资源简介

授课主题
简单的逻辑连接词且、或、非
教学目标
1．理解“且”、“或”、“非”的含义．2．会用“且”、“或”联结两个命题并判断命题的真假．3．能够判断含有逻辑联结词的命题的真假．4．掌握逻辑连接词“且”、“或”、“非”的简单应用．
教学内容
“且”“或”的概念（1）且①定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题和联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“且”．逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．可以用“且”定义集合的交集：．②判断命题的真假当都为真命题，就为真命题；当两个命题中只要有一个命题为假命题，
就为假命题．（2）或：①定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题或联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“或”．逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．可以用“或”定义集合的并集：．
②判断命题的真假当两个命题中，只要有一个命题为真命题时，为真命题；当两个命题都为假命题，为假命题非：①定义：一般地，对命题加以否定，得到一个新的命题，记作，读作“非”或“的否定”．逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．有成立．可以用“非”来定义集合在全集中的补集：．②判断命题的真假，和不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假．复合命题不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题．复合问题的真值表：真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真复合命题的真假，主要利用真值表来判断，步骤为：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断复合命题的真假．题型一　用“且”、“或”联结成新命题
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例1　将下列命题用“且”、“或”联结成新命题．(1)p：三角形的三条中线相等；q：三角形的三条中线交于一点．(2)p：35是5的倍数；q：35是7的倍数．(3)p：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－2x＋3＝0的两根不等．解析：(1)p∧q：三角形的三条中线相等且交于一点；p∨q：三角形的三条中线相等或交于一点．(2)p∧q：35是5的倍数且是7的倍数；p∨q：35是5的倍数或是7的倍数．(3)p∧q：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数且不相等；p∨q：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数或不相等．
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巩
固　分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”形式的命题．(1)p：π是无理数；q：e不是无理数．(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根；q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角解析：(1)“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“p∧q”：π是无理数且e不是无理数．(2)“p∨q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p∧q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．(3)“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角题型二　用“且”、“或”改写命题
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例2　用“且”、“或”改写下列命题．(1)1不是质数也不是合数；(2)2既是偶数又是质数；(3)5和7都是质数；(4)x＝±3是方程|x|＝3的解．解析：(1)p：1不是质数，q：1不是合数，p∧q：1不是质数且1不是合数．(2)p：2是偶数，q：2是质数，p∧q：2
是偶数且2是质数．(3)p：5是质数，q：7是质数，p∧q：5是质数且7是质数．(4)p：x＝3是方程|x|＝3的解，q：x＝－3是方程|x|＝3的解，p∨q：x＝3或x＝－3是方程|x|＝3的解.点评：(1)当一个复合命题不是用“且”或“或”连接时，可以将其改为用“且”或“或”连接的复合命题，改写时要注意不能改变原命题的意思，这就要仔细考虑到底是用“且”还是用“或”．(2)在用“且”、“或”联结两个命题
p、
q时，在不引起歧义的情况下，可将
p、
q中的条件或结论合并，使叙述更通顺．巩
固　用“且
”、“或”改写下列命题：(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边，也垂直底边；(2)45既能被5整除又能被9整除；(3)
x2－2＝0的根是±；(4)3≥3.解析：(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边且垂直底边；(2)45能被5整除且能被9整除；(3)x2－2＝0的根是或－；(4)3大于3或等于3.题型三　p∨q、p∧q真假的判断例3　指出下列各题中的“p或q”、“p且q”形式的复合命题的真假．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：5是17的约数，q：5是15的约数．解析：(1)p是真命题，q是假命题，∴p或q是真命题，p且q是假命题．(2)p是假命题，q是真命题，∴p或q是真命题，p且q是假命题．点评：有些命题表面上不含逻辑联结词，可以通过改写化为“p∨q”或“p∧q”形式的命题，然后通过p、
