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第四章
图形的性质
第20节
图形的认识
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■考点1.直线、线段、射线
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点
一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间，
最短．
■考点2.角、角平分线
1.概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
2.角的度量
1°＝
′，1′＝
''，1°＝
''
3.余角和补角
(1)
余角：∠1＋∠2＝
?∠1与∠2互为余角；
(2)
补角：∠1＋∠2＝
?∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
■考点3.立体图形展开图
正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题。
■考点4.相交线、平行线
1.三线八角
（1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.
2.对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角
，邻补角之和为180°.
3.垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点
一条直线与已知直线垂直．
②
最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的
的长度
4.平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等
②内错角相等
③
两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点，
一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线
．
■考点5.命题与证明
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.21世纪教育网版权所有
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.21·世纪
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（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.直线、线段、射线
◇典例：
（2019年贵州省贵阳市
）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（
）
A．3
B．4.5
C．6
D．18
【考点】两点间的距离
【分析】根据题意列方程即可得到结论．
解：∵数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，
∴9﹣a＝2a﹣9，
解得：a＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离：两点间的连线段长叫这两点间的距离．也考查了数轴．
◆变式训练
（2017年广西桂林市）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB=　
　．
■考点2.角、角平分线
◇典例
（2020年湖北省十堰市）如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】角的计算，余角和补角
【分析】根据角的和差关系求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查角度的计算问题．弄清角与角之间的关系是解题的关键．
（2020年山东省东营市）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】角平分线的性质，平角的定义
【分析】先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM=∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键．
◆变式训练
（2020年四川省自贡市）如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（
）
A．50°
B．70°
C．130°
D．160°
（2020年四川省乐山市）如图，是直线上一点，，射线平分，．则（
）
A．
B．
C．
D．
■考点3.立体图形展开图
◇典例：
（2020年黑龙江省大庆市）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】正方体的表面展开图
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，先判断中间四个面的情况，根据这一特点可得到答案．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以：是相对面，是相对面，
所以：是相对面．
故选B．
【点评】本题主要考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
（2020年甘肃省天水市）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是(　　　)
A．文
B．羲
C．弘
D．化
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．
解：在原正方体中，与“扬”字所在面相对面上的汉字是“羲”，与“伏”字所在面相对面上的汉字是“化”，与“弘”字所在面相对面上的汉字是“文”．
故选：D．
【点评】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握解答的要点：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，建立空间观念是关键．
◆变式训练
（2020年湖南省衡阳市）下列不是三棱柱展开图的是（　　）
A．B．C．
D．
（2019年湖北省襄阳市）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（　　）
A．青
B．来
C．斗
D．奋
■考点4.相交线、平行线
◇典例：
（2020年四川省内江市）如图，已知直线，，则的度数为（　
　）
A．
【考点】对顶角、邻补角，平行线的性质
【分析】利用平行线的性质即可解决问题．
解：如图，∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝180°?50°＝130°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2020年湖南省岳阳市）如图，，，，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线的判定和性质
【分析】由平行线的判定和性质，即可求出答案．
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
◆变式训练
（2020年山东省滨州市）如图，AB//CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（
）
A．60°
B．70°
C．80°
D．100°
（2020年湖南省郴州市）如图，直线被直线所截下列条件能判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
■考点4.命题与证明
◇典例：
（2020年四川省雅安市）下列四个选项中不是命题的是（
）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果，那么
【考点】命题与定理
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
解：由题意可知，
A．对顶角相等，故选项是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；
D、如果，那么，故选项是命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．
◆变式训练
（2020年内蒙古通辽市）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是(　　　)
（1）无理数都是无限小数；
（2）因式分解；
（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；
（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是．
A．
D．1
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（2020年四川省凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（
）
A．10cm
B．8cm
C．8cm或10cm
D．2cm或4cm
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）若，则的补角的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年陕西省）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）
A．57°
B．67°
C．77°
D．157°
（2019年山东省淄博市（a卷））如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（　　）
A．130°
B．120°
C．110°
D．100°
（2019年广西梧州市）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（　　）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
（2019年广西玉林市）若α＝29°45′，则α的余角等于（　　）
A．60°55′
B．60°15′
C．150°55′
D．150°15′
（2020年重庆市B卷）围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省达州市）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省孝感市）如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年贵州省贵阳、安顺市）如图，直线，相交于点，如果，那么是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年广西河池市）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（　　）
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．邻补角
（2020年河北省）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（
）
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
（2020年四川省广元市）如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（
）.
