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第四章
图形的性质
第24节
直角三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.直角三角形的性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2)30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即
a2＋b2＝c2
.
■考点2.直角三角形的判定
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(1)
有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2)
如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3)
勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
■考点3.直角三角形的综合应用
（1）直角三角形的面积S=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.直角三角形的性质
◇典例：
（2020年山东省济宁市）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（
）
A．4
B．2
C．2
D．4
【考点】三角形内心，含30°角的直角三角形
【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积．
解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，
则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1
∴DH=2，BH=2，CD=2，
∴△DBC的面积为CD?BH=×2×2=2.
故选B.
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
（2020年湖北省荆州市）如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】坐标与图形性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线
【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的值，再根据勾股定理可得的值，进而可得点的坐标．
解：如图，过A点作轴于D点，
的斜边在第一象限，并与轴的正半轴夹角为．
，
，
为的中点，
，
，
，
则点的坐标为：，．
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
（2020年内蒙古赤峰市）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB
=90°，且AB=8，BC=
14，则EF的长是
（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】直角三角形的性质，三角形的中位线定理
【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC=
14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．
解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF=
AB=4，
∵BC=
14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B
【点评】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
◆变式训练
（2020年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则∠2的度数是（
）
A．15°
B．20°
C．25°
D．40°
【考点】平行线的性质，等腰直角三角形的性质
【分析】利用平行线的性质求得∠3的度数，即可求得∠2的度数．
解：
∵AD∥BC，
∴∠3=∠1=20，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45，
∴∠2=45∠3=25，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（2020年贵州黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
【考点】含30°角的直角三角形
【分析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案．
解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD．
∵BC＝，
∴CD＋2CD＝，
∴CD＝，
∴DB＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2020年江苏省徐州市）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则_______．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC的长度，再根据题意判断DE为中位线，根据中位线的性质即可求出DE的长度．
解：∵在中，，、、分别为、、的中点，，则根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AC＝10．根据题意判断DE为中位线，根据三角形中位线的性质，得DE∥AC且DE=AC，可得DE=5．
故答案为DE=5
【点评】本题掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半及中位线的性质是解答本题的关键．
（2020年四川省绵阳市）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．
【考点】垂线段最短，直角三角形斜边上的中线，三角形三边关系，勾股定理
【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．
解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM＝AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGE＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2，GF＝，OF＝3，
∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2．
【点睛】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
■考点2.直角三角形的判定
◇典例
1.（2017年湖南益阳市）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=　
　．
【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=6.5；
故答案为：6.5．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用．先判定△ABC为直角三角形是解题的关键．　
2.【2015?毕节】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形
的是（　　）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
6，7，8
D．
2，3，4
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．21cnjy.com
解：A、（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）2+（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）2≠（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）2=（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
◆变式训练
（2017湖南省长沙市）一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是
(　
　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【考点】三角形内角和定理．直角三角形的定义
【分析】利用三角形内角和定理判断即可确定出三角形形状．
解：设一份为x，三内角分别为x，2x，3x，
根据内角和定理得：x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，
∴三内角分别为30°，60°，90°，
则这个三角形为直角三角形，
故选D
【点评】利用三角形内角和求出最大角是解决此题的关键．　
下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，4
B．3，4，5
