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华师大版
八下数学
19.2.1菱形的性质
回顾旧知
平行四边形有哪些特征?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的特征?
平行四边形
对边平行且相等
对角相等邻角互补
对角线互相平分
矩形
四个角是直角
对角线相等
试一试
将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？
四边形的四条边相等
探究新知
？
平行
四边形
矩形
有一个角是直角
有一组邻边相等
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
结论：这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形.
总结
A
B
C
D
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
∵四边形ABCD是平行四边形,
AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
几何语言:
注意：定义中的“平行四边形”
不能写成“四边形”。
观察
中心对称
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称
轴对称
四条边都相等
对角相等
对角线互相平分且垂直
观察所示的菱形，将你的发现填入下表.
菱形有几条对称轴？
对称中心在哪里？
总结
如图，我们发现，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线.
由此，很容易猜想菱形所具有的特殊性质：
菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直.
如何证明这两个猜想？
证明
已知:如图四边形ABCD是菱形
求证:菱形的四条边相等
菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
A
B
C
D
O
(1)AB=BC=CD=DA
(2)AC⊥BD
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
求证:
证明(1)∵四边形ABCD是菱形
∴DA=DC(菱形的定义)
∵DA=BC,AB=DC
∴AB=BC=DC=DA
(2)在△DAC中,又∵AO=CO
∴DB⊥AC，
DB平分∠ADC（三线合一）
同理：DB平分∠ADC和∠ABC
AC平分∠DAB和∠DCB
归纳
A
B
C
D
O
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形的性质
例题解析
例1
如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形.
例题解析
解：
在菱形ABCD中，
∵∠B+∠BAD=180°，∠BAD=2∠B，
∴
∠B=60°
在菱形ABCD中，∵AB=BC(菱形的四条边都相等)，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形.
练一练
AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试探究四边形AEDF是什么特殊四边形，说明理由．
理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
又∵AE∥DF，
∴∠1＝∠3，而∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AF＝DF，
∴?AEDF为菱形．
解：平行四边形AEDF为菱形
例题解析
例2
如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O.试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长.(结果保留根号)
解
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AB=AD(菱形的四条边都相等)
在△ABO和△ADO中，
∵AB=AD,AO=AO,OB=OD，
∴△ABO≌△ADO，
∴∠BAO=∠DAO=∠BAD=60°
在△ABC中，∵AB=BC，∠BAC=60°，
∴△ABC为全等三角形，
∴AC=AB=2.
在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
∴△AOB为直角三角形，
∴BO===
∴BD=2BO=
(cm).
菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知
AB＝5cm,
BO=4cm，则
对角线AC的长为____,
BD的长为_____
周长为_____
面积为_____
6cm
8cm
20cm
24cm2
练一练
例3
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E.求∠BCD的大小.
例题解析
解
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=CB=BA(菱形的四条边都相等).
又∵AE垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AC=AD=DC=CB=BA，
即△ADC与△ABC都为等边三角形，
∴∠ACD=∠ACB=60°.
∴∠BCD=120°.
菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
你有什么发现？
=4×
=4×
=
探究新知
菱形的面积公式
菱形的面积
=
底×高
=
对角线乘积的一半
归纳
课堂练习
1．菱形具有的性质而矩形不一定具有的是(　　)
A．对角相等且互补　　　　　　　　　B．对角线互相平分
C．一组对边平行，另一组对边相等
D．对角线互相垂直
2．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是(　　)
A．24　　　　
B．16　　　　
C．4　　　　
D．2
D
C
课堂练习
3、如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8,2)，点D的坐标为(0,2)，则点C的坐标为
．
4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为
.
(4,4)
课堂练习
5．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．
(1)证明：连接AC，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC，
∴AE＝EC；
(2)解：点F是线段BC的中点．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠CEF＝30°，
又∵∠BAF＝∠BAC－∠EAC＝30°＝∠EAC，
∴AF是等边△ABC的角平分线，
∴BF＝CF，∴点F是线段BC的中点.
6.
如图，已知菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC的长为8cm，求菱形的面积.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
解：∵菱形的周长为24cm，
∴AB=6cm，又AC=8cm，∴OA=4cm，
因为AC⊥BD，∴OB=
2（cm），
∴BD=4，
∴菱形ABCD的面积=AC·BD
=×8×4
=16（cm2）
课堂小结
菱形的判定：
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
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19.2.1菱形的性质导学案
课题
菱形的性质
单元
19
学科
数学
年级
八年级
知识目标
1.
了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.
探索并证明菱形的性质定理.
3.
应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
重点难点
重点：探索并证明菱形的性质定理.
难点：应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题
教学过程
知识链接
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2．平行四边形和矩形之间的关系是什么？
合作探究
一、教材第110页
1.我们知道矩形是由平行四边形角的变化得到，如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
2.菱形的定义：有一组邻边_________的平行四边形叫做菱形.
二、教材第110页
按探究步骤剪下一个四边形:
①所得四边形为什么一定是菱形？
②菱形为什么是轴对称图形？
有
对称轴.
图中相等的线段有：
图中相等的角有：
三、教材第111页
你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？
，
。
四、教材第111页
例1
如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形.
五、教材第112页
例2
如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O.试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长.(结果保留根号)
六、教材第113页
例3
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E.求∠BCD的大小.
自主尝试
1.如图，在菱形ABCD中,已知∠A＝60°,AB＝5,则△ABD的周长是
（
）
A.10
B.12
C.15
D.20
2.
已知菱形的两条对角线分别为6
cm和8
cm，则这个菱形的高为（　　）
A.2.4
cm
B.4.8
cm
C.5
cm
D.9.6
cm
3.根据上图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12
cm，那么它的边长是
______.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120
°，则∠BAC＝_______.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6
cm和8
cm，则菱形的边长是_______.
（4）菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为1∶2,则菱形最短的那条对角线长为______.
【方法宝典】
根据菱形的性质解题即可.
当堂检测
1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　)
A.对角相等　　B.对边相等　　C.邻边相等　　D.对边平行
2.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是(　　)
A.25　　B.20　　C.15　　D.10
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（
）
A.10cm
B.7cm
C.
5cm
D.4cm
4、菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（
）
A．4：1
B．5：1
C．6：1
D．7：1
5.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
6.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
7.如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD交于O,AB=8,E是CD的中点,则OE的长等于　　　　.?
8.已知菱形两条对角线的长分别为12和16,则这个菱形的周长为　　　　,面积为　　　　.?
9.如图,四边形ABCD是菱形,边长为10
cm,对角线AC,BD交于O,∠BAD=60°.
(1)求对角线AC,BD的长;
(2)求菱形的面积.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,四边形ADEF是菱形,求证:BE=CE.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1．C　2．B　3、C
4、B
5、3cm
6、60度
7．4　8．40;96　
9.
(1)在菱形ABCD中,AB=AD=10
cm,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴BD=10
cm,
∴BO=BD=5
cm,
在Rt△AOB中,AO==5
cm,
∴AC=2AO=10(cm).
(2)菱形的面积为×10×10=50(cm2).
10.
∵四边形ADEF是菱形,
∴DE=EF,AB∥EF,DE∥AC,
∴∠C=∠BED,∠B=∠CEF,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BED=∠CEF,
在△DBE和△FCE中,
∴△DBE≌△FCE,∴BE=CE.
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精品试卷·第
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