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第三章函数
第14节
一次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.
一次函数的定义
?形如y=__y＝kx＋b____
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)_(k、b为常数，k_≠0_____)的函数叫做一次函数。当b_=0____时，函数y=_kx___(k__≠0__)2-1-c-n-j-y
叫做正比例函数。?
注意：理解一次函数概念应注意下面两点：?
⑴解析式中自变量x的次数是_1__次
?⑵自变量X的系数为常数
?
（3）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
■考点2．一次函数的图象及性质
(1)正比例函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）的图象是经过点(0，0)和（1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）
的一条直线；一次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）的图象是经过（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）和（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）两点的一条直线。
(2)
-次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）的图象与性质
k，b符号
K＞0
k<0
b＞0
b＜0
b=0
b>0
b<0
b＝0
大致图象
经过象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
图象性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
■考点3．用待定系数法求一次函数解析式：
(1)关键：确定一次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）中的字母
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)的值。
(2)步骤：①设一次函数表达式；
②根据已知条件将
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)的对应值代人表达式；
③解关于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)的方程或方程组；
④确定表达式。
■考点4.两直线的位置关系（设两直线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）：
(1)两个一次函数y=k1x+b
和y=k2x+b图象的交点坐标.
二元一次方程组
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)的解
(2)两直线平行：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??))；
(3)两直线垂直：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)。
■考点5.一次函数图象与几何变换
规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.即“上加下减”
若向左平移h单位，则x值增大h；若向右平移h单位，则x值减小h.即“左加右减”
■考点6．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
(1)
-次函数与一元一次方程：
一次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）的图象与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)轴交点的横坐标是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)时一元一次方程的解，与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)轴交点的纵坐标是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)时一元一次方程的解。【版权所有：21教育】
(2)
-次函数与一元一次不等式：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）或
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）的解集即一次函数图象位于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)轴上方或下方时相应的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)取值范围，反之也成立。
(3)-次函数与二元一次方程组：
两条直线的交点坐标即为两个一次函数解析式所组成的二元一次方程组的解，反之根据以二元一次方程组的解为坐标的焦是对应两直线的交点。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1：一次函数的图象与性质
◇典例：
（2020年湖北省荆州市）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（
）
A．
B．
C．D．
【考点】一次函数的图象，一次函数的性质
【分析】观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可.
解：∵一次函数y=x+1，其中k=1，b=1
∴图象过一、二、三象限
故选：D.
【点评】此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握，即可解题.
（2019年江苏省扬州）若点P在一次函数的图像上，则点P一定不在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】一次函数的性质
【分析】根据一次函数的性质进行判定即可.
解：一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，
所以一次函数y=-x+4的图象经过二、一、四象限，
又点P在一次函数y=-x+4的图象上，
所以点P一定不在第三象限，
故选C.
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握是解题的关键.
y=kx+b：当
k>0，b>0时，函数的图象经过一，二，三象限；当
k>0，b<0时，函数的图象经过一，三，四象限；当
k<0，b>0时，函数的图象经过一，二，四象限；当
k<0，b<0时，函数的图象经过二，三，四象限.