C．3，4，6
D．3，4，7
【考点】
【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．
解：A、∵32+42≠42，∴3，4，4不能构成直角三角形．
B、∵32+42=52，∴3，4，5能构成直角三角形；
C、∵32+42≠62，∴3，4，6不能构成直角三角形；
D、∵32+42≠72，∴3，4，7不能构成直角三角形．
故选B．
【点评】主要考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
（2020年江苏省扬州市）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
【考点】勾股定理的应用
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案为：．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
■考点3.直角三角形的综合应用
◇典例：
（2020年四川省乐山市）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是
；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
【考点】直角三角形斜边上的中线，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论；
（2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；
（3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，
由（2）
可知
，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决．
◆变式训练
（2020年湖北省荆门市）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出，，再根据垂直与外角的性质即可求出；
（2）根据题意证明，再得到为等边三角形，故可得到，可根据三角函数的性质即可求出AF．
解：（1）∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，．
【点评】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函数的应用．
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（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】菱形的性质，直角三角形斜边上的中线
【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD=
=48，
∴BD=8，
∵DH⊥AB，BO=DO=4，
∴OH=BD=4．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．
（2020年湖北省黄石市）如图，在中，，点H、E、F分别是边、、的中点，若，则的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可．
解：∵∠ACB＝90°，点H是边AB的中点，
∴AB＝2CH，
∵点E、F分别是边AC、BC的中点，
∴AB＝2EF
∴CH=EF
∵，
∴=4
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
（2020年四川省德阳市）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　）
A．2
B．2﹣2
C．2+2
D．2
【考点】勾股定理,直角三角形斜边上的中线,等腰直角三角形的性质
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．
解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，
∴斜边AB＝4，
∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，
∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，
当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM＝AB＝2，
∵PC＝2，
∴PM＝CM﹣CP＝2﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．
（2020年浙江省宁波市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
【考点】勾股定理的应用，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线
【分析】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=CD．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
又∵CD为中线，
∴CD＝AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
（2020年河北省）如图，从笔直的公路l旁一点p出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是（
）
A．从点向北偏西45°走到达
B．公路的走向是南偏西45°
C．公路的走向是北偏东45°
D．从点向北走后，再向西走到达
【考点】方向角,勾股定理
【分析】根据方位角的定义及勾股定理逐个分析即可．
解：如图所示，过P点作AB的垂线PH，
选项A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB为等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，
又PH⊥AB，∴△PAH为等腰直角三角形，
∴PH=km，故选项A错误；
选项B：站在公路上向西南方向看，公路的走向是南偏西45°，故选项B正确；
选项C：站在公路上向东北方向看，公路的走向是北偏东45°，故选项C正确；
选项D：从点向北走后到达BP中点E，此时EH为△PEH的中位线，故EH=AP=3，故再向西走到达，故选项D正确．
故选：A．
【点评】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点，方向角一般以观测者的位置为中心，所以观测者不同，方向就正好相反，但角度不变．
（2020年浙江省衢州市）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】图形的折叠，勾股定理
【分析】先判断出∠ADE=45°，进而判断出AE=AD，利用勾股定理即可得出结论．
解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA'=∠B=∠C=∠A=90°，AD=BC=1，CD=AB，
由第一次折叠得：∠DAE=∠A=90°，∠ADE=∠ADC=45°，
∴∠AED=∠ADE=45°，
∴AE=AD=1，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=AD=，
由第二次折叠可知，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键．
（2020年江苏省淮安市）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为__________．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】直接根据直角三角形斜边中线定理可以得出本题答案.
解：∵直角三角形斜边的长为16，
∴直角三角形斜边上的中线长是：，
故答案为：8.
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，熟记定理即可得出答案.
（2020年广东省）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．
【考点】直角三角形斜边的中线，勾股定理
【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．
解：如图当、、三点共线，距离最小，
∵，为的中点，
∴，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．
（2020年湖南省岳阳市）如图：在中，是斜边上的中线，若，则_________．
【考点】直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形的外角性质
【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质得出，则有，最后利用三角形外角的性质即可得出答案．
解：∵在中，是斜边上的中线，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质是解题的关键．
（2020年湖北省黄冈市）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．
【考点】勾股定理的应用
