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(II)由(I知,当a=e时,f(x)≥0恒成立,即e-elnx≥e.
设h(x)
(x>0),则h(x)=
当00,h(x)单调递增;当x>1时,h(x)<0,h(x)单调递减
h(x)m=h(1)=,即≤一,从而e2≤e.
所以e-enx≥e≥-2,即e22-ehx-x≥0
二、隔离直线
在处理不等式的证明问题时,我们以常会遇到两个函数的图象被某条直线隔离的情形
如果我们能够找到这条直线,然后再构造两个差函数,问题往往能迎刃而解.
【例7】若存在实常数k和b,使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别
满足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的隔离直线
已知h(x)=x2,(x)=2elnx(其中e为自然对数的底数)
(1)求F(x)=h(x)-(x)的极值;
(I)函数h(x)和φ(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,
请说明理由
【解析】()∵F(x)=h(x)-q(x)=x2-2elnx(x>0),
三x
2e2(x-ve)(x+ve
当x=√e时,F(x)=0
x
∴当0当x>√e时,F(x)>0,此时函数F(x)递增
当x=√e时,F(x)取极小值,其极小值为0
(n)(解法一)由(1)可知函数(x)和(x)的图象在x=√e处有公共点,
因此若存在h(x)和q(x)的隔离直线,则该直线过这个公共点
设隔离直线的斜率为k,则直线方程为y-e=k(x-√e),即y=kx+e-ke
由(x)≥kx+e-k√e(x∈R),可得x2-kx-e+k√e≥0当x∈R时恒成立
△=(k-2√e),∴由△≤0,得k=2√e
下面证明g(x)≤2vex-e当x>0时恒成立
令G(x)=0(x)-2√ex+e=2elnx-2√ex+e,
则G(x)==-2
,当x=√e时,G'(x)=0
当00,此时函数G(x)递增
当x>√e时,G'(x)<0,此时函数G(x)递减
当x=√e时,G(x)取极大值,其极大值为0
从而G(x)=2ehx-2vex+e≤0,即p(x)≤2√ex-e(x>0)恒成立
∴函数h(x)和(x)存在唯一的隔离直线y=vex-e
(解法二)由(可知当x>0时,h(x)2(x)(当且当x=√e时取等号)
若存在h(x)和(x)的隔离直线,则存在实常数k和b,使得h(x)≥kx+b(x∈R)和
(x)≤{x+b(x>0)恒成立,令x=√e,则e≥k√e+b且e≤k√e+b
k√e+b=e,即b=e-k√e.后面解题步骤同解法一
寻求隔离直线的关键是,首先找出两个函数的公共点,可以采用构造函数,利用函数的
单调性寻求函数的零点,得出公共点;其次将过公共点的直线设成点斜式,代入已知条件,
能同时使两个不等式恒成立的直线,即为所求隔离直线
【例8】已知函数f(x)=e-ln(x+m).当m≤2时,求证:f(x)>0
分析:本例的常规思路是转化为证明函数∫(x)的最小值大于O,但在求导函数
的零点时遇到了困难.转而观察函数y=e与y=ln(x+m)的图象之间
X+m
的关系(当m-2时如图1所示,当m<2时如图2所示),从中获取解题思路.
y=r+l
ir=
ytx=Infx+m)
ytr)e
yx)=ln(x+m)
图1
图

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