A．180°
B．360°
C．270°
D．540°
（2020年湖南长沙市）如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线上，斜边AB平分，交直线GH于点E，则的大小为(
)
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省凉山州）下列命题是真命题的是（
）
A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
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1、
、选择题
（2020年内蒙古通辽市）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是(　　　)
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省绵阳市）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年吉林省长春市）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省襄阳市）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省自贡市）如图，∥，，则的度数为
（
）
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
（2020年山东省济南市）如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（
）
A．35°
B．45°
C．55°
D．70°
（2020年贵州黔西南州）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（
）
A．37°
B．43°
C．53°
D．54°
（2020年辽宁省朝阳市）如图，四边形是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则的值为（
）
A．1
B．
C．2
D．无法确定
（2020年浙江省衢州市）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省泸州市）下列命题是假命题的是（
）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
1、
填空题
（2020年黑龙江省大庆市）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则_________．
（2020年四川省南充市）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．
（2020年吉林省）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．
（2020年湖北省咸宁市）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵__________，∴．
（2020年贵州省铜仁市）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．
（2020年云南省昆明市）如图，点C位于点A正北方向，点B位于点A北偏东50°方向，点C位于点B北偏西35°方向，则∠ABC的度数为_____°．
（2020年内蒙古呼和浩特市）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为___________，并可推断出5月30日应该是星期几____________．
（2019年安徽省）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________.
（2020年内蒙古赤峰市）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为__________．
（2019年浙江省台州市）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎，然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共　
　个．
1、
解答题
（2020年湖北省武汉市）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
（2020年湖北省宜昌市）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．
（2019年江苏省镇江市）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　
　个单位长度，
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　
　个单位长度，
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．
①a＝　
　，
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象，
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　
　．（直接写出结果）
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17第四章
图形的性质
第20节
图形的认识
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.直线、线段、射线
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．
■考点2.角、角平分线
1..概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
2.角的度量
1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600''
3.余角和补角
(1)
余角：∠1＋∠2＝
900
?∠1与∠2互为余角；
(2)
补角：∠1＋∠2＝
1800
?∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
■考点3.立体图形展开图
正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题。
■考点4.相交线、平行线
1.三线八角
（1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.
2.对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.
