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从而p(x)sp(e)=212e3+1
2e3+1
而q(x)=
e(x>0)为增函数,所以q(x)>q(0)
所以p(x)≤=3=q(0)导数是用来研究连续函数性态的强有力的工具.除在高中阶段所认识的一系列基本初等
函数外,高考导数的压軸试颋常岀现或需要枃造下列六种典型的函数模型来辅助解题
(1)f(x)hnf(x);(2)fx)
In
f(x)
f(r)
(6)
In
f(x)
f():(4)f(x)e";(5)J(cx)
f(x)
f(r)
命题人经常立足于上述六个函数命题一定的题目.若在同一试题中出现了两种或两种以上的
典型函数,则此时往往人工不可能求其极(最)值.此时,就需要处用函数“分拆”的手段,
将原不等式分拆成一些可求局部最值的两个函数或更多个函数,通过分拆与二次整合的相互
配合,可将原不等式的证明问题转化为求局部函数的最值问题,然后分别求两个函数的最值
L即可达到解决问题的目的
【例2】已知函数f(x)=xlnx-ax
(I)当a=-1时,求函数f(x)在(0,+∞)上的最值
(I)求证:对一切x∈(0,+∞),都有1+hm-12
成立
e
x
【解析】(Ⅰ)函数f(x)=xlnx-ax的定义域为(0,+∞)
当a=-1时,f(x)=xlnx+x,f(x)=lnx+2.由f(x)=0,得x
当x∈(0,-2)时,f"(x)<0,f(x)单调递减
当x∈(一2,+∞)时,∫(x)>0,f(x)单调递增
因此,f(x)在x=2时取得最小值,即f(x)m=f(-)
但无最大值
2
2
(I1)当x>0时,lnx+1>xxe2x
等价于x(lnx+1)>
由(Ⅰ)知a=-1时,f(x)=xlnx+x的最小值为
当且仅当x=2时取等号
2
设G(x)=--=2(x>0),G(x)
x+1
由G(x)=0,得x=1
当x∈(0,1),G"(x)>0,G(x)单调递增
当x∈(1,+∞),G(x)<0,G(x)单调递减
因此,G(x)在x=1处取得最大值,即G(x)x=G(1)、1
,当且仅当x=1时取
等号
从而可知,对一切x∈(0,+∞),都有f(x)>G(x),即lnx+1>-x
在证明不等式中,等价转化是关键,此处利用f(x)mn>G(x)mx恒成立,从而
f(x)>G(x),但此处f(x)与G(x)取到最值的条件不是同一个“x”的值
【例3】设函数f(x)=0
eInr+
beI-
,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为
y=e(x-1)+2
(I)求a,b;
(Ⅱ)求证:f(x)>1
(2014年全国I卷理科试题)
【解析】(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=
aeIn
x+-eb
b
由题意可得f(1)=2,f(1)=e.故a=1,b=2
(I)方法
由(I)知,f(x)=elnx+=e,因为e>0且x>0,从而
fo
In
ixg(x=xInx,
h(x)=xe-(x>0)
从而g(x)=1+nx,令g'(x)=0,得x=
当x∈(0,-)时,g(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(,+∞)时,g(x)>0,g(x)单
调递增
从而8(x)在x=处取得最小值g(x)m=8(-)=1
而h(x)=e-xex=e(1-x).令h(x)=0,得x=1
当x∈(0,1)时,h(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,h(x)单调
递减

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