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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题08
计数原理与随机变量的数字特征
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·仙居县文元横溪中学高三期中）已知随机变量，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意随机变量，由二项分布的期望公式，可得,
故选：B
2．（2020·浙江高三期末）若多项式，则（
）
A．9
B．10
C．-9
D．-10
【答案】D
【解析】，
，根据已知条件得
的系数为0，
的系数为1
故选D.
3．（2020·浙江高三期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有(　　)
A．50种
B．60种
C．70种
D．90种
【答案】C
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，
丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种；
如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，
丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种，
不同的选法共有种，故选C.
4．（2020·浙江高三模拟）已知的展开式中的系数是，则各项系数最大的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】，，
又二项展开式中的系数是，可得，
，二项展开式的通项公式为，系数为
当时，系数最大为.故选：B.
5．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（
）
A．144
B．216
C．288
D．432
【答案】C
【详解】先从3个奇数中选2个奇数捆绑看成一个整体，然后将它们分别安置在5个位置上，分别记为①②③④⑤，其中这个整体与剩下的一个奇数不相邻，以及0不在①号位置，也不在⑤号位置．
（1）若奇数排在①③号位置，则排法总数为；
（2）若奇数排在①④号位置，则排法总数为；
（3）若奇数排在①⑤号位置，则排法总数为；
（4）若奇数排在②④号位置，则排法总数为；
（5）若奇数排在②⑤号位置，则排法总数为；
（6）若奇数排在③⑤号位置，则排法总数为；
根据分类加法计数原理可知，排法总数为．故选：C．
6．（2020·浙江高三其他模拟）随机变量，的分布列如下表，其中，则(
)
A．
B．
C．
D．无法判断与的大小关系
【答案】B
【详解】法1.利用方差的概念，易知随机变量的分布比随机变量的分布集中，故；
法2.；，故.
故选：B
7．（2020·浙江宁波市·镇海中学）在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品.已知某药店有4种不同类型的口罩，，，，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）.今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有（
）
A．330种
B．345种
C．360种
D．375种
【答案】C
【详解】若这5人没人购买型口罩，则5人构造剩下4种口罩中的三种，则可以按照2，2，1的分组，共有种方法，或是按照3，1，1的分组，则有
种方法，若这5人有1人购买了型口罩，则剩下的4人购买其他2个类型的口罩，可以按照2，2分组，有种方法，或是按照3，1分组，共有种方法，
综上可知，一共有种方法.故选：C
8．（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高三期中）将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（
）
A．、
B．、
C．、
D．、
【答案】B
【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，，
因此，.故选：B.
9．（2020·广东月考）已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（
）
A．-84
B．-14
C．14
D．84
【答案】A
【解析】因为二项式的系数之和等于128，所以，解得，
所以二项式展开式的通项公式为，
令，解得，所以展开式中含项的系数为，
10．（2020·浙江绍兴市·高三其他模拟）已知随机变量满足，，，若，则（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【详解】不妨令，
则，，，，，，
，，
，，，
，
，
，.故选：C.
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
11．（2020·浙江高三专题练习）早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表，已知，的展开式中各项系数之和为1，则展开式中的系数为__________.（用数字作答）
【答案】-192
【详解】由题意，在中令，得，因为，所以，
所以，令得，
所以的系数为．故答案为：－192．
12．（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高三期中）如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.
【答案】
【详解】首先先给顶点染色，有种方法，再给顶点染色，①若它和点染同一种颜色，点和点染相同颜色，点就有2种方法，若点和点染不同颜色，则点有2种方法，点也有1种方法，则的染色方法一共有种方法，②若点和点染不同颜色，且与点颜色不同，则点有1种方法，点与点颜色不同，则点有1种方法，则点有1种方法，此时有1种方法；若最后与相同，则有2种方法，则共有2种方法；点与点颜色相同，则点有1种方法，则点有2种方法，则点有2种方法，共有种方法，所以点和点染不同，颜色共有种方法，
所以点的染色方法一共有种，所以共有种方法.故答案为：
13．（2020·浙江宁波市·高三期中）一个盒子里有个相同的球，其中个红球，个黄球，个绿球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为___________；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为，则___________．
【答案】
【详解】（1）全部排列数为，由于红球首先被全部取完，则
①先取完3个红球，可看作2个黄球和1个绿球的排列数：种；
②在取3个红球的空档处还取走了1个黄球有种，剩下1个黄球和1个绿球进行排列有2种，
所以红球先取完的概率为，
（2）研究在取完红球之前取走的黄球数其实不受绿球影响，所以此题无须考虑绿球，则全部排列数为种，可能的取值为0，1，2，则
时，先取3个红球再取2个黄球，共1种；
时，取3个红球的空档处还取了1个黄球，剩下1个黄球最后取，共种；
时，取3个红球的空档处还取了2个黄球，若2个黄球不在一起，共种，若2个黄球在一起，共种，
所以
14．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三期中）若，则的值是_________；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有_________种不同的取法.
