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第三章函数
第18节
二次函数图像与性质（二）
■考点1.二次函数图像上的点的坐标特征
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是
①抛物线是关于对称轴x=-
成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=
■考点2.二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-时，y=
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-时，y=
，
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
■考点3.二次函数的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的开口方向和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．
■考点4.二次函数与一元二次方程以及不等式
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
二次函数与不等式
抛物线y=
ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
■考点1.二次函数图像上的点的坐标特征
◇典例：
（2020年四川省泸州市）已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（
）
A．
B．2
C．3
D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,抛物线与x轴的交点
【分析】根据二次函数的图像经过，，可得到二次函数的对称轴x=，又根据对称轴公式可得x=b，由此可得到b与c的数量关系，然后由该二次函数的图象与x轴有公共点列出不等式解答即可
解：∵二次函数的图像经过，，
∴对称轴x=，即x=，
∵对称轴x=b，
∴=b，化简得c=b-1，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△=
=
=
=
∴b=2，c=1，
∴b+c=3，
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，包括图像上点的坐标特征、对称轴，利用抛物线与x轴交点的情况列出不等式，求得b，c的值.
◆变式训练
（2020年吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．
■考点2.二次函数的最值
◇典例
（2019年浙江省温州市）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
◆变式训练
（2020年西藏）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
■考点3.二次函数的平移
◇典例：
（2020年湖北省孝感市）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式．
解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;
由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
故选：A．
【点评】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数．
◆变式训练
（2020年黑龙江省绥化市）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
■考点4.二次函数与一元二次方程以及不等式
◇典例：
（2020年四川省眉山市）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．
解：
∵图象与x轴有交点，
∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0
解得a≥-2；
∵抛物线的对称轴为直线
抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
（2019年安徽省）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别于函数y=x-a+1和y+x2-2ax的图像相交于P，Q两点.若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_______
【考点】一次函数、二次函数与不等式的关系
【分析】首先求出y=x-a+1＜0和y=x2-2ax＜0的解集，然后分情况讨论，联立不等式，即可得到a的取值范围.
解：∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图像相交于P，Q两点，且都在x轴的下方，
∴令y=x-a+1＜0，解得x＜a-1，
令y=x2-2ax＜0，当a＞0时,解得：0＜x＜2a；当a＜0时，解得：2a＜x＜0，
①当a＞0时，若有解，则，解得：a＞1，
②当a＜0时，若有解，则，解得：a＜-1，
综上所述，实数a的取值范围是a＞1或a＜-1.
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数与不等式的关系，利用数形结合与分类讨论思想是解题关键.
◆变式训练
（2020年贵州省毕节市）已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年云南省昆明市）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝
D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2
（2020年湖北省咸宁市）在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省济南市）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（　　）
A．m≥
B．≤m≤3
C．m≥3
D．1≤m≤3
（2020年四川省成都市）关于二次函数，下列说法正确的是（
）
A．图象的对称轴在轴的右侧
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为－9
（2020年黑龙江省哈尔滨市）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年贵州省贵阳、安顺市）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（
）
A．或0
B．或2
C．或3
D．或4
（2020年湖北省鄂州市）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（2020年湖北省荆门市）若抛物线经过第四象限的点），则关于x的方程的根的情况是（
）
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
（2020年河北省）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1．
下列判断正确的是（
）
A．乙错，丙对
B．甲和乙都错
C．乙对，丙错
D．甲错，丙对
（2020年山东省泰安市）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0
2
6
0
6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
（2020年浙江省温州市）已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．
（1）求a，b的值；
（2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值．
选择题
（2020年四川省德阳市）已知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当ca时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣m0．
A．1
B．2
C．3
D．4
（2020年湖南省株洲市）二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，其中，，则（
）
A．
B．
C．
D．、的大小无法确定
（2020年广东省）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年陕西省）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2020年湖北省随州市）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有2个；④当是直角三角形时，．其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（2020年山东省德州市）二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（
）
A．若，是图象上的两点，则
B．
C．方程有两个不相等的实数根
D．当时，y随x的增大而减小
（2020年天津市）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
（2020年江西省）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年辽宁省大连市）抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖南省岳阳市）对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
