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第三章函数
第15节
一次函数的应用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)一般步骤
（1）设出实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式；
（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；
（4）确定自变量的取值范围；
（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
（6）做答.
■考点1.
函数图象的交点.
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
通过图象获取信息
通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．21教育名师原创作品
■考点2.利用一次函数的性质解决方案问题.
“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。
命题角度：
1.求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值；
2.利用一次函数进行方案选择；
3.利用一次函数解决个税收取问题；
4.利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题。
■考点3.一次函数的优化问题
一次函数本身并没有最值，通常一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.
■考点4.一次函数与几何图形问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1：函数图象的交点
◇典例：
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟．在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象；图2中线段表示小华和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：
（1）填空：妈妈骑车的速度是___________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是__________分钟，点M的坐标是___________；
（2）直接写出妈妈和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；
（3）求t为何值时，两人相距360米．
【考点】函数的图象，一次函数的应用
【分析】（1）先求出小华步行的速度，然后即可求出妈妈骑车的速度；先求出妈妈回家用的时间，然后根据小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，即可求出装货时间；根据题意和图像可得妈妈在M点时开始返回商店，然后即可求出M的坐标；
（2）分①当0≤t＜15时，②当15≤t＜20时，③当20≤t≤35时三段求出解析式即可，根据解析式画图即可；
（3）由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，分①相遇前，②相遇后，③在小华到达以后三种情况讨论即可．
解：（1）由题意可得：小华步行的速度为：=60（米/分钟），
妈妈骑车的速度为：=120（米/分钟）；
妈妈回家用的时间为：=15（分钟），
∵小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，
∴可知妈妈在35分钟时返回商店，
∴装货时间为：35-15×2=5（分钟），
即妈妈在家装载货物的时间为5分钟；
由题意和图像可得妈妈在M点时开始返回商店，
∴M点的横坐标为：15+5=20（分钟），
此时纵坐标为：20×60=1200（米），
∴点M的坐标为；
故答案为：120，5，；
（2）①当0≤t＜15时y2=120t，
②当15≤t＜20时y2=1800，
③当20≤t≤35时，设此段函数解析式为y2=kx+b，
将（20，1800），（35，0），代入得，
解得，
∴此段的解析式为y2=-120x+4200，
综上：；
其函数图象如图，
；
（3）由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，
①相遇前，依题意有，解得（分钟）；
②相遇后，依题意有，解得（分钟）；
③依题意，当分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华，
此时小华距商店为（米），只需10分钟，
即分钟时，小华到达商店，
而此时妈妈距离商店为（米）（米），
∴，解得（分钟），
∴当t为8，12或32（分钟）时，两人相距360米．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，由图像获取正确的信息是解题关键．
◆变式训练
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早小时出发，到达武汉后用小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚小时．
（1）求的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
【考点】函数的图象，一次函数的应用【分析】（1）由图象可知点M和点E的坐标，运用待定系数法求ME的解析式即可；
（2）运用待定系数法求出BC，CD，FG的解析式，分别联立方程组，求出交点坐标即可得到结果；
（3）由（2）知两车最后一次相遇时快递车行驶1小时，根据路程=速度×时间可得结论.
解：（1）由图象可知：M，E
设的解析式
把M，E代入得：
，解得，
的解析式为；
（2）由图象知B（4，0），C(6,200)
设的解析式,
把B（4，0），C(6,200)代入得，，
解得，，
∴的解析式为：
由图象知F（5，200），G（9，0）
设的解析式，
把F（5，200），G（9，0）代入上式得，，
解得，，
故的解析式为：
联立方程组得，，解得；
由图象得，C（6，200），D（8，0）
设CD的解析式为y=rx+s，
把C（6，200），D（8，0）代入上式得，，
解得，
故CD的解析式为y=-100x+800,
联立方程组得，解得
答：货车返回时与快递车途中相遇的时间，
（3）由（2）知，最后一次相遇时快递车行驶1小时，
其速度为：200÷2=100(km/h)
所以，两车最后一次相遇时离武汉的距离为：100×1=100（km）
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，读懂题目信息，理解两车的运动过程是解题的关键
■考点2：利用一次函数的性质解决方案问题.
◇典例
（2020年四川省德阳市）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
【考点】分式方程的应用，一次函数的应用
【分析】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，构建方程求解即可．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400
①，且2000x+1500y≤110000
②把问题转化为不等式解决即可．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，利用函数的性质解答即可．
解：（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，
由题意，＝，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000是分式方程的解．
答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．
故答案为甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元；
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．
由题意，45x+30y＝2400
①，且2000x+1500y≤110000
②，
由①得到y＝80﹣1.5x③，
把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，
解得，x≥40，
∵y＞0，
∴80﹣1.5x＞0，
x＜53.3，
∴40≤x＜53.3，
∵x，y是正整数，
∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8，或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．
∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．
故答案为共有7中可能；
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，
∵﹣250＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．
答：最低费用为107000元．
故答案为：最低费用为107000元．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，是利润问题中的综合题，考查较为全面，对于一次函数而言，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
◆变式训练
（2020年湖北省咸宁市）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
【考点】分式方程的应用，一次函数的应用
【分析】（1）设每盒水银体温计的价格是x元，根据用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计的盒数相同列出方程，求解即可；
（2）先用m表示出需要水银体温计的支数，再表示出水银体温计的盒数；
（3）分当m≤4时，当m＞4时，分别得出关系式，再合并，根据若该校九年级有900名学生求出口罩的盒数m，从而得到体温计的盒数以及总费用.
解：（1）设每盒水银体温计的价格是x元，则每盒口罩的价格是x+150元，
根据题意可得：，
解得：x=50，
经检验：x=50是原方程的解，
50+150=200元，
∴每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元，50元；
（2）∵购买口罩m盒，
∴共有口罩100m个，
∵给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，
∴需要发放支水银体温计，
∴需要购买盒水银体温计；
（3）由题意可得：
令200m+5m×50=1800，
解得：m=4，
若未超过1800元，即当m≤4时，
则w=200m+5m×50=450m，
若超过1800元，即当m＞4时，
w=（200m+5m×50-1800）×0.8+1800=360m+360，
∴w关于m的函数关系式为，
若该校九年级有900名学生，即=900，
解得：m=18，
则=6840，
答：需要购买口罩18盒，水银体温计90盒，所需总费用为6840元.
