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第四章
图形的性质
第21节
三角形的有关概念
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1三角形的分类
由
三条线段
相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类:
（2）按边的关系分类:
■考点2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
■考点3.角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
■考点4.三角形中的重要线段
四线性质
角平分线:(1)角平线上的点到角两边的距离相等
(2)三角形的三条角平分线的相交于一点叫
,
到
相等．
中线:(1)
三条中线交于三角形内部一点，叫其
：每条中线平分三角形的
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的
高:（1）三条高线所在的直线交于一点，叫其为
（2）锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部21·世纪
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中位线:
三角形
的连线段．平行于
，且等于
三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；【出处：21教育名师】
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.三边关系
◇典例
（2020年江苏省徐州市）三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形三边的关系
【分析】根据三角形的三边关系判断即可.
解：6-3=3＜第三边长＜6+3=9,只有6cm满足题意,
故选C.
【点评】本题考查三角形的三边范围计算,关键牢记三边关系.
◆变式训练
（2020年江苏省宿迁市）在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
■考点2.角的关系
◇典例：
（2020年海南省）如图，已知直线和相交于点若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】先根据得到，再运用三角形内角和定理求出的度数即可．
解：∵，
∴，
∵，
∴
∵，且，
∴，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解答此题的关键，比较简单．
（2020年内蒙古呼伦贝尔市）如图，直线于点，若，则的度数是（
）
A．120°
B．100°
C．150°
D．160°
【考点】平行线的性质，三角形外角的性质
【分析】延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD．
解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFC=180°，
∵，
∴∠AFC=60°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
而∠AEC=∠AFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEC-∠F
=30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和平行线的性质是解题的关键．
◆变式训练
（2020年辽宁省沈阳市）如图，直线，且于点，若，则的度数为（　　）
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
（2020年辽宁省丹东市）如图，是的角平分线，过点作交延长线于点，若，，则的度数为（
）
A．100°
B．110°
C．125°
D．135°
■考点3.三角形中的重要线段
四线性质
◇典例：
（2020年江苏省淮安市）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为__________．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】直接根据直角三角形斜边中线定理可以得出本题答案.
解：∵直角三角形斜边的长为16，
∴直角三角形斜边上的中线长是：，
故答案为：8.
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，熟记定理即可得出答案.
（2020年四川省德阳市）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____．
【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性质得到BF=EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CB=CE．
∵CF⊥BE，
∴BF=EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是△ABE的中位线，
∴GF=AE，
∵AE=4，
∴GF=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF是△ABE的中位线是解题的关键．
◆变式训练
（2020年江苏省盐城）如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年陕西省）如图，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是?ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）
A．
B．
C．3
D．2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（2020年浙江省绍兴市）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
（2020年贵州省黔南州）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（
）
A．9
B．17或22
C．17
D．22
（2020年辽宁省大连市）如图，中，，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年江西省）如图，，则下列结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省烟台市）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（
）
A．1.7
B．1.8
C．2.2
D．2.4
（2020年湖北省宜昌市）能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是（
）．
A．
B．C．D．
（2020年内蒙古赤峰市）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB
=90°，且AB=8，BC=
14，则EF的长是
（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
（2020年湖北省黄石市）如图，在中，，点H、E、F分别是边、、的中点，若，则的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
（2020年广东省）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．
（2020年湖南省衡阳市）一副三角板如图摆放，且，则∠1的度数为_________．
（2020年湖南省永州市）已知直线，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则_________．
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1、
选择题
（2020年贵州省毕节市）已知等腰三角形有两条边的长分别是3,7,则这个等腰三角形的周长为(　　)
A．17
B．13
C．17或13
D．10
（2020年山东省菏泽市）等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．
（2020年吉林省）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年北京市）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（
）
A．∠1=∠2
B．∠2=∠3
C．∠1＞∠4+∠5
D．∠2＜∠5
（2020年宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是（
）
A．135°
B．120°
C．115°
D．105°
（2020年贵州省毕节市）将一幅直角三角板（，，，点在边上）按图中所示位置摆放，两条斜边为，，且，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年黑龙江省齐齐哈尔市、黑河市、大兴安岭地区）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