3.垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
4.平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等
两直线平行
②内错角相等
两直线平行
③同旁内角互补
两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线平行．
■考点5.命题与证明
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.21教育网
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.www-2-1-cnjy-com
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.直线、线段、射线
◇典例：
（2019年贵州省贵阳市
）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是（
）
A．3
B．4.5
C．6
D．18
【考点】两点间的距离
【分析】根据题意列方程即可得到结论．
解：∵数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，
∴9﹣a＝2a﹣9，
解得：a＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离：两点间的连线段长叫这两点间的距离．也考查了数轴．
◆变式训练
（2017年广西桂林市）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB=　
　．
【考点】两点间的距离．
【分析】根据中点定义解答．
解：∵点C是线段AD的中点，若CD=1，
∴AD=1×2=2，
∵点D是线段AB的中点，
∴AB=2×2=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质．　
■考点2.角、角平分线
◇典例
（2020年湖北省十堰市）如图，将一副三角板重叠放在起，使直角顶点重合于点O．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】角的计算，余角和补角
【分析】根据角的和差关系求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查角度的计算问题．弄清角与角之间的关系是解题的关键．
（2020年山东省东营市）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】角平分线的性质，平角的定义
【分析】先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM=∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键．
◆变式训练
（2020年四川省自贡市）如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（
）
A．50°
B．70°
C．130°
D．160°
【考点】余角和补角
【分析】根据互为补角的定义结合已知条件列方程求解即可．
解：设这个角是，则它的补角是：，
根据题意，得：
，
解得：，
即这个角的度数为．
故选：C．
【点睛】此题考查了补角的知识，熟悉相关性质定义是解题的关键．
（2020年四川省乐山市）如图，是直线上一点，，射线平分，．则（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】余角和补角，角平分线的定义
【分析】先根据射线平分，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．
解：∵，
∴∠CEF=140°，
∵射线平分，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键．
■考点3.立体图形展开图
◇典例：
（2020年黑龙江省大庆市）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】正方体的表面展开图
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，先判断中间四个面的情况，根据这一特点可得到答案．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以：是相对面，是相对面，
所以：是相对面．
故选B．
【点评】本题主要考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
（2020年甘肃省天水市）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是(　　　)
A．文
B．羲
C．弘
D．化
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．
解：在原正方体中，与“扬”字所在面相对面上的汉字是“羲”，与“伏”字所在面相对面上的汉字是“化”，与“弘”字所在面相对面上的汉字是“文”．
故选：D．
【点评】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握解答的要点：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，建立空间观念是关键．
◆变式训练
（2020年湖南省衡阳市）下列不是三棱柱展开图的是（　　）
A．B．C．
D．
【考点】几何体的展开图
【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．
解：A．B、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．C围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．
故选C．
【点评】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
（2019年湖北省襄阳市）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（　　）
A．青
B．来
C．斗
D．奋
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字
【分析】正方体展开图的“Z”字型找对面的方法即可求解，
解：由：“Z”字型对面，可知春字对应的面上的字是奋，
故选：D．
【点评】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解题的关键．
■考点4.相交线、平行线
◇典例：
（2020年四川省内江市）如图，已知直线，，则的度数为（　
　）
A．
【考点】对顶角、邻补角，平行线的性质
【分析】利用平行线的性质即可解决问题．
解：如图，∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝180°?50°＝130°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2020年湖南省岳阳市）如图，，，，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线的判定和性质
【分析】由平行线的判定和性质，即可求出答案．
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
◆变式训练
（2020年山东省滨州市）如图，AB//CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（
）
A．60°
B．70°
C．80°
D．100°
【考点】平行线的性质，角平分线的定义
【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠CPF=55°，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴∠CPE=2∠CPF=110°，
∴∠EPD=180°-110°=70°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（2020年湖南省郴州市）如图，直线被直线所截下列条件能判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线的判定
【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．
解：A．当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
■考点4.命题与证明
◇典例：
（2020年四川省雅安市）下列四个选项中不是命题的是（
）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果，那么
【考点】命题与定理
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
解：由题意可知，
A．对顶角相等，故选项是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；
D、如果，那么，故选项是命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．
◆变式训练
（2020年内蒙古通辽市）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是(　　　)
（1）无理数都是无限小数；
（2）因式分解；
（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；
（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是．
A．
D．1
【考点】命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图
【分析】分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.
解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，
（2）因式分解，是真命题，
（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是，是真命题，
（4）设扇形半径为r，圆心角为n，
∵弧长是，则=，则，
∵面积是，则=，则360×240，
则，则n=3600÷24=150°，
故扇形的圆心角是，是假命题，
则随机抽取一个是真命题的概率是，
故选C.
【点评】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假.