填空题
（2020年湖北省荆州市）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．
（2020年黑龙江省牡丹江市）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是________．
（2020年上海市）如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是____．
（2020年山东省青岛市）抛物线（为常数）与轴交点的个数是__________．
（2020年贵州省黔东南州）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．
（2020年宁夏）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____．
（2020年辽宁省朝阳市）抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________________．
解答题
（2020年浙江省宁波市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
（2020年安徽省）在平而直角坐标系中，已知点A（1，2）,B（2，3）C（2，1），直线y=x+m经过点．抛物线y=ax2+bx+c恰好经过A,B,C,三点中的两点．
判断点b是否在直线y=x+m上．并说明理由；
求a,b的值；
平移抛物线y=ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y=x+m上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
（2020年陕西省）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
（2020年河南省）如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，且点为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及点G的坐标；
点为抛物线上两点(点在点的左侧)
，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点之间(含点)的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
（2020年江苏省南通市）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
（2020年四川省遂宁市）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；
（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．
（2020年山东省临沂市）已知抛物线．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
（2020年山东省威海市）已知，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点的坐标为
（1）求抛物线过点时顶点的坐标
（2）点的坐标记为，求与的函数表达式；
（3）已知点的坐标为，当取何值时，抛物线与线段只有一个交点
14第三章函数
第18节
二次函数图像与性质（二）
■考点1.二次函数图像上的点的坐标特征
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是
①抛物线是关于对称轴x=-
成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=
■考点2.二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-时，y=
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-时，y=
，
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
■考点3.二次函数的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的开口方向和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．
■考点4.二次函数与一元二次方程以及不等式
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
二次函数与不等式
抛物线y=
ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
■考点1.二次函数图像上的点的坐标特征
◇典例：
（2020年四川省泸州市）已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（
）
A．
B．2
C．3
D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,抛物线与x轴的交点
【分析】根据二次函数的图像经过，，可得到二次函数的对称轴x=，又根据对称轴公式可得x=b，由此可得到b与c的数量关系，然后由该二次函数的图象与x轴有公共点列出不等式解答即可
解：∵二次函数的图像经过，，
∴对称轴x=，即x=，
∵对称轴x=b，
∴=b，化简得c=b-1，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△=
=
=
=
∴b=2，c=1，
∴b+c=3，
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，包括图像上点的坐标特征、对称轴，利用抛物线与x轴交点的情况列出不等式，求得b，c的值.
◆变式训练
（2020年吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．
解：点的坐标为，点的坐标为，
，
抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
抛物线，
解得，．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
■考点2.二次函数的最值
◇典例
（2019年浙江省温州市）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
◆变式训练
（2020年西藏）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝_____．
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x＝2，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时m＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
■考点3.二次函数的平移
◇典例：
（2020年湖北省孝感市）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式．
解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;
由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
故选：A．
【点评】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数．
◆变式训练
（2020年黑龙江省绥化市）将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数与几何变换
【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可．
解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到，
再向下平移2个单位长度，得到，
整理得，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．
■考点4.二次函数与一元二次方程以及不等式
◇典例：
（2020年四川省眉山市）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．
解：
∵图象与x轴有交点，
∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0
解得a≥-2；
∵抛物线的对称轴为直线
抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
（2019年安徽省）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别于函数y=x-a+1和y+x2-2ax的图像相交于P，Q两点.若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_______
【考点】一次函数、二次函数与不等式的关系
【分析】首先求出y=x-a+1＜0和y=x2-2ax＜0的解集，然后分情况讨论，联立不等式，即可得到a的取值范围.
解：∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图像相交于P，Q两点，且都在x轴的下方，
∴令y=x-a+1＜0，解得x＜a-1，
令y=x2-2ax＜0，当a＞0时,解得：0＜x＜2a；当a＜0时，解得：2a＜x＜0，
①当a＞0时，若有解，则，解得：a＞1，
②当a＜0时，若有解，则，解得：a＜-1，
综上所述，实数a的取值范围是a＞1或a＜-1.
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数与不等式的关系，利用数形结合与分类讨论思想是解题关键.