（2020年广东省）已知的周长为16，点，，分别为三条边的中点，则的周长为（
）
A．8
B．
C．16
D．4
（2020年贵州省毕节市）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省淄博市）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（
）
A．a2+b2＝5c2
B．a2+b2＝4c2
C．a2+b2＝3c2
D．a2+b2＝2c2
1、
填空题
（2020年江苏省镇江市）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于_____．
（2020年甘肃省天水市）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
（2020年江苏省泰州市）如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为_______．
（2020年湖北省黄冈市）已知：如图，，则_____________度．
（2020年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．
（2020年江苏省徐州市）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则_______．
（2020年江苏省宿迁市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．
（2020年黑龙江省大庆市）一个周长为的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________．
1、
解答题
（2020年四川省宜宾市）如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．
（1）求证：
（2）若的面积为5，求的面积．
（2020年北京市）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）如图，在中，是边上一点，且．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点．
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．
（2020年云南省）如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为．
（1）若，求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积为16，求菱形的面积．
（2020年黑龙江省牡丹江市）在中，，，．以为边作周长为18的矩形，M，N分别为，的中点，连接．请你画出图形，并直接写出线段的长．
（2020年四川省达州市）如图，中，，D、E分别是边、的中点．将绕点E旋转180度，得．
（1）判断四边形的形状，并证明；
（2）已知，，求四边形的面积S．
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13第四章
图形的性质
第21节
三角形的有关概念
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1三角形的分类
由
不在同一直线上的
三条线段
首尾顺次
相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类:
（2）按边的关系分类:
■考点2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
■考点3.角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
■考点4.三角形中的重要线段
四线性质
角平分线:(1)角平线上的点到角两边的距离相等
(2)三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心,内心
到三边的距离相等．
中线:(1)
三条中线交于三角形内部一点，叫其
重心
：每条中线平分三角形的
面积
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
高:（1）三条高线所在的直线交于一点，叫其为
垂心
（2）锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部21·世纪
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中位线:
三角形
两边中点
的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；【出处：21教育名师】
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.三边关系
◇典例
（2020年江苏省徐州市）三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形三边的关系
【分析】根据三角形的三边关系判断即可.
解：6-3=3＜第三边长＜6+3=9,只有6cm满足题意,
故选C.
【点评】本题考查三角形的三边范围计算,关键牢记三边关系.
◆变式训练
（2020年江苏省宿迁市）在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
【考点】三角形三边关系，估算无理数的大小
【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．
解：∵在△ABC中，AB=1，BC=，
∴﹣1＜AC＜+1，
∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，
∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形三边关系以及无理数的估算，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．
■考点2.角的关系
◇典例：
（2020年海南省）如图，已知直线和相交于点若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】先根据得到，再运用三角形内角和定理求出的度数即可．
解：∵，
∴，
∵，
∴
∵，且，
∴，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解答此题的关键，比较简单．
（2020年内蒙古呼伦贝尔市）如图，直线于点，若，则的度数是（
）
A．120°
B．100°
C．150°
D．160°
【考点】平行线的性质，三角形外角的性质
【分析】延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD．
解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFC=180°，
∵，
∴∠AFC=60°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
而∠AEC=∠AFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEC-∠F
=30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和平行线的性质是解题的关键．
◆变式训练
（2020年辽宁省沈阳市）如图，直线，且于点，若，则的度数为（　　）
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
【考点】三角形的内角和定理，平行线的性质
【分析】根据三角形的内角和求得，再根据平行线的性质可得到的度数．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内角和、平行线的性质，熟练运用平行线的性质定理是解题的关键．
（2020年辽宁省丹东市）如图，是的角平分线，过点作交延长线于点，若，，则的度数为（
）
A．100°
B．110°
C．125°
D．135°
【考点】三角形的外角性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理
【分析】先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的定义、平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理即可得．
解：，
是的角平分线
则在中，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练运用各定理与性质是解题关键．
■考点3.三角形中的重要线段
四线性质
◇典例：
（2020年江苏省淮安市）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为__________．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】直接根据直角三角形斜边中线定理可以得出本题答案.
解：∵直角三角形斜边的长为16，
∴直角三角形斜边上的中线长是：，
故答案为：8.
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，熟记定理即可得出答案.
