资源简介

2021年贵州省贵阳市、黔东南州部分重点高中高考数学联考试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x﹣1＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，则A∩（?RB）＝（　　）
A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣4＜x＜1} C．{x|x≤﹣2} D．{x|x≤﹣4}
2．已知复数z＝，则＝（　　）
A． B． C． D．
3．棱长为2的正四面体的表面积是（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数f（x）＝，若f（a）＝2，则a＝（　　）
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．1或﹣1
5．已知（x2﹣）4（1+ax）的展开式中常数项系数为4，则a＝（　　）
A．﹣4 B．1 C． D．﹣1
6．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术﹣﹣“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2α＝（　　）
A． B． C． D．
7．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011～2020年上半年的票房走势如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加
B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年
C．2018年上半年的票房收入增速最大
D．2020年上半年的票房收入增速最小
8．已知F为双曲线C：的焦点，直线l过点F，且与x轴垂直，直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为ab+3b2，则双曲线C的离心率是（　　）
A．2 B． C．4 D．10
9．函数f（x）＝sinx+cos2x的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
10．已知抛物线M：y＝2px2（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与抛物线M交于A（点A在第二象限），B两点，则＝（　　）
A． B． C．4 D．5
11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱DD1上，且2DE＝ED1，F是线段BB1上一动点，现给出下列结论：
①EF⊥AC；
②存在一点F，使得AE∥C1F；
③三棱锥D1﹣AEF的体积与点F的位置无关．
其中正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f'（x），且对任意实数x都有f（x）+f'（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex﹣1的解集为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
二、填空题：本共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量＝（m，3），＝（1，﹣2），且（+）⊥，则m＝　 　．
14．设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值是　 　．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且△ABC的面积为，则a的最小值为　 　．
16．已知函数f（x）＝|4x﹣3|+2，若函数g（x）＝[f（x）]2﹣2mf（x）+m2﹣1有4个零点，则m的取值范围是　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．在递增的等比数列{an}中，a3＝9，a2+a4＝30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝log3a2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．随着社会经济的发展，人们生活水平的不断提高，越来越多的人选择投资“黄金”作为理财手段．下面随机抽取了100名把黄金作为理财产品的投资人，根据他们的年龄情况分为[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计把黄金作为理财产品的投资人年龄的中位数；（结果保留整数）
（2）为了进一步了解该100名投资人投资黄金的具体额度情况，按照分层抽样的方法从年龄在[40，50）和[60，70）的投资人中随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取3人进行调查，X表示这3人中年龄在[40，50）的人数，求X的分布列及数学期望．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点E，BD＝8，AC＝6，将△ACD沿AC折到△PAC的位置使得PD＝4．
（1）证明：PB⊥AC．
（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点在椭圆C上，且△PF1F2的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上存在A，B两点关于直线x＝my+1对称，求m的取值范围．
21．已知函数f（x）＝ax2+sinx﹣1（a∈R）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若对于任意的实数x恒有f（x）≥sinx﹣cosx，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），把曲线C上各点的横、纵坐标均压缩为原来的，得到曲线C1．曲线C2的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1与C2的极坐标方程；
（2）设点P是曲线C2上的一点，此时参数，记曲线C1与y轴正半轴的交点为T，求△OTP的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+2|x﹣a|．