【答案】125
35
【详解】解：，
令，则，令，则，
，；
在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，
可以利用插空法，从六项所形成的七个空中选取三个空，
则有种.故答案为：125；35.
15．（2020·浙江台州市·台州一中高三期中）有五个球编号分别为号，有五个盒子编号分别也为号，现将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为_____（用数字作答），记为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量的数学期望____.
【答案】
1
【详解】恰有四个盒子的编号与球的编号不同，就是恰由1个编号相同，
先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，不妨设5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为，1，4，，，3，4，，，4，1，，，1，4，，，4，1，，，4，2，，，1，2，，，3，1，，，3，2，共9种，故恰好有一个球的编号与盒子的编号相同的投放方法总数为种；
若恰由2个编号相同，
先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内有种，剩下的三个球，不妨设编号为3，4，5，投放3号球的方法数为，则投放4，5号球的方法只有一种，根据分步计数原理共有种；
若恰由3个编号相同，
先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，有种情况，剩下有2个盒子放2个球；其编号与球的编号不同，只有1种情况；由分步计数原理可知共有种，
若恰由5个编号相同（不可能恰有4个相同），有1种方法；
因为这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球共有种方法，所以0个编号相同的方法为种，
综上，可取的值为0,1,2,3,5，
，
，
，故答案为：45,1.
16．（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高三期中）在的展开式中，所有项系数的绝对值的和为___________，的系数是____________.
【答案】
【详解】由的展开式中所有项系数的绝对值之和等于的展开式中所有项系数的绝对值之和，令可得：；
又的通项公式为：，
令，，所以的系数是.故答案为：；.
17．（2020·浙江衢州市·衢州二中高三其他模拟）已知，则__________；__________．
【答案】
【详解】的展开式的通项为
令，解得，此时的展开式中的系数为则
令，则
即故答案为：；
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2020·浙江绍兴市·诸暨中学高二期中）现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法？求：（1）甲、乙不能相邻；（2）甲、乙相邻且都不站在两端；（3）甲、乙之间仅相隔1人；（4）按高个子站中间，两侧依次变矮（五人个子各不相同）的顺序排列.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【详解】解：（1）先将除甲、乙外三人全排列，有种；再将甲、乙插入个空档中的个，
有种，由分步乘法计数原理可得，完成这件事情的方法总数为种；
（2）将甲、乙两人“捆绑”看成一个整体，排入两端以外的两个位置中的一个，有
种；再将其余人全排列有种，故共有种不同排法；
（3）先从另外三人中选一插在甲乙之间，则甲、乙之间仅相隔人共有种不同排法；
（4）按高个子站中间,两侧依次变矮(五人个子各不相同)的顺序排列共有种不同的排法.
19．（2021·浙江杭州市·高二期中）在的展开式中，求：
（1）二项式系数的最大的项；（2）系数绝对值最大的项.
（3）系数最大的项；
【答案】（1），；（2）；（3）.
【详解】（1）因为展开式中共有8项，故中间两项的二项式系数最大，
它们分别时：，.
（2）因为，令，
整理得到，故，
所以系数绝对值最大的项为，
（3）因为第三项的系数为正，且其绝对值最大，故系数最大的项为.
20．（2020·金华市曙光学校高三期中）某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为，
（1）求的概率即（2）求取出白球的数学期望和方差
【答案】（1）；（2），.