【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52=（x+1）2即可．
解
：设这个水池深x尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12
答：这个水池深12尺．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
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1、
选择题
（2020年河南省）如图，在中，，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接则四边形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,作图—基本作图
【分析】连接BD交AC于O，由已知得△ACD为等边三角形且BD是AC的垂直平分线，然后解直角三角形解得AC、BO、BD的值，进而代入三角形面积公式即可求解．
解：连接BD交AC于O，
由作图过程知，AD=AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠DAC=60?，
∵AB=BC,AD=CD，
∴BD垂直平分AC即：BD⊥AC，AO=OC，
在Rt△AOB中，
∴BO=AB·sin30?=，
AO=AB·cos30?=，AC=2AO=3，
在Rt△AOD中，AD=AC=3,∠DAC=60?，
∴DO=AD·sin60?=，
∴=，
故选：D．
【点评】本题考查了作图-基本作图、等边三角形的判定与性质、垂直平分线、解直角三角形、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知道解决问题，属于中考常考题型．
（2020年内蒙古鄂尔多斯市）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到A2A3A4，…，设AA1A2，A1A2A3，A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（
）
A．
B．22018
C．22018+
D．1010
【考点】勾股定理的应用
【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
解：如图
∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1＝1×1＝，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA2＝A2A3＝2，
∴S2＝2×1＝1，
同理可求：S3＝2×2＝2，S4＝4…，
∴Sn＝2n﹣2，
∴S2020＝22018，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键．
（2020年内蒙古鄂尔多斯市）如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（
）
A．
B．6
C．
D．8
【考点】作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF=FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF=BC=3，等量代换得到FC=AF=3，利用线段的和差关系求出FD=AD-AF=1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
解：如图，连接FC，
∵点O是AC的中点，由作法可知，OE垂直平分AC，
∴AF=FC．
∵AD∥BC，
∴∠FAO=∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF=BC=6，
∴FC=AF=6，FD=AD-AF=8-6=2．
在△FDC中，∵∠D=90°，
∴CD2+DF2=FC2，
∴CD2+22=62，
∴CD=．
故选：A．
【点评】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
（2020年内蒙古赤峰市）如图，Rt△ABC中，∠ACB
=
90°，AB
=
5，AC=
3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'
，则四边形ABC'A'的面积是
（
）
A．15
B．18
C．20
D．22
【考点】勾股定理，平移的概念
【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴，
又∵BB’=3，A’C’=
3，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高．
（2020年辽宁省盘锦市）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理的应用
【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度是尺，根据勾股定理即可得出答案．
解：设芦苇的长度是尺，如下图
则，，
在中，
即
故选B．
【点评】本题考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键．
（2020年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一点，连接，若，则的长是（
）
A．2
B．
C．3
D．4
【考点】菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余，勾股定理
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB，OC，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据等腰三角形的性质结合直角三角形两个锐角互余的关系求解即可．
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=3，AC⊥BD，
由勾股定理得，CD=，
∵OE=CE，
∴∠EOC=∠ECO，
∵∠EOC+∠EOD
=∠ECO+∠EDO=90，
∴∠EOD
=∠EDO，
∴OE=ED，
∴OE=ED=CE，
∴OE=CD=．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．
（2020年江苏省南通市）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A．
B．2
C．2
D．3
【考点】全等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
（2020年陕西省）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
【点评】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
（2020年广西北部湾经济区）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（
）
A．寸
B．寸
C．寸
D．寸
【考点】勾股定理的应用
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
解：设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（2020年重庆市中考数学试题B卷）如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　）
A．
B．3
C．
D．4
【考点】三角形内角和定理,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,勾股定理,翻折变换（折叠问题）【分析】根据三角形内角和定理、翻折及等腰三角形判定，依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，再进一步证明△ABC≌△EBC，得到BE=BA．延长BC交AE于F，由CE=CA，BE=BA，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知BC是线段AE的垂直平分线，，即∠AFC=90°，在Rt△AFC中解直角三角形得AF=，在Rt△AFB中，∠ABC=45°，解直角三角形得AB=AF=，进而得到BE的长.
解：在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=15°，
∴∠ACB=120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，得△ACD，
∴∠ACE=∠ACB=120°，∠DAE=∠DAC=∠BAC=15°，即∠CAE=30°，
在△ACE中，∠CEA=180°-∠ACE-∠CAE=30°，
∴AC=EC，
又∵∠ECB=360°-∠ACE-∠ACB=120°，
在△EBC和△ABC中，
∴△EBC≌△ABC，
∴BE=BA.
如下图，延长BC交AE于F，
∵CE=CA，BE=BA，
∴BC是线段AE的垂直平分线，即∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，AC=，
∴AF=AC·cos∠CAF=.
在Rt△AFB中，∠ABC=45°，
∴AB=AF=，
∴BE=AB=.
