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第三章函数
第17节
二次函数图像与性质（一）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)■考点1.
二次次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0，自变量x的最高次数是2这个关键条件．
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
■考点2.
用待定系数法求二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．www-2-1-cnjy-com
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．21
cnjy
com
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
■考点3.
二次函数的图象及性质
1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)(a＞0)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
■考点
4.
二次函数图像与系数的关系
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.2a+b的符号，需判对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
b
决定对称轴（x=-）的位置
当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，
-=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)■考点1.
二次函数的定义
◇典例：
y＝(m2－2m－3)
x2＋(m－1)x＋m2是关于x的二次函数，则m满足的条件是什么？
【考点】二次函数的定义
【分析】根据自变量x的指数等于2，且系数不等于0列式求解即可.
解：由题意得
m2－2m－3≠0，
解之得
m≠-1且m≠3.
【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.
◆变式训练
已知函数y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
■考点2：用待定系数法求二次函数的解析式
◇典例
（2019年安徽省）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.
【考点】待定系数法求函数解析式,二次函数的图像和性质
【分析】（1）把（1,2）分别代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函数图像的顶点坐标为（0,4），可得c=4，然后计算得到a的值；
（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐标，进而表示出BC长度，将OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W关于m的函数解析式，求出最小值即可.
解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，
∴一次函数解析式为：y=-2x+4
又二次函数顶点横坐标为0，
∴顶点坐标为（0,4）
∴c=4
把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0
∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，
∴W=OA2+BC2=
∴当m=1时，W取得最小值7
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，将二次函数图像与直线的交点问题转化为求一元二次方程的解，得到B，C坐标是解题的关键.
◆变式训练
（2019年江苏省泰州市节选）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A．B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式，
■考点3：二次函数的图象及性质
◇典例：
（2020年山东省泰安市）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（
）
A．B．C．
D．
【考点】二次函数的图象，一次函数的图象
【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答．
解：A．由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意；
C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意；
D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
（2020年四川省阿坝州）如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是（
）
A．
B．图象的对称轴为直线
C．点B的坐标为
D．当时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系
【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a<0,故A选项正确；
因为二次函数的解析式为，
所以图象的对称轴为直线，故B选项正确；
因为二次函数的对称轴为直线，A,B两点是抛物线与x轴的交点，
所以A,B两点到对称轴的距离相等，
设B点坐标为（b,0）,则有b-(-1)=(-1)-(-3),
解得b=1,
所以B点坐标为（-1,0）.
故C选项正确；
由图形可知当x-1时,y随x的增大而增大，当-1故选：D.
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
◆变式训练
（2020年内蒙古呼和浩特市）已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（
）
A．0
B．
（2020年四川省遂宁市）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
（2020年安徽省）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
■考点4：二次函数图像与系数的关系
◇典例：
（2020年湖北省恩施州）如图，已知二次函数的图象与轴相交于、两点．则以下结论：①；②二次函数的图象的对称轴为；③；④．其中正确的有（
）个．
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系
【分析】根据二次函数的图像性质逐个分析即可．
解：对于①：二次函数开口向下，故a<0，与y轴的交点在y的正半轴，故c>0，故ac<0，故①错误；
对于②：二次函数的图像与轴相交于、，由对称性可知，其对称轴为：，故②错误；
对于③：设二次函数的交点式为，比较一般式与交点式的系数可知：，故，故③正确；
对于④：当时对应的，观察图像可知时对应的函数图像的值在轴上方，故，故④正确．
∴只有③④是正确的．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图像与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图像性质是解决此类题的关键．
◆变式训练
（2020年山东省东营市）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，其对称轴与轴交于点其中两点的横坐标分别为和下列说法错误的是（
）
A．
B．
C．
D．当时，随的增大而减小
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)（2019年湖南省益阳市）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝4x
B．y＝﹣4x
C．y＝x﹣4
D．y＝x2
（2019年福建省）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(,
y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是(
).