【详解】（1）因为，所以
（2）的可能取值为
，，
所以的分布列为：
0
1
2
所以
21．（2020·浙江高三期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【答案】（1）；（2）0.1
【详解】(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
所以
(2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”
所以
22．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）已知箱子中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球．现从该箱子中取球，每次取一个球（无放回，且每球取到的机会均等）．
（Ⅰ）若连续取两次，求取出的两球上标号都是奇数或都是偶数的概率；
（Ⅱ）若取出的球的标号为奇数则停止取球，否则继续取，求取出次数X的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．
【详解】（1）连续取两次，求取出的两球上标号可能是12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共10个，其中都是奇数或都是偶数的有13,15,35,24共4个，所求概率为；
（2）由题意的所有可能值是1,2,3，
，，，
所以的分布为
1
2
3
．
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精品试卷·第
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专题08
计数原理与随机变量的数字特征
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·仙居县文元横溪中学高三期中）已知随机变量，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江高三期末）若多项式，则（
）
A．9
B．10
C．-9
D．-10
3．（2020·浙江高三期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有(　　)
A．50种
B．60种
C．70种
D．90种
4．（2020·浙江高三模拟）已知的展开式中的系数是，则各项系数最大的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（
）
A．144
B．216
C．288
D．432
6．（2020·浙江高三其他模拟）随机变量，的分布列如下表，其中，则(
)
A．
B．
C．
D．无法判断与的大小关系
7．（2020·浙江宁波市·镇海中学）在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品.已知某药店有4种不同类型的口罩，，，，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）.今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有（
）
A．330种
B．345种
C．360种
D．375种
8．（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高三期中）将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（
）
A．、
B．、
C．、
D．、
9．（2020·广东月考）已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（
）
A．-84
B．-14
C．14
D．84
10．（2020·浙江绍兴市·高三其他模拟）已知随机变量满足，，，若，则（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
11．（2020·浙江高三专题练习）早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表，已知，的展开式中各项系数之和为1，则展开式中的系数为__________.（用数字作答）
12．（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高三期中）如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.
13．（2020·浙江宁波市·高三期中）一个盒子里有个相同的球，其中个红球，个黄球，个绿球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为___________；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为，则___________．
14．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三期中）若，则的值是_________；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有_________种不同的取法.
15．（2020·浙江台州市·台州一中高三期中）有五个球编号分别为号，有五个盒子编号分别也为号，现将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为_____（用数字作答），记为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量的数学期望____.
16．（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高三期中）在的展开式中，所有项系数的绝对值的和为___________，的系数是____________.
17．（2020·浙江衢州市·高三模拟）已知，则__________；__________．
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2020·浙江绍兴市·诸暨中学高二期中）现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法？求：（1）甲、乙不能相邻；（2）甲、乙相邻且都不站在两端；（3）甲、乙之间仅相隔1人；（4）按高个子站中间，两侧依次变矮（五人个子各不相同）的顺序排列.
19．（2021·浙江杭州市·高二期中）在的展开式中，求：
（1）二项式系数的最大的项；（2）系数绝对值最大的项.
（3）系数最大的项；
20．（2020·金华市曙光学校高三期中）某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为，
（1）求的概率即（2）求取出白球的数学期望和方差
21．（2020·浙江高三期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
22．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）已知箱子中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球．现从该箱子中取球，每次取一个球（无放回，且每球取到的机会均等）．
（Ⅰ）若连续取两次，求取出的两球上标号都是奇数或都是偶数的概率；
（Ⅱ）若取出的球的标号为奇数则停止取球，否则继续取，求取出次数X的分布列和数学期望．
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专题08
计数原理与随机变量的数字特征
【考纲解读与命题趋势】?
离散型随机变量与计数原理（包含排列组合与二项式定理），在新高考数学中考查与以往考查题型、难度没有什么变化，通常是以选择题的形式呈现，试题数量为2-3道选填题。从浙江省命题来看通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合。二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开。离散型随机变量分布列的性质、二项分布以及离散型随机变量的均值与方差等也是一个必考点。本专题通过列举排列组合与二项式定理、离散型随机变量常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理和离散型变量分布列类型的题目能够迎刃而解。
【解题技巧】
捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。
对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。
因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.
【知识梳理】
1.分类加法计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
3.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
4.排列数与组合数：(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
5.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.(2)C＝eq
\f(A,A)＝＝(n，m∈N+，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
6.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
7.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N+)时，是递增的
当k＞(n∈N+)时，是递减的
二项式系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
8.离散型随机变量的分布列及性质
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
9.常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中0(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝eq
\f(CC,C)(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.