故选：C.
【点评】本题考查三角形内角和定理、翻折、等腰三角形判定、解直角三角形及全等三角形等，准确判断出直线BC是线段AE的垂直平分线是解题的关键.
1、
填空题
（2020年辽宁省丹东市）如图，在四边形ABCD中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是_________．
【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理
【分析】由题可得△ACD为等腰直角三角形，CD=8，可求出AD=AC=，点和点分别是和的中点，根据中位线定理和直角三角形斜边中线定理可得到EF=AD，BE=AC，从而得到EF=EB，又，得∠CAB=15°，∠CEB=30°进一步得到∠FEB=120°，又△EFB为等腰三角形，所以∠EFB=∠EBF=30°，过E作EH垂直于BF于H点，在Rt△EFH中，解直角三角形求出EH，FH,以BF为底，EH为高，即可求出△BEF的面积．
解：∵，，
∴△ADC为等腰直角三角，
∵CD=8，
∴AD=AC=CD=，
∵E,F为AC，DC的中点，
∴FE∥AD，EF=AD=，
∴BE=AC=，
∵AD=AC，
∴EF=EB，△EFB为等腰三角形，
又∵EF∥AD，
∴EF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
又EB=EA，
∴∠EAB=∠EBA=105°－90°=15°，
∴∠CEB=30°，
∴∠FEB=120°，
∴∠EFB=∠EBF=30°，
过E作EH垂直于BF于H点，
∴BH=FH，
在Rt△EFH中，
∵∠EFH=30°，
∴EH=EF·sin30°=×=
，
FH=EF·cos30°=×=
，
∴BF=2×=，
∴SBEF=BF·EH=××=
，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理，解直角三角形。正确的运用解题方法求出相关线段长度是解题的关键．
（2020年江苏省宿迁市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=6，
∴∠ADB=90°，
∴AB=，
∵E为AB的中点，
∴DE=AB=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（2020年内蒙古通辽市）如图，在中，，点P在斜边上，以PC为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．
【考点】等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用
【分析】把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；
解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB，
∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD?PD+PD2，
PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD?PD+PD2，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，
∴PA2+PB2=2PC2，
故答案为PA2+PB2=2PC2.
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.
（2020年天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于___________；
（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_______．
【考点】勾股定理,作图—应用与设计作图,轴对称-最短路线问题
【分析】（1）将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解；
（2）取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
解：（Ⅰ）如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC==；
（Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
【点评】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
（2020年贵州省贵阳、安顺市）如图，中，点在边上，，，CD垂直于BE的延长线于点D，，，则边的长为_____．
【考点】等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质
【分析】如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则由线段垂直平分线的性质可得CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得FC=FG，设CE=EF=x，则可根据线段间的和差关系求出DF的长，进而可求出FC的长，然后根据勾股定理即可求出CD的长，再一次运用勾股定理即可求出答案．
解：如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，
∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，
∵∠EFC=∠G+∠FCG，
∴∠G=∠FCG，
∴FC=FG，
设CE=EF=x，则AE=BE=11－x，
∴DE=8－（11－x）=x－3，
∴DF=x－（x－3）=3，
∵DG=DB=8，
∴FG=5，∴CF=5，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键．
（2020年黑龙江省齐齐哈尔市、黑河市、大兴安岭地区）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．
【考点】规律型：图形的变化类,等腰三角形的性质,勾股定理
【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
解：∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为
=，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10?6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，
…
则第2020个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【点评】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
（2020年山东省临沂市）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
【考点】定义新运算，坐标与图形性质，线段的性质：两点之间线段最短，垂线段最短，勾股定理
【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果.
解：根据题意可得：
点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A（2，1），
∴OA==，
∵圆O的半径为1，
∴AB=OA-OB=，
∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.