◆变式训练
（2020年贵州省毕节市）已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】抛物线与轴交点的坐标
【分析】利用函数图象对称轴位置及抛物线与轴交点的位置，分别判断四个结论正确性．
解：，是一元二次方程的两个根，
、是抛物线与轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为，
，即，故选项错误；
由图象可知，，
，
解得：，故选项正确；
抛物线与轴有两个交点，
，故选项错误；
由对称轴可知，可知，故选项错误．
故选：．
【点评】主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
（2020年云南省昆明市）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝
D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2
【考点】二次函数的性质，图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与x轴的交点
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝?2a＜0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0，?2），A（?1，m）和b＝?2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a＝，所以C选项的结论正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，
∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误；
故选：D．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．
（2020年湖北省咸宁市）在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x上的点，再各函数中令y=x，对应方程无解即不存在“好点”.
解：根据“好点”的定义，好点即为直线y=x上的点，令各函数中y=x，
A、x=-x，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；
B、，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；
C、，解得：，经检验是原方程的解，即“好点”为（，）和（-，-），故选项不符合；
D、，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；
故选B.
【点评】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义.
（2020年山东省济南市）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（　　）
A．m≥
B．≤m≤3
C．m≥3
D．1≤m≤3
【考点】二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征
【分析】当x2时，y值随x值的增大而增大，得由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，，得，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有＞即＜
当对称轴是y轴时，有
当对称轴在y轴的左侧时，有＞从而可得结论．
解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得：＜
由②得：
由③得：
解得：＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．
（2020年四川省成都市）关于二次函数，下列说法正确的是（
）
A．图象的对称轴在轴的右侧
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为－9
【考点】二次函数的图像和性质，二次函数的最值
【分析】先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
解：∵
∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误；
令x=0，则y=-8，所以图象与轴的交点坐标为，故选项B错误；
令y=0，则，解得x1=2，x2=-4，图象与轴的交点坐标为和，故选项C错误；
∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
（2020年黑龙江省哈尔滨市）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．
解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
（2020年贵州省贵阳、安顺市）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（
）
A．或0
B．或2
C．或3
D．或4
【考点】二次函数图象与几何变换,抛物线与x轴的交点
【分析】由题意可得方程的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断选项．
解：二次函数的图象经过与两点，即方程的两个根是﹣3和1，
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，
由此判断B符合该范围．
故选B．
【点评】本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解为在图像上进行平移．
（2020年湖北省鄂州市）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断①；根据对称轴<1求出2a与b的关系，进而判断②；根据x=﹣2时，y＞0可判断③；由x=-1和2a与b的关系可判断④．
解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵对称轴在y轴右边，
∴，即b<0?，
∵抛物线与轴的交点在轴的下方，
∴，
∴，故①错误；
对称轴在1左侧，∴
∴-b<2a，即2a+b>0，故②错误；
当x=-2时，y=4a-2b+c>0，故③正确；
当x=-1时，抛物线过x轴，即a-b+c=0，
∴b=a+c，
又2a+b>0，
∴2a+a+c>0，即3a+c>0，故④正确；
故答案选：B．
【点评】此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键．
（2020年湖北省荆门市）若抛物线经过第四象限的点），则关于x的方程的根的情况是（
）
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
【考点】二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点
【分析】根据抛物线的图像进行判断即可．
解：∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线经过第四象限的点（1，-1）
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，一个大于1另一个小于1，
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的图像和性质，判断出抛物线的图像是解题关键．
（2020年河北省）如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1．
下列判断正确的是（
）
A．乙错，丙对
B．甲和乙都错
C．乙对，丙错
D．甲错，丙对
【考点】二次函数与一元二次方程
【分析】分别令x（4-x）的值为5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到点P的个数．
解：当b=5时，令x（4-x）=5，整理得：x2-4x＋5=0，△=(-4)2-4×5=-6<0，因此点P的个数为0，甲的说法正确；
当b=4时，令x（4-x）=4，整理得：x2-4x+4=0，△=(-4)2-4×4=0，因此点P有1个，乙的说法正确；
当b=3时，令x（4-x）=3，整理得：x2-4x+3=0，△=(-4)2-4×3=4>0，因此点P有2个，丙的说法不正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的判别式．
（2020年山东省泰安市）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0
2
6
0
6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【考点】根的判别式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式
【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．
解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得：，
∴二次函数的解析式是，
∴a=1＞0，故①正确；
当时，y有最小值，故②错误；
若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；
当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．
（2020年浙江省温州市）已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．
（1）求a，b的值；
（2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值；
（2）将(5，)，(m，)代入解析式，联立即可求得m的值.
