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第4节　点电荷的电场　匀强电场
新
课
程
标
准
学
业
质
量
目
标
1.能推导点电荷的场强公式,并理解其具体含义。2.知道场强的叠加原理,并能够进行简单的计算。3.知道匀强电场的特点,并能分析匀强电场中电荷的受力。
合格性考试
1.能根据库仑定律和电场强度的定义式推导点电荷场强的计算式,并能进行有关的计算。2.体会电场强度叠加原理的含义,会用矢量的运算规则处理相关问题。3.知道匀强电场及电场线的特点,并能解决带电粒子在匀强电场中的平衡和运动问题。
选择性考试
能对点电荷的电场和场强叠加原理的综合问题进行分析,培养综合分析能力和知识的迁移能力。
必备知识·自主学习
一、点电荷的电场
　根据电场强度的定义式E=和库仑定律F=k,如何推导点电荷Q的电场强度表达式?
提示:试探电荷q受到场源电荷Q的库仑力F=k,根据电场强度定义式E=,可知试探电荷所在位置的电场强度E==k=k。
1.大小:
2.方向:当Q为正电荷时,E的方向沿半径向外,当Q为负电荷时,E的方向沿半径方向向里。
二、场强叠加原理
如图所示,真空中的A、B、C三点各存在一个点电荷,如何求O点的电场强度?
提示:每个点电荷在该点所单独产生的电场强度的矢量和即为该点的电场强度。
1.场强叠加原理:如果有多个点电荷同时存在,根据电场强度的定义和静电力叠加原
理,电场中任一点的电场强度等于这些点电荷各自在该点产生的电场强度的矢量和。
2.对于较大的带电物体,如果已知电荷分布,就可求出电场中某点电场强度矢量叠加后的总强度。
三、匀强电场
　带有等量异种电荷的两金属板之间的电场分布如图所示,这个电场具有什么
特点?
提示:各处电场强度大小相等,方向相同。
1.匀强电场:各点的电场强度大小相等,方向相同。
2.电场线:间隔相同的平行直线。
(1)根据点电荷的场强公式E=k,可知以Q为球心,r为半径的球面上,各点的场强相同。
(×)
(2)根据点电荷的场强公式E=k可知:r→0时,E→∞
。
(×)
(3)电场叠加就是各点电荷电场强度代数求和
。
(×)
(4)匀强电场中电场强度处处相同。
(√)
(5)公式E=中的q与公式E=k中的Q是指同一个电荷。
(×)
关键能力·合作学习
　知识点一　电场强度两个计算式的区别
公式
E=
E=k
本质区别
定义式
决定式
适用范围
一切电场
真空中点电荷的电场
Q或q的含义
q表示引入电场的检验(试探)电荷的电荷量
Q表示产生电场的点电荷(场源电荷)的电荷量
关系理解
E用F与q的比值来表示,但E的大小与F、q的大小无关
E不仅用Q、r来表示,且E∝Q,E∝
　真空中某一点电荷Q产生的电场,在距Q为r的A点放入q,受到电场力为F。如何根据已知条件求解A处的场强大小?
提示:两种思路:(1)根据场强定义式E=。
(2)根据点电荷场强的决定式E=k。
【典例】下列关于电场强度的公式E=和E=k的几种不同的理解,正确的是
(　　)
A.由E=可知,E与F成正比,与q成反比
B.在点电荷Q的电场中,某点的场强大小与Q成正比,与r2成反比
C.在点电荷Q的电场中,当r→0时,E→∞;当r→∞时,E→0
D.以点电荷Q为中心,r为半径的球面上各处的场强相同
【解题探究】
(1)这两个公式的适用范围是什么?
提示:E=适用于任何电场,E=k只适用于点电荷产生的电场。
(2)两个公式中,场强与表达式中符号的关系是怎样的?
