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高中数学笔记-
---------平面向量
基础概念；
1.几个概念: 零向量、单位向量(与共线的单位向量是±,特别地
()⊥()(菱形的对角线垂直)、平行(共线)向量(无传递性,是因为有)、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直以及一个向量在另一向量上的投影(在上的投影是: ∈R)
2.两个非零向量平行(共线)的充要条件: ∥ =λ.
两个非零向量垂直的充要条件: ⊥ ·=0 |+|=|－|
注意: ①零向量和任何向量共线
3，三点A、B、C共线 、共线,向量、、中三终点A、B、C共线存在实数α、β使得=α+β且α+β=1.
注意: ①<,>为锐角 ·>0且、不同向; <,>为直角 ·=0且、≠;
<,>为钝角 ·<0且、不反向; ·<0是<,>为钝角的必要非充分条件.
4.中点坐标公式: P为P1P2的中点.
三角形重心坐标公式: △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)则△ABC的重心坐标是G(,)
5，设A（x1,x2）、B(x2,y2)，则S⊿AOB＝；
6，向量op=xi+yj，
分别讨论当p在区域1，2，3，内时，xy满足的条件。当p在L1上时，三点共线，x+y=1
7，向量不等式：
8.三角形四心与向量；
设O为△ABC所在平面上一点, 角A、B、C所对边长分别是a、b、c,则
O为△ABC的重心 ①，++=。②OA2+OB2+OC2=1/3(a2+b2+c2)
③· =+m
(2)O为△ABC的外心 ==
(3) O为△ABC的垂心 ·=·=·
(4) O为△ABC的内心 a+b+c=
9.按向量平移的几个结论:
(1)点P(x,y)按向量=(h,k)平移后得到点P'(x+h,y+k)..
(2) 函数y=f(x)的图象C按向量=(h,k)平移后得到图象C', 则C'的函数解析式为y=f(x－h)+k.
(3)图象C'按向量=(h,k)平移后得到C, 若C的解析式y=f(x),则C' 的函数解析式y=f(x+h)－k.
(4)曲线C: f(x,y)=0按向量=(h,k)平移后得到图象C' , 则C' 的方程为f(x－h,y－k)=0.
(5)向量=(x,y)按向量=(h,k)平移后得到的向量仍然为=(x,y).
5，几何中的五心与向量；
重心；高中数学总结
--------⑵函数
1函数的概念：
注意：①函数图像与x轴上的垂线至多一个公共点,但与y轴上的垂线的分共点可能没有,也可任意个;
②函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像
2,常见函数图像：
y=f（x）=x+；。y= （a，c0）；+
=2；+=2
指数函数与对数函数的图象与性质
注意: ①指数函数与对数函数, 当a>1时,都是其定义域上的单调增函数, 当0②设函数(a≠0), 记,若f(x)的定义域为R, 则a>0,且, 若f(x)的值域为R,则a>0, 且.
.幂函数:
注意：幂指数大于0时,幂函数在(0,+∝)上单调递增;幂指数小于0时,幂函数在(0,+∞)上单调递减,所有幂函数的图象都过点(1,1).
