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求值域的方法
一、定义法
通过值域的定义求值域是最简单直接的一种方法，但是有时也是我们最常忽略的一种方法，因为它的简单，所以是在学习值域中最早接触过的一种方法，但是在一些考查思维能力的大题中，伴随着一些阅读信息出现时，往往会给我们造成一些困扰。今天的学习希望大家就从定义出发，理解函数值域。
先看例题：
1.已知函数，其中则函数的值域是_____
先看x的取值：
所以函数值域为
注意：定义域是有限集，值域也是有限集
2.若函数的定义域是则其值域为________
将x=1,2,3,4分别代入函数，得y=-3，-4，-3,0
由集合的互异性可知，函数值域为{-4，-3,0}
求函数
的值域
注意定义域x≠0,
注意：定义域不是有限集，值域可能是有限集
总结：
函数值域是函数值的集合
它是由定义域和对应法则共同给确定的
求值域时要注意函数的定义域
二、分离常数法
分离常数，是高中数学的常用方法，分离常数的思路是将变量和常量分开研究，是解决矛盾的一种重要思路。该方法在求函数值域中也有非常广泛的应用，今天我们就一起来看看如何用分离常数的方法求函数值域。
先看例题：
1.函数的值域为____
先将分离常数：
接下来只需研究分母的取值范围即可：
所以，函数值域为
2.求函数的值域
先分离常数：
我们发现，如果一个函数形如，这时可以考虑使用分离常数的方法，来求其值域。
更进一步，如果我们把x的位置换成一个函数，即
还能够使用分离常数的方法么？
继续往下看：
3.求函数的值域
先分离常数：
对于形如的函数，都可以考虑用分离常数的方法进行求解。
总结：
1.分离常数的思路，也就是将矛盾分离，一部分一部分进行研究。
2.哪些形状的式子，可以考虑用分离常数的方法进行求解。
3.求解过程中，要注意函数的定义域，注意等价变形。
三、基本函数法
在求值域的问题中，往往问题可以转化为我们常见的基本函数，这些函数的性质你是否都很熟悉，并能灵活应用呢？今天我们就通过几个例题，来看看基本函数在求值域题目中的运用。
先看例题：
1.若集合
则______
这个题目比较基础，我们只需要根据基本函数知识，分别求出两个函数的值域即可得解
所以
2.求函数
的值域
得：
当时，
当时，
此时值域为
注意：此时求值域是求两个区间的并集，不是求交集
3.求函数的值域是（）
A.[0,+∞]
B.[0,4]
C.[0,4)
D.(0,4)
所以选C
看了几个例题，接下来我们整理出部分基本函数的值域，希望同学们能够熟练掌握。
再来练习几个题目，加深印象。
1.求函数
因为
所以
所以原函数值域为：
2.求函数的值域
当x=1时，函数取到最小值为-1，
所以原函数值域为：
总结：
基本函数的法求值域是一种很基础的方法，要求同学们对常见的基本函数很熟悉，运用灵活。同时要能够分析出，复合函数是由哪些基本函数构成的。
四、判别式法
判别式法实际上体现了一种方程思想，将函数的值域问题转化为了方程有解的问题。同学们在学习时要注意什么形式的函数可以考虑这种方法，同时要注意，它有哪些适用条件。
先看例题：
1.求函数的值域
首先确定定义域，
函数可以转化为
所求函数的值域需要使得方程有解，所以要求
得，解得
所以函数值域为
2.求函数的值域
注意到，这个函数定义域为R，这类函数在求值域时使用判别式法比较方便
整理函数得
当y=1时，方程无解
当y≠1时，所求函数的值域需要使得，方程有解，
要求
注意：当y=1时，函数不再是关于x的二次方程，且方程无解，所以y=1不是函数的值域。所以在y≠1的情况下研究函数值域，所以函数值域为
总结：当我们再遇到
类型的函数时，可以考虑使用判别式法，求函数值域。将函数转化为一个关于x的一元二次方程。要注意方程思想的应用。
注意：
1.函数的定义域
2.当x平方项系数为0时，不构成关于自变量的二次方程，需要单独讨论。
五、配方法
如果一个函数是二次函数，或可以整理为二次形函数，可以考虑用配方的方法求其值域，配方的意义在于可以找到函数的对称轴，并在对称轴处取得最大（小）值。同时我们还要注意函数的定义域，是否能取到函数的最大（小）值。
先看例题：
1.已知函数，则函数的值域是（）
A.