解：（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13），
∴，解得，
∴a的值为1，b的值为-4；
（2）∵(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，
∴，解得或（舍去）
∴m的值为-1.
【点睛】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关键.
选择题
（2020年四川省德阳市）已知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是（　　）
（1）2a+b＝0；
（2）当ca时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；
（3）当c0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；
（4）如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣m0．
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】由不等式的解集得出a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，从而得出2a+b=0，即可判断（1）；根据△=4a（a﹣c）＞0即可判断（2）；求得抛物线的顶点为（1，a﹣c）即可判断（3）；求得0＜﹣＜3，得出不等式组的解集为﹣＜m＜0即可判断（4）．
解：（1）∵不等式ax+b＞0的解集为x＜2，
∴a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，
∴2a+b=0，故结论正确；
（2）函数y=ax2+bx+c中，令y=0，则ax2+bx+c=0，
∵b=﹣2a，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2a）2﹣4ac=4a（a﹣c），
∵a＜0，c＞a，
∴△=4a（a﹣c）＞0，
∴当c＞a时，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；
（3）∵b=﹣2a，
∴﹣=1，==c﹣a，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，c﹣a），
当x=1时，直线y=ax+b=a+b=a﹣2a=﹣a＞0
当c＞0时，c﹣a＞﹣a＞0，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=ax+b的上方，故结论正确；
（4）∵b=﹣2a，
∴由2a﹣mb﹣m=0，得到﹣b﹣mb﹣m=0，
∴b=﹣，
如果b＜3，则0＜﹣＜3，
∴﹣＜m＜0，故结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，由题意得到b=﹣2a是解题的关键．
（2020年湖南省株洲市）二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，其中，，则（
）
A．
B．
C．
D．、的大小无法确定
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系
【分析】首先分析出a,b,x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1,y2，再作差法比较y1,y2的大小.
解：∵，b20,
∴a>0.
又∵，
∴b<0.
∵，，
∴,x1<0.
∵点，在该二次函数的图象上
∴，.
∴y1-y2=2bx1>0.
∴y1>y2.
故选：B.
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键.
（2020年广东省）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
解：把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．
（2020年陕西省）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象与几何变换
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
解：，
该抛物线顶点坐标是，，
将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，，
，
，
，
，
点，在第四象限；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
（2020年湖北省随州市）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有2个；④当是直角三角形时，．其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点
【分析】根据二次函数对称轴的位置可判断；②把两个点代入解析式可得到方程组，解出B与C的关系即可；③由图象可知，，从而得以判断；④根据直角三角形的
解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴二次函数的对称轴为，
即，
∴．
故①正确；
∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故②错误；
由图象可知，当是等腰三角形时，
，只能是或，故a有两个值，
故③正确；
∵是直角三角形，
∴分两种情况或，
得到的a有两个值，
故④错误；
故答案选B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，准确分析判断是解题的关键．
（2020年山东省德州市）二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（
）
A．若，是图象上的两点，则
B．
C．方程有两个不相等的实数根
D．当时，y随x的增大而减小
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的联系
【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
解：由函数的图象可知，二次函数的对称轴为
则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，选项D错误
由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等
则当时，函数值为
，则选项A正确
又当时，
，即，选项B正确
由函数的图象可知，二次函数的图象与x轴有两个交点
则将二次函数的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数与x轴也有两个交点
因此，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
即方程有两个不相等的实数根，选项C正确
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系，掌握理解二次函数的图象与性质是解题关键．
（2020年天津市）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点
【分析】根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式，即可判断②；根据以及c=-2a，即可判断③．
解：∵抛物线经过点，对称轴是直线，
∴抛物线经过点，b=-a
当x=
-1时，0=a-b+c，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c，
∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1，
∴abc＜0，由此①是错误的，
由已知，抛物线与x轴，有两个交点，
∴
∵②中方程，
∴关于x的方程有两个不等的实数根，②正确；
∵，c=-2a>1，
∴，③正确
故选：C.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2020年江西省）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，抛物线与x轴的交点，坐标与图形变化-平移
【分析】先求出A、B两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解．
解：当y=0时，，解得x1=-1，x2=3，
当x=0时，y=-3，
∴A（0，-3），B（3，0），
对称轴为直线，
经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，
∴三角形向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4，
当x=4时，y=42-2×4-3=5，
∴B′（4，5），三角形向上平移5个单位，