3图形变换：
高中阶段主要学习了种函数：常数函数，n次函数，幂函数（xa ），指数函数，对数函数，三角函数，分段函数（如含绝对值的函数）
①加减变换：遵循“左加右减，上加下减”的原则（其中上加下减是在X一方变换的，如果也针对y则为“下加上减”即y=f（x）按向量（a，b）平移为y-b=f（x-a）。）
②伸缩变换：y=f(x)→y=f（ax）即沿x轴方向向y轴变为原来的。
绝对值的变换：y=f（x），y=f（｜x｜），y=｜f（x）｜，｜y｜=f（x）的相互转换。
4，函数的常见性质
若函数y=f（x）满足f(a+bx)=f(c-bx),，则f（mx）的图像关于x==对称
对一函数y=f（x），有y=f（a+bx）与y=f（c-bx）的图像关于a+bx=c-bx，即x=，对称
若y=f（x+a）的图像关于y轴对称，则有f（x+a）=f（-x+a），及f（x）关于x=a对称
函数f（x）= （a，c0）值域为 ，图像关于点（，）中心对称。
（其实该函数是由反比例函数经过平移或伸缩变换而得，而反比例函数就刚好关于原点中心对称。）
若f（x）= （a，c0）则f-1（x）== ，（a，d对调）
周期函数不一定有最小正周期。如狄利克雷函数D(X)= 这是一个周期函数，任何正有理数都是它的周期，但是它不存在最小正周期。
原函数与反函数的奇偶性和单调性相同，原函数与导函数的奇偶性相反。
设a为非0常数，若f（x）在定义域内恒有下列条件之一 ：I，f（x+a）=--f(x)，II，f（x+a）f(x)=1,III，f（x+a）= IV，f（x+a）=f（x—a）。则f（x）为周期函数，2a为其周期。
若f（x）同时关于x=a和x=b对称，则2b-2a为一周期
若f（x）关于x=a对称，且关于点（b，0）对称（a与b不相等）则4b-4a为其一周期
若f（x）同时关于点（a，0）和点（b，0）对称，则2b-2a为其一周期。
5函数与不等式的求解（详见函数与不等式，导数章节）
6抽象函数问题
抽象函数性质 特殊函数模型
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2） f（x）=kx
f（x1+x2）=f（x1）.f（x2） 或f（x1-x2）=f（x1）f（x2） f（x）=ax
f（x1x2）=f（x1）+f（x2） 或f（x1x2）=f（x1）-f（x2） f（x）=logax
f（x1）+f（x2）=2f f f（x）=cosx
易错点；
忽略了函数的定义域，造成范围求解是出错。
告知截距相等时，要考虑y=kx的情况，此时截距均为0
求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，记得标注该函数的定义域了。
例1、在同一坐标系中，函数与（>0且≠1）的图象可能是
（A） （B）
（C） （D）
例2、设，，，则的面积是 （ ）
A. 1 B. C. 4 D. 4
例3、若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数.已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____________________.
答案;1，C. 2,B 3, 。
例4．已知，求的最大值与最小值。
，
，
。
例5，设方程 的两个根为，则 （ ）
A B C D
由两图象交点的意义，交点的横坐标分别为 不妨设 ，利用方程根适合方程，注意绝对值的意义化为
如何确定范围？
目标函数变形， ，选D.
例6， 对于三次函数。
定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；
定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称。
己知，请回答下列问题：
（1）求函数的“拐点”的坐标
（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）
【标准答案】
（1）依题意，得： ，
。……………………2分
由 ，即。∴，又 ，
∴的“拐点”坐标是。……………………4分
（2）由(1)知“拐点”坐标是。
而=
==，
由定义(2)知：关于点对称。……………………8分
一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。………………………………………………………………………10分
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分
（3）或写出一个具体的函数,如或。…………12分
说明：本题在函数、导数、方程的交汇处命题，具有较强的预测性，而且设问的方式具有较大的开放性，情景新颖.解题的关键是：深刻理解函数“拐点”的定义和函数图像的对称中心的意义。其本质是：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；高中数学笔记（3）
-----------------三角函数
基本概念：
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。。
2，函数的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。（若未告知，则要讨论）
3，三角函数的单调区间：
的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，的递减区间是。
4、
5、二倍角公式是：sin2=
cos2===
tan2=。
8、三倍角公式是：sin3= cos3=
9、半角公式是：sin= cos=
tan===。
10、升幂公式是： 。
11、降幂公式是： 。
12、万能公式：sin= cos= tg=
13、sin()sin()=，
cos()cos()==。
14、=；
=；
=。
15、=。
16、sin180=。Sin150=，sin750=
备注；1，注意值为1的公式的使用。在圆锥曲线中参数方程的设定，不等式证明中换元的使用。