B.
C.
D.
对函数配方：
的最小值为，最大值为，所以其值域为
注意：函数在定义域内并不单调，所以不能直接代入端点值计算结果。
要通过配方，找到函数对称轴，且在对称轴处取得函数最小值。
2.求函数的值域
可以将其换元转化为二次函数
令
则
即
所以函数可整理为：
此时，发现函数在
单调递增，而t的取值范围是（这里一定要看清，用的是t的取值范围，而不是x的取值范围）
所以当t=2时，函数取到最小值-2
所以函数值域为
总结：
对于二次函数或二次形函数
可以考虑用配方法求值域，充分利用二次函数的性质，在对称轴处函数取得最大（小）值
注意：
二次函数形式，在对称轴处取得函数的最小（大）值。
函数的定义域，是否包含最值；换元时注意等价转化，保证函数取值范围不发生变化，才能求得正确的结果。
六、代数换元法
求函数值域是我们学习函数时的非常重要的一节，在以后我们遇到大题，也经常会要我们讨论函数的取值范围，实际上也是值域的一种体现。
求函数值域有很多方法，其实考查的是对函数本身性质进行分析，处理的能力。今天我们就一起来看一种常见的方法——代数换元法。
先看例题：
1.求函数的值域
令
通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，
容易看出，函数转化为一个开口向下的二次函数，在t=1时取到最大值
可以看出，直接求值域比较难求，讨论函数单调性也不是很容易，但我们发现可以通过换元，把原式转化为二次函数的形式，而二次函数的性质是我们熟悉的，可以帮助我们解决问题。
注意：换元要注意定义域，需要等价转化，才能得到正确的结论。
2.求函数的值域
令
通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，
容易看出，函数转化为一个开口向下的二次函数，在t=2时取到最大值，
还要注意定义域，当
时，函数取得最小值
函数值域为
注意：原函数是给定定义域的，要在定义域内求值域。
总结：
1.形如
2.令
3.要注意函数的定义域，通过等价转化，找到正确的值域
七、基本不等式法
基本不等式，是求多项式的最大（小）值的一种常用手段，当然也可以用在求函数的最值上，为求函数值域服务。本节课希望同学们掌握哪些形式的函数可以考虑使用基本不等式的方法求值域，同时要注意使用基本不等式的适用条件。
先看例题：
1.求函数的值域
首先注意定义域：
当x>0时，，当且仅当x=2时，等号成立
当x<0时，，即，当且仅当x=-2时，等号成立
所以函数的值域为
当我们使用基本不等式的时候，要注意考查其适用条件，比如当x<0时，就要对函数做出一些改变，才能使用。
注意：注意函数的定义域，是否能够使得基本不等式满足等号成立的条件。如果不满足，还需要借助其它手段确定函数值域，不能想当然的使用公式。
2.求函数的值域
因为
所以
要注意分类讨论，当x=0时，不满足基本不等式的使用条件，但其仍是函数的一个可能取值，所以要分开研究，做到不重不漏。
总结：
基本不等式：
，当且仅当a=b时，取到等号。
切记使用条件：
一定：乘积出现定制
二正：两数均为正数
三相等：在a=b时取到等号。
八、三角换元
三角换元是高中数学中比较常见的一种换元方式，它充分利用了三角函数自身的有界性，以及三角恒等变形的相关公式，将复杂的问题简化。同学们在学习时，要注意掌握，什么样的函数可以考虑三角换元？在换元过程中应该如何确定定义域，保证等价转化。
先看例题：
1.求函数的值域
首先确定函数的定义域，
注意到，函数为偶函数，关于y轴对称，所以只研究部分的值域即可
根据图形，
可以设
由，可得
注意：定义域的合理选取，即保证了等价转化，又使得函数容易化简。
2.求函数
的值域
可以设，注意取值范围
根据，
即函数值域为
总结：
当函数含有结构时，可以考虑用三角换元法求值域，注意三角函数与"1"的关系。
