资源简介

7.1.2　复数的几何意义
课标解读
课标要求
核心素养
1.掌握实轴、虚轴、模及共轭复数的概念.(重点)
2.理解复数的代数表示及其几何意义.(难点)
1.借助复平面内的点、以原点为起点的向量与复数一一对应关系,培养直观想象核心素养.
2.用向量的模解决与复数的模有关的问题,培养直观想象核心素养.
我们都知道平面向量中,如果单位向量e1,e2满足e1⊥e2,那么对于任意一个平面向量a都可以用e1,e2唯一表示,即a=xe1+ye2,而且e1,e2为正交基底,故平面向量a可以用实数x,y写成坐标的形式(x,y),这就是向量的坐标表示.同样地,我们发现复数的形式跟向量有类似之处,同样存在实数a,b,是不是我们也可以建立一个坐标系,把复数用坐标表示出来呢?如果可以的话,该如何表示?表示出来的形式又有怎样的几何意义?
问题1:你能写出a+bi(a,b∈R)的坐标形式吗?
　　问题2:你能写出|a+bi|=2(a,b∈R)的几何意义吗?
1.复平面的有关概念
如图,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.
复数z=a+bi(a,b∈R)可以表示直角坐标平面内的一个点Z,连接OZ,就得到向量.
思考1:虚轴上的点都表示虚数吗?
2.复数的几何意义
特别提醒
　　复数与向量的关系
复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向量必须是以原点O为起点,否则就不是一一对应,因为复平面上与相等的向量有无数个.
　　3.复数的模
向量的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=①.
思考2:复数z=a+bi(a,b∈R)的模的几何意义是什么?
　　4.共轭复数
(1)特点:两个复数的实部②相等,虚部③互为相反数.
(2)共轭虚数:虚部④不等于0的两个共轭复数.
(3)表示:复数z的共轭复数用表示,即
如果z=a+bi(a,b∈R),那么=⑤a-bi.
思考3:共轭复数的几何意义是什么?
探究一　复平面内复数与点的对应　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例1　(1)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(　　)
A.4+8i
B.8+2i
C.2+4i
D.4+i
(2)在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点:①在虚轴上;②在第二象限;③在直线y=x上.
分别求实数m的值或取值范围.
　(变条件)本例(2)中复数z对应的点在实轴上,求实数m的值.
　　
探究二　复平面内复数与向量的对应　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　例2　在复平面内,O为原点,向量表示的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量表示的复数为(　　)
A.-2-i
B.-2+i
C.1+2i
D.-1+2i
2-1　复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,则向量表示的复数是　　　　.?
探究三　复数的模及几何意义
　　例3　(1)若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|=,则复数z=　　　　　.?
(2)已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
3-1　设z∈C,且满足下列条件,在复平面内,复数z对应的点Z的集合是什么图形?
(1)1<|z|<2;
|z-i|<1.
探究四　共轭复数
　　例4　(1)(2019课标全国Ⅱ,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)已知复数z=2-i,则||的值为(　　)
A.5
B.
C.3
D.
4-1　已知i是虚数单位,复数z=1+i,则的实部与虚部之差为(　　)
A.1
B.0
C.-2
D.2
1.在复平面内,复数z=i2+2i对应的点位于(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点Z在虚轴上,则(　　)
A.a≠2或a≠1
B.a≠2且a≠1
C.a=0
D.a=2或a=0
3.已知复数z=1+2i(i是虚数单位),则|z|=　　　　.?
4.在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的共轭复数对应的点在直线y=x上,则实数m的值为　　　　.
?
5.如果复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.
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