A．y1<
y2<
y3
B．y1
<
y3<
y2
C．y3<
y2<
y1
D．y2<
y3<
y1
（2020年湖南长沙市）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(
)
A．3.50分钟
B．4.05分钟
C．3.75分钟
D．4.25分钟
（2020年四川省达州市）如图，直线与抛物线交于A．B两点，则的图象可能是（
）
A．B．C．
D．
（2020年四川省甘孜州）如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是（
）
A．
B．图象的对称轴为直线
C．点B的坐标为
D．当时，y随x的增大而增大
（2020年湖南省株洲市）二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，其中，，则（
）
A．
B．
C．
D．、的大小无法确定
（2020年四川省南充市）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（
）
A．
（2020年山东省济南市）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A．B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（　　）
A．m≥
B．≤m≤3
C．m≥3
D．1≤m≤3
（2020年山东省日照市）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；
④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
（2020年湖南省湘西州）已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（
）
A．①③
B．②⑤
C．③④
D．④⑤
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
1、
、选择题
（2020年四川省雅安市）已知，等边三角形和正方形的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点共线，沿方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为，运动过程中两图形重叠部分的面积为，则下面能大致反映与之间关系的函数图象是（
）
A．
B．C．
D．
（2020年贵州黔西南州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（
）
A．点B坐标为(5，4)
B．AB＝AD
C．a＝
D．OC?OD＝16
（2020年四川省凉山州）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（2020年湖北省襄阳市）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
（2020年山东省菏泽市）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A．B．C．D．
（2020年山东省威海市）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（
）
A．二次函数的最大值为
B．
C．
D．
（2020年黑龙江省齐齐哈尔市、黑河市、大兴安岭地区）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（2020年贵州省遵义市）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（2020年广东省深圳市）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（
）
A．
B．4ac-b2＞0
C．3a+c=0
D．ax2+bx+c=n+1无实数根
（2020年辽宁省丹东市）如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：①；②若点，点是函数图象上的两点，则；③；④可以是等腰直角三形．其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（2020年浙江省宁波市）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（　　）
A．abc＜0
B．4ac﹣b2＞0
C．c﹣a＞0
D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c
（2020年黑龙江省牡丹江市）如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
1、
填空题
（2020年四川省德阳市）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是_____．
（2020年黑龙江省哈尔滨市）抛物线的顶点坐标为______________________________．
（2020年江苏省淮安市）二次函数的图像的顶点坐标是_________．
（2020年西藏）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
（2020年黑龙江省大庆市）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
（2020年山东省泰安市）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0
2
6
0
6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
（2020年吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．
（2020年四川省内江市）已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M；若，记．①当时，M的最大值为4；②当时，使的x的取值范围是；③当时，使的x的值是，；④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）
1、
解答题
（2020年四川省遂宁市）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点A．B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
（2020年山东省威海市）已知，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点的坐标为
（1）求抛物线过点时顶点的坐标
（2）点的坐标记为，求与的函数表达式；
（3）已知点的坐标为，当取何值时，抛物线与线段只有一个交点
（2020年河北省）用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，．
（1）求与的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），．
①求与的函数关系式；
②为何值时，是的3倍？
（注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围）
（2020年浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
（2020年山东省临沂市）已知抛物线．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
（2020年湖南省衡阳市）在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当时，的最大值与最小值的差；
（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．
（2020年北京市）小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而
，且；对于函数，当时，随的增大而
，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而
．
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
0
1
2
3
0
1
综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是
．
17第三章函数
第17节
二次函数图像与性质（一）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)■考点1.
二次次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0，自变量x的最高次数是2这个关键条件．
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
■考点2.
用待定系数法求二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
■考点3.
二次函数的图象及性质
（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)(a＞0)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
■考点
4.
二次函数图像与系数的关系
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.2a+b的符号，需判对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
b
决定对称轴（x=-）的位置
当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，
-=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)■考点1.
二次函数的定义
◇典例：
y＝(m2－2m－3)
x2＋(m－1)x＋m2是关于x的二次函数，则m满足的条件是什么？
【考点】二次函数的定义
【分析】根据自变量x的指数等于2，且系数不等于0列式求解即可.
解：由题意得
m2－2m－3≠0，
解之得
m≠-1且m≠3.
【点评】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.
◆变式训练
已知函数y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【考点】二次函数的定义；一次函数的定义．
【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解．
解：（1）根据一次函数的定义，得：m2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)-m=0
解得m=0或m=1
又∵m-1≠0即m≠1；
∴当m=0时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2-m≠0
解得m1≠0，m2≠1
∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数
【点评】解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．
■考点2：用待定系数法求二次函数的解析式
◇典例
（2019年安徽省）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.