提示:E=中E用F与q的比值来表示,但E与F、q的大小无关;E=k中E不仅用Q、r来表示,且E∝Q,E∝。
【解析】选B。电场强度反映电场本身的性质,由电场本身决定,与试探电荷的电荷量q、所受电场力F无关,故A错误;在点电荷Q的电场中,场强公式E=k,某点的场强大小与Q成正比,与r2成反比,故B正确;当r→0时,点电荷的场强公式E=k已经不适用,故C错误;以点电荷Q为中心,r为半径的球面上各处的场强大小相等,方向不同,场强是矢量,所以场强不同,故D错误。
1.真空中,A、B两点与点电荷Q的距离分别为r和2r,除点电荷Q,不考虑其他带电体对电场的影响,则A、B两点的电场强度大小之比为
(　　)
A.1∶2　　　　　　　　　B.2∶1
C.1∶4
D.4∶1
【解析】选D。根据真空中点电荷的场强公式E=k,可得E∝,则A、B两点的电场强度大小之比为EA∶EB=(2r)2∶r2=4∶1,故选D。
2.如图甲所示,真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q,坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2
m和0.7
m。在A点放一个带正电的试探电荷,在B点放一个带负电的试探电荷,A、B两点的试探电荷受到电场力的方向都跟x轴正方向相同,电场力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图乙中直线a、b所示。下列说法正确的是
(　　)
A.B点的电场强度的大小为0.25
N/C
B.A点的电场强度的方向沿x轴负方向
C.点电荷Q是正电荷
D.点电荷Q的位置坐标为0.3
m
【解析】选D。由题图乙可知,B点的电场强度EB==2.5×104
N/C,故A错误;在A点放一个带正电的试探电荷,A、B两点的试探电荷受到电场力的方向都跟x轴正方向相同,所以A点的电场强度的方向沿x轴正方向,故B错误;放在A、B两点的试探电荷受到的电场力方向都跟x轴的正方向相同,而正电荷所受电场力与电场强度方向相同,负电荷所受电场力与电场强度方向相反。若点电荷都在A的左侧或在B的右侧,正负电荷所受电场力方向不可能相同,所以点电荷Q应位于A、B两点之间,根据正、负电荷所受电场力的方向,知该点电荷带负电,故C错误;由图乙可知,A点的电场强度EA==4×105
N/C。设点电荷Q的坐标为x,由点电荷的电场强度E=k,可知==,解得x=0.3
m,故D正确。
　　　【加固训练】
　　1.在真空中的点电荷Q产生的电场中,距Q为a处的电场强度为E,若将置于a处的点电荷q的电荷量增加一倍,则a处的场强为
(　　)
A.E　　　　　　　　　　B.2E
C.4E
D.8E
【解析】选A。电场中的电场强度是由激发电场的电荷和在电场中的位置决定的,与试探电荷无关,故a处的电场强度仍为E。故A正确,B、C、D错误。
2.
(多选)如图所示,两个带等量负电荷的小球A、B(可视为点电荷)被固定在光滑的绝缘水平面上,P、N是在小球A、B连线的水平中垂线上的两点,且PO=ON。现将一个电荷量很小的带正电的小球C(可视为质点)从P点由静止释放,在小球C向N点运动的过程中,下列关于小球C的说法可能正确的是
(　　)
A.速度先增大,再减小
B.速度一直增大
C.加速度先增大再减小,过O点后,加速度先减小再增大
D.加速度先减小,再增大
　【解析】选A、D。在AB的中垂线上,从无穷远处到O点,电场强度先变大后变小,到O点变为零,若P、N相距很远,则小球C沿连线的中垂线运动时,小球C的加速度先变大后变小,速度不断增大,在O点时加速度变为零,速度达到最大;由O点到N点时,速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性。如果P、N相距很近,则加速度先减小,再增大,A、D正确。
　知识点二　场强叠加原理的应用
　场强的叠加原理及分析思路:
(1)电场强度是矢量,当空间的电场由多个电荷共同产生,计算空间某点的电场强度;
(2)先分析每个电荷单独在该点所产生的场强的大小和方向;
(3)根据平行四边形定则求合场强的大小和方向。
　等量同种电荷连线中点处的场强为0,是如何得出来的?
