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6.2.2反比例函数的性质
反比例函数性质：反比例函数y=（k≠0），当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而
；当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而
.
一、反比例函数的图象与性质
1．关于反比例函数y＝－，下列说法正确的是(　　)
A．图象在第一、三象限
B．图象经过点(2，－8)
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
2．已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y＝－图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A．y1＜0＜y2＜y3
B．y1＞0＞y3＞y2
C．y1＜0＜y3＜y2
D．y1＞0＞y2＞y3
3．已知反比例函数y＝(k为常数，k≠2)的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是____．
4．如图1，已知反比例函数y＝的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.
(1)求k和m的值；
(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范围．
图1
二、反比例函数的性质的运用
5．已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)是反比例函数关系，它的图象如图2所示．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8
A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？
图2
三、反比例函数的图象与不等式(组)
6．已知，一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝的图象如图3，当y1＜y2时，x的取值范围是(　　)
A．x＜2
B．x＞5
C．2＜x＜5
D．0＜x＜2或x＞5
图3
　图4
7．如图4，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)和反比例函数y＝(x＞0)的图象交于A，B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx＋b的解集是____．
1.
在反比例函数y=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（
）
A．
-1
B．
0
C．
1
D．
2
2.
点A（7，y1），B（5，y2）都在双曲线y=的图象上，则y1，y2的大小关系是（
）
A.
y1=y2
B.
y1＜y2
C.
y1＞y2
D.
无法确定
3.
给出函数：①y=3x；②y=-3x+1；③y=（x＜0）；④y=-，其中y随x的增大而减小的函数的个数为（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
4.
小明根据下表，作了三个推测：
x
1
10
100
1000
10000
…
2+
3
2.1
2.01
2.001
2.0001
…
①2+（x＞0）的值随着x的增大越来越小；②2+（x＞0）的值有可能等于2；③2+（x＞0）的值随着x的增大越来越接近于2.
其中推测正确的有（
）
3个
B.
2个
C.
1个
D.
0个
5．
如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是反比例函数y=（x>0）图象上的一个动点，PB⊥y轴于点B.
当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（
）
A．
逐渐增大
B．
不变
C．
逐渐减小
D．
先增大后减小
6.
已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是：
.
7.
老师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质：
甲：第一、三象限有它的图象；
乙：在每个象限内，y随x的增大而减小
请你写出一个满足上述性质的函数：
．
8.
已知反比例函数y=-，若x＞1，则y的取值范围为
.
9.
如图是反比例函数y=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A（a1，b1），B（a2，b2），当a1＞a2时，b1＜b2；④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和B（a2，b2），当a1＞a2时，b1＜b2.
其中正确的是
（在横线上填出正确的序号）.
10.
某物体质量一定，若体积V=40m3，则密度ρ=1.6kg/m3.
（1）写出此物体的体积V与密度ρ的函数解析式，并画出图象；
（2）当物体密度ρ=3.2kg/m3时，它的体积V是多少？
（3）若物体的体积控制在4m3＜V＜80m3之间，则物体的密度是如何变化的？
1．若函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是(
)
A.
m<－2
B.
m<0
C.
m>－2
D.
m>0
2．若反比例函数y＝的图象经过点A(－1，－4)，则当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围是(
)
A.
x＞－2　　
B.
－2＜x＜0
C.
x＞0　　　
D.
x≤－2或x＞0
3．若点(－2，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在反比例函数y＝的图象上，则有(
)
A．y1>y2>y3
B．y1>y3>y2
C．y3>y1>y2
D．y2>y3>y1
4．有下列函数：①y＝－；②y＝2x－1；③y＝－x；④y＝；⑤y＝(x>0)；⑥y＝－(x<0)．其中y随x的增大而增大的有(
)
A．2个　　
B．3个　　
C．4个　　
D．5个
(第5题)
5．如图是一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象，则关于x的方程kx＋b＝的解为(
)
A．x1＝1，x2＝2
B．x1＝1，x2＝－2
C．x1＝－2，x2＝－1
D．x1＝1，x2＝－1
6．一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象如图所示，则下列说法正确的是(
)
A.