10.离散型随机变量的数学期望与方差
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.
(1)数学期望：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.
(2)方差：称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差.
11.均值与方差的性质：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
12.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
【考点突破】
考点1
两个计数原理
两个计数原理考向有四个，1.分类计数原理；2.分步计数原理；3.两个原理综合考查；4.计数原理与概率的综合考查.从浙江省高考命题看，此类问题以客观题形式考查，以两个原理的综合考查为主，考查核心素养与分析问题解决问题的能力.
1）.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.
2）.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
【经典例题】
1．（2020·浙江高三月考）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数.
【答案】198
【解析】当用0时，0只能在个位，十位，百位三个位置之一.
当个位为0时，从2,4,6中再取1个数字(3种方法），从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），将这取得的3个数字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有3×3×6=54种方法；
当十位或百位为0时（2种不同方法），从2,4,6中再取1个数字放置在个位(3种方法），然后从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有2×3×3×2=36种方法；
当没有用0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位(有3中不同的方法）；在从其余的2个非零偶数字中任取一个数字(2种不同方法），从1，3，5中任取2个数字（有3种不同方法)，将这3个数字在除个位之外的十百千3个位置上任意排列(有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3×2×3×6=108种．根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数54+36+108=198个，
故答案为：198.
2．（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高三期中）如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.
【答案】
【详解】首先先给顶点染色，有种方法，再给顶点染色，①若它和点染同一种颜色，点和点染相同颜色，点就有2种方法，若点和点染不同颜色，则点有2种方法，点也有1种方法，则的染色方法一共有种方法，②若点和点染不同颜色，且与点颜色不同，则点有1种方法，点与点颜色不同，则点有1种方法，则点有1种方法，此时有1种方法；若最后与相同，则有2种方法，则共有2种方法；点与点颜色相同，则点有1种方法，则点有2种方法，则点有2种方法，共有种方法，所以点和点染不同，颜色共有种方法，
所以点的染色方法一共有种，所以共有种方法.故答案为：
【变式探究】
1．（2020·浙江高三其他）现有三个完全相同的骰子，每个骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6.若同时掷这三个骰子，则三个骰子朝上一面的数字之和为3的倍数的情况有_________种.
【答案】20
【解析】根据被3除后的余数可分,,三组.
则三个骰子朝上一面的数字之和为3的倍数可分为以下三类：
①三个数字为同一组,每组有如,,,3种情况.故共有种情况；②三个数字在三个不同的组,共有种情况；
由分类计数原理可知,三个骰子朝上一面的数字之和为3的倍数的情况共有种.
2．（2020·全国高三模拟）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：
数字形式
纵式
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示.如果把根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为______.
【答案】
【解析】按每一位算筹的根数分类一共有种情况，分别为、、、、、、、、、、、、、、，根或根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，得上面情况能表示的三位数字个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、，
根据分类加法计数原理，得根算筹能表示的三位数字个数为：
.
3.（2020·江苏宿迁中学高三期中）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（
）
A．48种
B．36种
C．24种
D．12种
【答案】B
【解析】由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；
第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，
根据分步计数原理，共有不同的选取方法，故选：B
4．（2020·湖北宜昌·高三二模）四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一.四色定理的内容是“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算对该地图的五个区域涂色，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（4种颜色不一定用完），满足四色定理的不同的涂色种数为（
）
A．96
B．72
C．108
D．144
【答案】D
【解析】如图，把五块区域编号，第一步涂有4种可能，第二步涂有3种可能，第三步，又分类：按同色有种，不同色有种，
共有方法数为．故选：D．
5.（2020·四川高三月考）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（
）
A．16
B．9
C．8
D．4
【答案】B
【解析】根据题意，子集和不可以互换，从子集分类讨论，结合计数原理，即可求解.
由题意，对子集分类讨论：
当集合，集合可以是，共4中结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共1种结果，
根据计数原理，可得共有种结果.故选：B.
考点2
排列组合问题
排列组合问题的考向有，1.排列问题；2.综合问题；3.排列组合综合问题；4.概率与排列组合综合问题.从浙江省高考命题看，往往以实际背景为载体，考查排列组合的综合应用，题型为客观题且难度属中档试题.重在考查核心素养及分析问题解决问题的能力.