【点评】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，弄清口罩盒数与体温计盒数的配套关系.
■考点3：一次函数的优化问题
◇典例：
（2020年湖南省怀化市）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
【考点】.
一次函数的应用，一元一次不等式组的应用
【分析】(1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；
(2)根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x=12代入函数解析式求出结果即可.
解：（1）由题意得：y=（2000-1600）x+（3000-2500）（20-x）=-100x+10000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y=-100x+10000；
（2）由题意得：
，
解得，
∵x为正整数，
∴x=12、13、14、15，
共有四种采购方案：
①甲型电脑12台，乙型电脑8台，
②甲型电脑13台，乙型电脑7台，
③甲型电脑14台,乙型电脑6台，
④甲型电脑15台，乙型电脑5台，
∵y=-100x+10000，且-100<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，y有最大值，
即x=12时，y最大值=，
∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元.
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键.
◆变式训练
（2020年四川省达州市）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅
160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用
【分析】（1）用含a的代数式分别表示出600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量，再根据二者数量相等即可列出关于a的方程，解方程并检验即得结果；
（2）设购进餐桌x张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求出x的取值范围，再根据“总利润＝成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，然后根据一次函数的性质即可解决问题．
解：（1）根据题意，得：，
解得：a=260，
经检验：a=260是所列方程的解，
∴a=260；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．
∵a＝260，∴餐桌的进价为260元/张，餐椅的进价为120元/张．
依题意可知：
W＝x×(940﹣260﹣4×120）+x×(380﹣260）+（5x+20﹣x×4）×(160﹣120）＝280x+800，
∵k＝280＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝30时，W取最大值，最大值为9200元．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，属于常考题型，解题的关键是：（1）正确理解题意、由数量相等得出关于a的分式方程；（2）根据数量关系找出W关于x的函数解析式，灵活应用一次函数的性质．
考点4.一次函数与几何图形问题
◇典例：
（2020年湖南省衡阳市）如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．
（1）当点落在边上时，求的值；
（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；
（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为﹤，进一步求出重叠面积关于t的表达式，代入解t的方程即可解得t值；
（3）由已知求得点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．
解：（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A、C坐标代入，得：
，解得：，
∴直线AC的函数解析式为，
当点落在边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），
将点H代入，得：
，解得：t=1；
（2）存在，，使得．
根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4，
设直线AB的函数解析式为y=mx+n，
将点A、B坐标代入，得：
，解得：，
∴直线AC的函数解析式为，
当t﹥4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，
当点H落在AB边上时，将点H代入，得：
，解得：；
此时重叠的面积为，
∵﹤，∴﹤t﹤5，
如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,
将y=t-3代入得：，
解得：x=2t-10，
∴点S(2t-10，t-3)，
将x=3-t代入得：，
∴点T，
∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=，
,
所以重叠面积S==4--=，
由=得：，﹥5(舍去)，
∴；
（3）可能，≤t≤1或t=4．
∵点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，
∴点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,
易知M点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；
当0﹤t﹤时，M在线段OD上，H未到达D点，所以M与正方形不相遇；
当﹤t﹤1时，
+÷（1+4）=秒，
∴时M与正方形相遇，经过1÷（1+4）=秒后，M点不在正方行内部，则；
当t=1时，由（1）知，点F运动到原E点处，M点到达C处；
当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=秒时，点M追上G点，经过1÷（4-1）=秒，点都在正方形内（含边界），
当t=2时，点M运动返回到点O处停止运动，
当
t=3时，点E运动返回到点O处,
当
t=4时，点F运动返回到点O处,
当时，点都在正方形内（含边界），
综上，当或或时，点可能在正方形内（含边界）．
【点评】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
◆变式训练
（2020年北京市）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是
；在点中，连接点A与点
的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由得到的最小值；
（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离的最大值即点A，B点的位置，由此得出的取值范围．
解：（1）平行；P3；
（2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴．
由垂径定理得：，
∴；
（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；
点A到O的距离为．
如图，平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值：；
平移距离的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°,
∵OA2=1,∴OM=,
A2M=,
∴MA=3,AA2=
,
∴的取值范围为：．
【点评】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2020年西藏）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】一次函数的应用
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求得y与x的函数关系式，然后令y＝7.5，求出x的值，即此时x的值就是a的值，本题得以解决．
解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y与x的函数关系式是y＝0.5x+6，
当y＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x＝3，
即a的值为3，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（2019年山东省聊城市）某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（　　）
A．9：15
B．9：20
C．9：25
D．9：30
【考点】一次函数的应用
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，
∴y1＝6x+40，
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，
∴y2＝﹣4x+240，
联立，解得，
∴此刻的时间为9：20．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式，（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
（2020年重庆市B卷）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚____分钟到达B地．
【考点】函数的图象，一次函数的应用
【分析】根据题意先求解乙的速度与甲的原速度，得到改变后的速度，由时，甲到达B地，再计算出全程，从而可以得到乙与地的距离，从而得到晚到的时间．
解：由图及题意得：乙的速度为米/分，
即甲原速度为250米/分，
当x=25后，甲提速为米/分，
当x=86时，甲到达B地，
此时乙距B地为250（25-5）+400（86-25）-300×86=3600.
即乙比甲晚分钟到达B地．
答案：12．
【点评】本题考查的是一次函数关于行程问题的应用，从图像中获取信息得到与问题相关的：速度，时间，全程是解题的关键．
（2020年山东省青岛市）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
【考点】一次函数的应用，分式方程的应用
【分析】（1）用待定系数法即可求出y与t的函数关系式，然后求出注满水池用的时间，进而可求出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）设甲的注水速度是x
m3/h，则乙的注水速度是(140-x)
m3/h，根据单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍列方程求解即可．
解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，
2k+100=380，
解得
k=140，
∴y=140t+100，
当y=480时，
则480=140t+100，
解得t=，
(480-100)÷=140m3/h；
∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h；
（2）设甲的注水速度是x
m3/h，则乙的注水速度是(140-x)
m3/h，由题意得
，
解得x=60，
经检验x=60符合题意，
(h)，
∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，掌握待定系数法是解（1）的关键，找出数量关系列出方程是解（2）的关键．
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y(单位：千米)与驶的时间t(单位：小时)的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是_____千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）由图象分析可得甲车行驶用时为8小时，即可求解其速度，进而乙车速度也可知，则图中括号内的数字也可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）分析整个运动过程，分三种情况进行讨论，分别求出对应的t即可求解．
解：（1）由图象可知甲车在时行驶到C市，此时行驶的路程为，故速度为，
∴乙车的行驶速度为：，
∴乙车由C市到A市需行驶，
∴图中括号内的数为，
故答案为：60，10；
（2）设线段MN所在直线的解析式为
y
=
kt
+
b
(
k
≠
0
)
.