（2020年辽宁省鞍山市）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点在直线上，若，且均为等边三角形，则线段的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质
【分析】根据题意得出∠AnOBn=30°，从而推出AnBn=OAn，得到BnBn+1=BnAn+1，算出B1A2=1，B2A3=2，B3A4=4，找出规律得到BnAn+1=2n-1，从而计算结果．
解：设△BnAnAn+1的边长为an，
∵点B1，B2，B3，…是直线上的第一象限内的点，
过点A1作x轴的垂线，交直线于C，
∵A1（1，0），令x=1，则y=，
∴A1C=，
∴，
∴∠AnOBn=30°，
∵均为等边三角形，
∴∠BnAnAn+1=60°，
∴∠OBnAn=30°，
∴AnBn=OAn，
∵∠BnAn+1Bn+1=60°，
∴∠An+1BnBn+1=90°，
∴BnBn+1=BnAn+1，
∵点A1的坐标为（1，0），
∴A1B1=A1A2=B1A2=1，A2B2=OA2=B2A3=2，A3B3=OA3=B3A4=4，...，
∴AnBn=OAn=BnAn+1=2n-1，
∴=B2019A2020=，
故选D．
【点评】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键．
◆变式训练
（2019年广西河池市）函数y＝x﹣2的图象不经过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】一次函数的性质
【分析】根据k＞0确定一次函数经过第一三象限，根据b＜0确定与y轴负半轴相交，从而判断得解．
解：一次函数y＝x﹣2，
∵k＝1＞0，
∴函数图象经过第一三象限，
∵b＝﹣2＜0，
∴函数图象与y轴负半轴相交，
∴函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y＝kx+b，k＞0，函数经过第一、三象限，k＜0，函数经过第二、四象限．
（2020年安徽省）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
解：∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，，则点的坐标______．
【考点】规律型：图形的变化类,一次函数图象上点的坐标特征
等腰直角三角形的性质【分析】根据题意得出三角形AMO为等腰直角三角形，∠AMO=45°，分别求出个线段的长度，表示出B1和B2的坐标，发现一般规律，代入2020即可求解
解：∵的解析式为，
∴M（-1，0），A（0，1），
即AO=MO=1，∠AMO=45°，
由题意得：MO=OC=CO1=1，
O1A1=MO1=3，
∵四边形是正方形，
∴O1C1=C1O2=MO1=3，
∴OC1=2×3-1=5，B1C1=O1C1=3，B1（5，3），
∴A2O2=3C1O2=9，B2C2=9，OO2=OC2-MO=9-1=8，
综上，MCn=2×3n，OCn=2×3n-1，BnCn=AnOn=3n，
当n=2020时，OC2020=2×32020-1，B2020C2020
=32020，
点B，
故答案为：．
【点评】本题考查规律型问题、等腰直角三角形的性质以及点的坐标，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
■考点2：用待定系数法求一次函数解析式：
◇典例
（2020年湖南省郴州市）小红在练习仰卧起坐，本月日至日的成绩与日期具有如下关系：
日期（日）
成绩（个）
小红的仰卧起坐成绩y与日期之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________．
【考点】待定系数法求一次函数的表达式
【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．
解：设该函数表达式为y=kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴该函数表达式为y=3x+37．
故答案为：y=3x+37．
【点评】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
◆变式训练
（2019年广西桂林市）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（　　）
A．y＝x+
B．y＝x+
C．y＝x+1
D．y＝x+
【考点】一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式
【分析】由已知点可求四边形ABCD分成面积＝AC×（|yB|+3）＝＝14，求出CD的直线解析式为y＝﹣x+3，设过B的直线l为y＝kx+b，并求出两条直线的交点，直线l与x轴的交点坐标，根据面积有7＝×（3﹣）×（+1），即可求k，
解：由A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），
∴AC＝7，DO＝3，
∴四边形ABCD分成面积＝AC×（|yB|+3）＝＝14，
可求CD的直线解析式为y＝﹣x+3，
设过B的直线l为y＝kx+b，
将点B代入解析式得y＝kx+2k﹣1，
∴直线CD与该直线的交点为（，），
直线y＝kx+2k﹣1与x轴的交点为（，0），
∴7＝×（3﹣）×（+1），
∴k＝或k＝0，
∴k＝，
∴直线解析式为y＝x+，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的解析式求法，掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
■考点3：两直线的位置关系
◇典例：
（2020年江苏省南通市）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【考点】两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式
【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
◆变式训练
（2019年山东省东营市）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为　
　．
【考点】两条直线相交或平行问题
【分析】根据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，每四个点符号为一个周期，依此规律即可得出结论．
解：由题意可得，
A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…，
可得A2n+1的横坐标为（﹣3）n
∵2019＝2×1009+1，
∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，
故答案为：﹣31009．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律．
■考点4.