1）.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2）.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
【经典例题】
1．（2020·浙江宁波市·镇海中学）在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品.已知某药店有4种不同类型的口罩，，，，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）.今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有（
）
A．330种
B．345种
C．360种
D．375种
【答案】C
【详解】若这5人没人购买型口罩，则5人构造剩下4种口罩中的三种，则可以按照2，2，1的分组，共有种方法，或是按照3，1，1的分组，则有
种方法，若这5人有1人购买了型口罩，则剩下的4人购买其他2个类型的口罩，可以按照2，2分组，有种方法，或是按照3，1分组，共有种方法，
综上可知，一共有种方法.故选：C
2．（2017·浙江高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）
【答案】660
【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有
种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.
【变式探究】
1．（2020·海南高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（
）
A．2种
B．3种
C．6种
D．8种
【答案】C
【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
2．（2018·浙江高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】1260.
【解析】按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.
若不取零，则排列数为若取零，则排列数为
因此一共有个没有重复数字的四位数.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
3．（2020·山东高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（
）
A．120种
B．90种
C．60种
D．30种
【答案】C
【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C
4．（2020·浙江高三其他）已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有
．
【答案】
【解析】先考虑甲乙捆绑成一个的情形:（甲乙）丙；
（甲乙）
丙；
（乙甲）
丙；（乙甲）
丙；
（甲乙）丙；
（甲乙）丙；（乙甲）
丙；（乙甲）
丙.共有8种可能；将三个大人全排列共种可能，所以共有种可能.
5．（2020·浙江省杭州第二中学高三一模）10次投篮中，投中5次，其中恰有一个2连中和一个3连中的情形有_________种(用数字作答).
【答案】30
【解析】设A表示命中的情况，B表示未命中的情况，
将两次连续的命中（AA)一起考虑，将三次连续的命中（AAA）一起考虑，所以将（A
A）和（AAA）插入到五个BBBBB之间，而5个B之间有6个空可以插入，所以共有种情况，
考点3
二项式定理
二项式定理主要考向有，1.二项展开式中特定项或系数问题，给出的二项式形式较多，命题角度较为广泛；
2.
二项式系数的性质及各项系数和；3.二项式定理的应用.从浙江省命题来看，重点考查二项展开式、通项公式以及二项式系数的性质、赋值法求系数的和等主要知识．试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中低档题.
1）.二项式定理及通项的应用
(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.
(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Can－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
(3)在通项Tk＋1＝Can－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.
2）.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
1）求二项展开式中的特定项或系数
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）设，则________；________．
【答案】
【详解】的通项为，
令，则，故；
.故答案为：；.
2．（2019·浙江高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
【答案】
【详解】的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
【变式探究】
1．（2018·浙江高考真题）二项式的展开式的常数项是___________．
【答案】7
【解析】先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.
详解：二项式的展开式的通项公式为,
令得，故所求的常数项为
得出值，最后求出特定项的系数.
2．（2017·浙江高考真题）已知多项式2=，则=________________，=________.
【答案】16
4
【详解】由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，取，可得．
3．（2020·北京高考真题）在的展开式中，的系数为（
）．
A．
B．5
C．
D．10
【答案】C
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.故选：C.
4.
（2021.八省联考）的展开式中的系数是（
）
A.
60
B.
80
C.
84
D.
120
【答案】D
【解析】的展开式中的系数是
因为且，所以，
所以，
以此类推，.故选：D
2）二项式系数与各项的系数问题
【经典例题】
1．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三三模）记，则的值为（
）
A．1
B．2
C．129
D．2188
【答案】C
【详解】中，令，得.
∵展开式中
∴故选：.
2．（2021·江苏常州市·高三期末）若，且，则下列结论正确的是（
）
A．
B．展开式中二项式系数和为
C．展开式中所有项系数和为
D．
【答案】ACD
【详解】解：对于A，令，可得，
即，
即，①
令，得，即，②
由于的展开式中，所以，③
所以①-②-③得：，
而，
所以，解得：，故A正确；
对于B，由于，则，
所以展开式中二项式系数和为，故B错误；
对于C，由于，则的所有项系数为
，故C正确；
对于D，由于，则，
等式两边求导得：，
令，则，故D正确.故选：ACD.