把点M（4，0），N（10，480）代入y
=
kt
+
b，得：，
解得：，
∴线段MN所在直线的函数解析式为y
=
80t－320．
（3）若在乙车出发之前，即时，则，解得；
若乙车出发了且甲车未到C市时，即时，则，解得（舍）；
若乙车出发了且甲车已到C市时，即时，则，解得；
综上，甲车出发小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
（2020年四川省乐山市）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿
车
4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）本题可假设轿车的租金为x元，并根据题意列方程求解即可．
（2）本题可利用两种方法求解，核心思路均是分类讨论，讨论范围分别是两车各租其一以及两车混合租赁，方法一可利用一次函数作为解题工具，根据函数特点求解本题；方法二则需要利用枚举法求解本题．
解：（1）设租用一辆轿车的租金为元．
由题意得：．
解得
，
答：租用一辆轿车的租金为元．
（2）方法1：①若只租用商务车，∵，
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为（元）；
②若只租用轿车，∵，
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为（元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．
由题意，得
由，得
，
∴，
∵，∴，
∴，且为整数，
∵随的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时，
综上，租用商务车辆和轿车辆时，所付租金最少为元．
方法2：设租用商务车辆，租用轿车辆，租金为元．
由题意，得
由，得
，∴，
∵为整数，∴只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有：
不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为（元）；
租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为（元）；
租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为（元）；
租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为（元）；
租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金为（元）；
租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为（元）；
由此可见，最佳租车方案是租用商务车辆和轿车辆，
此时所付租金最少，为元．
【点睛】本题考查一次函数的实际问题以及信息提取能力，此类型题目需要根据题干所求列一次函数，并结合题目限制条件对函数自变量进行限制，继而利用函数单调性以及分类讨论思想解答本题．
（2020年湖北省荆州市）为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨）
（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费降低m元，（且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值．
【考点】一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；
（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；
（3）根据题意以及（2）的结论可得y=-4x+11000-500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．
解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨；
则
解得：
答：这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；
（2）如图，甲、乙两厂调往两地的数量如下：
当x=240时运费最小
所以总运费的方案是：甲厂200吨全部运往B地；乙厂运往A地240吨，运往B地60吨．
(3)由（2）知：
当x=240时，
，
所以m的最小值为10．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解．
（2020年河南省）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；
设某学生暑期健身
(次)，按照方案一所需费用为，(元)，且；按照方案二所需费用为
(元)
，且其函数图象如图所示．
求和的值，并说明它们的实际意义；
求打折前的每次健身费用和的值；
八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得和的值，再根据函数表示的实际意义说明即可；
（2）设打折前的每次健身费用为a元，根据（1）中算出的为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到的值；
（3）写出两个函数关系式，分别代入x=8计算，并比较大小即可求解．
解：（1）由图象可得：经过（0，30）和（10，180）两点，代入函数关系式可得：，
解得：，
即k1=15，b=30，
k1=15表示的是每次健身费用按六折优惠是15元，b=30表示购买一张学生暑期专享卡的费用是30元；
（2）设打折前的每次健身费用为a元，
由题意得：0.6a=15，
解得：a=25，
即打折前的每次健身费用为25元，
k2表示每次健身按八折优惠的费用，故k2=25×0.8=20；
（3）由（1）（2）得：，，
当小华健身次即x=8时，
，，
∵150<160，
∴方案一所需费用更少，
答：方案一所需费用更少．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求解函数关系式并结合题意计算出原价是解题的关键．
（2020年四川省南充市）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示，求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y=5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本）
【考点】函数的图象，一次函数的应用
【分析】（1）由图像可知，当，函数为常数函数z=16；当，函数为一次函数，设函数解析式为，直线过点(12，16)，(20，14)代入即可求出，从而可得到z关于x的函数解析式；
（2）根据x的不同取值范围，z关于x的关系式不同，设W为利润，当，，可知x=12时有最大利润；当，，当时有最大利润．
解：（1）由图可知，当时，
当时，是关于的一次函数，设
则，得，即
∴关于的函数解析式为
（2）设第个生产周期工厂创造的利润为万元
①时，
当时，（万元）
②时，
当时，（万元）
综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
【点评】（1）本题主要考查了一次函数解析式的求法，解本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，能根据图像找到函数所过点；
（2）根据等量关系：利润=收入-成本，列出函数关系从而求出最大值，其中根据等量关系列出函数关系式是解本题的关键．
（2020年辽宁省沈阳市）如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，设运动的时间为t秒（），过点作轴，分别交于点，．
（1）填空：的长为_____，的长为____
（2）当时，求点的坐标：
（3）请直接写出的长为_____（用含的代数式表示）；
（4）点是线段上一动点（点不与点重合），和的面积分别表示为和，当时，请直接写出（即与的积）的最大值为__________．
【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，令求解即可得到点N的坐标；
（3）根据题意可得，利用相似三角形的性质即可求解；
（4）根据求解即可．
解：（1）∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
故答案为：，；
（2）设直线AB的解析式为，将，代入得：
，解得，
∴，
由题意可知点N的纵坐标为1，
∴令得，解得，
∴；
（3）∵动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，运动的时间为t秒，
∴到OB的距离为t，
∴的高为，
∴与的高之比为，
∵，
∴，
∴，即；
（4）当时，，
∴，
∴，
故答案为：16．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等内容，掌握数形结合思想是解题的关键．
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1、
选择题
（2020年内蒙古鄂尔多斯市）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（
）
A．第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）
B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟
C．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车
D．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）
【考点】一次函数的应用
【分析】设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可得出第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式；把y＝2500代入函数解析式即可求出第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间；设小聪坐上了第n班车，30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
解：由题意得，可设第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，3600）代入y＝kx+b，
得，解得：；
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）；
故选项A不合题意；
把y＝2000代入y＝200x﹣4000，
解得：x＝30，
30﹣20＝10（分），
∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；
故选项B不合题意；
设小聪坐上了第n班车，则
30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪坐上了第5班车，
故选项C符合题意；
等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1600÷200＝8（分），
步行所需时间：1600÷（2000÷25）＝20（分），
20﹣（8+5）＝7（分），
∴比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟．
故选项D不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．
1、
填空题
（2020年黑龙江省绥化市）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程与行驶时间的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是________．
【考点】一次函数的应用
【分析】根据函数图象中的数据，可以根据速度=路程时间，计算2小时后火车的速度.