它们的函数值y随着x的增大而增大
B.
它们的函数值y随着x的增大而减小
C.
k＜0
D.
它们的自变量x的取值为全体实数
7．如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax＋b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)．
(1)求这两个函数的表达式．
(2)观察图象，直接写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．
(3)若点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．
8．如图所示是反比例函数y＝的图象的一支，根据图象回答下列问题：
(1)图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？
(2)若函数图象经过点(3，1)，求n的值．
(3)在这个函数图象的某一分支上任取点A(a1，b1)，B(a2，b2)，如果a1反比例函数性质：反比例函数y=（k≠0），当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而
；当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而
.
参考答案：减小
增大
一、反比例函数的图象与性质
1．关于反比例函数y＝－，下列说法正确的是(　D　)
A．图象在第一、三象限
B．图象经过点(2，－8)
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
2．已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y＝－图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是(　B　)
A．y1＜0＜y2＜y3
B．y1＞0＞y3＞y2
C．y1＜0＜y3＜y2
D．y1＞0＞y2＞y3
【解析】
∵反比例函数y＝－中，k＝－2＜0，∴此函数图象上的两个分支在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜0，∴该点在第二象限，∴y1＞0，∵x3＞x2＞0，∴两点在第四象限，∴0＞y3＞y2，∴y1＞0＞y3＞y2.
3．已知反比例函数y＝(k为常数，k≠2)的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是__k＜2__．
【解析】
∵反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，∴k－2＜0，解得k＜2.
4．如图1，已知反比例函数y＝的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.
(1)求k和m的值；
(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范围．
图1
解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，
∴OB·AB＝2，×4·m＝2，
∴AB＝m＝1，∴A(4，1)，∴k＝xy＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝，
即k＝4，m＝1；
(2)由(1)知反比例函数为y＝，
∵k＝4＞0，∴当－3≤x≤－1时，y随x的增大而减小，
∵点C(x，y)也在反比例函数y＝的图象上，
∴当
x＝－3时，y取最大值，y＝－；当x＝－1时，y取最小值，y＝－4，
∴y的取值范围为－4≤y≤－.
二、反比例函数的性质的运用
5．已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)是反比例函数关系，它的图象如图2所示．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8
A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？
图2
解：(1)设反比例函数表达式为I＝(k≠0)，
将点(10，4)代入得4＝，∴k＝40，
∴反比例函数的表达式为I＝；
(2)由题可知，当I＝8时，R＝5，
且I随着R的增大而减小，
∴当I≤8时，R≥5，
∴该用电器的可变电阻至少是5
Ω.
三、反比例函数的图象与不等式(组)
6．已知，一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝的图象如图3，当y1＜y2时，x的取值范围是(　D　)
A．x＜2
B．x＞5
C．2＜x＜5
D．0＜x＜2或x＞5
图3
　图4
7．如图4，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)和反比例函数y＝(x＞0)的图象交于A，B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx＋b的解集是__1＜x＜4__．
【解析】
∵由图象可知A(1，4)，B(4，1)，x＞0，∴不等式＜kx＋b的解集为1＜x＜4.
1.
在反比例函数y=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（
）
A．
-1
B．
0
C．
1
D．
2
2.
点A（7，y1），B（5，y2）都在双曲线y=的图象上，则y1，y2的大小关系是（
）
A.
y1=y2
B.
y1＜y2
C.
y1＞y2
D.
无法确定
3.
给出函数：①y=3x；②y=-3x+1；③y=（x＜0）；④y=-，其中y随x的增大而减小的函数的个数为（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
4.
小明根据下表，作了三个推测：
x
1
10
100
1000
10000
…
2+
3
2.1
2.01
2.001
2.0001
…
①2+（x＞0）的值随着x的增大越来越小；②2+（x＞0）的值有可能等于2；③2+（x＞0）的值随着x的增大越来越接近于2.
其中推测正确的有（
）
3个
B.
2个
C.
1个
D.