一次函数图象与几何变换
◇典例：
（2020年四川省内江市）将直线向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（　
　）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．
解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．
∴新直线的解析式为y=-2x+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化．
　
◆变式训练
（2020年江苏省南京市）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________．
【考点】一次函数图像与几何变换
【分析】根据一次函数互相垂直时系数之积等于-1，进而得出答案；
解：∵一次函数的解析式为，
∴设与x轴、y轴的交点坐标为、，
∵一次函数的图象绕原点逆时针旋转，
∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为、，
令，代入点得，，
∴旋转后一次函数解析式为．
故答案为．
【点评】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．
（2020年天津市）将直线向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】根据直线的平移规律是上加下减的原则进行解答即可．
解：
解：∵直线的平移规律是“上加下减”，
∴将直线向上平移1个单位长度所得到的的直线的解析式为：；
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键．
■考点5．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
◇典例：
（2019年山东省烟台市）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为　
　．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标，结合函数图象可知当x＜1时x+2≤ax+c，即可求解，
解：点P（m，3）代入y＝x+2，
∴m＝1，
∴P（1，3），
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1，
故答案为x≤1，
【点评】本题考查一次函数的交点于一元一次不等式，将一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．
◆变式训练
（2019年山东省滨州市（a卷））如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为　
　．
【考点】一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式
【分析】根据直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），正比例函数y＝x也经过点A从而确定不等式的解集．
解：∵正比例函数y＝x也经过点A，
∴kx+b＜x的解集为x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围，从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）对于一次函数，下列说法不正确的是（
）
A．图象经过点
B．图象与x轴交于点
C．图象不经过第四象限
D．当时，
【考点】一次函数的图象，一次函数的性质
【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解．
解：A.图象经过点，正确；
B.图象与x轴交于点，正确
C.图象经过第一、二、三象限，故错误；
D.当时，y＞4，故错误；
故选D．
【点评】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点．
（2020年广东省广州市）一次函数的图象过点，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数图象的性质
【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可．
解：因为一次函数的一次项系数小于0,所以y随x增减而减小．
故选B．
【点评】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．
（2020年浙江省湖州市）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　）
A．y＝x+2
B．y＝x+2
C．y＝4x+2
D．y＝x+2
【考点】直线与坐标轴的交点
【分析】分别求出点A、B坐标，再根据各选项解析式求出与x轴交点坐标，判断即可．
解：∵直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．
∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）
A.　y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
B.　y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
C.　y＝4x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；
D.　y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
故选：C
【点评】本题考查了求直线与坐标轴的交点，注意求直线与x轴交点坐标，即把y=0代入函数解析式．
（2020年江苏省泰州市）点在函数的图像上，则代数式的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】代数式求值，一次函数图象上点的坐标特征
【分析】把代入函数解析式得，化简得，化简所求代数式即可得到结果；
解：把代入函数解析式得：，
化简得到：，
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．
（2020年四川省凉山州）已知一次函数y
=（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（
）
A．m>-
B．m<3
C．-D．-【考点】一次函数图象与系数的关系
【分析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.
解：当函数图象经过第一，三，四象限时，
，解得：－＜m＜3.
当函数图象经过第一，三象限时，
，解得m＝3.
∴－＜m≤3.
故选D.
【点睛】一次函数的图象所在的象限由k，b的符号确定：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，三，四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二，三，四象限.注意当b＝0的特殊情况.
（2020年湖南省益阳市）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．随的增大而减小
D．当时，
【考点】一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式
【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可．
解：由图象知，k﹥0，且y随x的增大而增大，故A、C选项错误；
图象与y轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B选项正确；
当x﹥2时，图象位于x轴的上方，则有y﹥0即﹥0，D选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
（2020年湖南省邵阳市）已知正比例函数的图象过点，把正比例函数的图象平移，使它过点，则平移后的函数图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】正比例函数的图象,一次函数图象与几何变换
【分析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点求出一次函数解析式，即可求解．
解：把点代入得
解得，
∴正比例函数解析式为，
设正比例函数平移后函数解析式为，
把点代入得，
∴，
∴平移后函数解析式为，
故函数图象大致．
故选：D
【点评】本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数解析式是解题关键．
（2020年贵州黔西南州）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．
【考点】待定系数法求正比例函数解析式,两条直线相交或平行问题
【分析】首先将点P的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解．
解：∵点P到x轴的距离为2，
∴点P的纵坐标为2，
∵点P在一次函数y＝－x＋1上，
∴2＝－x＋1，解得x＝－1，
∴点P的坐标为（－1，2）．
设正比例函数解析式为y＝kx，
把P（－1，2）代入得2＝－k，解得k＝－2，
∴正比例函数解析式为y＝－2x，
故答案为：y＝－2x．
【点评】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键．
（2020年贵州省遵义市）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为_____．
【考点】一次函数与一元一次不等式,两条直线相交或平行问题
【分析】结合函数图象，写出直线在直线y＝2下方所对应的自变量的范围即可．
解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2交于点A（4，2），
∴x＜4时，y＜2，
∴关于x的不等式kx+b＜2的解集为：x＜4．
故答案为：x＜4．
【点评】本题考查的是利用函数图像解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图像的影响是解题的关键．
（2020年四川省达州市）已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是_________；记直线和与x轴围成的三角形面积为，则_____，的值为______．
【考点】规律型：点的坐标,两条直线相交或平行问题
【分析】联立直线和成方程组，通过解方程组，即可得到交点坐标；分别表示出直线和与x轴的交点，求得交点坐标即可得到三角形的边长与高，根据三角形面积公式进行列式并化简，即可得到直线和与x轴围成的三角形面积为的表达式，从而可得到和，再依据分数的运算方法即可得解．
解：联立直线与直线成方程组，
，
解得，
∴这两条直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是；
∵直线与x轴的交点为，
直线与x轴的交点为，
∴，
∴，
故答案为：；；
【点评】本题考查了一次函数（k≠0，b为常数)的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0；也考查了坐标与线段的关系、三角形的面积公式以及分数的特殊运算方法．解题的关键是熟练掌握一次函数（k≠0，b为常数)的图象与性质，能灵活运用分数的特殊运算方法．
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1、
选择题
（2020年四川省内江市）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．且
【考点】一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标
【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
解：∵，
∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴且，
故选：D.