【变式探究】
1．（2020·北京期末）展开式中各项系数之和为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】解：令，得展开式中各项系数之和为.
2．（2020·浙江台州市·高三期中）已知的展开式中各项系数之和等于0，则________﹔其展开式中含项的系数为_________.
【答案】
【详解】令，则，解得
的展开式的通项为，的展开式的通项为
则的展开式的通项为
令，即，即或
即展开式中含项的系数为
故答案为：；
3．（2020·湖南郴州·月考）已知展开式的二项式系数和为64，则其展开式中含项的系数是__________.
【答案】60
【解析】解：由于的展开式的二项式系数之和为，
所以，解得，所以，
故令，即可得.
4．（2020·广东高三期末）在的展开式中，各项系数的和为，二项式系数之和为，且是与的等差中项，则正整数的值为___________.
【答案】3
【解析】的展开式
令二项式中的得到展开式中的各项系数的和为，
又各项二项式系数的和，为，
根据题意得即，解得或
(负值舍)，故.
5．（2021·湖南长沙市·高三月考）若，，则___________.
【答案】
【详解】令，则，即，
令，则，
即，
故，故答案为：.
3）项的系数和二项式系数的最值问题
【经典例题】
1．（2020·浙江宁波市·余姚中学高三一模）的展开式中项前系数为_________(用数字作答)，项的最大系数是__________
【答案】0
84
【详解】通项，
当r=5时，，当r=6时，，所以项前系数为0．
由二项式定理展开可得：=
=
所以最大项为，即84．所以填0和84．
2．（2020·浙江高三其他模拟）已知（其中为正整数），若是中的唯一最大值，则的值为_____，的值为_____.
【答案】10
10
【详解】由题意，，
令，则，
因为是中的唯一最大值，所以是偶数，所以，解得.
所以.故答案为：，.
3．（2020·浙江高三其他模拟）已知，则展开式中二项式系数最大的项是第______项；若，则______.
【答案】1011
【详解】由二项式系数的性质得，最大，所以填第2011项；
令得，，
令得，，
，解得.
故答案为：；.
【变式探究】
1．（2020·四川成都·月考（理））已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（
）
A．4
B．5
C．4或5
D．6
【答案】C
【解析】因为二项式的展开式中所有项的系数和为512，
令，得
所以，二项式展开式有10项，
则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大，
所以当或5时，最大，
2．（2020·浙江高三其他模拟）在的展开式中，二项式系数最大的项为________．
【答案】
【详解】由题意可知，的展开式共有9项，二项式系数最大的项为最中间的项，即第5项，利用二项展开式的通项公式得．
故答案为：．
3．（2020·宁波市北仑中学高三二模）已知的展开式中含有项的系数是54，则_______，系数最大的项为第_______项.
【答案】4
4
【详解】二项式的展开式的通项为，
则含的项的系数为，解得，
则二项式的展开式为，
所以系数最大的项是第4项.故答案为：4，4
4．（2020·浙江省柯桥中学高三开学考试）在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则________；展开式中常数项是_______.
【答案】
【详解】在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式共有项，.
展开式的通项公式为，令，求得，
可得展开式中常数项是，故答案为：；.
5．（2020·江西高三期末（理））在（）的展开式中所有二项式系数之和为256.
（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项.
【解析】解：（1）的展开式中所有二项式系数之和为，，
故展开式的通项公式为．
令，求得，故展开式中的常数项为．
（2）由于，故当时，二项式系数最大，
故二项式系数最大的项为．
（四）离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列主要考向有，1.
离散型随机变量分布列的性质；
2.
离散型随机变量分布列的求法；3.独立重复试验、二项分布及其应用；4.离散型随机变量的均值与方差.从浙江省命题来看，重点考查离散型随机变量分布列的性质、二项分布以及离散型随机变量的均值与方差等主要知识．试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中低档题.
1).对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.
2).求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.
3).已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
4).已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；
5).如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布、超几何分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．
【答案】
【详解】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以，随机变量，
，，
所以.故答案为：.
2．（2019·浙江高考真题）设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时（
）
A．增大
B．减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
【答案】D
【详解】方法1：由分布列得，则
，则当在内增大时，先减小后增大.
方法2：则
故选D.
【变式探究】
1．（2018·浙江高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（
）
A．减小
B．增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【答案】D
【详解】，
，
，∴先增后减，因此选D.
