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2020-2021学年北师大版九年级数学下册第二章
二次函数
复习同步练习题
A组(基础题)
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是(
)
A．开口向上
B．与x轴只有一个交点
C．对称轴是直线x＝2
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
2．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是(
)
3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)．
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为_______；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为_______；
(3)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为_______；
4．将抛物线y＝(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是_______；
5．如图，用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14
m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_______；
已知抛物线y＝－x2－2x＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为_______；
7．在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y甲
…
6
3
2
3
6
…
乙写错了常数项，列表如下：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y乙
…
－2
－1
2
7
14
…
通过上述信息，解决以下问题：
(1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x_______时，y的值随x的值增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
B组(中档题)
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①4a＋2b＋c＞0；②abc＞0；③b＜a＋c；④2c＜3b；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1的实数)．其中正确的结论是_______．
9．已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为_______；
10．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：
①足球距离地面的最大高度为20
m；
②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；
③足球被踢出9
s时落地；
④足球被踢出1.5
s时，距离地面的高度是11
m.
其中正确的结论是_______．
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0)的对称轴与x轴交于点P.
(1)求点P的坐标(用含a的代数式表示)；
(2)记函数y＝－x＋2(－1≤x≤2)的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
12．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量
y(件)与销售单价
x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为_______；
(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
C组(综合题)
13．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝x＋相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，抛物线y＝ax2＋bx＋c交y轴于点C(0，－)，交x轴正半轴于点D，抛物线的顶点为M.
(1)求抛物线的表达式及点M的坐标；
(2)设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；
(3)Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)时，求点Q的坐标．
参考答案
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第二章
二次函数
复习同步练习题
A组(基础题)
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是(D)
A．开口向上
B．与x轴只有一个交点
C．对称轴是直线x＝2
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
2．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是(C)
3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)．
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝1，x2＝3；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜1或x＞3；
(3)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜3．
4．将抛物线y＝(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是(2，－5)．
5．如图，用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长14
m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是112m2.
6．已知抛物线y＝－x2－2x＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为－5≤y≤4．
7．在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y甲
…
6
3
2
3
6
…
乙写错了常数项，列表如下：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y乙
…
－2
－1
2
7
14
…
通过上述信息，解决以下问题：
(1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x＞－1时，y的值随x的值增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：(1)由表格易得
y甲＝x2－2x＋3，y乙＝x2＋2x－1.
∵甲写错了一次项的系数，乙写错了常数项，
∴a＝1，b＝2，c＝3.∴y＝x2＋2x＋3.
(3)方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，
即x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4－4(3－k)＞0.∴k＞2.
B组(中档题)
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①4a＋2b＋c＞0；②abc＞0；③b＜a＋c；④2c＜3b；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1的实数)．其中正确的结论是①④⑤．
9．已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为1．
10．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：
①足球距离地面的最大高度为20
m；
②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；
③足球被踢出9
s时落地；
④足球被踢出1.5
s时，距离地面的高度是11
m.
其中正确的结论是②③．
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0)的对称轴与x轴交于点P.
(1)求点P的坐标(用含a的代数式表示)；
(2)记函数y＝－x＋2(－1≤x≤2)的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
解：(1)∵抛物线y＝ax2－2a2x的对称轴是直线x＝－＝a，∴点P的坐标是(a，0)．
(2)由题意可知图形M为线段AB，A(－1，3)，B(2，0)．
当抛物线经过点A时，则a＋2a2＝3，
解得a＝1或－；
当抛物线经过点B时，则4a－4a2＝0，
解得a＝1或0(舍)，
如图1，当a＝－时，抛物线与图形M恰有一个公共点．
如图2，当a＝1时，抛物线与图形M恰有两个公共点．
结合函数的图象可知，当a≤－或0＜a＜1或a＞1时，抛物线与图形M恰有一个公共点．
12．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量
y(件)与销售单价
x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝－2x＋160；
(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
解：(2)由题意，得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1
250.
∵－2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大．
又∵30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，
w最大＝1
200.
故销售单价定为50元，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为1
200元．
(3)当w＝800时，(x－30)(－2x＋160)＝800，
解得x1＝40，x2＝70.
∵w≥800，∴结合二次函数w＝(x－30)(－2x＋160)图象可得40≤x≤70.
∴每天的销售量y＝－2x＋160≥20.
∴每天的销售量最少应为20件．
C组(综合题)
13．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝x＋相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，抛物线y＝ax2＋bx＋c交y轴于点C(0，－)，交x轴正半轴于点D，抛物线的顶点为M.
(1)求抛物线的表达式及点M的坐标；
(2)设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；
(3)Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)时，求点Q的坐标．
解：(1)把点B(4，m)代入y＝x＋中，得m＝，∴B(4，)．
把点A(－1，0)，B(4，)，C(0，－)代入y＝ax2＋bx＋c中，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－x－.
∵y＝x2－x－＝(x－1)2－2，
∴点M的坐标为(1，－2)．
(2)如图1所示，过点P作y轴的平行线交AB于点H，设点P的坐标为(m，m2－m－)，
则H(m，m＋)，
∴PH
＝m＋－(m2－m－)＝－m2＋m＋2.
∵点P为直线AB下方的抛物线上一动点，
∴－1＜m＜4.
∴S△PAB＝×HP·(xB－xA)＝×(－m2＋m＋2)×5＝－(m－)2＋.
∵－＜0，∴当m＝时，S△PAB最大，最大为，
此时点P(，－)．
(3)如图2所示，在y＝x2－x－中，令y＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴D(3，0)．
∵M(1，－2)，A(－1，0)，
∴△AMD为等腰直角三角形．
∵△QMN∽△MAD，
∴△QNM为等腰直角三角形，
且∠MQN＝90°，MQ＝NQ.
设点N的坐标为(n，n2－n－)，
易证：△QEN≌△MFQ，
∴FQ＝EN＝2，MF＝EQ＝n2－n－.
∴n2－n－＋1＝n＋2.解得n＝5或－1(舍)．
∴点Q的坐标为(7，0)．
根据对称性可知，点Q的坐标为(－5，0)时也满足条件，
∵△ADM是等腰直角三角形，
∴当点Q是AD的中点，N与A或D重合时，△QMN∽△MAD，此时Q(1，0)．
综上所述，点Q的坐标为(7，0)或(－5，0)或(1，0)．

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