资源简介

授课主题
不等式和绝对值不等式
教学目标
1．会用基本不等式证明一些简单问题．2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题．3．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：①|ax＋b|≤c；　②|ax＋b|≥c.4．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.
教学内容
1．两实数大小比较的三种情况．设a，b为两个实数，它们在实轴上的点分别记为A，B.如果A落在B的右边，则称a大于b，记为a＞b；如果A落在B的左边，则称a小于b，记作a＜b；如果A与B重合，则称a与b相等，记为a＝b.2．不等式的基本性质．(1)对称性：a＞b?b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)加(减)：a＞b?a＋c＞b＋c.(4)乘(除)：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)乘方：a＞b＞0?an＞bn，其中n为正整数，且n≥2.(6)开方(取算术根)：a＞b＞0?＞，其中n为正整数，且n≥2.(7)a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.本性质说明两个同向不等式相加，所得的不等式和原不等式同向．(8)a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.本性质说明两边都是正数的同时不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向．3．基本不等式．定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，因而这一定理可用语言叙述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．我们称为正数a，b，c的算术平均数，为正数a，b，c的几何平均数，定理3中的不等式为三个正数的算术—几何平均不等式，或简称为平均不等式．定理4(一般形式的算术—几何平均不等式)：如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．4．绝对值的三角不等式．定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.等号成立?(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间，5．绝对值不等式的解法．(1)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法．①c＞0，则|ax＋b|≤c的解为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可．②c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为?，|ax＋b|≥c的解集为R.(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．解这类含绝对值的不等式的一般步骤是：①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根．②把这些根由小到大顺序，它们把实数轴分为若干个区间．③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集．④这些解集的并集就是原不等式的解集．6．解不等式常用技巧．解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价．这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧．题型一　用作差比较法比较大小例1　若x∈R，试比较(x＋1)(x2＋＋1)与(x＋)(x2＋x＋1)的大小．分析：根据这个式子的特点，先把代数式变形，再用作差法比较法比较大小．解析：∵(x＋1)(x2＋＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1－)＝(x＋1)(x2＋x＋1)－(x＋1)，(x＋)(x2＋x＋1)＝(x＋1－)(x2＋x＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1)－(x2＋x＋1)．∴(x＋1)(x2＋＋1)－(x＋)(x2＋x＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1)－(x＋1)－(x＋1)(x2＋x＋1)＋(x2＋x＋1)＝(x2＋x＋1)－(x2＋x)＝>0.∴(x＋1)(x2＋＋1)>(x＋)(x2＋x＋1)．点评：比较大小的一般方法是作差比较法，先作差，再判断差与0的大小关系．若a－b>0.则a>b；若a－b<0，则a固　比较x2－x与x－2的大小．解析：(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1>0，即(x2－x)－(x－2)>0.所以x2－x>x－2.题型二　用不等式性质证明或判断不等式例2　已知a>b，cb－d．证明：∵c－d.又∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)．即a－c>b－d.巩
固　设f(x)＝ax2＋bx，且－1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求证：－1≤f(－2)≤10.证明：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b.比较系数得解得所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又因为－1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，所以－1≤f(－2)≤10.巩
固　如果a，b，c均为正数且b0.∴y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1(x＝舍去)时等号成立，∴当x＝1时，ymax＝1.巩
固　设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x