2，角的变换；=（=2；2=-（
18、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）：
19、由余弦定理第一形式，=
由余弦定理第二形式，cosB=
20、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则：
① ；
③；④；
⑤；⑥
21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，，
22、在△ABC 中，，
23、在△ABC 中：
24、积化和差公式：
①，
②，
③，
④。
25、和差化积公式：
①，
②，
③，
④。
26，反三角函数
、的定义域是[-1，1]，值域是，奇函数，增函数；
的定义域是[-1，1]，值域是，非奇非偶，减函数；
的定义域是R，值域是，奇函数，增函数；
的定义域是R，值域是，非奇非偶，减函数。
、当；
对任意的，有：
当。
，反三角函数的图像：
27、最简三角方程的解集：
28，常见函数性质
y=sinx+cosx
易错题；
例1．关于函数有下列命题，y=f(x)图象关于直线对称 y=f(x)的表达式可改写为 y=f(x)的图象关于点对称 由必是的整数倍。其中正确命题的序号是 。
答案：
错解：
错因：忽视f(x) 的周期是，相邻两零点的距离为。
例2．已知定义在区间[-，] 上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -对称，当x[-，]时，函数f(x)=Asin(x+)(A>0, >0,-<<)，其图象如图所示。
(1)求函数y=f(x)在[-，]的表达式；
(2)求方程f(x)=的解。
解：(1)由图象知A=1，T=4()=2，=
在x[-，]时
将(，1)代入f(x)得
f()=sin(+)=1
∵-<<
∴=
∴在[-，]时
f(x)=sin(x+)
∴y=f(x)关于直线x=-对称
∴在[-，-]时
f(x)=-sinx
综上f(x)=
(2)f(x)=
在区间[-，]内
可得x1= x2= -
∵y=f(x)关于x= - 对称
∴x3=- x4= -
∴f(x)=的解为x{-,-,-,}
3． 若，求的取值范围。
解：令，则有
说明：此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出或。原因是忽视了正弦函数的有界性。另外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做也是错误的，因为两式中的等号成立的条件不一定相同。这两点应引起我们的重视。高中数学总结
--------⑴集合
基础要点：
集合中的元素具有三个性质:无序性、确定性和互异性.
注意: ①集合元素的互异性.
②对集合A、B, A∩B=时, 要注意: A= 或B= ;求集合的子集时要注意是任何集合的子集, 是任何非空集的真子集
③对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为, 、,,.
④交集的补集等于补集的并集, 即U(A∩B)= U A∪U B; 并集的补集等于补集的交集,即U(A∪∩B)= U A∩U B;
⑤集合A中m有个元素，B中有n个元素。则A对B的一一映射有
易错题：
例1：已知集合A=｛x︱-2≤x≤5｝,B=｛x︱M+1≤x≤2M-1｝,若B A则的取值范围是
错解：〔2，3〕，忽略了B为空集的情况。正解为 （-∝，3〉
例2．已知集合A=｛xx2+(p+2)x+1=0, p∈R｝,若A∩R+=。则实数P的取值范围为 。
答案;P（－4，＋∞）
心得：集合常放在第一小题中考，或在大题中第一问与其他知识点结合来考查。难度不大，但要注意陷阱，以防不必要的失分。高中数学笔记
----------4-数列
基本概念：
1.等差数列{an}中:
(1)an=a+(n－1)d=am+(n－m)d; p+q=m+n ap+aq=am+an.
(2)a1+a2+…+am, ak+ak+1+…+ak+m－1,…仍成等差数列.
(3)ap=q,aq=p (p≠q) ap+q=0; Sp=q,Sq=p (p≠q) Sp+q=－(p+q); Sm+n=Sm+Sn+mnd
⑷S2n-1=an(2n-1) （常用于数列的比较中和代换中）; 为等差数列，公差为d2
3.等比数列{an}中;
(1) m+n=r+s, am·an=ar·as
(2) a1+a2+…+am, ak+ak+1+…+ak+m－1,…仍成等比数列
(4)
注意:①an－bn=(a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1)
②Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.
4.等差数列与等比数列的联系
(1)如果数列{an}成等差数列, 那么数列{}(总有意义)必成等比数列.
(2)如果数列{an}成等比数列, 那么数列{}(a>0,a≠1)必成等差数列.
(3)如果数列{ an}既成等差数列也成等比数列,那么数列{ an}是非零常数数列; 数列{an}是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.
(4)如果两等差数列有其公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.
5.数列求和的常用方法.
(1)公式法: ①等差数列求和公式, ②等比数列求和公式 ③常用公式:
, 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1), 13+23+33+------+n3= 2
(2)分组求和法: 在直接运用公式法求和有困难时,常将"和式"中"同类项"先合并在一起,再运用公式法求和.
(3)倒序相加法: 在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性,则常考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和.