（2020年四川省德阳市）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____．
【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性质得到BF=EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CB=CE．
∵CF⊥BE，
∴BF=EF．
∵G是AB的中点，
∴GF是△ABE的中位线，
∴GF=AE，
∵AE=4，
∴GF=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF是△ABE的中位线是解题的关键．
◆变式训练
（2020年江苏省盐城）如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理，直角三角形斜边上的中线，菱形的性质
【分析】∵菱形的对角线互相垂直且平分，从而有，，，又∵H为BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答．
解：∵四边形ABCD是菱形
∴，，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H为BC中点
∴
故最后答案为．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键．
（2020年陕西省）如图，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是?ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）
A．
B．
C．3
D．2
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质
【分析】连接AC，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据三角形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．
解：连接AC，交EF于点H，如图，
∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，
∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，
∴H是AC的中点，F是AG的中点，
∴EH是△ABC的中位线，FH是△ACG的中位线，
∴，，
而FH=EF-FH=4-，
∴CG=3FH=3，
又∵CD＝AB＝5，
∴DG＝5﹣3＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)（2020年浙江省绍兴市）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】三角形的三边关系
【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.
解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B.
【点评】此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构成的情况.
（2020年贵州省黔南州）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（
）
A．9
B．17或22
C．17
D．22
【考点】等腰三角形的定义，三角形的三边关系
【分析】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．
解：分两种情况：
当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
（2020年辽宁省大连市）如图，中，，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形的内角和定理，平行线的性质
【分析】由三角形的内角和定理求出∠C的度数，然后由平行线的性质，即可得到答案．
解：在中，，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，以及平行线的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出角的度数．
（2020年江西省）如图，，则下列结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线的判定与性质，三角形外角的性质
【分析】由可对A进行判断；根据三角形外角的性质可对B进行判断；求出∠C，根据大角对大边，小角对小边可对D进行判断；求出可对C进行判断．
解：，
，故选项A正确；
，
，
又，
，故选项B正确；
，
，
，
，故选项D正确；
，
，
而
，故选项C错误．
故选C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握性质与判定是解答此题的关键．
（2020年山东省烟台市）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（
）
A．1.7
B．1.8
C．2.2
D．2.4
【考点】三角形的重心，三角形的中位线定理
【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．
解：∵点G为△ABC的重心，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∴EF＝＝1.7，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得EF为三角形的中位线．
（2020年湖北省宜昌市）能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是（
）．
A．
B．C．D．
【考点】命题与定理，三角形的外角性质
【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．
解：A、如图1，∠1是锐角，且∠1=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；
B、如图2，∠2是锐角，且∠2=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；
C、如图3，∠3是钝角，且∠3=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；
D、如图4，∠4是锐角，且∠4=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
（2020年内蒙古赤峰市）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB
=90°，且AB=8，BC=
14，则EF的长是
（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】直角三角形的性质，三角形的中位线定理
【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC=
14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．
解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF=
AB=4，
∵BC=
14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B
【点评】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
（2020年湖北省黄石市）如图，在中，，点H、E、F分别是边、、的中点，若，则的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
解：∵∠ACB＝90°，点H是边AB的中点，
∴AB＝2CH，
∵点E、F分别是边AC、BC的中点，
∴AB＝2EF
∴CH=EF
∵，
∴=4
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
（2020年广东省）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．
【考点】直角三角形斜边的中线，勾股定理
【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．
解：如图当、、三点共线，距离最小，
∵，为的中点，
∴，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．
（2020年湖南省衡阳市）一副三角板如图摆放，且，则∠1的度数为_________．
【考点】平行线的性质，三角形的外角的性质
【分析】如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解,再利用三角形的外角的性质可得答案．
解：如图，把顶点标注字母，
故答案为：
【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年湖南省永州市）已知直线，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则_________．
【考点】三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平行线的性质
【分析】如图，标注字母，延长交于，利用平行线的性质证明，三角形的外角的性质证明，从而可得答案．
解：如图，标注字母，
延长交于，
由题意得：
故答案为：