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（2020年四川省凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（
）
A．10cm
B．8cm
C．8cm或10cm
D．2cm或4cm
【考点】线段的和差
【分析】根据题意作图，由线段之间的关系即可求解．
解：如图，∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC=AB=6cm
当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm
∴BD=BC+CD=6+2=8cm；
当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm
∴BD=BC+CD=6+4=10cm；
故选C．
【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）若，则的补角的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】补角的定义
【分析】直接根据补角的定义即可得．
解：
的补角的度数是
故选：B．
【点评】本题考查了补角的定义，熟记定义是解题关键．
（2020年陕西省）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）
A．57°
B．67°
C．77°
D．157°
【考点】余角和补角
【分析】根据∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可．
解：∵∠A＝23°，
∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．
故选：B．
【点评】本题考查了余角的定义，注意：如果∠A和∠B互为余角，那么∠A=90°-∠B．
（2019年山东省淄博市（a卷））如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（　　）
A．130°
B．120°
C．110°
D．100°
【考点】方向角
【分析】根据平行线性质求出∠ABE，再求出∠EBC即可得出答案．
解：如图：
∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，
∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE＝∠DAB＝40°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．
（2019年广西梧州市）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（　　）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【考点】钟面角
【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．
解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，
∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了钟面角，熟知钟面上每大格的度数是解答本题的关键．
（2019年广西玉林市）若α＝29°45′，则α的余角等于（　　）
A．60°55′
B．60°15′
C．150°55′
D．150°15′
【考点】度分秒的换算，余角和补角
【分析】根据互为余角的定义作答．
解：∵α＝29°45′，
∴α的余角等于：90°﹣29°45′＝60°15′．
故选：B．
【点评】本题考查了互为余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角．
（2020年重庆市B卷）围成下列这些立体图形的各个面中，都是平的面为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】认识平面图形
【分析】根据各平面图形的定义解答
解：A．球面不是平面，故本选项错误；
B、四个面都是平面，故本选项正确；
C、侧面不是平面，故本选项错误；
D、侧面不是平面，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查平面图形的概念，难度不大，注意掌握平面图形的特点．
（2020年四川省达州市）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何体的展开图
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点逐项判断即可．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
A．手的对面是勤，所以本选项不符合题意；
B、手的对面是口，所以本选项符合题意；
C、手的对面是罩，所以本选项不符合题意；
D、手的对面是罩，所以本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体相对面上的文字，属于常考题型，熟知正方体相对两个面的特征是解题的关键．
（2020年湖北省孝感市）如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】垂直的性质，邻补角定义
【分析】已知，，根据邻补角定义即可求出的度数．
解：∵
∴
∵
∴
故选：B
【点评】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．
（2020年贵州省贵阳、安顺市）如图，直线，相交于点，如果，那么是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】对顶角相等，邻补角的定义
【分析】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
解：∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等），
∴∠1＝30°，
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠3＝180°?∠1＝180°?30°＝150°．
故选：A．
【点评】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
（2020年广西河池市）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（　　）
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．邻补角
【考点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可．
解：如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．
故选：A．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．
（2020年河北省）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（
）
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
【考点】垂直的定义
【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．
解：在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；
故选：D．
【点评】此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．
（2020年四川省广元市）如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（
）.
A．180°
B．360°
C．270°
D．540°
【考点】平行线的性质
【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故选B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a是解决问题的关键．
（2020年湖南长沙市）如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线上，斜边AB平分，交直线GH于点E，则的大小为(
)
A．
B．
C．
D．
【考点】角平分线的定义，平行线的性质
【分析】利用角平分线的性质求得∠DAE的度数，利用平行线的性质求得∠ACE的度数，即可求解．
解：∵AB平分，∠CAB=60，
∴∠DAE=60，
∵FD∥GH，
∴∠ACE+∠CAD=180，
∴∠ACE=180-∠CAB-∠DAE=60，
∵∠ACB=90，
∴∠ECB=90-∠ACE=30，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
（2020年四川省凉山州）下列命题是真命题的是（
）
A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
【考点】命题的真假
【分析】根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案．
解：A．顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误；
B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误；
C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
1、
、选择题
（2020年内蒙古通辽市）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是(　　　)
A．
B．
C．
D．
【考点】余角和补角
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；
B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项错误；
C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项错误；
D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项错误；
故选A．
【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
（2020年四川省绵阳市）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何体的展开图
【分析】根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可．
解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，
因此选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查正方体的展开图，理解和掌握正方体的展开图的11种不同情况，是正确判断的前提．
（2020年吉林省长春市）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何体的展开图
【分析】根据四棱柱是由四个大小相同的长方形和两个全等的正方形构成的解答即可.