【考点】待定系数法求函数解析式,二次函数的图像和性质
【分析】（1）把（1,2）分别代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函数图像的顶点坐标为（0,4），可得c=4，然后计算得到a的值；
（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐标，进而表示出BC长度，将OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W关于m的函数解析式，求出最小值即可.
解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，
∴一次函数解析式为：y=-2x+4
又二次函数顶点横坐标为0，
∴顶点坐标为（0,4）
∴c=4
把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0
∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，
∴W=OA2+BC2=
∴当m=1时，W取得最小值7
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，将二次函数图像与直线的交点问题转化为求一元二次方程的解，得到B，C坐标是解题的关键.
◆变式训练
（2019年江苏省泰州市节选）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A．B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式，
【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，将A（1，0）代入解析式来求a的值．
解：（1）由题意可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2﹣3，（a≠0）．
把A（1，0）代入，得0＝a（1﹣4）2﹣3，
解得a＝．
故该二次函数解析式为y＝（x﹣4）2﹣3，
【点评】考查了待定系数法确定函数关系式．解题时，充分利用了二次函数三种形式中的顶点式，、。
■考点3：二次函数的图象及性质
◇典例：
（2020年山东省泰安市）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（
）
A．B．C．
D．
【考点】二次函数的图象，一次函数的图象
【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答．
解：A．由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意；
C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意；
D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
（2020年四川省阿坝州）如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是（
）
A．
B．图象的对称轴为直线
C．点B的坐标为
D．当时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系
【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a<0,故A选项正确；
因为二次函数的解析式为，
所以图象的对称轴为直线，故B选项正确；
因为二次函数的对称轴为直线，A,B两点是抛物线与x轴的交点，
所以A,B两点到对称轴的距离相等，
设B点坐标为（b,0）,则有b-(-1)=(-1)-(-3),
解得b=1,
所以B点坐标为（-1,0）.
故C选项正确；
由图形可知当x-1时,y随x的增大而增大，当-1故选：D.
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
◆变式训练
（2020年内蒙古呼和浩特市）已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（
）
A．0
B．
【考点】二次函数的图像和性质，根与系数的关系
【分析】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.
解：∵二次函数，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，
则，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程为，
则两根之积为，
故选D.
【点评】本题考查了二次函数的图像和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数图像的对称轴为y轴.
（2020年四川省遂宁市）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
【考点】二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意，
∴abc＞0，故B选项不合题意，
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，结合图形确定a,b,c的符号和它们之间的关系是解题的关键．
（2020年安徽省）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象,二次函数的图象与性质
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得
解：C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=,
B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为
y=(4－x)··=,
两个三角形重合时面积正好为.
由二次函数图象的性质可判断答案为A,
故选A．
【点评】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.
■考点4：二次函数图像与系数的关系
◇典例：
（2020年湖北省恩施州）如图，已知二次函数的图象与轴相交于、两点．则以下结论：①；②二次函数的图象的对称轴为；③；④．其中正确的有（
）个．
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系
【分析】根据二次函数的图像性质逐个分析即可．
解：对于①：二次函数开口向下，故a<0，与y轴的交点在y的正半轴，故c>0，故ac<0，故①错误；
对于②：二次函数的图像与轴相交于、，由对称性可知，其对称轴为：，故②错误；
对于③：设二次函数的交点式为，比较一般式与交点式的系数可知：，故，故③正确；
对于④：当时对应的，观察图像可知时对应的函数图像的值在轴上方，故，故④正确．
∴只有③④是正确的．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图像与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图像性质是解决此类题的关键．
◆变式训练
（2020年山东省东营市）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，其对称轴与轴交于点其中两点的横坐标分别为和下列说法错误的是（
）
A．
B．
C．
D．当时，随的增大而减小
【考点】二次函数的图像和性质，二次函数图象与系数的关系
【分析】根据开口方向、对称轴、与轴交点即可分别判断符号，进而判断A选项；由两点的横坐标分别为和可得两个方程，判断B选项；由当时判断C选项；由二次函数对称轴及增减性判断D选项.
解：∵开口向下，与轴交点在正半轴
∴
∵两点的横坐标分别为和
∴
∴
∴，故A选项正确，B选项错误
∵两点的横坐标分别为和
∴B点横坐标为3
∴当时，故C选项正确
∵当时，随的增大而减小
∴当时，随的增大而减小，故D选项正确
故选：B.