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
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1、
选择题
（2020年贵州省毕节市）已知等腰三角形有两条边的长分别是3,7,则这个等腰三角形的周长为(　　)
A．17
B．13
C．17或13
D．10
【考点】等腰三角形的性质，三角形的三边关系
【分析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解．
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为7、3、3，
3+3=6＜7，不能组成三角形；
②3是底边长时，三角形的三边分别为7、7、3，
能组成三角形，周长=7+7+3=17，
综上所述，这个等腰三角形的周长是17，
故选A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
（2020年山东省菏泽市）等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．
【考点】根与系数的关系，等腰三角形的性质，三角形的三边关系
【分析】分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可．
解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2?4k＝0，解得k＝4，
此时，两腰的和=x1+x2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；
②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9?12＋k＝0，解得k＝3；
综上，k的值为3或4，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解以及根与系数的关系等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意解得k的值之后要看三边能否组成三角形．
（2020年吉林省）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形内角和定理
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
解：如图所示，
由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，
∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，
∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
（2020年北京市）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（
）
A．∠1=∠2
B．∠2=∠3
C．∠1＞∠4+∠5
D．∠2＜∠5
【考点】三角形的外角性质，对顶角的性质
【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为∠2＞∠3，
C选项为∠1=∠4+∠5，
D选项为∠2＞∠5．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．
（2020年宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是（
）
A．135°
B．120°
C．115°
D．105°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】过点G作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，可以得到，有即可得出答案．
解：过点G作，有，
∵在和中，
∴
∴，
∴
故的度数是105°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角相等；三角形内角和定理为：三角形的内角和为180°；其中正确作出辅助线是解本题的关键．
（2020年贵州省毕节市）将一幅直角三角板（，，，点在边上）按图中所示位置摆放，两条斜边为，，且，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线的性质，三角形外角性质
【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠F=45°，再根据三角形内角与外角的关系可得∠1的度数．
解：如图，
∵，
∴∠1=∠F=45°，
又∵，
∴∠B=30°，
∴，
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的应用，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
（2020年黑龙江省齐齐哈尔市、黑河市、大兴安岭地区）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【考点】平行线的性质，三角形外角的性质
【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
（2020年广东省）已知的周长为16，点，，分别为三条边的中点，则的周长为（
）
A．8
B．
C．16
D．4
【考点】三角形的中位线定理
【分析】由，，分别为三条边的中点，可知DE、EF、DF为的中位线，即可得到的周长．
解：如图，
∵，，分别为三条边的中点，
∴，，，
∵，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且是第三边的一半是解题的关键．
（2020年贵州省毕节市）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理
【分析】由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线定理得出EF的长即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，
∵，，
∴AC=
∴BD=10cm，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（2020年山东省淄博市）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（
）
A．a2+b2＝5c2
B．a2+b2＝4c2
C．a2+b2＝3c2
D．a2+b2＝2c2
【考点】三角形的重心，勾股定理
【分析】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为
1、
填空题
（2020年江苏省镇江市）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于_____．
【考点】平移的性质，三角形三边的关系
【分析】取的中点，的中点，连接，，，，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
解：取的中点，的中点，连接，，，，
将平移5个单位长度得到△，
，，
点、分别是、的中点，
，
，
即，
的最小值等于，
故答案为：．
【点评】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（2020年甘肃省天水市）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
【考点】三角形的三边关系，一元二次方程的应用
【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．
解：∵x2-8x+12=0，
∴，
∴x1=2，x2=6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6=13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
（2020年江苏省泰州市）如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为_______．
【考点】三角形的内角和定理，三角形的外角的性
【分析】如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解，再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可得答案．
解：如图，标注字母，
由题意得：
故答案为：
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年湖北省黄冈市）已知：如图，，则_____________度．
【考点】对顶角、邻补角，平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC，继而根据邻补角定义求解∠CDE，最后根据外角定义求解∠BCD．
解：令BC与EF相交于G点，如下图所示：
∵，
∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，
又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC，
∴∠BCD=75°-45°=30°，
故答案：30．
【点评】本题考查直线平行的性质，外角以及邻补角定义，难度一般，掌握一些技巧有利于解题效率，例如见平行推角等．
（2020年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．