此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2），
设直线的表达式为y=kx+b，
代入A′（1，2），B′（4，5），
可得
解得：，
故直线的表达式为，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．
（2020年辽宁省大连市）抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点
【分析】由函数的对称性可得结论．
解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键．
（2020年湖南省岳阳市）对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】根与系数的关系，根的判别式，抛物线与x轴的交点，
【分析】根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴＞0
∴
∵，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时，，；
当时，，；
当m=-2时，无意义；
当时，，
∴取值范围不确定，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于（a≠0）的两根为，则．
填空题
（2020年湖北省荆州市）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点
【分析】将关联数为代入函数得到：，由题意将y=0和x=0代入即可．
解：将关联数为代入函数得到：
，
∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），
∴y=0，即，
因式分解得，
又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，
即
∴m=1，
∴，
与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，
即坐标为或，
与y轴交点即x=0解得y=2，
即坐标为，
∴这个函数图象上整交点的坐标为或或；
故答案为：或或．
【点评】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多．
（2020年黑龙江省牡丹江市）将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是________．
【考点】二次函数的平移，代数式求值
【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点代入，得到，最后将变形求值即可.
解：将抛物线向上平移3个单位长度后，
表达式为：，
∵经过点，代入，
得：，
则==2×3-11=-5.
故答案为：-5.
【点评】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，解题的关键是得出平移后的表达式.
（2020年上海市）如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是____．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．
解：抛物线y=x2向上平移3个单位得到y=x2+3．
故答案为：y=x2+3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
（2020年山东省青岛市）抛物线（为常数）与轴交点的个数是__________．
【考点】抛物线与x轴的交点
【分析】求出?的值，根据?的值判断即可．
解：∵?=4(k-1)2+8k=4k2+4>0，
∴抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴的交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．当?=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当?>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当?<0时，二次函数与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根．
（2020年贵州省黔东南州）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．
【考点】二次函数的性质，抛物线与x轴的交点
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点评】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
（2020年宁夏）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____．
【考点】抛物线与x轴的交点
【分析】根据二次函数的图象与x轴有两个交点，可知判别式△﹥0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．
解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=﹥0，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．
（2020年辽宁省朝阳市）抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________________．
【考点】抛物线与x轴的交点的问题
【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案．
解：∵抛物线与x轴有交点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴k的取值范围是且；
故答案为：且．
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．
解答题
（2020年浙江省宁波市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换
【分析】（1）把点B坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点A的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点C的坐标，二次函数的图象在x轴上方的部分对应的x的范围即为当y＞0时x的取值范围；
（2）先由点D和点A的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴A（2，1），
∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称，
∴C（3，0），
∴当y＞0时，1＜x＜3；
（2）∵D（0，﹣3），A（2，1），
∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的平移规律和抛物线与不等式的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键．
（2020年安徽省）在平而直角坐标系中，已知点A（1，2）,B（2，3）C（2，1），直线y=x+m经过点．抛物线y=ax2+bx+c恰好经过A,B,C,三点中的两点．
判断点b是否在直线y=x+m上．并说明理由；
求a,b的值；
平移抛物线y=ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y=x+m上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【考点】待定系数法求一次函数解析式,二次函数图象与几何变换,二次函数的最值,待定系数法求二次函数解析式,抛物线与x轴的交点
【分析】（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；
（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．
解：（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，
∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
【点评】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．
（2020年陕西省）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点
【分析】（1）根据待定系数法，将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）在△AOC中，OA＝OC＝3，由题意：以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等可知PD＝DE＝3，再分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，求解即可．