q的真假判断命题的真假．或命题“p∨q”的真假特点是“一真即真，要假全假”，且命题“p∧q”的真假特点是“一假即假，要真全真”．巩
固　指出下列“p∨q”，“p∧q”命题的真假．(1)p:
当x∈R时，x2＋1≥2x，q：当
x∈R时，|x|≥0；(2)p:
相似三角形的面积相等，q：相似三角形的对应角相等；(3)p：函数
y＝
cos
x是周期函数，q：函数y＝cos
x是奇函数.解析：(1)因为
p是真命题，q是真命题，所以“
p∨q”和“
p∧q”都是真命题．(2)因为p是假命题，q是真命题，所以“p∨q”是真命题，“
p∧q”是假命题．(3)因为p是真命题，
q是假命题，所以“
p∨q”是真命题，“
p∧q”是假命题.题型四　“﹁p”命题真假性的判断
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例4　写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：是有理数；(2)p：5不是75的约数；(3)p：7＜8；(4)p：5＋6≠11；(5)p：空集是任何非空集合的真子集．解析：(1)
﹁p：不是有理数．命题p是假命题，
﹁
p是真命题；(2)
﹁p：5是75的约数．命题p是假命题，﹁p是真命题；(3)
﹁p：7≥8.命题p是真命题，﹁p是假命题；(4)
﹁p：5＋6＝11，命题p是假命题，﹁p是真命题；(5)
﹁p：空集不是任何非空集合的真子集．命题p是真命题，﹁p是假命题．巩
固　写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p：函数y＝tan
x是奇函数；(2)q：4∈{1,2,4}．解析：(1)
﹁p：函数y＝tan
x不是奇函数，是假命题．(2)
﹁q：4{1,2,4}，是假命题．题型五　命题的否定与否命题的辨析例5　写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解析：命题的否定是：(1)若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题；(2)若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题；原命题的否命题是：(1)若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；(2)若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题．点评：1.要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定．2．常用词语及其否定：原词语等于大于(＞)小于(＜)是都是否定词语不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n＋1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能巩
固　写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零；(2)若a＝b且b＝c，则a＝c.解析：(1)否定形式：若abc＝0，则a、b、c全不为零．否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零．(2)否定形式：若a＝b且b＝c，则a≠c.否命题：若a≠b或b≠c，则a≠c.题型六　逻辑联结词的简单运用例6　命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．解析：设g(x)＝x2＋2ax＋4.因为关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0，所以－21，即a<2.所以命题q：a<2.由p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．(1)
若p真q假，则此不等式组无解．(2)若p假q真，则所以a≤－2.综上，实数a的取值范围是
(－∞，－2]．点评：(1)利用逻辑联结词“且”、“或”可以将简单命题变为复合命题，利用“非”可以否定一个命题.
在解决问题时，正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”是关键，有些命题并不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义正确进行命题构成的判定．(2)对于复合命题中的参数问题，可以根据复合命题的真假，列出方程或不等式，求出参数的值或范围．巩
固　已知a>0，a≠1.设p：函数y＝loga(x＋1)
在(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．解析：当01时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减函数，故p真时00，即a<或a>.又a>0，所以0.因为p或q为真，p且q为假，所以p，q中必定是一个为真一个为假．(1)若p真，q假，则?≤a<1，即a∈.(2)若p假，且q真，则?a>，即a∈.综上可知，a的取值范围为∪.（且、或）一、选择题1．下列命题中，是“
p∨q”形式的命题的是(　　)A．?
{0}B．－3＜0
C．平行四边形的对角线相等且互相平分D．能被5整除的整数的末位数不是0就是5解析：“?
{0}”和“－3＜0”是简单命题；“平行四边形的对角线相等且互相平分”是“p∧q”形式的命题．“能被5整除的整数的末位数不是0就是5”
是“
p∨q”形式的命题．故选D.答案：D2．已知命题p：5≤5，q：5＞6.则下列说法正确的是(　　)A．“p∧q”为真，“p∨q”为真B．“p∧q”为假，“p∨q”为假C．“p∧q”为假，“p∨q”为真D．“p∧q”为真，“p∨q”为假答案：C3．下列语句中，符合命题“p∧q”的个数是(　　)①方程
x2＋5＝0没有实数根；②y＝sin
x是周期函数也是
R
上的减函数；③9是144和81的公约数；④(A∩B)?AA．0个
B．1个
C．2个
D．3个解析：②、③符合命题“p∧q”的形式．故选C.答案：C4．“x不大于y”是指(　　)A．x≠y
B．x<
y或x＝y
C．x<
y
D．x<
y且x＝y解析：
“不大于”是指“小于或等于”．故选B.答案：B5．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，命题