的最大值为__________．分析：∵x2＋＝1是常数，∴x2与的积可能有最大值．∴可把x放到根号里面去考虑，即化为，注意到x2与1＋y2的积，应处理成2x2·.解析：方法一　∵x≥0，y≥0，x2＋＝1，∴x＝＝
≤＝＝，当且仅当x2＝，即x＝，y＝时，x取得最大值.方法二　令，则x
＝cos
θ＝
≤＝.当2cos2θ＝1＋2sin2θ，即θ＝时，也即x＝，y＝时，x
取得最大值.答案：题型四　利用基本不等式证明不等式例4　已知a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，求证：(1)a2＋b2≥；(2)＋≥8.证明：由得≤.∴ab≤，≥4.(1)∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝.∴a2＋b2≥(2)∵＋≥≥8，∴＋≥8巩
固　已知x，y>0且x＋y＝1.求证：(1＋)(1＋)≥9.证明：(1＋)(1＋)＝＝＝＝5＋≥5＋＝9.当且仅当x＝y＝时取等号．∴(1＋)(1＋)≥9.题型五　证明不等式例5　设a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(＋＋)≥9.分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明．证明：∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3，＋＋≥3，两不等式相乘，有：(a＋b＋c)(＋＋)≥3×3＝9.∴(a＋b＋c)(＋＋)≥9.当且仅当a＝b＝c＝0时，等号成立．巩
固　已知a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥3.又a＋b＋c＝1，∴≤，∴≥3，∴＋＋≥3≥9.即原不等式成立．题型六　求函数的最值例6　已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×，求出最值后再开方．解析：∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝×2x2(1－x2)(1－x2)≤3＝.当且仅当2x2＝1－x2，即x＝时等号成立．∴y≤.∴ymax＝.巩
固　设θ为锐角，求y＝sin2
θ
cos
θ的最大值．解析：y2＝sin4θcos2θ＝×2sin2θ
sin2θ
cos2θ≤3＝.当且仅当sin2
θ＝2cos2θ＝2－2sin2θ.即sin
θ＝时取等号，此时ymax＝.题型七　利用绝对值三角不等式证明不等式例7　若|a－b|＞c，|b－c|＜a，求证：c＜a.证明：由|a－b|＞c及|b－c|＜a得c－a＜|a－b|－|b－c|≤|(a－b)＋(b－c)|＝|a－c|＝|c－a|.由c－a＜|c－a|知c－a＜0，故c＜a.点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的结构入手进行分析．多联想定理的形式以便用好它．巩
固　设ε＞0，|x－a|＜，|y－b|＜.
求证：|2x＋3y－2a－3b|＜ε.分析：将2x＋3y－2a－3b写成2(x－a)＋3(y－b)的形式后利用定理1和不等式性质证明．证明：|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤|2(x－a)|＋|3(y－b)|＝2|x－a|＋3|y－b|＜2×＋3×＝ε.巩
固　设m等于|a|、|b|和1中最大的一个．当|x|>m时，求证：<2.分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大．如果两两比较大小，将十分复杂，我们可得到一个重要的信息：m≥|a|，m≥|b|，m≥1.证明：∵m等于|a|，|b|和1中最大的一个，|x|>m，∴?∴≤＋＝＋<＋＝2，故原不等式成立．巩
固　设A、ε>0，|x－a|<，|y－b|<，|b|≤A，|x|≤A，求证：|xy－ab|固　已知函数f(x)＝x2－x＋13，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明：|f(x)－f(a)|＝|x2－x＋13－(a2－a＋13)|＝|x2－a2－x＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)．∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．题型八　利用绝对值三角不等式求最值例8　设a，b∈R且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋|b|的最大值．解析：|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.①当ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；②当ab<0时，则a(－b)>0，|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16.总之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值为16.巩
固　求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．分析：若把x－3，x＋1看作两个实数，则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系，进而可转化求解，另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值．解析：方法一　∵||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.方法二　把函数看作分段函数．y＝|x－3|－|x＋1|＝∴－4≤y≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.点评：对于含有两个以上绝对值的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应问题．利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”，有时也能产生比较好的效果，但这需要准确地处理“数”的差或和，以达到所需要的结果．题型九　|ax＋b|≤e（或|ax＋b|≥e）（e>0）型不等式的解法例9　解下列不等式．(1)＞2；(2)|3x－1|≤6.分析：解两个不等式的关键是去掉绝对值符号．解析：(1)方法一　原不等式即＞2，它表示与点－的距离大于2的点的集合，如下图所示，所以符合条件的x的范围是x＞2＋或x＜－2＋，即原不等式的解集是.方法二　因为＞2?x＋＞2或x＋＜－2?x＞或x＜－，所以原不等式的解集是.(2)由于|3x－1|≤6?－6≤3x－1≤6，即－5≤3x≤7，∴－≤x≤，所以原不等式的解集是.巩
