式训练
（2020年湖北省宜昌市）红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平均速度，用时2小时到达，由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，这样需要用小时到达，求的取值范围．
【考点】一元一次不等式组的应用
【分析】根据平均速度可以算出总路程，往返路程不变，再根据时间=路程÷速度的等量关系列出不等式，即可作答．
解：
（千米）
（小时）
（小时）
∴t的取值范围
【点评】本题主要考查了不等式的实际应用，根据时间=路程÷速度的公式列出不等式，其中明确往返路程不变是解题的关键．
（2020年山东省济宁市）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5
000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果.
解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，
根据题意，得：，
解得：，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；
（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，
则150m+（12-m）×100≥1500，
解得：m≥6，
而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000，
解得：m＜9，
则6≤m＜9，
则运输方案有3种：
6辆大货车和6辆小货车；
7辆大货车和5辆小货车；
8辆大货车和4辆小货车；
∵2000＞0，
∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元.
∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子.
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（2020年江苏省宿迁市）若a＞b，则下列等式一定成立的是（　　）
A．a＞b+2
B．a+1＞b+1
C．﹣a＞﹣b
D．|a|＞|b|
【考点】不等式的性质
【分析】利用不等式的基本性质判断即可．
解：A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；
B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；
C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；
D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
（2020年湖南省株洲市）下列哪个数是不等式的一个解？（
）
A．-3
B．
C．
D．2
【考点】不等式解集
【分析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可．
解：解不等式，得
因为只有-3<,所以只有-3是不等式的一个解
故选：A
【点评】此题考查不等式解集的意义，是一道基础题．理解不等式的解集的意义是解题的关键．
（2020年新疆）不等式组的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取解集的公共部分即可．
解：
由①得：
由②得：
不等式组的解集是
故选A．
【点评】本题考查的是解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
（2020年四川省眉山市）不等式组的整数解有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【考点】解一元一次不等式组
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集的确定规律：大小小大中间找，确定出不等式组的解集，再找出符合条件的整数即可．
解：
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣．
所以原不等式组的解集为﹣＜x≤2．
其整数解为﹣1，0，1，2．共4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握不等式组的解集的确定规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
（2020年四川省宜宾市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组
【分析】先求出各不等式的解集，然后得到不等式组的解集即可得到答案．
解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
故选：A．
【点评】本题考查了解不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式是解题的关键．
（2020年吉林省）不等式的解集为_______．
【考点】解一元一次不等式
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．
解：，
移项：，
合并同类项：，
系数化成１：，
所以不等式的解集为：；
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的解题步骤．
（2020年湖北省鄂州市）关于x的不等式组的解集是___________．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】直接解不等式组即可．
解：由，得，
由，得，
∴不等式组的解集是，
故答案为：．
【点评】本题考查了解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
（2020年宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为_____．
【考点】一元一次不等式的实际应用
【分析】根据题中给出阅读过《三国演义》的人数，则先代入条件（3）可得出阅读过《西游记》的人数的取值范围，然后再根据条件（1）和（2）再列出两个不等式，得出阅读过《水浒传》的人数的取值范围，即可得出答案.
解：设阅读过《西游记》的人数是，阅读过《水浒传》的人数是，（均为整数）
依题意可得：
且均为整数
可得：，
最大可以取6；
故答案为6.
【点评】本题考查不等式的实际应用，注意题中的两个量都必须取整数是本题做题关键，求的最大值，则可通过题中不等关系得出是小于哪个数的，然后取小于这个数的最大整数即可.
（2020年山东省枣庄市）解不等式组，并求它的所有整数解的和．
【考点】解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共部分，然后找出整数解，即可求解．
解：解不等式，得；
解不等式，得．
所以，不等式组的解集为．
该不等式组的所有整数解为-3，-2，-1，0，1．
所以，该不等式组的所有整数解的和为．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解决的关键是正确解出每个不等式的解集，然后根据限制条件求出不等式的整数解．
（2020年江苏省苏州市）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为．
（1）当时，求的值；
（2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
【考点】一元一次不等式组的应用
【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值；
（2）由（1）可得a,b之间的关系式，用含有b的式子表示a,再结合，列出关于b的不等式组，接着不等式组即可求出b的取值范围.
解：（1）由题意，得，
当时，．
解得．
（2）∵，，
∴
解这个不等式组，得．
答：矩形花园宽的取值范围为．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确理解题意得出关系式是解题关键．还考查了解不等式组，难度不大.