0个
5．
如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是反比例函数y=（x>0）图象上的一个动点，PB⊥y轴于点B.
当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（
）
A．
逐渐增大
B．
不变
C．
逐渐减小
D．
先增大后减小
6.
已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是：
.
7.
老师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质：
甲：第一、三象限有它的图象；
乙：在每个象限内，y随x的增大而减小
请你写出一个满足上述性质的函数：
．
8.
已知反比例函数y=-，若x＞1，则y的取值范围为
.
9.
如图是反比例函数y=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A（a1，b1），B（a2，b2），当a1＞a2时，b1＜b2；④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和B（a2，b2），当a1＞a2时，b1＜b2.
其中正确的是
（在横线上填出正确的序号）.
10.
某物体质量一定，若体积V=40m3，则密度ρ=1.6kg/m3.
（1）写出此物体的体积V与密度ρ的函数解析式，并画出图象；
（2）当物体密度ρ=3.2kg/m3时，它的体积V是多少？
（3）若物体的体积控制在4m3＜V＜80m3之间，则物体的密度是如何变化的？
参考答案
1—5.
DBBBC
6.
y3＜y2＜y1
7.
答案不唯一，如y=
8.
-3＜y＜0
9.
①②④
10.
（1）V=，图象在第一象限，图略.
（2）20m3
（3）0.8kg/m3＜ρ＜16kg/m3
1．若函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是(A)
A.
m<－2
B.
m<0
C.
m>－2
D.
m>0
2．若反比例函数y＝的图象经过点A(－1，－4)，则当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围是(D)
A.
x＞－2　　
B.
－2＜x＜0
C.
x＞0　　　
D.
x≤－2或x＞0
3．若点(－2，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在反比例函数y＝的图象上，则有(D)
A．y1>y2>y3
B．y1>y3>y2
C．y3>y1>y2
D．y2>y3>y1
4．有下列函数：①y＝－；②y＝2x－1；③y＝－x；④y＝；⑤y＝(x>0)；⑥y＝－(x<0)．其中y随x的增大而增大的有(A)
A．2个　　
B．3个　　
C．4个　　
D．5个
(第5题)
5．如图是一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象，则关于x的方程kx＋b＝的解为(B)
A．x1＝1，x2＝2
B．x1＝1，x2＝－2
C．x1＝－2，x2＝－1
D．x1＝1，x2＝－1
　(第6题)
6．一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象如图所示，则下列说法正确的是(C)
A.
它们的函数值y随着x的增大而增大
B.
它们的函数值y随着x的增大而减小
C.
k＜0
D.
它们的自变量x的取值为全体实数
　(第7题)
7．如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax＋b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)．
(1)求这两个函数的表达式．
(2)观察图象，直接写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．
(3)若点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．
【解】　(1)∵函数y1＝的图象过点A(1，4)，
∴k＝1×4＝4，
∴y1＝.
又∵点B(m，－2)在y1＝上，
∴m＝－2，∴点B(－2，－2)．
又∵一次函数y2＝ax＋b过A，B两点，
∴解得
∴y2＝2x＋2.
综上可得y1＝，y2＝2x＋2.
(2)x＜－2
或0＜x＜1.
(3)∵点C与点A关于x轴对称，∴点C(－1，4)．
如解图，过点B作BD⊥AC于点D.
(第7题解)
由图形及题意可得：AC＝8，BD＝3，
∴S△ABC＝AC·BD＝×8×3＝12.
(第8题)
8．如图所示是反比例函数y＝的图象的一支，根据图象回答下列问题：
(1)图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？
(2)若函数图象经过点(3，1)，求n的值．
(3)在这个函数图象的某一分支上任取点A(a1，b1)，B(a2，b2)，如果a1【解】　(1)图象的另一支在第三象限．
由图象可知，2n－4>0，解得n>2.
(2)将点(3，1)的坐标代入y＝，
得1＝，解得n＝.
(3)∵2n－4>0，
∴在这个函数图象的任一分支上，y随x的增大而减小，
∴当a1b2.

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