解：观察图象可得，当x=2时，y=156,当x=3时，y=221.
∴2小时后货车的速度是（221-156）（3-2）=65.
故答案是：65.
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并且得到关键的信息．
（2020年重庆市A卷）A，B两地相距240
km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线所示．其中点C的坐标是，点D的坐标是，则点E的坐标是__________．
【考点】一次函数的应用
【分析】先根据CD段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点E表示的意义，由此即可得出答案．
解：设乙货车的行驶速度为
由题意可知，图中的点D表示的是甲、乙货车相遇
点C的坐标是，点D的坐标是
此时甲、乙货车行驶的时间为，甲货车行驶的距离为，乙货车行驶的距离为
乙货车从B地前往A地所需时间为
由此可知，图中点E表示的是乙货车行驶至A地，EF段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B地
则点E的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即
即点E的坐标为
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象是解题关键．
（2020年上海市）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米．
【考点】一次函数的应用
【分析】当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，从而得出答案．
解：当8≤t≤20时，设s=kt+b，
将(8，960)、(20，1800)代入，得：
，
解得：，
∴s=70t+400；
当t=15时，s=1450，
1800﹣1450=350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．
故答案为：350．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
（2020年湖南省益阳市）某公司新产品上市天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是__________元．
【考点】一次函数的应用
【分析】从图1和图2中可知，当t=30时，日销售量达到最大，每件产品的销售利润也达到最大，所以由日销售利润=销售量×每件产品销售利润即可求解．
解：由图1知，当天数t=30时，市场日销售量达到最大60件；
从图2知，当天数t=30时，每件产品销售利润达到最大30元，
所以当天数t=30时，市场的日销售利润最大，最大利润为60×30=1800元，
故答案为：1800
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，也考查了学生的观察能力、理解能力和解决实际问题的能力，仔细审题，利用数形结合法理解题目已知信息是解答的关键．
（2020年四川省绵阳市）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是_____万元．（利润＝销售额﹣种植成本）
【考点】一次函数的应用
【分析】设甲种火龙果种植亩，乙钟火龙果种植亩，此项目获得利润，根据题意列出不等式求出的范围，然后根据题意列出与的函数关系即可求出答案．
解：设甲种火龙果种植亩，乙钟火龙果种植亩，此项目获得利润，
甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元，
由题意可知：，
解得：，
此项目获得利润，
∵
∴随的增大而减小，
∴当时，
的最大值为万元，
故答案为：125．
【点睛】本题考查一元一次不等式和一次函数，熟悉相关性质是解题的关键．
（2020年湖北省鄂州市）如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点．当线段长取最小值时，直线交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为______________．
【考点】一次函数综合题
【分析】先找到长取最小值时P的位置即为OP⊥AB时，然后画出图形，由于PM即为P到直线a的距离的最大值，求出PM长即可．
解：如图，
在直线上，x=0时，y=4，y=0时，x=，
∴OB=4，OA=，
∴，
∴∠OBA=30°，
由切于Q点，可知OQ⊥PQ，
∴，
由于OQ=1，因此当OP最小时长取最小值，此时OP⊥AB，
∴，此时，，
∴，即∠OPQ=30°，
若使P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过P作PE⊥y轴于E，
，，
∴，
∵，∴∠OPE=30°，
∴∠EPM=30°+30°=60°，即∠EMP=30°，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到Ｐ点的位置是解题的关键．
1、
解答题
（2020年湖北省襄阳市）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出当和时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克，经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．
【考点】函数的图像，一次函数的应用，一元一次不等式应用
【分析】（1）根据函数图像利用选定系数法即可求出y与x之间的函数关系式．
（2）甲进x千克，则乙进（100－x）千克，根据甲水果进货量的取值范围，第一，当40≤x≤50时，甲水果进货量x与付款y的关系式为，结合乙水果花费的金额，表示出w关于x的一次函数关系式，根据x取值范围求出w的最小值；第二，当50＜x≤60时，甲水果进货量x与付款y的关系式为，同样加上乙水果花费金额，表示出w函数关系式，再根据x的取值范围求出w最小值，比较w谁最小，从而确定甲乙两种水果进货量．
（3）通过甲，乙两种水果购进量的分配比例，用a表示出甲乙进货量，分类讨论甲不同的进货量得出不同的进货价格，表示出利润不低于1650元的不等式，从而求出a的最小值．
解：（1）当时，设y=kx，
将（50，1500）代入得1500=50k，
解得k=30，
所以；
当时，设y=k1x+b，
将（50，1500）、（70，1980）分别代入得
，
解得：，
所以；
综上；
（2）甲进货x千克，则乙进货（100－x）千克
①40≤x≤50
w=30x+（100－x）×25
=5x+2500
∵k＞0
∴当x=40时，w有最小值为2700；
②50＜x≤60，
w=24x+300+（100－x）×25，
=﹣x+2800，
∵k＜0，
∴当x=60时w有最小值为2740，
∵2700＜2740，
∴当甲进40千克，乙进60千克时付款总金额最少；
（3）由题可设甲为
，乙为；
当0≤≤50时，即0≤a≤125
则甲的进货价为30元/千克，
×（40－30）＋×（36－25）≥1650，
∴a≥
＞125，
与0≤a≤125矛盾，故舍去，
当＞50时，即a＞125，
则甲的进货价为24元/千克，
×（40－24）＋×（36－25）≥1650，
∴a≥＞125
，
∴a的最小值为
答：a的最小值为，利润不低于1650元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式应用，解题关键在于理解题意，通过一次函数的性质和一元一次不等式，运用数形结合思想进行解题．
（2020年黑龙江省牡丹江市）在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车行驶速度是___________千米1时，B，C两地的路程为___________千米；
（2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；
（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）根据F点坐标可求出甲车速度，根据M纵坐标可得B，C两地之间距离；
（2）根据甲车比乙车晚1.5小时到达C地得出点E坐标，再求出点N坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，④当乙车追上甲车并超过15km时，⑤当乙车回到C地时，甲车距离C地15千米时.