提示:根据点电荷的电场强度公式E=k分别算出每个点电荷在中点处的场强,再由矢量合成得出该点处的场强。
【典例】
如图所示,相距为2d的A和B两点上固定着等量异种的两个点电荷,电荷量分别为+Q和-Q。在A、B连线的中垂线上取一点P,垂足为O,∠PAO=α,求:
(1)-Q在P点产生的场强的大小和方向;
(2)P点的场强大小和方向。
【解析】(1)负点电荷在P点产生的电场强度大小为:EB=k,且r=;解得:EB==,方向由P到B。
(2)如图所示,P点的电场强度是正、负电荷在P点产生电场强度的矢量和。　
由图可知EA=EB,故EP=2EBcosα=,方向向右。
答案:(1)　方向由P到B
(2)　方向向右
【误区警示】电场强度叠加的两点注意
(1)电场强度是矢量,合场强包含大小和方向。
(2)比较大的带电体产生的场强,可以把带电体分解为若干小块,每小块看作点电荷,用电场强度叠加的方法计算。
1.(母题追问)
在【典例】所处物理情境中,如果将B点的-Q换成+Q,试求:P点的场强大小和方向。
【解析】A点的正电荷在P点产生的电场强度大小为:
EA=k,且r=;方向沿AP的延长线斜向上。
B点的正电荷在P点产生的电场强度大小为:
EB=k,且r=;方向沿BP的延长线斜向上。
P点电场强度是正、负电荷在P点产生电场强度的矢量和,分析可知EA=EB,故EP=2EAsinα=2sinα=,方向竖直向上。
答案:　方向竖直向上
2.如图所示,平面直角坐标系中,A、B分别是x轴、y轴上的两点,OA∶OB=3∶4,在A、B两点分别放点电荷q1、q2,在坐标原点O处产生的合电场强度方向与AB平行,则q1、q2分别在坐标原点O处产生的电场强度的大小之比EA∶EB等于
(　　)
A.9∶1　　　B.4∶3　　　C.3∶4　　　D.16∶9
【解析】选C。点电荷在某点产生的电场的方向在该点与点电荷的连线上,由于它们在坐标原点O处产生的合电场强度方向与AB平行,
由此画出点电荷A与B在O点产生的电场强度可能的方向如图,则:
由几何关系可知:△ABO
∽△E合OEB
则:==;
另一种情况:如果B的电场方向向上,则A的电场方向向左,同理也可以得出相同的结论。故C正确,A、B、D错误。
　　　【加固训练】　　1.在一个等边三角形ABC顶点B和C处各放一个电荷量相同的点电荷时,测得A处的场强大小为E,方向与BC边平行沿B指向C如图所示,拿走C处的电荷后,A处电场强度的情况是
(　　)
A.大小仍为E,方向由A指向B
B.大小仍为E,方向由B指向A
C.大小变为,方向不变
D.无法确定
【解析】选B。设点电荷B、C在A处产生的场强大小均为E1,则E1=E,拿走C处的点电荷后,A处电场强度大小为E,方向由B指向A。故B正确,A、C、D错误。
2.
(多选)如图所示,真空中两点电荷q1、q2分别位于直角三角形的顶点C和顶点B上,∠ABC=30°,己知A点电场强度的方向垂直AB向下,下列说法正确的是
(　　)
A.q1为正电荷,q2为负电荷
B.q1为负电荷,q2为正电荷
C.q1电荷量的绝对值等于q2电荷量的绝对值的二倍
D.q1电荷量的绝对值等于q2电荷量的绝对值的一半
【解析】选A、D。A点电场强度的方向垂直AB向下,EA为A点的合场强,将EA分解到AC和AB方向如图所示:
可知点电荷q1的电场强度方向由C指向A,则q1为正电荷,知点电荷q2的电场强度方向由A指向B,则q2为负电荷,A正确,B错误;根据A点的场强垂直AB向下,可得sin30°=,E1=k;E2=k,且AB=2AC,联立解得q2=2q1,C错误,D正确。
　知识点三　匀强电场的性质及应用
　匀强电场的特点:
(1)各点的电场强度大小相等,方向相同。
(2)带电粒子在匀强电场中受到恒定的电场力。
　一带电粒子在匀强电场里,仅在电场力的作用下,处于怎样的运动状态?