【点睛】
2．（2017·浙江高考真题）已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0A．<，<
B．<，>
C．>，<
D．>，>
【答案】A
【解析】∵，∴，
∵，∴，故选A．
3．（2020·浙江高三二模）已知随机变量满足，，，若，则随增大（
）
A．增大增大
B．减小增大
C．减小减小
D．增大减小
【答案】C
【解析】解：随机变量满足，，，
，
.
若，则随增大，减小，减小.
4．（2020·浙江省东阳中学高三期中）已知，随机变量X的分布列如图.若时，________；在p的变化过程中，的最大值为______.
X
0
1
2
P
【答案】
2
【详解】当时，；
在p的变化过程中，，
则，
所以当时，，所以.故答案为：；2.
5．（2020·浙江嘉兴市·高三二模）已知随机变量的分布列如下：
1
2
3
则___，方差___．
【答案】
【详解】由题意可得，解得，
，，，
，
，
综上，，.故答案为：；.
6．（2020·海南高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（
）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.
.
由于，所以，所以，
所以，所以，所以D选项错误.故选：AC
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题08
计数原理与随机变量的数字特征
【考纲解读与命题趋势】?
离散型随机变量与计数原理（包含排列组合与二项式定理），在新高考数学中考查与以往考查题型、难度没有什么变化，通常是以选择题的形式呈现，试题数量为2-3道选填题。从浙江省命题来看通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合。二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开。离散型随机变量分布列的性质、二项分布以及离散型随机变量的均值与方差等也是一个必考点。本专题通过列举排列组合与二项式定理、离散型随机变量常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理和离散型变量分布列类型的题目能够迎刃而解。
【解题技巧】
捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。
标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。
对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。
因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.
【知识梳理】
1.分类加法计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
3.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
4.排列数与组合数：(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
5.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.(2)C＝eq
\f(A,A)＝＝(n，m∈N+，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C
6.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
7.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N+)时，是递增的
当k＞(n∈N+)时，是递减的
二项式系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
8.离散型随机变量的分布列及性质
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
9.常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中0(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝eq
\f(CC,C)(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.
10.离散型随机变量的数学期望与方差
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.
(1)数学期望：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.
(2)方差：称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差.
11.均值与方差的性质：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
12.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
【考点突破】
考点1
两个计数原理
两个计数原理考向有四个，1.分类计数原理；2.分步计数原理；3.两个原理综合考查；4.计数原理与概率的综合考查.从浙江省高考命题看，此类问题以客观题形式考查，以两个原理的综合考查为主，考查核心素养与分析问题解决问题的能力.
1）.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.
2）.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
【经典例题】
1．（2020·浙江高三月考）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数.
2．（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高三期中）如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.
【变式探究】
1．（2020·浙江高三其他）现有三个完全相同的骰子，每个骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6.若同时掷这三个骰子，则三个骰子朝上一面的数字之和为3的倍数的情况有_________种.
2．（2020·全国高三模拟）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：
数字形式
纵式
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示.如果把根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为______.
3.（2020·江苏宿迁中学高三期中）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（
）
A．48种
B．36种
C．24种
D．12种
4．（2020·湖北宜昌·高三二模）四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一.四色定理的内容是“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算对该地图的五个区域涂色，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（4种颜色不一定用完），满足四色定理的不同的涂色种数为（
）
A．96
B．72
C．108
D．144
5.（2020·四川高三月考）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（
）
A．16
B．9
C．8
D．4
考点2
排列组合问题
排列组合问题的考向有，1.排列问题；2.综合问题；3.排列组合综合问题；4.概率与排列组合综合问题.从浙江省高考命题看，往往以实际背景为载体，考查排列组合的综合应用，题型为客观题且难度属中档试题.重在考查核心素养及分析问题解决问题的能力.
1）.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2）.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
【经典例题】
1．（2020·浙江宁波市·镇海中学）在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品.已知某药店有4种不同类型的口罩，，，，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）.今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有（
）
A．330种
B．345种
C．360种
D．375种
2．（2017·浙江高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）
【变式探究】
1．（2020·海南高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（
）
A．2种
B．3种
C．6种
D．8种
2．（2018·浙江高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
3．（2020·山东高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（
）
A．120种
B．90种
C．60种
D．30种
4．（2020·浙江高三其他）已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有
．
5．（2020·浙江省杭州第二中学高三一模）10次投篮中，投中5次，其中恰有一个2连中和一个3连中的情形有_________种(用数字作答).