（1）当a＝0时，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若对任意的x∈[2，4]，不等式f（x）≤x+6恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x﹣1＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，则A∩（?RB）＝（　　）
A．{x|﹣2＜x＜1} B．{x|﹣4＜x＜1} C．{x|x≤﹣2} D．{x|x≤﹣4}
【分析】可求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．
解：∵A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≤﹣2或x≥4}，
∴?RB＝{x|﹣2＜x＜4}，A∩（?RB）＝{x|﹣2＜x＜1}．
故选：A．
2．已知复数z＝，则＝（　　）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
故选：A．
3．棱长为2的正四面体的表面积是（　　）
A． B． C． D．
解：棱长为2的正四面体的表面积是四个边长为2的正三角形面积之和，
所以表面积为S＝4××2×＝4．
故选：D．
4．已知函数f（x）＝，若f（a）＝2，则a＝（　　）
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．1或﹣1
【分析】通过讨论a的符号，代入函数的解析式，得到关于a的方程，解出即可．
解：当a＞0时，f（a）＝2a﹣2＝2，解得a＝2；
当a≤0时，f（a）＝a2+1＝2，解得a＝﹣1；
综上，a＝2或a＝﹣1；
故选：C．
5．已知（x2﹣）4（1+ax）的展开式中常数项系数为4，则a＝（　　）
A．﹣4 B．1 C． D．﹣1
【分析】由（x2﹣）4（1+ax）的常数项﹣?a，结合条件可得﹣?a＝4，由此求得a的值．
解：（x2﹣）4的展开式的通项公式为 Tr+1＝?（﹣1）r?x8﹣3r，
故它的展开式中含有x的幂指数分别为：8，5，2，﹣1，﹣4，
故要得到（x2﹣）4（1+ax）的展开式中常数项，必须r＝3，
故（x2﹣）4（1+ax）的常数项﹣?a＝﹣4a＝4，解得a＝﹣1，
故选：D．
6．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术﹣﹣“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2α＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由等差数列的通项公式求出六指高度，再计算tanα和tan2α的值．
解：由题意知六指为2+5×＝12厘米，
所以，
所以．
故选：A．
7．在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失．2011～2020年上半年的票房走势如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加
B．自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年
C．2018年上半年的票房收入增速最大
D．2020年上半年的票房收入增速最小
解：对于选项A：由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，所以选项A错误，
对于选项B：由图易知自2011年以来，增速为负的有3年，所以选项B错误，
对于选项C：2017年上半年的票房收入增速最大，所以选项C错误，
对于选项D：2020年上半年的票房收入增速最小，所以选项D正确．
故选：D．
8．已知F为双曲线C：的焦点，直线l过点F，且与x轴垂直，直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为ab+3b2，则双曲线C的离心率是（　　）
A．2 B． C．4 D．10
【分析】设F（c，0），求出，结合三角形底面积推出b＝3a，然后求解离心率即可．
解：设F（c，0），直线l过点F，且与x轴垂直，直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，
则，
△OAB的面积为，
整理得c2＝a2+3ab．
因为c2＝a2+b2，所以a2+b2＝a2+3ab，所以b＝3a，
则双曲线C的离心率．
故选：B．
9．函数f（x）＝sinx+cos2x的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】设t＝sinx∈[﹣1，1]，利用二倍角公式，配方法可求函数解析式为f（x）＝﹣2（t﹣）2+，利用二次函数的性质即可求解其最大值．
解：f（x）＝sinx+cos2x＝﹣2sin2x+sinx+1，
设t＝sinx∈[﹣1，1]，
则．
故选：B．
10．已知抛物线M：y＝2px2（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与抛物线M交于A（点A在第二象限），B两点，则＝（　　）
A． B． C．4 D．5
【分析】画出图形，设出|BE|＝3x，则|AB|＝5x，利用相似比，求解即可．
解：如图，直线CD为抛物线M的准线，AC⊥CD，BD⊥CD，AE⊥BD．
设|BE|＝3x，则|AB|＝5x，|BE|＝|BD|﹣|AC|＝|BF|﹣|AF|＝3x，|AB|＝|AF|+|BF|＝5x，
解得|AF|＝x，故．
故选：A．
11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E在棱DD1上，且2DE＝ED1，F是线段BB1上一动点，现给出下列结论：
①EF⊥AC；
②存在一点F，使得AE∥C1F；
③三棱锥D1﹣AEF的体积与点F的位置无关．
其中正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：如图，连接BD．易证AC⊥平面BDEF，则AC⊥EF，故①正确．
在AA1上取一点H，使得A1H＝2AH，连接EC1，EH，HB1，
易证四边形B1C1EH为平行四边形，则C1E∥B1H，C1E＝B1H．
若BF＝2B1F，易证四边形AHB1F为平行四边形，则AF∥B1H，AF＝B1H，
从而AF∥C1E，AF＝C1E，故四边形AEC1F为平行四边形，于是AE∥C1F，故②正确．