提示:匀变速运动。
【典例】如图所示,长L=1
m的轻质细绳上端固定,下端连接一个可视为质点的带电小球,小球静止在水平向右的匀强电场中,绳与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球所带电荷量q=1.0×10-3
C,匀强电场的场强E=3.0×103
N/C,重力加速度g取10
m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8。求:
(1)小球所受电场力F的大小;
(2)小球的质量m。
【解析】(1)根据电场力的计算公式可得电场力为:
F=qE=1.0×10-3×3.0×103
N=3.0
N;
(2)小球受力情况如图所示:
根据几何关系可得:mgtanθ=F
所以有:m==
kg=0.4
kg。
答案:(1)3.0
N　(2)0.4
kg
　(教材二次开发·P19【例题】变式)如图所示,质量m=2.0×10-4
kg、电荷量q=1.0×10-6
C的带正电微粒静止在空间范围足够大且电场强度为E的匀强电场中。g取10
m/s2。
(1)求匀强电场的电场强度E的大小和方向;
(2)在t=0时刻,电场强度大小突然变为E0=4.0×103
N/C,方向不变,经过t=0.20
s时又突然撤掉电场,求带电微粒回到出发点时的动能。
【解析】(1)设电场强度为E,则由平衡条件可得:
qE=mg
解得:E==
N/C=2.0×103
N/C,方向竖直向上。
(2)在t=0时刻,电场强度大小突然变化为E0=4.0×103
N/C,设微粒的加速度为a,在0.20
s时间内上升高度为h,由牛顿第二定律可得:
qE0-mg=ma
解得:a=10
m/s2
则h=at2
解得:h=0.20
m
设在t=0.20
s时刻突然撤掉电场时微粒的速度为v,动能为Ek,则有:
v=at
根据动能定理得:
mgh=Ek-mv2
解得:Ek=8.0×10-4
J。
答案:(1)2.0×103
N/C　方向竖直向上
(2)8.0×10-4
J
　　　【加固训练】
　　1.用一条绝缘细线悬挂一个带电小球,小球质量为m=1.0×10-2
kg,所带电荷量为q=+2.0×10-8
C,现加一水平方向的匀强电场,平衡时绝缘细线与竖直方向的夹角为θ=30°,重力加速度g=10
m/s2,则匀强电场的电场强度E大小为
(　　)
A.5×106
N/C　　　　　
B.×106
N/C
C.×106
N/C
D.5×106
N/C
　【解析】选B。小球处于平衡状态,有=tan30°,所以E==
N/C=×106
N/C,B正确。
2.一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场中,电场方向水平向左。不计空气阻力,则小球
(　　)
A.做直线运动
B.做曲线运动
C.速率先增大后减小
D.速率一直增大
【解析】选B。由题意知,小球受重力、电场力作用,合外力的方向与初速度的方向夹角为钝角,故小球做曲线运动,所以A错误,B正确;在运动过程中合外力先做负功再做正功,所以C错误,D错误。
　　　【拓展例题】考查内容:割补法求电场强度
　　【典例】如图所示,正电荷q均匀分布在半球面ACB上,球面半径为R,CD为通过半球面顶点C和球心O的轴线。P、M为轴线上的两点,距球心O的距离均为。在M右侧轴线上O′点固定一带正电的点电荷Q,O′、M点间的距离为R,已知P点的场强为零,若均匀带电的封闭球壳内部电场强度处处为零,则M点的场强为
(　　)
A.0　　　　B.　　　
C.　　
　D.-
【解析】选C。因P点的场强为零,所以半球面对P点的场强和点电荷Q对P点的场强等大反向,即半球面对P点的场强大小为E1=,方向沿轴线向右。现补全右半球面,如图所示,根据均匀带电的封闭球壳内部电场强度处处为零知,球面在M点产生的电场强度为零,即左半球面对M点场强和右半球面对M点场强等大反向,又由对称性知左半球面对P点的场强和右半球面对M点的场强等大反向,即左半球面对M点场强为E2=,方向向右,点电荷Q对M点场强为E3=,方向向左,故M点的合场强为EM=-=,方向向左,故选项C正确。
情境·模型·素养
随着科技的发展,人类对于电的需求越来越广,电能输送过程中的输送电压越来越高,电工师傅为了不影响用户用电,需要带电作业,作业时需穿特质的屏蔽服,屏蔽服是采用均匀的导体材料和纤维材料制成的服装。其作用是在穿上后,使处于高压电场中的人体外表面各部位形成一个等电位屏蔽面,它的原理是在屏蔽服内部产生一个场强来抵消电线产生场强的影响,从而防护人体免受高压电场及电磁波的危害。
探究:(1)人体处在几个电场里,分别是什么?
(2)人体所在处的合场强是多少?
【解析】(1)两个电场;一个是电线中输送电流所产生的电场,另一个是导体材料感应出来的电场。
(2)两个分场强叠加后,人体所在处的合场强为零。
答案:(1)两个　电流的电场、感应电场　(2)零
　
小明同学在学习完电场的课程后自己做了一个小实验,他利用质量可忽略的绝缘细杆做成正方体框架,棱长为a,框架的每个顶点固定着一个带有等量电荷的小球,将这个框架静止放在地面上。
探究:正方体框架的几何中心处场强为多少?
