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授课主题
复合函数
教学目标
1.理解什么是复合函数2.掌握复合函数的各个性质
教学内容
1、复合函数的定义如果是的函数，又是的函数，即，，那么关于的
函数叫做函数（外函数）和（内函数）的复合函数，其中是中间变量，自变量为函数值为。　例如：函数
是由和
复合而成立。说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。⑵称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。⑶与表示不同的复合函数。2．求有关复合函数的定义域①　已知的定义域为，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。②已知的定义域为，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。3．求有关复合函数的解析式①已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。②已知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法：就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法：就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得。4.求复合函数的单调性若则增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数即“同增异减”法则5.复合函数的奇偶性一偶则偶，同奇则奇题型一、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。例1.
设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1），又f对lnx作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e）例2.
若函数，则函数的定义域为______________。解析：先求f的作用范围，由，知，即f的作用范围为，又f对f(x)作用所以，即中x应满足即，解得故函数的定义域为题型二、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。例3.
已知的定义域为，则函数的定义域为_________。解析：的定义域为，即，由此得所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即函数的定义域为例4.
已知，则函数的定义域为_________。解析：先求f的作用范围，由，知解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为题型三、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。例5.
若函数的定义域为，则的定义域为____________。解析：的定义域为，即，由此得，的作用范围为，又f对作用，所以，解得即的定义域为评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。题型四、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数.若在区间
）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间
）上是增函数.证明：在区间）内任取两个数，使因为在区间）上是减函数，所以,记,
即因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，故函数在区间）上是增函数.（2）复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增
↗减
↘增
↗减
↘增
↗减
↘增
↗减
↘减
↘增
↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）复合函数的单调性判断步骤：ⅰ??
确定函数的定义域；
ⅱ??
将复合函数分解成两个简单函数：与。ⅲ??
分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ??
若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。（4）例题演练例6.
求函数的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域
，单调减区间是
设
则
，=∵
∴
∴>
又底数
∴
即
∴在上是减函数同理可证：在上是增函数例7.
讨论函数的单调性.［解］由得函数的定义域为则当时，若，∵为增函数，∴为增函数.若，∵为减函数.∴为减函数。当时，若，则为减函数，若，则为增函数.例8.
.已知y=(2-)在［0，1］上是的减函数，求的取值范围.解：∵a＞0且a≠1当a＞1时，函数t=2->0是减函数由y=
(2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，∴a＞1由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2当00是增函数由y=
(2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数，∴0∴0已知函数（为负整数）的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。［解析］由已知，得，其中
∴即，解得∵为负整数，∴∴，即
，∴假设存在实数，使得满足条件，设，∴∵，当时，为减函数，∴，∴∵,∴,∴,∴
①当时,
增函数,∴∵,∴,∴.
②由①、②可知，故存在一、选择题1．函数f（x）＝的定义域是（　　）　　
A．（1，＋∞）
B．（2，＋∞）　　
C．（－∞，2）
D．　　解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，　　所以解得1＜x≤2．　　答案：D2．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）　　
A．（－∞，1）
B．（2，＋∞）　　
C．（－∞，）
D．（，＋∞）　　解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．　　答案：B3．若2（x－2y）＝x＋y，则的值为（　　）　　
A．4
B．1或　　
C．1或4
D．　　错解：由2（x－2y）＝x＋y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有＝或＝1．　　答案：选B　　正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．　　答案：D4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（　　）　　
A．（0，）
B．（0，1）　　
C．（，＋∞）
D．（0，＋∞）　　解析：因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．当f（x）＞0时，根据图象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．　　答案：A5．函数y＝（－1）的图象关于（　　）　　
A．y轴对称
B．x轴对称　　
C．原点对称
D．直线y＝x对称　　解析：y＝（－1）＝，所以为奇函数．形如y＝或y＝的函数都为奇函数．　　答案：C二、填空题6.
已知y＝（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．　　解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0a＜（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．　　答案：a∈（1，2）7．函数f（x）的图象与g（x）＝（）x的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的单调递减区间为______．　　解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝x　　则f（2x－x2）＝（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．　　（x）＝2x－x2在（0，1）上单调递增，则f［（x）］在（0，1）上单调递减；　　（x）＝2x－x2在（1，2）上单调递减，则f［（x）］在［1，2）上单调递增．　　所以f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）．　　答案：（0，1）8．已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（）＝0，则不等式f（log4x）＞0的解集是______．　　解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－）＝f（）＝0．又f（x）在［0，＋∞］上是增函数，所以f（x）在（－∞，0）上是减函数．所以f（log4x）＞0log4x＞或log4x＜－．　　解得x＞2或0＜x＜．　　答案：x＞2或0＜x＜三、解答题9．求函数y＝（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上为减函数，在［，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．10．设函数f（x）＝＋，　　（1）求函数f（x）的定义域；　　（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；　　（3）已知函数f（x）的反函数f－1（x），问函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．　　解：（1）由3x＋5≠0且＞0，解得x≠－且－＜x＜．取交集得－＜x＜．　　（2）令（x）＝，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；　　＝－1＋随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．　　又y＝lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y＝是减函数，所以f（x）＝＋是减函数．　　（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．　　设函数f（x）的反函数f－1（x）与工轴的交点为（x0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0＝．所以函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点，交点为（，0）。已知函数的定义域为，求函数的定义域（
）。析：由已知，已知函数的定义域为，求的定义域（
）析：已知函数的定义域为，求的定义域（
）。析：4、设，则的定义域为（
）A.
B.
C.
D.
析：5．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　
）A．（－∞，1）
B．（2，＋∞）
C．（－∞，）
D．（，＋∞）析：
6．找出下列函数的单调区间.；解析：
（2）
7、讨论的单调性。
求函数y＝（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间。
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