(4)错位相减法: 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列通项相乘构成,那么常选用错位相减法,将其和转化为"一个新的等比数列的和"求解".
(5)裂项相消法: 如果数列的通项可"分裂成两项差"的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和,常用裂项形式有:
① ②
③;
④ ⑤
⑥ ⑦ --）
；--）
（注意:运用等比数列求和公式时,务必检查其公比与1的关系,必要时应分类讨论.
裂项相消法更多的用于数列中不等式的证明）
6.数列的通项的求法:（11种类型）
类型1 ；（累加法）
解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以
，
备注：此题目还有一种更为简便的方法。
；an+1+=an+=…….
a1+1=1.5；然后即可求得通项
类型2 （ 累乘法）
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，；
同样该题也有更为简便的方法；
n+1=nan=a1
例3:已知， ，求。
解：
。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
解：由已知，得，用此式减去已知式，得
当时，，即，又，
，将以上n个式子相乘，得
小结：很多题目他不会告诉你是哪种类型，往往要通过一步或两步的变形。而这题所用的两式相减是非常常见的也是非常有效的。常用于关系式不只是an和an+1的关系。
类型3 an+1=pan+f（n）；（构造法）
通常构造为an+1+bn+1=p（an+bn）；
①： （其中p，q均为常数，）。
形如（为不等于0的常数）的数列，可令
即与比较得（最好记住这个系数，以加快速度），从而构造一个以为首项以为公比的等比数列
例4:已知数列中，，，求.
解：设递推公式. （直接心算出系数）,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.
变式:（2006，重庆,文,14）
在数列中，若，则该数列的通项_______________
（答案:）
②，I，an+1=Pan+an+b；IIan+1=pan+an2+bn+c；
I构造an+1+x（n+1）+y=P（an+xn+y）；则新数列bn= an+xn+y，为等比数列，其中x=，y由具体数值求
II构造an+1+x（n+1）2+y(n+1)+z=p（an+xn2+yn+z）；然后同上
③：（其中p，q均为常数，，pq不相等）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。
解法：构造an+1+xqn+1=p（an+xqn）
④；an+1=pan+rpn；
解法；两边同时除以pn+1，转化为类型1
例5:已知数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，则,解之得：
所以
例6(2005重庆卷)数列满足且
记
求的值
求数列的通项及数列的前项和
解析:(1)由于得代入递推关系
整理得即 由有
所以
⑵由
∴
∴是以为首项以为公比的等比数列
故即由得
故……
=……
=
=
例7（第十三届希望杯）设函数与函数的图象交于点，对任意（）将过点（0，3）和点的直线与直线交点坐标记为，则坐标依次为_______
解析：过点（0，3）和点直线方程为，将它与联立，得
，取倒数
即数列是公差为的等差数列
又由与联立，得
因而，故
于是得
类型4，递推公式为与的关系式。(或)
解法：利用与消去 或与消去进行求解。
例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.
解：（1）由得：
于是
所以.
（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：
由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
，再利用待定系数法求解。
例8：已知数列｛｝中，，求数列
解：由两边取对数得，
令，则，再利用待定系数法解得：。
类型5， （两边取对数）
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为类型3.这里就不在出例题了。
类型6递推公式为（其中p，q均为常数）。（特征方程）
形如是常数）的数列
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得
例6: 数列：， ,求
解（特征根法）：的特征方程是：。,
。又由，于是
故
练习:已知数列中，,,，求。
。
变式:（2006，福建,文,22）
已知数列满足求数列的通项公式；
（I）解：
　　
类型7 （两边取倒数）
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例9：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
解：取倒数：
是等差数列，
变式:（2006，江西,理,22）
已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝ 求数列｛an｝的通项公式；
解：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n1）
类型8、形如的数列；（不动点特征方程）
对于数列，是常数且）
其特征方程为，变形为…②
若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。
这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得
若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。
这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得
例3已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，化简得，解得，令
由得，可得，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，，
例4已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，即，解得，令
由得，求得，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
类型9；形如；an+1=；（不动点特征方程2）
特征方程为x=；构造然后转化为类型5即可
类型10周期型；（找规律）
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例10：若数列满足，若，则的值为___________。
变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列满足，则= （ ）
A．0 B． C． D．

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