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1、
选择题
（2020年浙江省杭州市）若a＞b，则（　　）
A．a﹣1≥b
B．b+1≥a
C．a+1＞b﹣1
D．a﹣1＞b+1
【考点】不等式的性质
【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．
解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；
B、a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；
C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；
D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查不等式的性质，对性质的理解是关键．
（2020年山东省德州市）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得关于a的不等式，解之可得．
解：解不等式＞，得：，
解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a，
∵不等式组的解集为，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（2020年湖北省襄阳市）不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组
【分析】分别解不等式①和②，求得原不等式组的解集为，即可选出答案．
解：，
解不等式①：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
解不等式②：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
故原不等式组的解集为．
故选A．
【点评】本题考查不等式组，是中考的常考知识点，熟练掌握不等式组的解法是顺利解题的关键．
（2020年甘肃省天水市）若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为(　　　)
A．
B．
C．
D．
【考点】一元一次不等式的整数解
【分析】先解不等式得出，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出，解之可得答案．
解：，
，
则，
不等式只有2个正整数解，
不等式的正整数解为1、2，
则，
解得：，
故选：．
【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组．
（2020年辽宁省铁岭、葫芦岛市）不等式组的整数解的个数是（
）
A．2
B．
3
C．4
D．5
【考点】解一元一次不等式组
【分析】先求出不等式组的解集，然后再求出整数解即可．
解：，
解不等式组，得，
∴不等式组的整数解有，0，1，2；共4个；
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．
（2020年四川省广元市）关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
解：不等式组整理得：，
解集为m＜x＜3，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，-1，
∴-2≤m<-1，
故选：C．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到-2≤m<-1是解此题的关键．
（2020年山东省潍坊市）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解
【分析】先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可．
解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组有三个整数解，
∴三个整数解为：2，3，4，
∴，
解得：，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数得出关于a的不等式组．
（2020年四川省宜宾市）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（
）
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
【考点】一元一次不等式组的应用
【分析】设购买A
型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可．
解：设购买A
型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个
由题意得：，解得4≤x≤6
则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式．
故答案为B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本题的关键．
1、
填空题
（2020年四川省绵阳市）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
【考点】解一元一次不等式
【分析】解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．
解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，
∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0?x＜13恒成立；
②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，
∴m﹣6＜0，即m＜6，
∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，
∵x＞﹣4都能使x＞成立，
∴﹣4≥，
∴﹣4m+24≤2m+1，
∴m≥，
综上所述，m的取值范围是≤m≤6．
故答案为：≤m≤6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．
（2020年贵州省毕节市）不等式的解集是_______．
【考点】．解一元一次不等式
【分析】移项，合并同类项即可求解．
解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
（2020年山东省滨州市）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案．
解：对不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵原不等式组无解，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是关键．
（2020年贵州省黔东南州）不等式组的解集为_____．
【考点】一元一次不等式组
【分析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集．
解：解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，
解不等式x﹣1≤4﹣x，得：x≤6，
则不等式组的解集为2＜x≤6，
故答案为：2＜x≤6．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
（2020年江苏省宿迁市）不等式组的解集是_____．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】解不等式x+2＞0得x＞﹣2，结合x＞1，利用口诀“同大取大”可得答案．
解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
又x＞1，
∴不等式组的解集为x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
（2020年辽宁省鞍山市）不等式组的解集为________．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集．
解：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞1，
则不等式的解集为1＜x≤2，
故答案为：1＜x≤2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2020年湖南省湘西州）不等式组的解集为______________．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别解不等式即可得到不等式组的解集.
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：
，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：.
【点睛】此题考查求不等式组的解集，正确解每个不等式求出不等式组的解集，熟记不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了.