解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得
，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣3＝5，故点P（2，5），
故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何运用，涉及到三角形全等，掌握数形结合思想是解答关键，其中（2）需要分类求解，避免遗漏．
（2020年河南省）如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，且点为抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及点G的坐标；
点为抛物线上两点(点在点的左侧)
，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点之间(含点)的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
【考点】二次函数的图象与性质,待定系数法求二次函数解析式,抛物线与x轴的交点
【分析】（1）根据用c表示出点A的坐标，把A的坐标代入函数解析式，得到一个关于c的一元二次方程，解出c的值，从而求出函数解析式，求出顶点G的坐标．
（2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点M,N到对称轴的距离，判断出M,N的横坐标，进一步得出M,N的纵坐标，求出M,N点的坐标后可确定的取值范围．
解：（1）∵抛物线与轴正半轴分别交于点B，
∴B点坐标为（c，0），
∵抛物线经过点A，
∴﹣c2+2c+c=0，
解得c1=0（舍去），c2=3，
∴抛物线的解析式为
∵=﹣（x－1）2+4，
∴抛物线顶点G坐标为（1,4）．
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度
，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为﹣4或6，
点M的纵坐标为﹣5，点N的纵坐标为﹣21，
又∵点M在点N的左侧，
∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤4
当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤﹣5，
∴的取值范围为﹣21≤≤4．
【点评】本题考查的是二次函数的基本的图像与性质，涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求函数解析式，对称轴性质等，解题关键在于利用数形结合思想正确分析题意，进行计算．
（2020年江苏省南通市）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求二次函数的解析式，一元一次不等式组的应用
【分析】（1）由题意可得0=4a+2b+c①，②，△=（b-1）2-4ac=0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；
（2）由n＜-5，可得点B，点C在对称轴直线x=1的左侧，由二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y＝﹣x2+x，
∴﹣＜0，即在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴0＜n＜，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（2020年四川省遂宁市）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【考点】定义新运算，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴，
解得：，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质及待定系数法求二次函数的解析式，准确理解题干中“旋转函数”的定义是解题的关键.
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；
（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．
【考点】二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；
（2）根据抛物线的顶点的纵坐标为，即可判断点不在拋物线上；
（3）根据抛物线的增减性质即可解答．
解：（1）抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为(-1，2)，
根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）动点P不在抛物线上．
理由如下：
∵抛物线的顶点为，开口向上，
∴抛物线的最低点的纵坐标为．
∵，
∴动点P不在抛物线上；
（3）．
理由如下：
由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵点都在抛物线上，且，
∴．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（2020年山东省临沂市）已知抛物线．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；
（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式；
（3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．
解：（1）∵，
∴，
∴其对称轴为：．
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线顶点在轴上，
∴，
解得：或，
当时，其解析式为：，
当时，其解析式为：，
综上，二次函数解析式为：或．
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，
∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，
则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，
则m＜-1或m＞3.
【点睛】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．
（2020年山东省威海市）已知，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点的坐标为
（1）求抛物线过点时顶点的坐标
（2）点的坐标记为，求与的函数表达式；
（3）已知点的坐标为，当取何值时，抛物线与线段只有一个交点
【考点】．待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；
（2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出y与x的函数表达式；
（3）把C（0，2）代入y＝x2?2mx＋m2＋2m?1，求得m＝1或?3，结合（1）根据图象即可求得．
解：（1）∵抛物线y＝x2?2mx＋m2＋2m?1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2?2mx＋m2＋2m?1，整理得，m2?4m＋3＝0，
解得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2?2x＋2＝（x?1）2＋1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2?6x＋m2＋14＝（x?3）2＋5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2?2mx＋m2＋2m?1＝（x?m）2＋2m?1，?
∴顶点A的坐标为（m，2m?1），
∵点A的坐标记为（x，y），
∴x＝m，
∴y＝2x?1；
（3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y＝2x?1上运动，且形状不变，
由（1）知，当m＝1或3时，抛物线过B（3，5），
把C（0，2）代入y＝x2?2mx＋m2＋2m?1，得m2＋2m?1＝2，
解得m＝1或?3，
所以当m＝1或?3时，抛物线经过点C（0，2），
如图所示，当m＝?3或3时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点），
当m＝1时，抛物线同时过点B、C，不合题意，
所以m的取值范围是?3≤m≤3且m≠1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
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