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，重点考查二次函数系数符号与图象的关系，熟记二次函数图象性质是解题的关键.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)（2019年湖南省益阳市）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝4x
B．y＝﹣4x
C．y＝x﹣4
D．y＝x2
【考点】一次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数的性质
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，
y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，
y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，
y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．
（2019年福建省）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(,
y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是(
).
A．y1<
y2<
y3
B．y1
<
y3<
y2
C．y3<
y2<
y1
D．y2<
y3<
y1
【考点】二次函数的图象及性质
【分析】由点A（m，n）、C（3?m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y2<
y3<
y1；
解：∵经过A（m，n）、C（3?m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y2<
y3<
y1；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
（2020年湖南长沙市）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(
)
A．3.50分钟
B．4.05分钟
C．3.75分钟
D．4.25分钟
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【分析】将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
解：将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:
②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．
将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴=．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案．
（2020年四川省达州市）如图，直线与抛物线交于A．B两点，则的图象可能是（
）
A．B．C．
D．
【考点】正比例函数的性质,一次函数图象上点的坐标特征,二次函数的图象,二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题目所给的图像，首先判断中k＞0，其次判断中a＜0，b＜0，c＜0，再根据k、b、的符号判断中b-k＜0，又a＜0，c＜0可判断出图像．
解：由题图像得中k＞0，中a＜0，b＜0，c＜0，
∴b-k＜0，
∴函数对称轴x=＜0，交x轴于负半轴，
∴当时，即，
移项得方程，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不等的解，即与x轴有两个交点，
根据函数对称轴交x轴负半轴且函数图像与x轴有两个交点，
∴可判断B正确．
故选：B
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质，解题的关键是根据图像判断k、a、b、c的正负号，再根据二次函数与一元二次方程的关系判断出正确图像．
（2020年四川省甘孜州）如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是（
）
A．
B．图象的对称轴为直线
C．点B的坐标为
D．当时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系
【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a<0,故A选项正确；
因为二次函数的解析式为，
所以图象的对称轴为直线，故B选项正确；
因为二次函数的对称轴为直线，A,B两点是抛物线与x轴的交点，
所以A,B两点到对称轴的距离相等，
设B点坐标为（b,0）,则有b-(-1)=(-1)-(-3),
解得b=1,
所以B点坐标为（-1,0）.
故C选项正确；
由图形可知当x-1时,y随x的增大而增大，当-1故选：D.
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
（2020年湖南省株洲市）二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，其中，，则（
）
A．
B．
C．
D．、的大小无法确定
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系
【分析】首先分析出a,b,x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1,y2，再作差法比较y1,y2的大小.
解：∵，b20,
∴a>0.
又∵，
∴b<0.
∵，，
∴,x1<0.
∵点，在该二次函数的图象上
∴，.
∴y1-y2=2bx1>0.
∴y1>y2.
故选：B.
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键.
（2020年四川省南充市）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（
）
A．
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知≤a≤3，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2020年山东省济南市）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A．B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（　　）
A．m≥
B．≤m≤3
C．m≥3
D．1≤m≤3
【考点】二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征
【分析】当x2时，y值随x值的增大而增大，得由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A．B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，，得，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有＞即＜
当对称轴是y轴时，有
当对称轴在y轴的左侧时，有＞从而可得结论．
解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得：＜
由②得：
由③得：
解得：＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．
（2020年山东省日照市）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；
④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系
【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论．
解：由图象可知：a＜0，c＞0，
，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①abc＜0错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，
∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确；
∵x＝﹣1时，y有最大值，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2），
即x1＝1，x2＝﹣3，
∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确．
所以正确的是②④；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；
当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
（2020年湖南省湘西州）已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（
）
A．①③
B．②⑤
C．③④
D．④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】由图像判断出a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据b=-2a可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；根据当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c即可判断④；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a，即a=，代入9a+3b+c<0可判断⑤．
解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴x==1>0，
∴b=-2a，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，①错误；
∵b=-2a，
∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②错误；
由图像可得当x=-1时，y=a-b+c<0，③错误；
当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，
当x=n时，y=an2+bn+c，