q：?＝{0}则下列判断正确的是(　　)A．p假q假
B．“p或q”为真
C．“p且q”为真
D．p假q真解析：因为{x|(x＋2)(x－3)＜0}＝{x|－2＜x＜3}，所以1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，所以p真．因为?≠{0}，所以q假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B.答案：B6．已知命题p：点P在直线
y＝2x－1上；命题q：点P在直线y＝－x＋3上，则使命题“p或q”为真命题的一个点P(x，y)是(　　)A．(0，－3)
B．(3,2)
C．(1，－1)
D．(5，－2)解析：命题“p或q”为真命题的含义是这两个命题至少有一个是真命题，即点P在直线y＝2x－3上，或在直线y＝－3x＋2上，即点P至少在其中一条直线上．检验知选项D满足条件．故选D.答案：D7．已知命题p，q，则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p∧q为真?p真且q真?p∨q为真；p∨q为真?p真或q真p∧q为真．故选B.答案：B二、填空题8．若xy＝0，则x＝0________y＝0；若xy≠0，则x≠0________y≠0(填“且”或“或”)．答案：或，且9．给出命题p：ax＋b>0的解为x>－，命题q：(x－a)(x－b)<0的解为a的最小正周期是π，q：3?[2，＋∞)，则复合命题“
p∨q”、“p∧q”中真命题的是________．解析：由三角函数的性质知p是真命题，而3∈[2，＋∞)，所以q是假命题，故“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题．答案：
p∨q三、解答题12．指出下列各题中的“p或q”、“p且q”形式命题的真假．(1)p：a∈{a，b，c}；q：{a}?{a，b，c}；(2)p：x≠y，则sin
x≠sin
y．q：如果α⊥β，l?α，则l⊥β.解析：(1)p或q是真命题，p且q是真命题；(2)p或q是假命题，p且q是假命题．13．已知p：不等式mx2＋1>0的解集是
R；q：f(x)＝logmx是减函数．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．解析：因为不等式mx2＋1>0的解集是R，所以或m＝0，解得m≥0，即p：m≥0.又f(x)＝logmx是减函数，所以0p∨q为真，
p∧q为假，所以p和q一真一假．即p为真，q为假；或p为假，q为真．所以或　得m≥1.所以m的取值范围是m≥1.（非）一、选择题1．如果命题p或q为假命题，则(　　)A．p、q均为真命题B．p、q中至少有一个为真命题C．p、q中至多有一个为真命题D．p、q均为假命题答案：D2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是(　　)A．“p或q”为假，“非q”为假B．“p或q”为真，“非q”为假C．“p且q”为假，“非p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假解析：显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故选B.答案：B3．若命题p：x＝2且y＝3，则命题﹁p是(　　)A．x≠2或y＝3　　　　B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3
D．x≠2或y≠3答案：D4．如果命题“p∨q”与命题“﹁p”都是真命题，那么(　　)A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同答案：B5．若命题p：x∈(A∩B)，则﹁p为(　　)A．x∈A且x?BB．x?A或x?BC．x?A且
x?BD．x∈(A∪B)解析：
“x∈(A∩B)”是指“x∈A，且x∈B”，故﹁p：x?A或x?B.故选B.答案：B6．对于下述两个命题：p：对角线互相垂直的四边形是菱形，
q：对角线互相平分的四边形是菱形．则命题“p∨q”、“p∧q”、“﹁p”中真命题的个数为(　　)A．0个
B．1个C．2个
D．3个解析：命题
p是假命题，命题
q是假命题，所以“﹁p”是真命题，命题p∨q和命题p∧q都是假命题．故选B.答案：B7．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)A．(﹁p)∨(﹁q)
B．p∨(﹁q)C．(﹁p)∧(﹁q)
D．p∨q解析：“至少有一位学生没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(﹁p)∨(﹁q)．故选A.答案：A8．“p或q是假命题”是“非p为真命题”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A二、填空题9．命题“若a2b”的否命题为__________，命题的否定为____________．解析：命题“若a2a＜2b”的否命题为“若a≥b，则2a≥2b”，命题的否定为“若aa≥b，则2a≥2b　若a12.
已知命题p:
1∈{x|x2＜a}，命题q：2∈{x|x2＜a}．(1)若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；(2)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．解析：若p为真，则由1∈{x|x2＜a}，得122∈{x|x2＜a}，得a＞4.(1)若“p或q”为真，则a＞1或
a＞4，即a＞1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p且q”为真，则
a＞1且
a＞4，即
a＞4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．13．已知命题p：|4－x|≤6，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．解析：﹁p：|4－x|>6，x>10，或x<－2，x∈A＝{x|x>10，或x<－2}，q：x2－2x＋1－a2≥0，x≥1＋a，或x≤1－a，记B＝{x|x≥1＋a，或x≤1－a}．而﹁p?q，q
﹁p，∴AB，即∴0PAGE

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