【解析】根据框架的对称性可知,在正方体对角线的中点处,两个小球上的电荷的电场叠加后所形成的场强为零,同理可得四条对角线中点处的场强都为零,所以在正方体框架的几何中心处电场强度为零。
答案:零
课堂检测·素养达标
1.水平放置的两相互靠近且平行的带电金属板,板间的电场可视为匀强电场,如图所示,电场中A、B两点的电场强度分别为E1、E2,则
(　　)
A.E1>E2
B.E1C.E1、E2的方向相同
D.E1、E2的方向相反
【解析】选C。匀强电场的电场强度大小相等,方向相同,则E1=E2,故C正确,A、B、D错误。
2.如图所示,四个点电荷所带电荷量的绝对值均为Q,分别固定在正方形的四个顶点上,正方形边长为a,则正方形两条对角线交点处的电场强度
(　　)
A.大小为,方向竖直向上
B.大小为,方向竖直向上
C.大小为,方向竖直向下
D.大小为,方向竖直向下
【解析】选C。
四个电荷的电荷量相等,两对对角线的电荷分别是一对等量异种点电荷,在交点处电场强度的方向指向负电荷,且大小相等,如图,则合场强的方向竖直向下。
任意一对等量异种点电荷的合场强:
E=2×=。
所以合场强大小:E合=。
故A、B、D错误,C正确。
　　　【加固训练】
　　如图所示,在正方形四个顶点分别放置一个点电荷,所带电荷量已在图中标出,则下列四个选项中,正方形中心处场强最大的是
(　　)
【解析】选B。设正方形中心处与顶点距离为r,根据点电荷电场强度公式E=,结合矢量合成法则,A选项中两个负电荷在正方形中心处场强为零,两个正点电荷在中心处电场强度也为零;B选项中正方形对角线异种电荷的电场强度,即为各自点电荷的电场强度在中心处叠加,因此此处的电场强度大小为2;C选项中,正方形对角线的两负电荷的电场强度在中心处相互抵消,而正点电荷在中心处叠加后电场强度大小为;D选项中,根据点电荷电场强度公式,结合场强叠加原理,则有在中心处的电场强度大小为。故选B。
3.直角坐标系xOy中,M、N两点位于y轴上,G、H两点坐标如图。M、N两点各固定一正点电荷,一电量为Q的负点电荷置于O点时,G点处的电场强度恰好为零。静电力常量用k表示。若将该负点电荷移到G点,则H点处场强的大小和方向分别为
(　　)
A.,沿x轴正方向　　　　B.,沿x轴负方向
C.,沿x轴正方向
D.,沿x轴负方向
【解析】选A。G点处的电场强度恰好为零,说明负点电荷在G点产生的场强与两个正点电荷在G点产生的合场强大小相等方向相反,根据点电荷的场强公式可得,负点电荷在G点的场强为,方向沿x轴正方向,两个正点电荷在G点的合场强也为,方向沿x轴负方向。当将该负点电荷移到G点时,负点电荷与H点的距离为2d,负点电荷在H点产生的场强为,方向沿x轴负方向,由于G、H关于O点对称,所以两个正点电荷在G点和H点产生的场强大小相等方向相反,大小为,在H点的方向沿x轴正方向,所以H点处合场强的大小为E=-=,方向沿x轴正方向,故A正确,B、C、D错误。
4.(教材二次开发·P21【节练习】T3变式)如图所示,真空中相距为r的点电荷A、B带电荷量分别为+Q和-Q,求:(说明:本题静电力常量用k表示,不需代入具体数值)
(1)两点电荷连线中点O的场强;
(2)距A、B两点都为r的O′点的场强。
【解析】(1)根据电场强度的叠加原则可知:
EO=+=,方向由A指向B;
(2)如图所示,点电荷A在O′处产生的场强为E1=,方向与水平方向成60°夹角斜向上;
点电荷B在O′处产生的场强为E2=,方向与水平方向成60°角斜向下。
根据矢量合成原则可知,O′点的场强EO′=,方向平行于AB指向右。
答案:(1)　方向由A指向B
(2)　方向平行于AB指向右
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