a+b+c>an2+bn+c，
即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正确；
当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，
∵b=-2a，即a=，
代入9a+3b+c<0得9（）+3b+c<0，
+c<0，
-3b+2c<0，即2c<3b，⑤正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了抛物线图像和二次函数系数之间的关系，熟知抛物线图像和二次函数系数之间的关系是解题关键．
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1、
、选择题
（2020年四川省雅安市）已知，等边三角形和正方形的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点共线，沿方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为，运动过程中两图形重叠部分的面积为，则下面能大致反映与之间关系的函数图象是（
）
A．
B．C．
D．
【考点】动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质
【分析】分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解．
解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，运动速度为1，
当点C在EF的中点左侧时，
设AC交DE于点H，
则CE=t，HE=ECtan∠ACB=t×=t，
则S=S△CEH=×CE×HE=×t×t=，
可知图象为开口向上的二次函数，
当点C在EF的中点右侧时，设AB与DE
交于点M，
则EC=t，BE=a-t，ME=，
∴S=，
可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的左侧时，
S=，
可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的右侧时，
此时BF=2a-t，MF=，
∴，
可知图象为开口向上的二次函数；
故选：A
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
（2020年贵州黔西南州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（
）
A．点B坐标为(5，4)
B．AB＝AD
C．a＝
D．OC?OD＝16
【考点】二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC?OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，∴A（0，4）．∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，∴B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ACO．∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，∴C（8，0），∵对称轴为直线x＝，∴D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，∴AD＝5，∴AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝，选项C正确，不符合题意．∵OC＝8，OD＝3，∴OC?OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．
【点评】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．
（2020年四川省凉山州）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确结论的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系
【分析】由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案．
解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴，
∴b＜0，，故②正确；
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴，故①正确；
∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，
∵，∴，
整理即得：，故③正确；
∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，
∴（m为实数），即（m为实数），故④正确．
综上，正确结论的个数有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（2020年湖北省襄阳市）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系
【分析】根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝?，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故④错误．
解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，
∴a＞0,c＜0
∴ac＜0
故①正确；
②∵抛物线的对称轴是x=1，
∴
∴b=-2a
∵当x=-1时，y=0
∴0=a-b+c
∴3a+c=0
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解
∴
∴
故③正确；
④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．
故④错误
所以正确的答案有①、②、③共3个
故选：B
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，正确识别图象，并逐一分析各结论是解题的关键．
（2020年山东省菏泽市）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象，一次函数图象与系数的关系
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
解：A．∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a>0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
（2020年山东省威海市）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（
）
A．二次函数的最大值为
B．
C．
D．
【考点】二次函数的图象和性质
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．
解：抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（?4，0），对称轴为直线x＝?1，
因此有：x＝?1＝?，即2a?b＝0，因此选项D符合题意；
当x＝?1时，y＝a?b＋c的值最大，选项A不符合题意；
由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2?4ac＞0，故选项C不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
（2020年黑龙江省齐齐哈尔市、黑河市、大兴安岭地区）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
（2020年贵州省遵义市）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】①由对称轴即可判断；
②将c≤3a转化为时所对应的函数值，由对称性转化为时所对应的函数值，即可判断；
③根据图象所体现的最大值即可判断；
④根据图象的最值结合对称轴即可判断．
解：①因为对称轴为，所以，即，故①正确；
②由①知，所以时，；
因为抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，所以时，
又因为与关于抛物线的对称轴对称，所以，即，故②错误；
③由图可知y＝ax2+bx+c的最大值为3，所以当ax2+bx+c＝2时有两个不相等的实数根；故③正确；
④由图可知：，即，
又且，所以=，
所以，即，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知以上知识点的应用是解题的关键．
（2020年广东省深圳市）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（
）
A．
B．4ac-b2＞0
C．3a+c=0
D．ax2+bx+c=n+1无实数根
【考点】二次函数的图象与性质,二次函数图象与系数的关系
【分析】根据函数图象确定a、b、c的符号判断A；根据抛物线与x轴的交点判断B；利用抛物线的对称轴得到b=2a，再根据抛物线的对称性求得c=-3a即可判断C；利用抛物线的顶点坐标判断抛物线与直线y=n+1即可判断D．
解：由函数图象知a<0，
c>0，由对称轴在y轴左侧，a与b同号，得b<0，故abc>0，选项A正确；
二次函数与x轴有两个交点，故?=，则选项B错误，
由图可知二次函数对称轴为x=-1，得b=2a，
根据对称性可得函数与x轴的另一交点坐标为(1，0)，
代入解析式y=ax2+bx+c可得c=-3a，
∴3a+c=0，选项C正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，n），
∴抛物线与直线y=n+1没有交点，故D正确；
故选：B．
【点评】此题考查抛物线的性质，抛物线的图象与点坐标，抛物线的对称性，正确理解和掌握y=ax2+bx+c型抛物线的性质及特征是解题的关键．
（2020年辽宁省丹东市）如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：①；②若点，点是函数图象上的两点，则；③；④可以是等腰直角三形．其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】二次函数的图象与性质
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=?
＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由于＜2＜，且（，y1）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y1），
∵＜，
∴y1＜y2，故②正确，
③∵?=2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴，故③正确
④根据抛物线的对称性可知，AB=6，
∴，
假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0），
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，则a=-，
∴y=-
(x-2)2+
∵＞3
∴不可以是等腰直角三形．故④错误．
所以正确的是②③，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
（2020年浙江省宁波市）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（　　）
A．abc＜0
B．4ac﹣b2＞0
C．c﹣a＞0
D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c
【考点】二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系
【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据一次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2-4ac＞0，求得4ac-b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故C错误；当x=-n2-2（n为实数）时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a（-n2-2）+b（-n2-2）=an2（n2+2）+c，于是得到y=an2（n2+2）+c≥c，故D正确．
解：由图象开口向上，可知a＞0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，
∴abc＞0，故A错误；
∴一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故B错误；
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣2a+c＜0，
∴c﹣a＜0，故C错误；
当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
（2020年黑龙江省牡丹江市）如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【考点】二次函数的图象与性质,二次函数图象与系数的关系
【分析】根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.
解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，
∴，又a＜0，
∴4a+b＞0，故②正确；
∵与是抛物线上两点，，
可得：抛物线在上，y随x的增大而增大，
在上，y随x的增大而减小，
∴不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则
=
=
=≤0，
∴，故④正确；
∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，
当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，
∴a=，
则，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c＜0，
-2c＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确的有4个.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.
1、
填空题
（2020年四川省德阳市）若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是_____．
【考点】二次函数的性质
【分析】由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围．
解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，关键是根据题意进行代入消元，然后利用二次函数的性质进行求解即可．
（2020年黑龙江省哈尔滨市）抛物线的顶点坐标为______________________________．
【考点】二次函数的性质
【分析】根据题意可知，本题考察二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．
解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，)
∴的顶点坐标为(1，8)
故答案为：(1，8)
【点评】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标．
（2020年江苏省淮安市）二次函数的图像的顶点坐标是_________．
【考点】二次函数的性质
【分析】把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标．
解：∵=-(x+1)2+4，
∴顶点坐标为(-1,4)．
故答案为(-1,4)．
【点评】本题考查了二次函数的性质，把解析式配方写成顶点式解析式是解题的关键．
（2020年西藏）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
（2020年黑龙江省大庆市）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
【考点】二次函数的性质，根的判别式，根与系数的关系
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
解：根据题意，∵一元二次方程，
∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；
抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；
由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
（2020年山东省泰安市）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0
2
6
0
6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【考点】根的判别式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式
【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．
解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得：，
∴二次函数的解析式是，
∴a=1＞0，故①正确；
当时，y有最小值，故②错误；
若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；
当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．
（2020年吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．
解：点的坐标为，点的坐标为，
，
抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
抛物线，
解得，．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
（2020年四川省内江市）已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M；若，记．①当时，M的最大值为4；②当时，使的x的取值范围是；③当时，使的x的值是，；④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）
【考点】定义新运算，二次函数的图象与性质
【分析】根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可．
解：对于①：当时，，，显然只要，则M的值为，故①错误；
对于②：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得交点横坐标为和，观察图形可知的x的取值范围是，故②正确；
对于③：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，
联立的函数表达式，即，求得其交点的横坐标为和，
故M=3时分类讨论：当时，解得或，当时，解得，故③错误；
对于④：当时，函数，此时图像一直在图像上方，如下图所示，故此时M=，故M随x的增大而增大，故④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图像性质及交点坐标，本题的关键是要能理解M的含义，学会用数形结合的方法分析问题．
1、
解答题
（2020年四川省遂宁市）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点A．B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【考点】定义新运算，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴，
解得：，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质及待定系数法求二次函数的解析式，准确理解题干中“旋转函数”的定义是解题的关键.