解：（1）由题意可得：
F（10，600），
∴甲车的行驶速度是：600÷10=60千米/时，
M的纵坐标为360，
∴B，C两地之间的距离为360千米，
故答案为：60；360；
（2）∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地，
∴点E（8.5，0），
乙的速度为360×2÷（10-0.5-1.5）=90千米/小时，
则360÷90=4，
∴M（4，360），N（4.5，360），
设NE表达式为y=kx+b，将N和E代入，
，解得：，
∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：；
（3）设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米，
①在乙车到B地之前时，
600-S甲-S乙=15，即600-60x-90x=15，
解得：x=；
②∵（600-360）÷60=4小时，360÷90=4小时，
∴甲乙同时到达B地，
当乙在B地停留时，
15÷60+4=小时；
③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，
15÷（90-60）+4.5=5小时；
④当乙车追上甲车并超过15km时，
（30+15）÷（90-60）+4.5=6小时；
⑤当乙车已经回到C地时，甲车距离C地15千米时，
（600-15）÷60=小时.
综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或小时或5小时或6小时或小时.
【点评】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图像分析运动过程，理解各个节点的实际意义.
（2020年宁夏）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行时间之间的函数关系式如图中折线段所示．
（1）小丽与小明出发_______相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．
①求小丽和小明步行的速度各是多少？
②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．
【考点】二元一次方程组的应用，一次函数的应用
【分析】（1）直接从图像获取信息即可；
（2）①设小丽步行的速度为，小明步行的速度为，且，根据图像和题意列出方程组，求解即可；
②设点C的坐标为，根据题意列出方程解出x，再根据图像求出y即可，再结合两人的运动过程解释点C的意义即可．
解：（1）由图像可得小丽与小明出发30相遇，
故答案为：30；
（2）①设小丽步行的速度为，小明步行的速度为，且，
则，
解得：，
答：小丽步行的速度为，小明步行的速度为；
②设点C的坐标为，
则可得方程，
解得，
，
∴点，
点C表示：两人出发时，小明到达甲地，此时两人相距．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的应用，从图像获取信息是解题关键．
（2020年江苏省淮安市）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发小时后离甲地的路程为千米，图中折线表示接到通知前与之间的函数关系．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为
千米/小时；
（2）求线段所表示的与之间的函数表达式；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
（2）根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）求出到达乙地所行驶的时间即可解答．
解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米/小时；
故答案为：80；
（2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：（小时），
∴点E的坐标为（3.5，240），
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为，
则：，解得，
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，
则全程所需时间为：（小时），
从早上8点到中午12点需要12-8=4（小时），
∵4.125＞4，
所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（2020年吉林省）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____．
（2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值．
【考点】函数的图象，一次函数的应用
【分析】（1）根据加油量为即可得；根据时剩余油量为即可得；
（2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；
（3）先求出机器加油过程中的关于的函数解析式，再求出时，两个函数对应的x的值即可．
解：（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为
机器工作的过程中每分钟耗油量为
故答案为：3，；
（2）由函数图象得：当时，机器油箱加满，并开始工作；当时，机器停止工作
则自变量的取值范围为，且机器工作时的函数图象经过点
设机器工作时关于的函数解析式
将点代入得：
解得
则机器工作时关于的函数解析式；
（3）设机器加油过程中的关于的函数解析式
将点代入得：
解得
则机器加油过程中的关于的函数解析式
油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：
①在机器加油过程中
当时，，解得
②在机器工作过程中
当时，，解得
综上，油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40．
【点评】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获取信息是解题关键．
（2020年辽宁省大连市）甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．下图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：）的函数图象．
（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）分别设出甲乙的函数解析式，利用待定系数法求解解析式即可；
（2）由题意得利用甲乙的函数解析式列方程，解方程并检验可得答案．
解：（1）设甲气球上升过程中：，
由题意得：甲的图像经过：两点，
解得：
所以甲上升过程中：
设乙气球上升过程中：
由题意得：乙的图像经过：两点，
解得：
所以乙上升过程中：
（2）由两个气球的海拔高度相差，
即
或
解得：或（不合题意，舍去）
所以当这两个气球的海拔高度相差时，上升的时间为
【点评】本题考查的是一次函数的应用，考查利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年浙江省宁波市）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），观察图象，经过两点（1.6，0），（2.6，80），代入求解即可得到函数关系式；
（2）先求出货车甲正常到达B地的时间，再求出货车乙出发回B地时距离货车甲比正常到达B地晚1个小时的时间以及故障地点距B地的距离，然后设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，最后列出不等式并求解即可．
解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得
，
解得：
，
∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；
（2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h）
∴货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），
18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），
当y＝200﹣80＝120
时，
120＝80x﹣128，
解得x＝3.1，
5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），
设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，
∴1.6v≥120，
解得v≥75．
答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握待定系数法，并求出函数解析式，根据题意正确列出一元一次不等式．
（2020年湖北省孝感市）某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品．已知乙产品的售价比甲产品的售价多5元，丙产品的售价是甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍．
（1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？
（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买农产品最少要花费多少元？
【考点】分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）设甲产品的售价为元，先表示出乙产品的售价和丙产品的售价，再根据“用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍”建立方程，然后求解即可得；
（2）设的甲、乙、丙三种农产品搭配中，丙种农产品有，先求出乙种农产品的数量和甲种农产品的数量，再根据题干三种农产品间的数量关系列出不等式求出m的取值范围，然后根据（1）的结论得出所需费用关于m的函数关系式，最后利用一次函数的性质即可得．
解：（1）设甲产品的售价为元，则乙产品的售价为元，丙产品的售价为元