【点评】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键.
（2020年江苏省镇江市）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（　　）
A．第一
B．第二
C．第三
D．第四
【考点】一次函数的性质，一次函数的图象
【分析】根据一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到k＞0，与y轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．
解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，该函数过点（0，3），
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质及一次函数的图象．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
（2020年辽宁省沈阳市）一次函数的图象经过点，点，那么该图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限
B．第二象限C．第三象限
D．第四象限
【考点】一次函数的图象与性质
【分析】如图（见解析），在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，然后观察函数图象即可得．
解：在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，如图所示：
观察函数图象可知，一次函数的图象不经过第四象限
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象，依据题意，正确画出函数图象是解题关键．
（2020年湖南省永州市）已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．2
【考点】一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征
【分析】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可.
解：过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，
∵点C到直线l的距离，半径为1，
∴的最小值是，
故选：B.
【点评】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.
（2020年浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）
A．
B．C．
D．
【考点】一次函数的图象,一次函数图象上点的坐标特征
【分析】求得解析式即可判断．
解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），
∴2＝a+a，解得a＝1，
∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），
故选：A．
【点评】此题考查一次函数表达式及图像的相关知识．
（2020年山东省潍坊市）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．D．
【考点】定义新运算，一次函数的图象
【分析】根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可．
解：当时，，
∴当时，，
即：，
当时，，
即：，∴，
∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大，
综上所述，A选项符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键
（2020年四川省乐山市）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】待定系数法求一次函数解析式,一次函数与一元一次不等式
【分析】先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集．
解：根据图像得出直线经过（0，1），（2，0）两点，
将这两点代入得，
解得，
∴直线解析式为：，
将y=2代入得，
解得x=-2，
∴不等式的解集是，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和用待定系数法求解析式，解不等式，求出直线解析式是解题关键．
（2020年广西桂林市）直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【考点】一次函数图像上点的坐标特点，待定系数法求解一次函数的解析式
【分析】由直线y＝kx+2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
解：∵直线y＝kx+2过点（﹣1，4），
∴4＝﹣k+2，
∴k＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键．
（2020年陕西省）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
【考点】两条直线相交或平行问题
【分析】根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
解得，，
∴A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，
∴△AOB的面积＝3×2＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．
（2020年山东省日照市）将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（　　）
A．y＝2x+3
B．y＝2x﹣3
C．y＝2（x+3）
D．y＝2（x﹣3）
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案．
解：∵将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，
∴所得图象的函数表达式为：y＝2x+3．
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．
（2020年山东省济宁市）数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P
,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（
）
A．x=20
B．x=5
C．x=25
D．x=15
【考点】一次函数与一元一次方程
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
解：由图可知：
直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25），
∴方程x+5=ax+b的解为x=20．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0
（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
（2020年湖南省湘潭市）如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】将代入，可得,再将变形整理，得，求解即可．
解：由题意将代入，可得，即，
整理得，，
∴，
由图像可知，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
1、
填空题
（2020年上海市）如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）
【考点】正比例函数的性质
【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．
解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】此题考查的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键．
（2020年四川省成都市）一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为_________．
【考点】一次函数的性质
【分析】根据一次函数的性质得2m-1＞0，然后解不等式即可．
解：因为一次函数的值随值的增大而增大，
所以2m-1＞0．
解得.