设
在选取取值范围时，要保证函数定义域不变，完成等价转化。同时也要保证开根号的值尽量为正，避免脱绝对值的讨论。
九、数形结合法
当我们遇到求值域问题时，往往会遇到一些困难，即题目会给我们设置一些障碍，这时就需要我们先冷静下来去观察题目，观察函数的特点。
今天我们要介绍的数形结合法，就是求值域中一类非常灵活的方法，且每个题目所用的方法都不尽相同，所使用的方法是由函数本身的性质决定的。而同学们重点要掌握的是函数的解析式，是否含有几何意义，能否通过几何图形帮助我们解题。同时也要多见一些题型，多积累解题的感觉。
先看例题：
1.求函数的值域
函数可看为两点连线的斜率，即
则，即所求函数，问题转化为求k的取值范围
借助图形：
我们可以看到，当直线与单位圆相切时，k分别取到最大值和最小值
所以，原函数值域
当我们看到这个函数，用其它手段比较难以转化求值域，又观察到了其分式的形式，从而思考，是否可以转化为斜率的形式。于是将分式看作两点连线的斜率，于是转化为求一个定点，与一个动点之间连线的斜率的取值范围，大大简化了问题。将求值域的问题，与几何中直线与圆相切的问题联系起来了。
然而，数形结合还有其它类型的应用么？
我们再来看一个例题：
2.求函数的值域
整理函数得，
这时观察函数，用一般方法不是很好继续进行，但我们发现，根号下的形式比较像两点间的距离公式，所以我们可以改造一下函数：
这时我们可以把函数看成坐标系内的三个点间的距离和，
，即
通过观察图像，这时所求的目标就很明显了，
当P处于AB连线时，取到最小值：
所以，即函数值域为
通过这个问题，我们又看到数形结合法的另一种应用，将求值域问题转化为了求平面内两条线段的最小值，从而很容易的解决了该问题。
总结：
通过这两个问题，同学们应该已经体会到数形结合法的应用，我们所做出的转化，是充分观察了函数本身的性质。而不是盲目的去尝试，也不是生搬硬套各种公式。希望同学们在遇到类似问题时，多思考，多分析，从而找到正确，高效的解法。
十、单调性法
求函数值域时，如果能够先判断函数的单调性，则会对求解带来很大的帮助，同学们要对函数的单调性比较敏感，在做题前先问问自己，能不能判断所求函数的单调性？有没有什么方法去帮助我们做出判断？今天我们就带着这些方法，来学习单调性法求函数值域。
先看例题：
1.求函数的值域
当时，为减函数，所以
当时，
当时，为增函数，所以
所以，函数的值域为
2.求函数的值域
先看定义域，
可以将函数看成两个函数的和，即的组合
我们发现，两个函数都是单调递增，所以原函数也是单调递增。
所以在时，原函数最大值为
所以函数的值域为
注意：两个单调递增的函数和为单调递增，但乘积不一定是单调递增的。
3.函数的值域为______
（注意到如果用换元的方法，最后自变量的次数会很高，不利于求解）
所以，我们考虑将它们看成两个函数的和，分别考虑
观察到两个函数在定义域上都是递增的，
所以原函数在定义域内也是单调递增的。
所以
所以函数的值域为
总结：
如果我们可以判断函数的单调性，那么求函数值域会变得比较容易，只需要考虑端点值。
注意到，两个递增函数，和也是递增函数。利用这一性质，可以帮助我们判断一类函数的单调性。
注意函数的定义域，有些函数在R上可能并不单调，但在某一个特定区间内，可能是单调的，合理的使用这些区间，可以给我们解题提供帮助。
练习：
1.求函数的值域
2.求函数的值域
答案：
1.观察到：，在定义域内单调递增
，在定义域内单调递增
，在定义域内单调递增
所以原函数在定义域内单调递增，所以
所以函数的值域为
2.观察到在定义域内单调递增，
，对称轴为，在定义域内单调递增
所以原函数在定义域内单调递增，所以
所以原函数值域为

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