由题意得：
解得：
经检验，是所列分式方程的解，也符合题意
则，
答：甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是5元、10元、15元；
（2）设的甲、乙、丙三种农产品搭配中，丙种农产品有，则乙种农产品有，甲种农产品有
由题意得：
解得
设按此销售方案购买农产品所需费用元
则
∵在范围内，随的增大而增大
∴当时，取得最小值，最小值为（元）
答：按此方案购买农产品最少要花费300元．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用、一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，依据题意，正确列出方程和函数的解析式是解题关键．
（2020年山东省德州市）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．
（1）超市B型画笔单价多少元？
（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．
（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？
【考点】分式方程的应用，一次函数的应用
【分析】（1）设超市B型画笔单价a元，根据“花100元买了相同支数的B型画笔”，列出分式方程，即可求解；
（2）分两种情况：当小刚购买的B型画笔支数时，
当小刚购买的B型画笔支数时，分别列出函数表达式，即可；
（3）把y=270代入第（2）小题的函数表达式，即可求解．
解：（1）设超市B型画笔单价a元，则A型画笔单价为元，
由题意列方程得，
解得
经检验，是原方程的解．
答：超市B型画笔单价为5元
（2）由题意知，
当小刚购买的B型画笔支数时，费用为
当小刚购买的B型画笔支数时，费用为
所以其中x是正整数
（3）当时，解得，因为，故不符合题意，舍去．
当时，，符合题意
答：小刚能购买65支B型画笔．
【点评】本题主要考查分式方程和一次函数的实际应用，理解题目中的数量关系，列出方程和函数表达式，是解题的关键．
（2020年甘肃省天水市）天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
【考点】分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用
【分析】（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，然后根据“用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同”的等量关系列分式方程解答即可；
（2）设购进种商品件，购进种商品件，再根据“商店计划用不超过1560元的资金半”和“种商品的数量不低于种商品数量的一半”两个等量关系，列不等式组确定出a的整数值即可；
（3）设销售、两种商品总获利元，然后列出y与a和m的关系式，然后分m=15、10＜m＜15、15＜m＜20三种情况分别解答，最后再进行比较即可．
解：（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元．
依题意得，解得，
经检验是原方程的解且符合题意
当时，．
答：种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；
（2）设购进种商品件，购进种商品件，
依题意得
解得，
∵为整数∴．
∴该商店有5种进货方案；
（3）设销售、两种商品总获利元，
则．
①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；
②当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，
∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
【点评】本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，熟练应用所学知识解决实际问题是解答本题的关键．
（2020年贵州省遵义市）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
时间
销售数量（个）
销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量）
甲种型号
乙种型号
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．
【考点】二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，根据题意列出方程组求解即可，
（2）根据题意写出利润关于的一次函数关系式，列不等式组求解的范围，从而利用一次函数的性质求利润的最大值．
解：（1）设甲种型号的水杯的售价为每个元，乙种型号的水杯每个元，则
①②得：
把代入①得：
答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；
（2）由题意得：甲种水杯进了个，则乙种水杯进了个，
所以：
又
由①得：，
所以不等式组的解集为：
其中为正整数，所以
随的增大而减小，
当时，第三月利润达到最大，最大利润为：元．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年广东省）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．
（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用．
【考点】一次函数的应用
【分析】（1）设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，根据同等面积建立A类和B类的倍数关系列式即可；
（2）设建类摊位个，则类个，设费用为，由（1）得A类和B类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可．
解：（1）设每个类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米
由题意得
解得，
∴，经检验为分式方程的解
∴每个类摊位占地面积5平方米，类占地面积3平方米
（2）设建类摊位个，则类个，费用为
∵
∴
，
∵110>0，
∴z随着a的增大而增大，
又∵a为整数，
∴当时z有最大值，此时
∴建造90个摊位的最大费用为10520元
【点评】本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关键．
（2020年新疆）某超市销售A，B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．
（1）A,B两款保温杯的销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，A,B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B保温杯的2倍，A保温杯的售价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【考点】分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设：A款保温杯的售价为x元，B款保温杯的售价为（x+10）元；利用数量相等列方程求解即可；（2）设进货A款保温杯m个，B款保温杯（120-m）个，总利润为w，根据题意得出函数关系式，同时列出不等式组得到m的范围，再利用一次函数的性质得到答案．
解：（1）设：A款保温杯的售价为x元，B款保温杯的售价为（x+10）元；
解得x=30，经检验，x=30是原方程的根；
因此A款保温杯的售价为30元，B款保温杯的售价为40元；
（2）由题意得：B款保温杯的售价为40×（1-10%）=36元；
设进货A款保温杯m个，B款保温杯（120-m）个，总利润为w；
w=
，
∵w=中k=-6＜0
∴当m最小时，w最大；
∴当m=80时，W最大=1440（元）
答：进货80个A款保温杯,40个B款保温杯，利润最大，为1440元．
【点评】本题考查的是分式方程的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年福建省）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【考点】一元一次方程的应用，一次函数的应用
【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答.
解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，
依题意，得，
解得，则，
经检验符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，
公司获得的总利润，
因为，所以随着的增大而增大，
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
【点评】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题.
（2020年浙江省温州市）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含a的代数式表示b；
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
【考点】分式方程的应用,一次函数的应用
【分析】（1）设3月份购进T恤x件，则该单价为元，4月份购进T恤2x件，根据等量关系，4月份数量是3月份的2倍可得方程，解得方程即可求得；
（2）①甲乙两家各150件T恤，甲店总收入为，乙店总收入为，甲乙利润相等，根据等量关系可求得ab关系式；②根据题意可列出乙店利润关于a的函数式，由以及①中的关系式可得到a的取值范围，进而可求得最大利润.
解：（1）设3月份购进T恤x件，
由题意得：，解得x=150，
经检验x=150是分式方程的解，符合题意，
∵4月份是3月份数量的2倍，
∴4月份购进T恤300件；
（2）①由题意得，甲店总收入为，
乙店总收入为，
∵甲乙两店利润相等，成本相等，
∴总收入也相等，
∴=，
化简可得，
∴用含a的代数式表示b为：；
②乙店利润函数式为，
结合①可得，
因为，，
∴，∴=3900，
即最大利润为3900元.