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降.
（2020年山东省东营市）已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k　
　0（填“＞”或“＜”）
【考点】一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据A（1，-1），B（-1，3），利用横坐标和纵坐标的增减性判断出k的符号．
解：∵A点横坐标为1，B点横坐标为-1，
根据-1＜1，3＞-1，
可知，随着横坐标的增大，纵坐标减小了，
∴k＜0．
故答案为＜．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用待定系数法正确的求出k，b的值是解题的关键
（2020年贵州省黔东南州）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为_____．
【考点】一次函数图像与几何变换
【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．
解：把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1，
再向上平移2个单位长度，得到y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
【点评】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握是解题的关键．
（2020年贵州省黔南州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为___．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，由BC＝OC利用等腰三角形的性质可得出OC、OE的值，再利用勾股定理可求出CE的长度，此题得解．
解：∵直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)．
过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示．
∵BC＝OC＝OA，
∴OC＝3，OE＝2，
∴CE＝＝，
∴点C的坐标为(﹣，2)．
故答案为(﹣，2)．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求出CE、OE的长度是解题的关键．
（2020年四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，0），直线与x轴交于点B，以AB为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推……，则点的纵坐标是______________
【考点】规律型：点的坐标，一次函数图象上点的坐标特征
【分析】如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1，过A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），且与x轴夹角为30?，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30?的直角三角形的性质，分别求的A1、A2、A3、的纵坐标，进而得到An的纵坐标，据此可得A2020的纵坐标，即可解答．
解：如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1，过A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），与y轴交于点D（0，），
∴OB=1,OD=,
∴∠DBO=30?
由题意可得：∠A1B1B=∠A2B2B1=30?,∠B1A1B=∠B2A2B1=60?
∴∠A1BB1=∠A2B1B2=90?，
∴AB=1，A1B1=2A1B=21，A2B2=2A2B1=22，A3B3=2A3B2=23，…AnBn=2n
∴A1C=AB=×1，
A1纵坐标为×1=；
A2C1=A1B1=，
A2的纵坐标为×1+=
==；
A3C2=A2B2=,
A3的纵坐标为×1++=
==；
…
由此规律可得：AnCn-1=,
An的纵坐标为
=，
∴A2020=，
故答案为：
【点评】本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含30?角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到坐标变化规律．
（2020年江苏省泰州市）如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．
【考点】三角形内心，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，正方形的判定与性质
【分析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b，求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐标．
解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，
根据题意可得：AB=，AC=，BC=，
∵，
∴∠BAC=90°，
设BC的关系式为：y=kx+b，
代入B，C，
可得，
解得：，
∴BC：，
当y=0时，x=3，即G（3,0），
∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，
设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，
∵∠BAC=90°，
∴四边形MEAF为正方形，
S△ABC=，
解得：，
即AE=EM=，
∴BE=，
∴BM=，
∵B（-3，3），
∴M（2，3），
故答案为：（2，3）．
【点评】本题考查三角形内心、平面直角坐标系、一次函数的解析式、勾股定理和正方形的判定与性质等相关知识点，把握内心是三角形内接圆的圆心这个概念，灵活运用各种知识求解即可．
（2020年辽宁省鞍山市）如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为________．
【考点】两条直线相交或平行问题，轴对称-最短路线问题
【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．
解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，
可知四边形B′B″DC为平行四边形，
则B′C=B″D，
由对称性质可得：BC=B′C，
∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，
则此时AB″最小，即AD+BC最小，
∵A（3，6），B（-2，2），
∴B′（-2，-2），
∴B″（-1，-2），
设直线AB″的表达式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴直线AB″的表达式为：y=2x，
令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），
∴点C坐标为（-1，0），
故答案为：（-1，0）．
【点评】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC最小时的情形．
1、
解答题
（2020年重庆市B卷）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
x
?
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
?
y
?
a
-2
-4
b
-4
-2
?