（2020年山东省威海市）已知，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点的坐标为
（1）求抛物线过点时顶点的坐标
（2）点的坐标记为，求与的函数表达式；
（3）已知点的坐标为，当取何值时，抛物线与线段只有一个交点
【考点】．待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；
（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出y与x的函数表达式；
（3）把C（0，2）代入y＝x2?2mx＋m2＋2m?1，求得m＝1或?3，结合（1）根据图象即可求得．
解：（1）∵抛物线y＝x2?2mx＋m2＋2m?1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2?2mx＋m2＋2m?1，整理得，m2?4m＋3＝0，
解得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2?2x＋2＝（x?1）2＋1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2?6x＋m2＋14＝（x?3）2＋5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2?2mx＋m2＋2m?1＝（x?m）2＋2m?1，?
∴顶点A的坐标为（m，2m?1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x?1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x?1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2?2mx＋m2＋2m?1，得m2＋2m?1＝2，
解得m＝1或?3，
所以当m＝1或?3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝?3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是?3≤m≤3且m≠1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
（2020年河北省）用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，．
（1）求与的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），．
①求与的函数关系式；
②为何值时，是的3倍？
（注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围）
【考点】一元二次方程的应用,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）设W=kx2，利用待定系数法即可求解；
（2）①根据题意列出函数，化简即可；②根据题意列出方程故可求解．
解：（1）设W=kx2,
∵时，
∴3=9k
∴k=
∴与的函数关系式为；
（2）①∵薄板的厚度为xcm，木板的厚度为6cm
∴厚板的厚度为（6-x）cm，
∴Q=
∴与的函数关系式为；
②∵是的3倍
∴-4x+12=3×
解得x1=2,x2=-6(不符题意，舍去)
经检验，x=2是原方程的解，
∴x=2时，是的3倍．
【点评】此题主要考查函数与方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数或方程求解．
（2020年浙江省杭州市）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
【考点】二次函数的图像与性质，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出1+＝0，即a（）2+b?+1＝0，推出是方程ax2+bx+1的根，可得结论．
（3）由题意a＞0，可得m＝，n＝，根据m+n＝0，构建方程可得结论．
解：（1）由题意，得到﹣＝3，解得b＝﹣6，
∵函数y1的图象经过（a，﹣6），
∴a2﹣6a+a＝﹣6，
解得a＝2或3，
∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．
（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，
∴r2+br+a＝0，
∴1+＝0，
即a（）2+b?+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1的根，
即函数y2的图象经过点（，0）．
（3）由题意a＞0，∴m＝，n＝，
∵m+n＝0，
∴+＝0，
∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，
∵a+1＞0，
∴4a﹣b2＝0，
∴m＝n＝0．
【点评】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、待定系数法的运用及一元二次方程的求解方法．
（2020年山东省临沂市）已知抛物线．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；
（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式；
（3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．
解：（1）∵，
∴，
∴其对称轴为：．
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线顶点在轴上，
∴，
解得：或，
当时，其解析式为：，
当时，其解析式为：，
综上，二次函数解析式为：或．
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，
∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，
则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，
则m＜-1或m＞3.
【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．
（2020年湖南省衡阳市）在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当时，的最大值与最小值的差；
（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系
【分析】（1）利用待定系数法将点，代入解析式中解方程组即可；
（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当x=-2时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；
（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出>0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据，整理得出m的取值范围．
解：（1）∵的图象过点，，
∴
解得
∴
（2）由（1）得，二次函数对称轴为
∴当时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,
y的最小值为
∴的最大值与最小值的差为；
（3）由题意及（1）得
整理得
即
∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，
∴
化简得
即
解得m≠5
∴a，b为方程的两个解
又∵
∴a=-1，b=4-m
即4-m>3
∴m<1
综上所述，m的取值范围为．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．
（2020年北京市）小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而
，且；对于函数，当时，随的增大而
，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而
．
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
0
1
2
3
0
1
综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是
．
【考点】二次函数的性质，一次函数的性质
【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；
（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；
（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．
解：（1）根据题意，在函数中，
∵,
∴函数在中，随的增大而减小；
∵，
∴对称轴为：，
∴在中，随的增大而减小；
综合上述，在中，随的增大而减小；
故答案为：减小，减小，减小；
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：
（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；
由（1）可知在中，随的增大而减小；
∴在中，有
当时，，
∴m的最大值为；
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．
4

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