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高中数学，考试最有用的23个经典不等式，附证明推导过程！
a+b≤2
琴生不等式可秒此题.此法称为琴生不等式
3)权方和不等式
若(a>0,b>0,m>0或m<-1)
m+I
E十
IM+I
则
(a1+…+an)
十∴十
西b1+…+bn)
已知:a3+b3=2,即
(√2)2(√2)2
1
采用权方和不等式
(a+b)3(a+b)3
2
2+√2
即:1≥
(a+b)
,即:a+b≤2
此法称为权方和不等式
4)幂均不等式
由于幂均函数M(a
a1+a)+…+a,
随r单
调递增而得到幂均不等式
M1(a)sM3(a),即
s/a+b3)3
a+b
即·a+b
s/a+b
3
1,即:a+b≤2
此法称为幂均不等式
例3.若:n∈N+,求证
11
十
…+一<1
2
n+I
n+2
[解析]
1)放缩法
由:n+n≥n+k>n(k=1,2,,n)得
2n
n+k
n
则:∑
≤2
即
k=l
2n
kan+k
k=l
n
≤
<
2n
n+I
n+2
n+nn
故
+一<
n+1n+2
从一开始就放缩,然后求和.此法称为“放缩
2)性质法
本题也可以采用不等式性质证明
所证不等式中的任何一项如第k项,均满足
<
<-,当有n项累加时
2n
n+k
n
不等式两个边界项乘以n倍,则不等式依然成立
即:大于最小值得n倍,小于最大值的n倍
另外
…+一的最大值是
n+I
n+2
2
ln2≈0.693142…,本题有些松
例4若:a,b>0,且ab=a+b+3,求:a+b的取
值范围;
解析]
1)解析法
(a+b)=a-+b-+2mb24mb=4(+b+3)=4(a+b)+
合:t=a+b,则上式为:t2-41-12≥0,即
(-6(+2)≥0
故:t≥6或t≤-2(舍
本题采用了均值不等式和二次不等式
)基本不等式
由ab=a+b+3得:ab-a-b+1=4,即
a-1(b-1)=4
两正数之积为定值时,两数相等时其和最小
故:当(a-D)=(b-D=2时,(a-D)+(b-1)为最小
值
即:(a-1)+(b-1)≥2+2=4,即:a+b≥6
3)拉格朗日乘数法
拉格朗日函数为:L(a,b)=a+b+(mb-a-b-3)
aL
当拉氏函数取极值时
=I+(b-D)=0
L
=1+A(a-D)=0
b
即:元
即:b
则L(a,b)取极值时,b=a,代人Wb=a+b+3得
a=2a+3
即:a2-2a-3=0,即:(a-3)a+1)=0,即:a=3

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