（1）列表，写出表中a，b的值：a=____
，b=　　　　
．
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数的图象关于y轴对称；
②当x=0时，函数有最小值，最小值为-6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
【考点】一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式
【分析】（1）把对应的x的值代入即可求出a和b的值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；
（2）观察图象即可判断；
（3）找出函数的图象比函数的图象低时对应的x的范围即可．
解：（1）当时，；当时，；
∴，，
故答案为：，．
所画图象，如图所示．
（2）①观察图象可知函数的图象关于y轴对称，故该说法正确；
②观察图象可知，当x=0时，函数有最小值，最小值为，故该说法正确；
③观察图象可知，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该项题干说法错误．
（3）不等式表现在图象上面即函数的图象比函数的图象低，因此观察图象，即可得到的解集为：x＜-4或-2＜x＜1．
【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
（2020年重庆市A卷）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
…
－5
－4
3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…
…
－3
0
3
…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；(
)
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；(
)
③当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；(
)
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
【考点】一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式
【分析】（1）代入x=3和x=-3即可求出对应的y值，再补全函数图象即可；
（2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断；
（3）根据图象求解即可．
解：（1）当x=-3时，，
当x=3时，，
函数图象如下：
（2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形；
故答案为：×
，
②结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；
故答案为：√
，
③观察函数图象可得：当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
故答案为：√．
（3），
时，
得，，，
故该不等式的解集为：
x＜?1或?0.3＜x＜1.8．
【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
（2020年北京市）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【考点】求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像
【分析】（1）根据一次函数由平移得到可得出k值，然后将点（1，2）代入可得b值即可求出解析式；
（2）由题意可得临界值为当时，两条直线都过点（1，2），即可得出当时，都大于，根据，可得可取值2，可得出m的取值范围．
解：（1）∵一次函数由平移得到，
∴，
将点（1，2）代入可得，
∴一次函数的解析式为；
（2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知：
临界值为当时，两条直线都过点（1，2），
∴当时，都大于，
又∵，
∴可取值2，即，
∴的取值范围为．
【点评】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．
（2020年浙江省衢州市）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km？
【考点】函数的图象,待定系数法求一次函数解析式
【分析】（1）根据图中信息解答即可．
（2）①求出B，C，D，E的坐标，利用待定系数法求解即可．
（3）分两种情形分别构建方程求解即可．
解：（1）C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h．
∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长=23﹣（420÷20）=23﹣21=2（h）．
（2）①280÷20=14h，
∴点A（14，280），点B（16，280），
∵36÷60=0.6（h），23﹣0.6=22.4，
∴点E（22.4，420），
设BC的解析式为s=20t+b，把B（16，280）代入s=20t+b，可得b=﹣40，
∴s=20t﹣40（16≤t≤23），
同理由D（14，0），E（22，4，420）可得DE的解析式为s=50t﹣700（14≤t≤22.4），
由题意：20t﹣40=50t﹣700，
解得t=22，
∵22﹣14=8（h），
∴货轮出发后8小时追上游轮．
②相遇之前相距12km时，20t﹣4﹣（50t﹣700）=12，解得t=21.6．
相遇之后相距12km时，50t﹣700﹣（20t﹣40）=12，解得t=22.4，
∴21.6h或22.4h时游轮与货轮何时相距12km．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，熟练运用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
（2020年山东省滨州市）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求PAB的面积；
（3）请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．
【考点】两条直线平行或相交问题
【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；
（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象求得即可．
解:根据题意，交点的横、纵坐标是方程组的解
解这个方程组，得
交点的坐标为
直线与轴的交点的坐标为
直线与轴交点的坐标为
的面积为
在图象中把直线在直线上方的部分
描黑加粗，图示如下:
此时自变量的取值范围为
【点评】本题考查了两条直线平行或相交问题，两条直线的交点坐标是两条直线的解析式构成的方程组的解．
（2019年浙江省衢州市）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，即可求解；
（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），即可求解；②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三种情况，分别求解即可．
解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，
故点C是点A．B的融合点；
（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），
则t＝3x﹣3，
则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；
②当∠DHT＝90°时，如图1所示，
设T（m，2m﹣1），则点E（m，2m+3），
由点T是点D，E的融合点得：m＝，
解得：m＝，即点E（，6）；
当∠TDH＝90°时，如图2所示，
则点T（3，5），
由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；
当∠HTD＝90°时，该情况不存在；
故点E（，6）或（6，15）．
【点评】本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理得运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
40第三章函数
第14节
一次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.
一次函数的定义
?形如y=_
__(k、b为常数，k_____)的函数叫做一次函数。当b_
___时，函数y=_
___
(k____)叫做正比例函数。?
注意：理解一次函数概念应注意下面两点：?
