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将A1(-2,-3),B1(4,1)代入,得
4k3+b3=1,
2k3+b3=-3,
解之得
故y
当x=0时y-5
当y=0时,
所以,m,n的值分别为
为2-3
例4如图6,四边形ABCD是正方形,M是对角线BD上的任意一点
(1)当点M在何处时,AM+CM的值最小?
(2)当点M在何处时,AM+BM+CM的值最小?并说明理由
D
E
图6
图7
分析(1)(
如图6,显然,连结AC与BD的交点即为M点(可利用两点之间,
线段最短来证明)
(2)如图7,以AB为边在正方形外画等边三角形ABE,连结EC交BD于点M.此时,
MA+MB+MC=EC(其中,△BMN为等边三焦形,且∵EBN≌△CBM,所以MA+MB=EM)
若在BD上(除M点之外)任取一点M,过点M1作MN1∥MN交BN或延长线于点N1,
连结EN1.可利用两点之间线段最短,证明M1A+M1B+M1C>EC,从而得出MA+MB+
MC最短.
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径
组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括:
①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点,求最短路径的问题.
②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径
的问题
③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径.
④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径.
【问题原型】“将军饮马”,造桥选址”,“费马点”.
【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直等变式问题考查
【十二个基本问题】
【问题1】
作法
图形
原理
两点之间线段最短.
连AB,与l交点即为
PA+PB最小值为AB.
P
在直线l上求一点P,
使PA+PB值最小.
【问题2】“将军饮马”
作法
图形
原理
作B关于l的对称点
两点之间线段最短
B'连AB,与交点
PA+PB最小值为A
即为P.@简单初中生
P
B
在直线l上求一点P
使PA+PB值最小
【问题3】
作法
图形
原理
分别作点P关于两直
两点之间线段最短
线的对称点P'和P
PM+MN+PN的最小
连P'P;与两直线交
在直线1,l2上分别求
值为
点即为M,N.@简单
点M、N,使△PMA
h线段PP"的长
初中生
的周长最小
【问题4】
作法
图形
原理
分别作点Q、P关于
l2
两点之间线段最短
直线1,l2的对称点
l2
四边形PQMN周长的
Q'和P连Q"P,与
最小值为线段P'P
在直线h上分别求两直线交点即为M,
的长
点M、N,使四边形
PQMN的周长最小
【问题5】造桥选址”
作法
图形
原理
kn将点A向下平移MN
两点之间线段最短.
直线m∥n,在m、n,的长度单位得A,连
AM+MN+BN的最小
上分别求点MN,使AB交n于点N,过N
值为
MN⊥m,且作MM⊥m于M
A
B+MN
AM+MN+BN的值最

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