（2020年浙江省绍兴市）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为2，则m的值为_____．
【考点】等边三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理
【分析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE＝，当点D、B在AC的两侧时，如图，证出BE＝DE，即可求出m；当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．
解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴BD垂直平分AC，
设垂足为E，
∵AC＝AB＝2，
∴BE＝AB·sin60°=，
当点D、B在AC的两侧时，如图，
∵BD＝2，
∴BE＝DE，
∴AD＝AB＝2，
∴m＝2；
当点D、B在AC的同侧时，如图，
∵＝2，
∴＝3，
∴＝＝2，
∴m＝2，
综上所述，m的值为2或2，
故答案为：2或2．
【点评】此题考查的是等边三角形的性质、垂直平分线的性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握等边三角形的性质、垂直平分线的性质、分类讨论的数学思想、锐角三角函数和勾股定理是解决此题的关键．
1、
解答题
（2020年云南省）如图，四边形ABCD是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为．
（1）若，求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积为16，求菱形的面积．
【考点】菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，含30度直角三角形，勾股定理
【分析】（1）由直角三角形斜边中线等于斜边一半和30度直角三角形性质性质可证，即可证明结论；
（2）由根据三角形面积求法可求AE，设AB=x，在，由勾股定理列方程即可求出菱形边长，进而可求面积．
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
同理可得：，
∴，即：四边形是菱形；
（2）∵，
∴，
∴，
在四边形是菱形中，设，则
在中，，
∴，
解得，
∴菱形ABCD面积=．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质，涉及了直角三角形性质和勾股定理．解题关键是灵活运用直角三角形性质得出线段之间发热关系．
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=45?，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90?，请画出图形，并直接写出点B到CD的距离．
【考点】勾股定理,等腰直角三角形的性质,作图—复杂作图
【分析】根据题目描述可以作出两个图形，利用等腰直角三角形的性质分别进行求解即可．
解：本题有两种情况：
（1）如图，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴点B到CD的距离等于点A到CD的距离，
过点A作，
∵，
∴，
∴点B到CD的距离为2；
（2）如图：
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴点B到CD的距离即BE的长，
∵，
∴，
∴，即点B到CD的距离为．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，根据题目描述作出两个图形是解题的关键．
（2020年江苏省淮安市）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．
【考点】直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用
【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得．
解：如图，过点C作于点D
在中，，千米
（千米），（千米）
在中，
是等腰直角三角形
千米
（千米）
答：、两点间的距离约为11千米．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
（2020年贵州省贵阳、安顺市）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【考点】勾股定理的应用
【分析】（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可；
（3）利用勾股定理，找长为、和的线段，画三角形即可；
解：（答案不唯一）
（1）图①（2）图②（3）图③
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理公式和构造直角三角形是解题的关键．
（2020年浙江省温州市）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理
【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．
解：（1）∵
∴
在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE
（2）由（1）可得BC=CE=5
在直角三角形ACE中
【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键．
（2020年浙江省温州市）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH；
（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ＝MN．
【考点】勾股定理的应用,作图—应用与设计作图
【分析】（1）根据方格纸的特点,只要在AB与CD边上的点不对称就可以得到不平行,再根据勾股定理确定长度,画法不唯一.
（2）根据勾股定理分别算出PQ和MN,使得PQ＝MN的点即为所求的点.
解：（1）由EF=GH=,可得图形如下图:
（2）如图所示,,.
所以,
得到:
PQ＝MN.
【点睛】本题主要考查了利用格点作图的知识点,利用勾股定理的知识点结合求解即可.
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31第四章
图形的性质
第24节
直角三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.直角三角形的性质
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(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2)
30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即
a2＋b2＝c2
.
■考点2.直角三角形的判定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(1)
有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2)
如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3)
勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
■考点3.直角三角形的综合应用
（1）直角三角形的面积S=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)■考点1.直角三角形的性质
◇典例：
（2020年山东省济宁市）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（
）
A．4
B．2
C．2
D．4
【考点】三角形内心，含30°角的直角三角形
【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积．
解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，
∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，
则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1
∴DH=2，BH=2，CD=2，
∴△DBC的面积为CD?BH=×2×2=2.
故选B.