(1)解析式中自变量x的次数是_
__次
?⑵自变量X的系数为常数
?
（3）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
■考点2．一次函数的图象及性质
(1)正比例函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）的图象是经过点
和
的一条直线；一次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）的图象是经过（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）和（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）两点的一条直线。
(2)
-次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）的图象与性质
k，b符号
K＞0
k<0
b＞0
b＜0
b=0
b>0
b<0
b＝0
大致图象
经过象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
图象性质
y随x的增大而
y随x的增大而
■考点3．用待定系数法求一次函数解析式：
(1)关键：确定一次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）中的字母
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)的值。
(2)步骤：①设一次函数表达式；
②根据已知条件将
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)的对应值代人表达式；
③解关于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)的方程或方程组；
④确定表达式。
■考点4.两直线的位置关系（设两直线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）：
(1)两个一次函数y=k1x+b
和y=k2x+b图象的交点坐标.
二元一次方程组
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)的解
(2)两直线平行：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??))；
(3)两直线垂直：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)。
■考点5.一次函数图象的平移
规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.即“上加下减”
若向左平移h单位，则x值增大h；若向右平移h单位，则x值减小h.即“左加右减”
■考点6．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
(1)
-次函数与一元一次方程：
一次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）的图象与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)轴交点的横坐标是
时一元一次方程的解，与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)轴交点的纵坐标是
时一元一次方程的解。21教育名师原创作品
(2)
-次函数与一元一次不等式：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）或
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）的解集即一次函数图象位于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)轴上方或下方时相应的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)取值范围，反之也成立。
(3)-次函数与二元一次方程组：
两条直线的交点坐标即为两个一次函数解析式所组成的二元一次方程组的解，反之根据以二元一次方程组的解为坐标的焦是对应两直线的交点。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1：一次函数的图象与性质
◇典例：
（2020年湖北省荆州市）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（
）
A．
B．
C．D．
【考点】一次函数的图象，一次函数的性质
【分析】观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可.
解：∵一次函数y=x+1，其中k=1，b=1
∴图象过一、二、三象限
故选：D.
【点评】此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握，即可解题.
（2019年江苏省扬州）若点P在一次函数的图像上，则点P一定不在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】一次函数的性质
【分析】根据一次函数的性质进行判定即可.
解：一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，
所以一次函数y=-x+4的图象经过二、一、四象限，
又点P在一次函数y=-x+4的图象上，
所以点P一定不在第三象限，
故选C.
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握是解题的关键.
y=kx+b：当
k>0，b>0时，函数的图象经过一，二，三象限；当
k>0，b<0时，函数的图象经过一，三，四象限；当
k<0，b>0时，函数的图象经过一，二，四象限；当
k<0，b<0时，函数的图象经过二，三，四象限.
（2020年辽宁省鞍山市）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点在直线上，若，且均为等边三角形，则线段的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质
【分析】根据题意得出∠AnOBn=30°，从而推出AnBn=OAn，得到BnBn+1=BnAn+1，算出B1A2=1，B2A3=2，B3A4=4，找出规律得到BnAn+1=2n-1，从而计算结果．
解：设△BnAnAn+1的边长为an，
∵点B1，B2，B3，…是直线上的第一象限内的点，
过点A1作x轴的垂线，交直线于C，
∵A1（1，0），令x=1，则y=，
∴A1C=，
∴，
∴∠AnOBn=30°，
∵均为等边三角形，
∴∠BnAnAn+1=60°，
∴∠OBnAn=30°，
∴AnBn=OAn，
∵∠BnAn+1Bn+1=60°，
∴∠An+1BnBn+1=90°，
∴BnBn+1=BnAn+1，
∵点A1的坐标为（1，0），
∴A1B1=A1A2=B1A2=1，A2B2=OA2=B2A3=2，A3B3=OA3=B3A4=4，...，
∴AnBn=OAn=BnAn+1=2n-1，
∴=B2019A2020=，
故选D．
【点评】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键．
◆变式训练
（2019年广西河池市）函数y＝x﹣2的图象不经过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2020年安徽省）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，以为边作正方形，，则点的坐标______．
■考点2：用待定系数法求一次函数解析式：
◇典例
（2020年湖南省郴州市）小红在练习仰卧起坐，本月日至日的成绩与日期具有如下关系：
日期（日）
成绩（个）
小红的仰卧起坐成绩y与日期之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________．
【考点】待定系数法求一次函数的表达式
【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．
解：设该函数表达式为y=kx+b，根据题意得：
，
解得，
∴该函数表达式为y=3x+37．
故答案为：y=3x+37．
【点评】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
◆变式训练
（2019年广西桂林市）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（　　）
A．y＝x+
B．y＝x+
C．y＝x+1
D．y＝x+
■考点3：两直线的位置关系
◇典例：
（2020年江苏省南通市）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【考点】两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式
【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
◆变式训练
（2019年山东省东营市）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为　
　．
■考点4.