固　解下列不等式(1)|1－2x|>5；(2)|4x－1|＋2≤10.解析：(1)|1－2x|>5?|2x－1|>5?2x－1>5或2x－1<－5?2x>6或2x<－4?x>3或x>－2.所以原不等式的解集为{x|x>3或x<－2}(2)|4x－1|＋2≤10?|4x－1|≤10－2?|4x－1|≤8?－8≤4x－1≤8?－7≤4x≤9?－≤x≤.所以原不等式的解集为.题型十　绝对值不等式的综合性问题例10　已知不等式|x＋3|＞2|x|，①　　　　
≥1，②　　
2x2＋mx－1＜0，③若同时满足①②的x值也满足③，求m的取值范围．解析：由|x＋3|＞2|x|解得－1＜x＜3，由≥1解得0≤x＜1或2＜x≤4，∴0≤x＜1或2＜x＜3.由2x2＋mx－1＜0解得＜x＜，满足①②的x值也满足③，则有∴m≤－，即m的取值范围是.巩
固　x2－2|x|－15>0的解集是________．解析：∵|x|2－2|x|－15>0，∴|x|>5或|x|<－3(舍去)．
∴x<－5或x>5.故不等式的解集为{x|x<－5或x>5}．答案：{x|x<－5或x>5}题型十一　|x－a|＋|x－b|≥c(或|x－a|＋|x－b|≤c)型不等式的解法例11　解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解．对于形如|x＋a|＋|x＋b|的代数式，可以认为是分段函数．解析：方法一　如下图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.∴－1－x＋1－x＝3，得x＝－，同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离和为3，B1对应数轴上的x，∴x－1＋x－(－1)＝3.∴x＝.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.∴原不等式的解集是(－∞，－]∪[，＋∞).方法二　当x≤－1时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3，解得x≤－.当－1固　解不等式|x－1|＋|x－2|>5.解析：方法一　分类讨论|x－1|＝0.|x－2|＝0的根1,2把数轴分成三个区间．在这三个区间上，根据绝对值的定义．代数式|x－1|＋|x－2|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．
(1)因为在x≤1的限制条件之下：|x－1|＋|x－2|＝1－x＋2－x＝3－2x，所以当x≤1时，|x－1|＋|x－2|>5?3－2x>5?2x<－2?x<－1.因此不等式组的解集为(－∞，－1)．(2)因为在15无解．因此不等式组的解集为?.(3)由于在x≥2的限制条件之下：|x－1|＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3，所以当x≥2时，|x－1|＋|x－2|>5?2x－3>5?2x>8?x>4.所以不等式组的解集为(4，＋∞)．于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即(－∞，－1)∪?∪(4，＋∞)＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)．方法二　|x－1|＋|x－2|>5?|x－1|＋|x－2|－5>0.构造函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|－5，于是原不等式的解集为{x|f(x)>0}．写出f(x)的分段解析表达式：f(x)＝作出函数f(x)的图象如下图所示．f(x)为分段函数，其零点为－1,4，于是f(x)>0?x<－1或x>4.所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．方法三　x为不等式|x－1|＋|x－2|>5的解集?x是与数轴的点A(1)及B(2)两点距离之和大于5的点．由于A、B两点的距离1，线段AB上的点不符合要求，利用图形(如上图)，可知符合条件的点应该是在A点的左侧离A最近距离是2，在B点的右侧离B最近距离为2的点处，即x>4或x<－1，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．题型十二　函数图象相关的应用题例12　解关于x的不等式|logaax2|＜|logax|＋2.分析：换元求解，令logax＝t.解析：原不等式化为|1＋2logax|＜|logax|＋2，令t＝logax，所以|2t＋1|＜|t|＋2，两边平方得：4t2＋4t＋1＜t2＋4|t|＋4?3t2＋4t－4|t|－3＜0.当t≥0时，3t2－3＜0?t2＜1?－1＜t＜1，所以0≤t＜1；当t＜0时，3t2＋8t－3＜0?－3＜t＜，所以－3＜t＜0.综上所述，－3＜t＜1.因为t＝logax，所以－3＜logax＜1.当0＜a＜1时，a＜x＜a－3，当a＞1时，a－3＜x＜a，所以原不等式的解集为：当0＜a＜1时，{x|a＜x＜a－3}；当a＞1时，{x|a－3＜x＜a}．巩
固　已知y＝loga(2－ax)在(0,1)上是增函数，则不等式loga|x＋1|>loga|x－3|的解集为(　　)A．{x|x<－1}B．{x|x<1}C．{x|x<1，且x≠－1}D．{x|x>1}解析：∵y＝loga(2－ax)在(0,1)上是增函数，又a>0，∴2－ax为减函数．∴0B．ac＞bdC．－＞－
D．a－d＞b－c答案：D　2．若<<0，则下列等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln
a2>ln
b2.其中，正确的不等式是(　　)A．①④
B．②③C．①③
D．②④答案：C3．若a，b∈R，则不等式：①a2＋3>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a5＋b5>a3b2＋a2b3；④a＋≥2中一定成立的是(　　)A．①②③
B．①②④
C．①②
D．②④答案：C4．若x>，则f(x)＝4x＋的最小值为(　　)A．－3
B．2
C．5
D．7答案：D5．若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是(　　)A.