【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作出等量关系列出方程，根据利润得出函数式，根据未知数范围进行求解．
（2020年江苏省常州市）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；
②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，求直线l的函数表达式．
【考点】一次函数与圆的综合题
【分析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，首先判断直线n也经过点E（0，4），在Rt△EOF中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；
（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法得到，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=x+b2,用待定系数法同理可得，消去b1和b2，得到关于m、n的方程组；根据⊙F关于直线l的“特征数”是，得出NA=，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=10，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线l的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．
解：（1）①⊙O关于直线m的“远点”是点D，
⊙O关于直线m的“特征数”为DB·DE=2×5=10；
②如下图：过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，
∵直线n的函数表达式为，
当x=0时，y=4；当y=0时，x=，
∴直线n经过点E（0，4），点F（，0），
在Rt△EOF中，∵tan∠FEO===，
∴∠FEO=30°，
∴∠EFO=60°，
在Rt△HOF中，∵sin∠HFO=，
∴HO=
sin∠HFO·FO=2，
∴PH=HO+OP=3，
∴PQ·PH=2×3=6，
∴⊙O关于直线n的“特征数”为6；
（2）如下图，∵点F是圆心，点是“远点”，
∴连接NF并延长，则直线NF⊥直线l，设NF与直线l的交点为点A（m，n），
设直线l的解析式为y=kx+b1（k≠0）,
将点与A（m，n）代入y=kx+b1中，
②-①得：n-4=mk-k，③
又∵直线NF⊥直线l，
∴设直线NF的解析式为y=x+b2（k≠0）,
将点与A（m，n）代入y=x+b2中，
④-⑤得：-n=+，⑥
联立方程③与方程⑥，得：
解得：，
∴点A的坐标为（，）；
又∵⊙F关于直线l的“特征数”是，⊙F的半径为，
∴NB·NA=，
即2·NA=，
解得：NA=，
∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，
即(m+1)2+n2=10，
把代入，解得k=-3或k=；
当k=-3时，m=2，n=1，
∴点A的坐标为（2，1），
把点A（2，1）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为y=-3x+7；
当k=时，m=-2，n=3，
∴点A的坐标为（-2，3），
把点A（-2，3）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为y=x+．
∴直线l的解析式为y=-3x+7或y=x+．
【点评】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键．
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52第三章函数
第15节
一次函数的应用
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一般步骤
（1）设出实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式；
（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；
（4）确定自变量的取值范围；
（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
（6）做答.
■考点1.
函数图象的交点.
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
通过图象获取信息
?通过观察一次函数的图象获取有用的信息是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．
■考点2.利用一次函数的性质解决方案问题.
“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。
命题角度：
1.求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值；
2.利用一次函数进行方案选择；
3.利用一次函数解决个税收取问题；
4.利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题。
■考点3.一次函数的优化问题
一次函数本身并没有最值，通常一次函数的最值
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.
■考点4.一次函数与几何图形问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1：函数图象的交点
◇典例：
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟．在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象；图2中线段表示小华和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：
（1）填空：妈妈骑车的速度是___________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是__________分钟，点M的坐标是___________；
（2）直接写出妈妈和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；
（3）求t为何值时，两人相距360米．
【考点】函数的图象，一次函数的应用
【分析】（1）先求出小华步行的速度，然后即可求出妈妈骑车的速度；先求出妈妈回家用的时间，然后根据小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，即可求出装货时间；根据题意和图像可得妈妈在M点时开始返回商店，然后即可求出M的坐标；
（2）分①当0≤t＜15时，②当15≤t＜20时，③当20≤t≤35时三段求出解析式即可，根据解析式画图即可；
（3）由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，分①相遇前，②相遇后，③在小华到达以后三种情况讨论即可．
解：（1）由题意可得：小华步行的速度为：=60（米/分钟），
妈妈骑车的速度为：=120（米/分钟）；
妈妈回家用的时间为：=15（分钟），
∵小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，
∴可知妈妈在35分钟时返回商店，
∴装货时间为：35-15×2=5（分钟），
即妈妈在家装载货物的时间为5分钟；
由题意和图像可得妈妈在M点时开始返回商店，
∴M点的横坐标为：15+5=20（分钟），
此时纵坐标为：20×60=1200（米），
∴点M的坐标为；
故答案为：120，5，；
（2）①当0≤t＜15时y2=120t，
②当15≤t＜20时y2=1800，
③当20≤t≤35时，设此段函数解析式为y2=kx+b，
将（20，1800），（35，0），代入得，
解得，
∴此段的解析式为y2=-120x+4200，
综上：；
其函数图象如图，
；
（3）由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，
①相遇前，依题意有，解得（分钟）；
②相遇后，依题意有，解得（分钟）；
③依题意，当分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华，
此时小华距商店为（米），只需10分钟，
即分钟时，小华到达商店，
而此时妈妈距离商店为（米）（米），
∴，解得（分钟），
∴当t为8，12或32（分钟）时，两人相距360米．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，由图像获取正确的信息是解题关键．
◆变式训练
（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离（单位：千米）与快递车所用时间（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早小时出发，到达武汉后用小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚小时．
（1）求的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
■考点2：利用一次函数的性质解决方案问题.
◇典例
（2020年四川省德阳市）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
【考点】分式方程的应用，一次函数的应用
【分析】（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，构建方程求解即可．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400
①，且2000x+1500y≤110000
②把问题转化为不等式解决即可．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，利用函数的性质解答即可．
解：（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，
由题意，＝，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000是分式方程的解．
答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．
故答案为甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元；
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．
由题意，45x+30y＝2400
①，且2000x+1500y≤110000
②，
由①得到y＝80﹣1.5x③，
把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，
解得，x≥40，
∵y＞0，
∴80﹣1.5x＞0，
x＜53.3，
∴40≤x＜53.3，
∵x，y是正整数，
∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8，或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．
∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．
故答案为共有7中可能；
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，
∵﹣250＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．
答：最低费用为107000元．
故答案为：最低费用为107000元．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，是利润问题中的综合题，考查较为全面，对于一次函数而言，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
◆变式训练
（2020年湖北省咸宁市）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
■考点3：一次函数的优化问题
◇典例：
（2020年湖南省怀化市）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
【考点】.