一次函数图象与几何变换
◇典例：
（2020年四川省内江市）将直线向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（　
　）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数图象与几何变换
【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．
解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．
∴新直线的解析式为y=-2x+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化．
　
◆变式训练
（2020年江苏省南京市）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________．
（2020年天津市）将直线向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．
■考点5．一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的关系
◇典例：
（2019年山东省烟台市）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为　
　．
【考点】一次函数与一元一次不等式
【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标，结合函数图象可知当x＜1时x+2≤ax+c，即可求解，
解：点P（m，3）代入y＝x+2，
∴m＝1，
∴P（1，3），
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1，
故答案为x≤1，
【点评】本题考查一次函数的交点于一元一次不等式，将一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．
◆变式训练
（2019年山东省滨州市（a卷））如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为　
　．
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（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）对于一次函数，下列说法不正确的是（
）
A．图象经过点
B．图象与x轴交于点
C．图象不经过第四象限
D．当时，
（2020年广东省广州市）一次函数的图象过点，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省湖州市）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　）
A．y＝x+2
B．y＝x+2
C．y＝4x+2
D．y＝x+2
（2020年江苏省泰州市）点在函数的图像上，则代数式的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省凉山州）已知一次函数y
=（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（
）
A．m>-
B．m<3
C．-D．-（2020年湖南省益阳市）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．随的增大而减小
D．当时，
（2020年湖南省邵阳市）已知正比例函数的图象过点，把正比例函数的图象平移，使它过点，则平移后的函数图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年贵州黔西南州）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．
（2020年贵州省遵义市）如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为_____．
（2020年四川省达州市）已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是_________；记直线和与x轴围成的三角形面积为，则_____，的值为______．
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1、
选择题
（2020年四川省内江市）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（
）
A．
B．C．
D．且
（2020年江苏省镇江市）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（　　）
A．第一
B．第二
C．第三
D．第四
（2020年辽宁省沈阳市）一次函数的图象经过点，点，那么该图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限
B．第二象限C．第三象限
D．第四象限
（2020年湖南省永州市）已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．2
（2020年浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）
A．
B．C．
D．
（2020年山东省潍坊市）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．D．
（2020年四川省乐山市）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年广西桂林市）直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
（2020年陕西省）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
（2020年山东省日照市）将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（　　）
A．y＝2x+3
B．y＝2x﹣3
C．y＝2（x+3）
D．y＝2（x﹣3）
（2020年山东省济宁市）数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P
,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（
）
A．x=20
B．x=5
C．x=25
D．x=15
（2020年湖南省湘潭市）如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
1、
填空题
（2020年上海市）如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）
（2020年四川省成都市）一次函数的值随值的增大而增大，则常数的取值范围为_________．
（2020年山东省东营市）已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k　
　0（填“＞”或“＜”）
（2020年贵州省黔东南州）把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为_____．
（2020年贵州省黔南州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为___．
（2020年四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，0），直线与x轴交于点B，以AB为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推……，则点的纵坐标是______________
（2020年江苏省泰州市）如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．
（2020年辽宁省鞍山市）如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为________．
1、
解答题
（2020年重庆市B卷）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
x
?
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
?
y
?
a
-2
-4
b
-4
-2
?
（1）列表，写出表中a，b的值：a=____
，b=　　　　
．
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数的图象关于y轴对称；
②当x=0时，函数有最小值，最小值为-6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
（2020年重庆市A卷）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
…
－5
－4
3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…
…
－3
0
3
…
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；(
)
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；(
)
③当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；(
)
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
（2020年北京市）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
（2020年浙江省衢州市）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．
（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．
（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：
①货轮出发后几小时追上游轮？
②游轮与货轮何时相距12km？
（2020年山东省滨州市）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求PAB的面积；
（3）请把图象中直线在直线上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．
（2019年浙江省衢州市）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
18

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