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
（2020年湖北省荆州市）如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1，则A点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】坐标与图形性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线
【分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的值，再根据勾股定理可得的值，进而可得点的坐标．
解：如图，过A点作轴于D点，
的斜边在第一象限，并与轴的正半轴夹角为．
，
，
为的中点，
，
，
，
则点的坐标为：，．
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．
（2020年内蒙古赤峰市）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB
=90°，且AB=8，BC=
14，则EF的长是
（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】直角三角形的性质，三角形的中位线定理
【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC=
14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可．
解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF=
AB=4，
∵BC=
14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B
【点评】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
◆变式训练
（2020年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则∠2的度数是（
）
A．15°
B．20°
C．25°
D．40°
（2020年贵州黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
（2020年江苏省徐州市）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则_______．
（2020年四川省绵阳市）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．
■考点2.直角三角形的判定
◇典例
1.（2017年湖南益阳市）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=　
　．
【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=6.5；
故答案为：6.5．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用．先判定△ABC为直角三角形是解题的关键．　
2.【2015?毕节】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形
的是（　　）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
6，7，8
D．
2，3，4
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．21cnjy.com
解：A、（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）2+（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）2≠（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）2=（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
◆变式训练
（2017湖南省长沙市）一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是
(　
　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，4
B．3，4，5
C．3，4，6
D．3，4，7
（2020年江苏省扬州市）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
■考点3.直角三角形的综合应用
◇典例：
（2020年四川省乐山市）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是
；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．
【考点】直角三角形斜边上的中线，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论；
（2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；
（3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，
由（2）
可知
，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定，以构建全等三角形和证明三角形全等这突破口，利用平行四边形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，从而使问题得以解决．
◆变式训练
（2020年湖北省荆门市）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
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（2020年黑龙江省鹤岗、龙东地区）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省黄石市）如图，在中，，点H、E、F分别是边、、的中点，若，则的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
（2020年四川省德阳市）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　）
A．2
B．2﹣2
C．2+2
D．2
（2020年浙江省宁波市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
（2020年河北省）如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是（
）
A．从点向北偏西45°走到达
B．公路的走向是南偏西45°
C．公路的走向是北偏东45°
D．从点向北走后，再向西走到达
（2020年浙江省衢州市）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年江苏省淮安市）已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为__________．
（2020年广东省）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．
（2020年湖南省岳阳市）如图：在中，是斜边上的中线，若，则_________．
（2020年湖北省黄冈市）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．
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1、
选择题
（2020年河南省）如图，在中，，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接则四边形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年内蒙古鄂尔多斯市）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到A2A3A4，…，设AA1A2，A1A2A3，A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（
）
A．
B．22018
C．22018+
D．1010
（2020年内蒙古鄂尔多斯市）如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（
）
A．
B．6
C．
D．8
（2020年内蒙古赤峰市）如图，Rt△ABC中，∠ACB
=
90°，AB
=
5，AC=
3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'
，则四边形ABC'A'的面积是
（
）
A．15
B．18
C．20
D．22
（2020年辽宁省盘锦市）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年辽宁省抚顺市、本溪市、辽阳市）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一点，连接，若，则的长是（
）
A．2
B．
C．3
D．4
（2020年江苏省南通市）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）
A．
B．2
C．2
D．3
（2020年陕西省）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年广西北部湾经济区）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（
）
A．寸
B．寸
C．寸
D．寸
（2020年重庆市中考数学试题B卷）如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　）
A．
B．3
C．
D．4
1、
填空题
（2020年辽宁省丹东市）如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是_________．
（2020年江苏省宿迁市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．
（2020年内蒙古通辽市）如图，在中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．
（2020年天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且．
（Ⅰ）线段的长等于___________；
（Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_______．
（2020年贵州省贵阳、安顺市）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____．
（2020年黑龙江省齐齐哈尔市、黑河市、大兴安岭地区）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．
（2020年山东省临沂市）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
（2020年浙江省绍兴市）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为2，则m的值为_____．
1、
解答题
（2020年云南省）如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为．
（1）若，求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积为16，求菱形的面积．
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=45?，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，∠CAD为90?，请画出图形，并直接写出点B到CD的距离．
（2020年江苏省淮安市）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．
（2020年贵州省贵阳、安顺市）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
（2020年浙江省温州市）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
（2020年浙江省温州市）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH；
（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ＝MN．
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