（2020年浙江省温州市）不等式组的解集为_______．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解：
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
【考点】解一元一次不等式组,一元一次不等式组的整数解
【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
解：
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x<，
∴不等式组的解集是1＜x＜，
∵x的一元一次不等式组有2个整数解，
∴x只能取2和3，
∴，
解得：
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的取值范围．
（2020年四川省攀枝花市）世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有________人进公园，买40张门反而合算．
【考点】一元一次不等式的应用
【分析】先求出购买40张票，优惠后需要多少钱，然后再利用5x＞160时，求出买到的张数的取值范围再加上1即可．
解：设x人进公园，
若购满40张票则需要：40×（5-1）=40×4=160（元），
故5x＞160时，
解得：x＞32，
∴当有32人时，购买32张票和40张票的价格相同，
则再多1人时买40张票较合算；
∴32+1=33（人）；
则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算．
故答案为：33．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，找到按5元的单价付款和4元单价付款的等量关系是解决本题的关键．
1、
解答题
（2020年江苏省淮安市）解不等式．
解：去分母，得．
……
（1）请完成上述解不等式的余下步骤：
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是
（填“A”或“B”）
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【考点】解一元一次不等式
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；
（2）根据不等式的性质即可得．
解：（1）
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得；
（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
（2020年湖北省黄冈市）解不等式，并在数轴上表示其解集．
【考点】解一元一次不等式
【分析】先去分母、移项、合并同类项解不等式，得出解集后在数轴上表示即可．
解：
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，．
∴原不等式的解集为：．
解集在数轴上表示为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式是解题的关键．
（2020年广东省广州市）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】根据解不等式组的解法步骤解出即可．
解：
由①可得x≥3,
由②可得x>2,
∴不等式的解集为：x≥3．
【点评】本题考查解不等式组,关键在于熟练掌握解法步骤．
（2020年天津市）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得_______________；
（Ⅱ）解不等式②，得_____________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为_______________．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：
（Ⅰ）解不等式①，得；
（Ⅱ）解不等式②，得；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（2020年河北省）已知两个有理数：－9和5．
（1）计算：；
（2）若再添一个负整数，且－9，5与这三个数的平均数仍小于，求的值．
【考点】有理数的混合运算,解一元一次不等式
【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可求解；
（2）根据平均数的定义列出不等式即可求出m的取值，故可求解．
解：（1）=；
（2）依题意得＜m
解得m＞-2
∴负整数
=-1．
【点评】此题主要考查有理数、不等式及平均数，解题的关键是熟知有理数、不等式的运算法则．
（2020年四川省自贡市）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
⑴.
发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵.
探究问题：如图，点分别表示的是
，．
∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.的最小值是
；
②.利用上述思想方法解不等式：
③.当为何值时，代数式的最小值是2．
【考点】解一元一次不等式，数轴，绝对值
【分析】(3)①根据绝对值的几何意义可知，变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值；
②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；
③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x，
∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，
表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，
∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，
且线段AB的长度为6，
∴的最小值为6.
故答案为：6.
②设A表示-3，B表示1，P表示x，
∴线段AB的长度为4，则，
的几何意义表示为PA+PB，
∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，
∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，
即不等式的解集为或．
故答案为：或．
③设A表示-a，B表示3，P表示x，
则线段AB的长度为，
的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，
∴
∴或，
即或；
故答案为：或.
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，掌握绝对值的几何意义，学会分类讨论是解决本题的关键．
（2020年江苏省扬州市）解不等式组，并写出它的最大负整数解．
【考点】解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案．
解：解不等式x＋5≤0，得x≤?5，
解不等式，得：x≤?3，
则不等式组的解集为x≤?5，
所以不等式组的最大负整数解为?5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（2020年山东省菏泽市）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，依题意列出二元一次方程组解之即可；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，根据题意列出不等式解之得m的范围，进而可判断购买方案．
解：（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：，
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，
根据题意，得：，
解得：m≤22，
又m﹥20，且m为整数，
∴m=21或22，
∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根．
【点睛】本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程式及不等式是解答的关键．
（2020年黑龙江省大庆市）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，先求出调价之后甲、乙两种笔记本的单价，再列出不等式求解，再列出函数关系式表示出购买两种笔记本总费用的最大值，代入a的值求解即可．
解：（1）设购买一个甲种笔记本x元，一个乙种笔记本y元，
由题意得：，
解得：，
答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．
（2）设需要购买a个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w，
调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），
乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），
8a+4（35-a）≤250×90%，
解得：，
至多需要购买21个甲种笔记本，
，
当a=21时，w=224，
答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元．
【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程组或不等式，求解即可．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元．
（1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元．求，的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值．
【考点】二元一次方程组的应用,一元一次不等式组的应用
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；
（2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案；
（3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案．
解：（1）由题意得
，
解得：；
答：、的值分别为和；
（2）根据题意，
解得：，
因为是整数
所以为、、；
∴共3种方案，分别为：
方案一购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；
方案二购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；
方案三购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；
（3）方案一的利润为：元，
方案二的利润为：元，
方案三的利润为：元，
利润最大值为元，甲售出，乙售出，
∴
解得：
答：的最大值为；
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程组，以及不等式组的知识解答．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
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