设AB＝a，三棱锥D1﹣AEF的体积与三棱锥F﹣AD1E的体积相等，则，
即三棱锥D1﹣AEF的体积与正方体的棱长有关，与点F的位置无关，故③正确．
故选：D．
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f'（x），且对任意实数x都有f（x）+f'（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex﹣1的解集为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
【分析】利用函数的导数判断函数的单调性，结合函数的奇偶性转化求解即可．
解：设g（x）＝ex[f（x）﹣1]，则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex．
因为f（x）+f′（x）＞1，所以exf（x）+exf'（x）＞ex，
即exf（x）+exf'（x）﹣ex＞0，故g（x）在R上单调递增．
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，
所以g（0）＝﹣1，不等式exf（x）＞ex﹣1，
即g（x）＞g（0），则x＞0．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量＝（m，3），＝（1，﹣2），且（+）⊥，则m＝　1　．
【分析】根据题意，求出向量+的坐标，进而由数量积的计算公式可得（+）?＝m+1﹣2＝0，解可得m的值，即可得答案．
解：根据题意，向量＝（m，3），＝（1，﹣2），则．
因为，所以（+）?＝m+1﹣2＝0，解得m＝1，
故答案为：1．
14．设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值是　﹣1　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
解：由约束条件画出可行域如图，
化z＝x+2y为y＝，由图可知，
当直线y＝经过点A（﹣1，0）时，z取最小值，且最小值是﹣1．
故答案为：﹣1．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且△ABC的面积为，则a的最小值为　2　．
解：因为，所以，
所以△ABC的面积为，则bc＝28．
由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝12，
则（当且仅当时，等号成立）．
故答案为：．
16．已知函数f（x）＝|4x﹣3|+2，若函数g（x）＝[f（x）]2﹣2mf（x）+m2﹣1有4个零点，则m的取值范围是　（3，4）　．
【分析】通过g（x）＝0，推出f（x）的范围，结合函数的图象，列出不等式组，转化求解m的范围即可．
解：g（x）＝[f（x）]2﹣2mf（x）+m2﹣1＝0，
即[f（x）﹣（m+1）][f（x）﹣（m﹣1）]＝0，
解得f（x）＝m﹣1或f（x）＝m+1．
由f（x）的图象，
可得，
解得3＜m＜4，即m的取值范围是（3，4）．
故答案为：（3，4）．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．在递增的等比数列{an}中，a3＝9，a2+a4＝30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝log3a2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）根据题意，由等比数列的通项公式可得，解可得a1与q，即可得答案，
（2）由对数的运算性质可得bn＝log3a2n＝2n﹣1，由等差数列的前n项和公式计算可得答案．
解：（1）根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
则有，
解可得a1＝1，q＝3，
故an＝3n﹣1，
（2）由（1）可得，则bn＝log3a2n＝2n﹣1，
故．
18．随着社会经济的发展，人们生活水平的不断提高，越来越多的人选择投资“黄金”作为理财手段．下面随机抽取了100名把黄金作为理财产品的投资人，根据他们的年龄情况分为[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计把黄金作为理财产品的投资人年龄的中位数；（结果保留整数）
（2）为了进一步了解该100名投资人投资黄金的具体额度情况，按照分层抽样的方法从年龄在[40，50）和[60，70）的投资人中随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取3人进行调查，X表示这3人中年龄在[40，50）的人数，求X的分布列及数学期望．
【分析】（1）判断年龄的中位数在[40，50）内．然后通过，求解m．
（2）X的可能取值为1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
解：（1）因为（0.007+0.018）×10＝0.25＜0.5，（0.007+0.0018+0.030）×10＝0.55＞0.5，
所以年龄的中位数在[40，50）内．
设中位数为m，则，解得m≈48．
（2）由题意可知，100名投资人中，年龄在[40，50）的有30名，年龄在[60，70）的有20名，则利用分层抽样抽取的5人中，年龄在[40，50）的有3名，在[60，70）的有2名，
则X的可能取值为1，2，3，
．
X的分布列为
X 1 2 3
P


故．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点E，BD＝8，AC＝6，将△ACD沿AC折到△PAC的位置使得PD＝4．
（1）证明：PB⊥AC．
（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
则BE⊥AC，PE⊥AC．
因为BE?平面PBE，PE?平面PBE，且BE∩PE＝E，所以AC⊥平面PBE．
因为PB?平面PBE，所以PB⊥AC．
（2）解：取DE的中点O，连接OP，取CD的中点F，连接OF．
因为BD＝8，所以DE＝PE＝4．
因为PD＝4，所以PD＝PE，所以PO⊥DE．
由（1）可知AC⊥平面PBE，所以平面PBD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．
故以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．由题中数据可得A（﹣3，﹣2，0），B（0，﹣6，0），C（3，﹣2，0），D（0，2，0），，则，，．
