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利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些
式子不便于套用公式,或者不便于利用题设条件,此时需要对題中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条
件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点,为解题提供信息,可以引发出种种拼凑方法。笔者把运
用均值不等式的拼凑方法概括为八类
拼凑定和
通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点,均分系
数,拼凑定和,求积的最大值
0求函数y=-x2-x2+x+1的最大值
解,y=x(x+1]+(x+12=(x+(-x)=(x+1)(1-x
3+++(-3
≤4/2
2
27
当且仅当21-x≈7
x+1
平注:通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的“定和”关系,求“积”
的最大值
例2求函数
y=x2小=x(0(1-x2)
x2
+(-x2)
(1-x)
√6
当且仅当2
时,上式取“=”。故
评注:将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元,为“拼凑定和”创造条件
例3已知0x(4
的最大值
解,y2=36x(4-x)=18×2x2(4-x2)(4-x)
x2+(4-x)+(
当且仅当
3时,上式取
32√3
通过裂项、分子常数化、有砠代换等手段,变为“和”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点
配项凑定积,创造运用均值不等式的条件
(x+5)(x+2)
求函数
的最小值
(x+1)+4[(x+1)+1
y
ym=9
评注:有关分式的最值问题,若分子的次数高于分母的次数,则可考虑裂项,变为和的形式,然后“拼凑定积”,往往
是十分方便的
例5已知x>-1,求函数
的最大值
24(x
(x+1)+4(x+1)+4
+4
当且仪当x=1时,上式取
平注:有关的最值问题,若分子的次数低于分母的次数,可考虑改变原式的结构,将分子化为常数,再设法将分母“
凑定积
2-cosx
例6已知
051nx的最小值
解:田为0<≤丌,所以
一之
sin
x
sinx
上式取“=”。故
y
评注:通过有理代换,化无理为有理,化三角为代数,从而化繁为简,化难为易,创造出运用均值不等式的环境
拼凑常数降幂
a3+b3=2,a,b∈R,求证:a+b≤2
分析:基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能,它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁,能为解题
提供信息,开辟捷径。本题已知与要求证的条件是a=b=1,为解题提供了信息,发现应拼凑项,巧妙降次,迅

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