B．1
C．4
D．8答案：C　6．当点(x，y)在直线x＋3y＝2上移动时，表达式3x＋27y＋1的最小值为(　　)A．3
B．5
C．1
D．7答案：D7．若10，y>0,2x＋y＋6＝xy得xy≥2＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，即()2－2()－6≥0.∴(－3)(＋)≥0.又∵>0，∴≥3，即xy≥18.∴xy的最小值为18.答案：1811．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.证明：＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．12．已知x，y，z都为正数，且xyz(x＋y＋z)＝1.求证：(x＋y)(y＋z)≥2.证明：由已知得xz＞0，y(x＋y＋z)＞0.又xyz(x＋y＋z)＝1，所以(x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y2＋yz＝xz＋y(x＋y＋z)≥2＝2，即(x＋y)(y＋z)≥2.当且仅当时取等号．13．(1)已知x>1，求函数y＝的最小值；(2)若x<，求函数y＝2x＋2＋的最大值．解析：(1)y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2.∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x－1＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立．∴ymin＝4.(2)y＝2x＋2＋＝(2x－1)＋＋3∵x<，∴2x－1<0.即1－2x>0.∴y＝2x＋2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当1－2x＝，即x＝0时，等号成立．∴ymax＝1.
绝对值不等式1．已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，B＝x|2x－1|>3，则A∩B等于(　　)A．{x|2≤x≤3}
B．{x|2≤x<3}C．{x|2D．{x|－13的解集是(　　)A．{x|x>}
B．{x|D．{x|－310的解集是________．答案：{x|x>3或x<－}　5．x2－2|x|－15>0的解集是________．答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞)6．解不等式|x＋5|－|x－3|>10.解析：|x＋5|＝0，|x－3|＝0的根为－5,3.(1)当x≤－5时，|x＋5|－|x－3|>10?－x－5＋x－3>10?－18>10.所以的解集为?.(2)当－510?x＋5＋x－3>10?2x＋2>10?x>4.所以的解集为?.(3)当x≥3时，|x＋5|－|x－3|>10?x＋5－x＋3>10?8>10.所以的解集为?.综上所述，原不等式的解集为?.7．解不等式x＋|2x－1|<3.解析：原不等式可化为或解得≤x<或－2x.解析：当x<0时，原不等式恒成立；当x≥0时，原不等式可化为x2＋x－2>x或x2＋x－2<－x.即x2>2或x2＋2x－2<0.∴x>或x<－或－1－.综上所述，原不等式的解集是{x|x<－1或x>}．9．解不等式|x2－3x－4|＞x＋2.解析：方法一　原不等式等价于x＋2≤0①或②由①?x≤－2，由②??－2＜x＜2－或x＞2＋或1－＜x＜1＋，所以原不等式的解集为(－∞，2－)∪(1－，1＋)∪(2＋，＋∞)．方法二　原不等式等价于或即①或②∴不等式组①的解集为(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)，不等式组②的解集为(1－，1＋)．所以原不等式的解集为(－∞，2－)∪(1－，1＋)∪(2＋，＋∞)．方法三　原不等式等价于[(x2－3x－4)＋(x＋2)][(x2－3x－4)－(x＋2)]＞0即(x2－2x－2)(x2－4x－6)＞0，(x－1－)(x－1＋)(x－2－)(x－2＋)＞0，结合图形(如上图)可知原不等式的解集为(－∞，2－)∪(1－，1＋)∪(2＋，＋∞)．10．若x∈R不等式|x－1|＋|x－2|≤a的解集为非空集合．求实数a的取值范围．解析：要使|x－1|＋|x－2|≤a的解集非空，只需a不小于|x－1|＋|x－2|的最小值即可．由|x－1|，|x－2|可以看作数轴上的点到1,2两点的距离，可以看出|x－1|＋|x－2|的最小值为1.所以a≥1.故a的取值范围是[1，＋∞)．11．已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(1)求a的值；(2)若f(x)－2f≤k恒成立，求k的取值范围．解析：(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2，又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a>0时，－≤x≤，得a＝2.(2)记h(x)＝f(x)－2f()，则h(x)＝所以|h(x)|≤1，因此k≥1.所以k的取值范围是[1，＋∞)．12．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)－1，且当x∈－，时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解析：(1)当a＝－2时，不等式f(x)PAGE

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