【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质
【分析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=BC=2，MNBC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．
解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=2，MN∥BC，
∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE=CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD=MN=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2020年江苏省徐州市）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则_______．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC的长度，再根据题意判断DE为中位线，根据中位线的性质即可求出DE的长度．
解：∵在中，，、、分别为、、的中点，，则根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC＝10．根据题意判断DE为中位线，根据三角形中位线的性质，得DE∥AC且DE=AC，可得DE=5．
故答案为DE=5
【点评】本题掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半及中位线的性质是解答本题的关键．
（2020年江苏省宿迁市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=6，
∴∠ADB=90°，
∴AB=，
∵E为AB的中点，
∴DE=AB=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（2020年黑龙江省大庆市）一个周长为的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________．
【考点】三角形中位线定理
【分析】根据三角形中位线定理、三角形的周长公式即可得．
解：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半
则三角形的三条中位线构成的三角形的周长等于这个三角形周长的一半，即
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形中位线定理等知识点，熟记三角形中位线定理是解题关键．
1、
解答题
（2020年四川省宜宾市）如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．
（1）求证：
（2）若的面积为5，求的面积．
【考点】三角形的角平分线、中线和高，全等三角形的判定与性质
【分析】（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明；
（2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可．
证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△CED中，
所以；
(2)∵在△ABC中，D
是BC的中点
∴
∵
．
答：三角形ACE的面积为10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（2020年北京市）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
【考点】三角形中位线定理，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理
【分析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，，，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得；
（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证．
解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点
∴DE为的中位线，且
∴，
∵
∴
∵
∴
∴四边形DECF为矩形
∴
∴
则在中，；
（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG
∵
∴，
∵D是AB的中点
∴
在和中，
∴
∴，
又∵
∴DF是线段EG的垂直平分线
∴
∵，
∴
在中，由勾股定理得：
∴．
【点评】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）如图，在中，是边上一点，且．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点．
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．
【考点】平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线
【分析】（1）①根据角平分线的作图方法直接作图即可；②根据垂直平分线的作图方法直接作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明是的中位线，根据中位线的性质可得答案．
解：（1）如图，①即为所求作的的角平分线，
②过的垂线是所求作的线段的垂直平分线．
（2）如图，连接，
平分
由作图可知：
是的中位线，
【点评】本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年云南省）如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为．
（1）若，求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积为16，求菱形的面积．
【考点】菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，含30度直角三角形，勾股定理
【分析】（1）由直角三角形斜边中线等于斜边一半和30度直角三角形性质性质可证，即可证明结论；
（2）由根据三角形面积求法可求AE，设AB=x，在，由勾股定理列方程即可求出菱形边长，进而可求面积．
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
同理可得：，
∴，即：四边形是菱形；
（2）∵，
∴，
∴，
在四边形是菱形中，设，则
在中，，
∴，
解得，
∴菱形ABCD面积=．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质，涉及了直角三角形性质和勾股定理．解题关键是灵活运用直角三角形性质得出线段之间发热关系．
（2020年黑龙江省牡丹江市）在中，，，．以为边作周长为18的矩形，M，N分别为，的中点，连接．请你画出图形，并直接写出线段的长．
【考点】矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理
【分析】分矩形BCDE和△ABC在BC同侧时，矩形BCDE和△ABC在BC异侧时，结合矩形的性质和中位线定理求解.
解：∵，，
∴△ABC中BC边上的高为6×2÷6=2，
而矩形的周长为18，BC=6，
∴BE=CD=18÷2-6=3，
当矩形BCDE和△ABC在BC同侧时，
过A作AF⊥BC，垂足为F，与ED交于G，连接AD，
可知AF=2，DG=BC=3，
∴AG=GF-AF=3-2=1，
∴AD=，
∵M，N分别为AC和CD中点，
∴MN=AD=；
当矩形BCDE和△ABC在BC异侧时，
过A作AF⊥ED，垂足为F，与BC交于G，连接AD，
可知BG=CG，AG=2，GF=3，F为ED中点，
∴AF=5，DF=3，
∴AD=，
∵M，N分别为AC和CD中点，
∴MN=AD=，
综上：MN的长为或.
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是根据题意画出图形，分情况讨论.
（2020年四川省达州市）如图，中，，D、E分别是边、的中点．将绕点E旋转180度，得．
（1）判断四边形的形状，并证明；
（2）已知，，求四边形的面积S．
【考点】三角形中位线定理，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，根据旋转的性质，，可证明四边形是平行四边形，再根据，D、E分别是边、的中点，可知，所以四边形是菱形；
（2）由（1）得菱形的对角线互相垂直平分，再根据，可得到，利用勾股定理可求出BO和AO，再根据菱形的面积求解公式计算即可；
解：（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵D、E分别是边、的中点，
∴，
又∵绕点E旋转180度后得，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）如图，连接AD、BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD与BF相互垂直且平分，
又∵，
∴，
令，，
在Rt△ABO中，，
∴,
即，
解得：，，
即由图可知，，
∴，，
∴．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质综合应用，准确理解中位线定理和旋转性质是解题的关键．
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