解：四棱柱的侧面是由四个同样大小的长方形围成的，
故选：A．
【点评】此题考查了简单几何体的侧面展开图，正确掌握几何体的构成是解题的关键.
（2020年湖北省襄阳市）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】角平分线的定义，平行线的性质
【分析】利用平行线的性质求解，利用角平分线求解，再利用平行线的性质可得答案．
解：，
平分，
故选．
【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年四川省自贡市）如图，∥，，则的度数为
（
）
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
【考点】对顶角、邻补角，平行线的性质
【分析】利用平行线的性质与对顶角相等即可求出．
解：两平行线同位角相等，再根据对顶角相等即可得到答案.
故答案为B．
【点晴】本题主要考查了平行线的性质与对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（2020年山东省济南市）如图，ABCD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（
）
A．35°
B．45°
C．55°
D．70°
【考点】平行线的性质，垂线的定义
【分析】由平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD的度数．
解：∵AB∥CD，∠BAD=35°，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（2020年贵州黔西南州）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（
）
A．37°
B．43°
C．53°
D．54°
【考点】平行线的性质，平角的定义
【分析】先根据平行线的性质得出，再根据即可求解．
解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝37°，
∵∠FEG＝90°，
∴
∴∠1＝90°－∠3＝90°－37°＝53°
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
（2020年辽宁省朝阳市）如图，四边形是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则的值为（
）
A．1
B．
C．2
D．无法确定
【考点】平行线的性质
【分析】过点D作交AO于点E，由平行的性质可知，等量代换可得的值.
解：如图，过点D作交AO于点E，
四边形是矩形
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.
（2020年浙江省衢州市）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】作图-复杂作图，平行线的判定
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
解：A．由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
（2020年四川省泸州市）下列命题是假命题的是（
）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【考点】命题与定理
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可.
解：A．正确，平行四边形的对角线互相平分，故选项不符合；
B、错误，应该是矩形的对角线相等且互相平分，故选项符合；
C、正确，菱形的对角线互相垂直且平分，故选项不符合；
D、正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分，故选项不符合；
故选：B．
【点睛】本题考查命题与定理、特殊四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考常考题型．
1、
填空题
（2020年黑龙江省大庆市）将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则_________．
【考点】角的和差，余角与补角
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．
解：
∠AOB=∠COD=90°，
∠AOC=∠BOD，
又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，
∠BOC=90°-18°=72°．
故答案为：．
【点评】本题考查的是角的和差，两锐角的互余，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年四川省南充市）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．
【考点】对顶角、邻补角
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
解：∵两直线交于点O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，
∴∠1=38°．
故答案为：38．
【点评】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
（2020年吉林省）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．
【考点】垂线段最短．
【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
解：通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．
（2020年湖北省咸宁市）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵__________，∴．
【考点】平行线的判定
【分析】根据平行线的判定添加条件即可.
解：如图，
若∠1=∠4，则a∥b，
故答案为：∠1=∠4（答案不唯一）
【点评】本题考查了平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角解答.