一次函数的应用，一元一次不等式组的应用
【分析】(1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；
(2)根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x=12代入函数解析式求出结果即可.
解：（1）由题意得：y=（2000-1600）x+（3000-2500）（20-x）=-100x+10000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y=-100x+10000；
（2）由题意得：
，
解得，
∵x为正整数，
∴x=12、13、14、15，
共有四种采购方案：
①甲型电脑12台，乙型电脑8台，
②甲型电脑13台，乙型电脑7台，
③甲型电脑14台,乙型电脑6台，
④甲型电脑15台，乙型电脑5台，
∵y=-100x+10000，且-100<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，y有最大值，
即x=12时，y最大值=，
∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元.
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键.
◆变式训练
（2020年四川省达州市）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅
160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
考点4.一次函数与几何图形问题
◇典例：
（2020年湖南省衡阳市）如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．
（1）当点落在边上时，求的值；
（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；
（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为﹤，进一步求出重叠面积关于t的表达式，代入解t的方程即可解得t值；
（3）由已知求得点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．
解：（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A、C坐标代入，得：
，解得：，
∴直线AC的函数解析式为，
当点落在边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），
将点H代入，得：
，解得：t=1；
（2）存在，，使得．
根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4，
设直线AB的函数解析式为y=mx+n，
将点A、B坐标代入，得：
，解得：，
∴直线AC的函数解析式为，
当t﹥4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，
当点H落在AB边上时，将点H代入，得：
，解得：；
此时重叠的面积为，
∵﹤，∴﹤t﹤5，
如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,
将y=t-3代入得：，
解得：x=2t-10，
∴点S(2t-10，t-3)，
将x=3-t代入得：，
∴点T，
∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=，
,
所以重叠面积S==4--=，
由=得：，﹥5(舍去)，
∴；
（3）可能，≤t≤1或t=4．
∵点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，
∴点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,
易知M点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；
当0﹤t﹤时，M在线段OD上，H未到达D点，所以M与正方形不相遇；
当﹤t﹤1时，
+÷（1+4）=秒，
∴时M与正方形相遇，经过1÷（1+4）=秒后，M点不在正方行内部，则；
当t=1时，由（1）知，点F运动到原E点处，M点到达C处；
当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=秒时，点M追上G点，经过1÷（4-1）=秒，点都在正方形内（含边界），
当t=2时，点M运动返回到点O处停止运动，
当
t=3时，点E运动返回到点O处,
当
t=4时，点F运动返回到点O处,
当时，点都在正方形内（含边界），
综上，当或或时，点可能在正方形内（含边界）．
【点评】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
◆变式训练
（2020年北京市）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是
；在点中，连接点A与点
的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；
（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．
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（2020年西藏）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
（2019年山东省聊城市）某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（　　）
A．9：15
B．9：20
C．9：25
D．9：30
（2020年重庆市B卷）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚____分钟到达B地．
（2020年山东省青岛市）为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量与注水时间之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y(单位：千米)与驶的时间t(单位：小时)的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是_____千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．
（2020年四川省乐山市）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型
每车限载人数（人）
租金（元/辆）
商务车
6
300
轿
车
4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
（2020年湖北省荆州市）为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨）
（1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费降低m元，（且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值．
（2020年河南省）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；
设某学生暑期健身
(次)，按照方案一所需费用为，(元)，且；按照方案二所需费用为
(元)
，且其函数图象如图所示．
求和的值，并说明它们的实际意义；
求打折前的每次健身费用和的值；
八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身次，应选择哪种方案所需费用更少?说明理由．
（2020年四川省南充市）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示，求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y=5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本）
（2020年辽宁省沈阳市）如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，设运动的时间为t秒（），过点作轴，分别交于点，．
（1）填空：的长为_____，的长为____
（2）当时，求点的坐标：
（3）请直接写出的长为_____（用含的代数式表示）；
（4）点是线段上一动点（点不与点重合），和的面积分别表示为和，当时，请直接写出（即与的积）的最大值为__________．
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1、
选择题
（2020年内蒙古鄂尔多斯市）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（
）
A．第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）
B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟
C．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车
D．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）
1、
填空题
（2020年黑龙江省绥化市）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程与行驶时间的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是________．
（2020年重庆市A卷）A，B两地相距240
km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线所示．其中点C的坐标是，点D的坐标是，则点E的坐标是__________．
（2020年上海市）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米．
（2020年湖南省益阳市）某公司新产品上市天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是__________元．
（2020年四川省绵阳市）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是_____万元．（利润＝销售额﹣种植成本）
（2020年湖北省鄂州市）如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点．当线段长取最小值时，直线交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为______________．
1、
解答题
（2020年湖北省襄阳市）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出当和时，y与x之间的函数关系式；
（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？
（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克，经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．
（2020年黑龙江省牡丹江市）在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车行驶速度是___________千米1时，B，C两地的路程为___________千米；
（2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；
（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
（2020年宁夏）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行时间之间的函数关系式如图中折线段所示．
（1）小丽与小明出发_______相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．
①求小丽和小明步行的速度各是多少？
②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．
（2020年江苏省淮安市）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发小时后离甲地的路程为千米，图中折线表示接到通知前与之间的函数关系．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为
千米/小时；
（2）求线段所表示的与之间的函数表达式；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．
（2020年吉林省）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．
（1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____．
（2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值．
（2020年辽宁省大连市）甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．下图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：）的函数图象．
（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间．
（2020年浙江省宁波市）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
（2020年湖北省孝感市）某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品．已知乙产品的售价比甲产品的售价多5元，丙产品的售价是甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍．
（1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？
（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买农产品最少要花费多少元？
（2020年山东省德州市）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．
（1）超市B型画笔单价多少元？
（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．
（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？
（2020年甘肃省天水市）天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
（2020年贵州省遵义市）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：
时间
销售数量（个）
销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量）
甲种型号
乙种型号
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；
（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．
（2020年广东省）某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．
（1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用．
（2020年新疆）某超市销售A，B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．
（1）A,B两款保温杯的销售单价各是多少元？
（2）由于需求量大，A,B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B保温杯的2倍，A保温杯的售价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
（2020年福建省）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
（2020年浙江省温州市）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含a的代数式表示b；
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
（2020年江苏省常州市）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；
②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，求直线l的函数表达式．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
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