考点3
二项式定理
二项式定理主要考向有，1.二项展开式中特定项或系数问题，给出的二项式形式较多，命题角度较为广泛；
2.
二项式系数的性质及各项系数和；3.二项式定理的应用.从浙江省命题来看，重点考查二项展开式、通项公式以及二项式系数的性质、赋值法求系数的和等主要知识．试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中低档题.
1）.二项式定理及通项的应用
(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.
(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Can－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
(3)在通项Tk＋1＝Can－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.
2）.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
1）求二项展开式中的特定项或系数
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）设，则________；________．
2．（2019·浙江高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
【变式探究】
1．（2018·浙江高考真题）二项式的展开式的常数项是___________．
2．（2017·浙江高考真题）已知多项式2=，则=________________，=________.
3．（2020·北京高考真题）在的展开式中，的系数为（
）．
A．
B．5
C．
D．10
4.
（2021.八省联考）的展开式中的系数是（
）
A.
60
B.
80
C.
84
D.
120
2）二项式系数与各项的系数问题
【经典例题】
1．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三三模）记，则的值为（
）
A．1
B．2
C．129
D．2188
2．（2021·江苏常州市·高三期末）若，且，则下列结论正确的是（
）
A．
B．展开式中二项式系数和为
C．展开式中所有项系数和为
D．
【变式探究】
1．（2020·北京期末）展开式中各项系数之和为（
）
A．
B．
C．
D．1
2．（2020·浙江台州市·高三期中）已知的展开式中各项系数之和等于0，则________﹔其展开式中含项的系数为_________.
3．（2020·湖南郴州·月考）已知展开式的二项式系数和为64，则其展开式中含项的系数是__________.
4．（2020·广东高三期末）在的展开式中，各项系数的和为，二项式系数之和为，且是与的等差中项，则正整数的值为___________.
5．（2021·湖南长沙市·高三月考）若，，则___________.
3）项的系数和二项式系数的最值问题
【经典例题】
1．（2020·浙江宁波市·余姚中学高三一模）的展开式中项前系数为_________(用数字作答)，项的最大系数是__________
2．（2020·浙江高三其他模拟）已知（其中为正整数），若是中的唯一最大值，则的值为_____，的值为_____.
3．（2020·浙江高三其他模拟）已知，则展开式中二项式系数最大的项是第______项；若，则______.
【变式探究】
1．（2020·四川成都·月考（理））已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（
）
A．4
B．5
C．4或5
D．6
2．（2020·浙江高三其他模拟）在的展开式中，二项式系数最大的项为________．
3．（2020·宁波市北仑中学高三二模）已知的展开式中含有项的系数是54，则_______，系数最大的项为第_______项.
4．（2020·浙江省柯桥中学高三开学考试）在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则________；展开式中常数项是_______.
5．（2020·江西高三期末（理））在（）的展开式中所有二项式系数之和为256.
（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项.
（四）离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列主要考向有，1.
离散型随机变量分布列的性质；
2.
离散型随机变量分布列的求法；3.独立重复试验、二项分布及其应用；4.离散型随机变量的均值与方差.从浙江省命题来看，重点考查离散型随机变量分布列的性质、二项分布以及离散型随机变量的均值与方差等主要知识．试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中低档题.
1).对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.
2).求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.
3).已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
4).已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；
5).如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布、超几何分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．
2．（2019·浙江高考真题）设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时（
）
A．增大
B．减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
【变式探究】
1．（2018·浙江高考真题）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（
）
A．减小
B．增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
2．（2017·浙江高考真题）已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0A．<，<
B．<，>
C．>，<
D．>，>
3．（2020·浙江高三二模）已知随机变量满足，，，若，则随增大（
）
A．增大增大
B．减小增大
C．减小减小
D．增大减小
4．（2020·浙江省东阳中学高三期中）已知，随机变量X的分布列如图.若时，________；在p的变化过程中，的最大值为______.
X
0
1
2
P
5．（2020·浙江嘉兴市·高三二模）已知随机变量的分布列如下：
1
2
3
则___，方差___．
6．（2020·海南高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（
）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
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