（2020年贵州省铜仁市）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．
【考点】平行线之间的距离
【分析】分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论．
解：分两种情况：
①当EF在AB，CD之间时，如图：
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）．
②当EF在AB，CD同侧时，如图：
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．
综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．
故答案为：7或17．
【点评】此题主要考查线段之间的距离，解题的关键是根据题意分情况作图进行求解．
（2020年云南省昆明市）如图，点C位于点A正北方向，点B位于点A北偏东50°方向，点C位于点B北偏西35°方向，则∠ABC的度数为_____°．
【考点】方位角，平行线的性质
【分析】按照题意，将点A．B、C的位置关系表示在图中，过点B作一条平行于AC的线，并标注出已知角的度数，两平行线间内错角相等，可得∠1=∠BAC，则∠ABC的度数就可求得．
解：如下图所示：过点B作一条平行于AC的线，
由题意可得，∠1＝∠A＝50°（两直线平行，内错角相等），
则∠ABC＝180°-35°-50°＝95°，
故答案为：95．
【点评】本题主要考察了方位角的表示、平行线的性质应用，解题的关键在于根据题意，在图中表示出各个角的度数，同时还要掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．
（2020年内蒙古呼和浩特市）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为___________，并可推断出5月30日应该是星期几____________．
【考点】推理与论证
【分析】首先得出5月1日～5月28日，是四个完整的星期，即可得到这些天共用的宣纸张数；分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．
解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴5月1日～5月28日写的张数为：（1+2+3+4+5+6+7）×4=112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1=120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五或星期六或星期日．
故答案为：112；星期五或星期六或星期日.
【点评】此题主要考查了推理与论证，根据题意分别得出5月30日时所有的可能是解题关键．
（2019年安徽省）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________.
【考点】命题与定理
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.
解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
（2020年内蒙古赤峰市）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为__________．
【考点】数轴，线段中点
【分析】先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
解：由题意得：点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
归纳类推得：点表示的数为（n为正整数）
则点表示的数为
故答案为：．
【点评】本题考查了数轴的定义、线段中点的定义，根据点表示的数，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
（2019年浙江省台州市）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎，然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共　
　个．
【考点】推理与论证，规律型：数字的变化类
【分析】求出第一次编号中砸碎3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，再求第二次编号中砸碎的3的倍数的个数，得余下金蛋的个数，依次推理便可得到操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”总个数．
解：∵210÷3＝70，
∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210﹣70＝140个金蛋，重新编号为1，2，3，…，140，
∵140÷3＝46…2，
∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140﹣46＝94个金蛋，重新编号为1，2，3，…，94，
∵94÷3＝31…1，
∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94﹣31＝63个金蛋，
∵63＜66，
∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确得出每次砸掉的和余下的金蛋个数是解题关键．
1、
解答题
（2020年湖北省武汉市）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
【考点】角平分线的定义，平行线的判定与性质
【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
解：平分，平分
，即
．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
（2020年湖北省宜昌市）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．
【考点】平行线的性质
【分析】使用平行线的性质得到，再根据得到结果．
解：∵
∴
∵
∴
【点评】本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键．
（2019年江苏省镇江市）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．
在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　
　个单位长度，
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　
　个单位长度，
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．
①a＝　
　，
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象，
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　
　．（直接写出结果）
【考点】一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用
【分析】【观察】①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论，
②此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论，
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列方程即可得到结论，
②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，根据题意列函数解析式即可得到结论，
【拓展】由题意得到x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y），得到y＝﹣5x+300，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论．
解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，
设机器人甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为v＝4v，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为＝，而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），
∴m＝90，
故答案为：90，
②∵相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣40＝110个单位长度，
设机器人甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为v＝v，
∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为＝，
机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A，再到点B，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，40+150+150﹣m＝（m﹣40），
∴m＝120，
故答案为：120，
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，
根据题意知，x+150＝（150﹣x），
∴x＝50，
经检验：x＝50是分式方程的根，
即：a＝50，
故答案为：50，
②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上，
∴线段OP的表达式为y＝3x，
当v＜v时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v，
根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），
∴y＝﹣3x+300，
即：y＝，
补全图形如图2所示，
【拓展】如图，由题意知，x+y+150+150＝（150﹣x+150﹣y），
∴y＝﹣5x+300，
∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，
∴﹣5x+300≤60，
∴x≥48，
∵x＜75，
∴48≤x＜75，
故答案为48≤x＜75．
【点评】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
　
　
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
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