设平面PAB的法向量为＝（x1，y1，z1），
则，令x1＝4，得＝．
设平面PCD的法向量为＝（x2，y2，z2），
则，令x2＝4，得＝．
设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为θ，
则．
20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点在椭圆C上，且△PF1F2的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上存在A，B两点关于直线x＝my+1对称，求m的取值范围．
【分析】（1）根据已知点P的坐标以及焦点三角形的面积和a，b，c的恒等式关系即可求解；
（2）设出A，B的坐标以及AB的中点M的坐标，再由直线过定点N可得|AN|＝|BN|，然后把A，B的坐标代入椭圆方程，由此可求出M的横坐标，代入直线即可求出M的纵坐标，再把M的横坐标代入椭圆方程，根据椭圆的范围即可求出m的范围．
解：（1）由题意可得，
解得a＝2，b＝1，
故椭圆C的标准方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），
因为直线x＝my+1过定点N（1，0），所以|AN|＝|BN|，即．
因为A，B在椭圆上，所以，
所以，
整理得，所以，所以，
因为点M在直线x＝my+1上，所以x0＝my0+1，则，
由 ，得，
则或，解得或，
故m的取值范围为．
21．已知函数f（x）＝ax2+sinx﹣1（a∈R）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若对于任意的实数x恒有f（x）≥sinx﹣cosx，求a的取值范围．
【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝x2+sinx﹣1，则f'（x）＝2x+cosx． 求出切点坐标，切线的斜率，得到切线方程，然后求解三角形的面积即可．
（2）设g（x）＝f（x）﹣sinx+cosx＝ax2+cosx﹣1，则g'（x）＝2ax﹣sinx，g（x）是偶函数．设h（x）＝g'（x）＝2ax﹣sinx，则h'（x）＝2a﹣cosx．通过①当时，②当时，③当时，判断函数的单调性，函数的奇偶性求解函数的最值，然后推出a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2+sinx﹣1，则f'（x）＝2x+cosx．
因为，，
所以y＝f（x）在点处的切线方程为，即，
令，令，
则该切线与两坐标轴围成的三角形面积为＝．
（2）设g（x）＝f（x）﹣sinx+cosx＝ax2+cosx﹣1，则g'（x）＝2ax﹣sinx，g（x）是偶函数．
设h（x）＝g'（x）＝2ax﹣sinx，则h'（x）＝2a﹣cosx．
①当时，h′（x）＝2a﹣cosx≥0，所以h（x）是增函数，即g'（x）是增函数．
又g'（0）＝0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，
因为g（0）＝0，g（x）是偶函数，故g（x）≥0恒成立，即符合题意．
②当时，h'（x）＝2a﹣cosx≤0，所以h（x）是减函数，即g'（x）是减函数．
因为g'（0）＝0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，
因为g（0）＝0，所以当x＞0时，g（x）＜0，则不符合题意．
③当时，存在唯一x0∈（0，π），使得h'（x0）＝0，
因为h'（x）＝2a﹣cosx在[0，π]上是增函数，
所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，即g'（x）在（0，x0）上为减函数．
因为g'（0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，即g（x）在（0，x0）上为减函数，
因为g（0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，则不符合题意．
综上，a的取值范围是．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），把曲线C上各点的横、纵坐标均压缩为原来的，得到曲线C1．曲线C2的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C1与C2的极坐标方程；
（2）设点P是曲线C2上的一点，此时参数，记曲线C1与y轴正半轴的交点为T，求△OTP的面积．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和普通方程之间进行转换；
（2）利用极径和三角形的面积公式，求出结果．
解：（1）由题意知曲线C1的参数方程为（θ为参数），
则曲线C1的普通方程为x2+y2＝2，
故曲线C1的极坐标方程为．
由题意可得曲线C2的普通方程为，
则曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2．
（2）由题设知，
故△OTP的面积为．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+2|x﹣a|．
（1）当a＝0时，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若对任意的x∈[2，4]，不等式f（x）≤x+6恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）当a＝0时，化简函数f（x），求不等式f（x）≥4的解集即等价于或或求解；
（2）若对任意的x∈[2，4]，不等式f（x）≤x+6恒成立，利用x∈[2，4]上恒成立，所以x﹣2+2|x﹣a|≤x+6，去绝对值，可得含参数绝对值中a的取值范围．
解：已知函数f（x）＝|x﹣2|+2|x﹣a|．
（1）当a＝0时，f（x）＝|x﹣2|+2|x|，
则不等式f（x）≥4等价于或或，
解得或x＝2或x＞2．
故不等式f（x）≥4的解集为．
（2）不等式f（x）≤x+6可化为|x﹣2|+2|x﹣a|≤x+6．
因为不等式|x﹣2|+2|x﹣a|≤x+6在x∈[2，4]上恒成立，所以x﹣2+2|x﹣a|≤x+6，
即|x﹣a|≤4，即a﹣4≤x≤a+4，
则，
解得0≤a≤6．
故答案为：a的取值范围为[0，6]．

展开更多......

收起↑