资源简介

授课主题
四中命题及其相互关系
教学目标
1．了解命题的概念，能判断命题的真假．2．了解四种命题的结构形式，会写出一个命题的逆命题、否命题与逆否命题．3．掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.4．会利用命题的等价性解决简单问题．
教学内容
命题的定义我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫假命题．并不是任何语句都是命题，只有能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句，祈使句，感叹句都不是命题，但是反义疑问句是命题．如：．“这是一棵大树”；．“”；c．“三角函数是周期函数吗？”，“但愿每一个三次方程都有三个根”，“指数函数的图像真漂亮！”．”，“”，“”是无理数；．“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和”（歌德巴赫猜想）；“在2010年前，将有人登上火星”命题的结构数学中，具有“若，则”这种形式的命题是常见的，我们把这种命题中的称为命题的条件，称为命题的结论．命题的四种形式一般地，用和分别表示原命题的条件和结论，用和来表示和的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若，则；逆命题：若，则；否命题：如果，则；逆否命题：如果，则．关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述：交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．如：同位角相等，两直线平行．它的逆命题就是：两条直线平行，同位角相等．同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题如上例的否命题是：同位角不相等，两直线补平行．交换原命题的条件个结论，并同时否定，所得的命题是逆否命题．如上例：两条直线不平行，同位角不相等．四种命题的相互关系（1）四种命题以及它们之间的关系原命题为真，它的逆命题不一定为真；如：原命题“若，则”是真命题，它的逆命题“若，则”是假命题．原命题为真，它的否命题不一定为真；如：原命题“若，则”是真命题，它的否命题“若，则”是假命题．原命题为真，它的逆否命题一定为真；如：原命题“若，则”是真命题，它的否命题“若，则”是假命题．互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，综上所述：在一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个．一般四种命题的真假性，有且仅有一下四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假（2）四种命题它们之间的等价关系互为逆否命题是互为等价命题（即真假相同），而其它的命题不是互为等价命题（即真假不一定相等）．这一等价性，可以从集合的角度来解释：设，即使命题为真的对象所组成的集合，，因此由可知，
,即，反过来，若，即，，即命题的否定与否命题的区别若命题为“若，则”，则其命题的否定：“若，则”，而其否命题是：“若，则”．常见的一些词语和它的否定词语对照表原词语等于（）大于()小于(是都是至多有一个否定词不等于（）不大于()不小于()不是不都是至少有两个原词语至多有个至少有一个任意的能或否定词语至少个一个也没有某个不能且题型一　命题的判断
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例1　判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)一个等差数列不是递增数列就是递减数列吗？(2)菱形是平行四边形．(3)在空间垂直于同一个平面的两条直线必平行．(4)当x＝－1时，2x＋1>0.分析：准确把握命题概念中的关键词：能判断真假，陈述句．解析：(1)是疑问句，不是命题；(2)是陈述句，且能够判断真假，所以是命题；(3)是陈述句，且能够判断真假，所以是命题；(4)是陈述句，且能够判断真假，所以是命题．点评：判断一个语句是否是命题，要满足两个条件：①是否是陈述句；②能否判断真假．
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巩
固　判断下列语句是否为命题．(1)若a⊥b，则a·b＝0.(2)是无限循环小数．(3)三角形的三条中线交于一点．(4)x2－4x＋4≥0(x∈R)．(5)非典型肺炎是怎样传播的？(6)2012年广东的高考题真难！答案：(1-4)是，(5、6)不是.题型二　真假命题的判断
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例2　判断下列命题的真假，并说明理由．(1)形如a＋b的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(3)奇函数的图象关于原点对称；(4)能被2整除的数一定能被4整除．解析：（1）假命题．示例：若a是有理数且b＝0，则a＋b是有理数．（2）假命题．若数列{an}为等比数列，且a1＝－1，q＝2，则该数列为递减数列．（3）真命题．根据奇函数的性质可知，奇函数的图象一定关于原点对称．（4）假命题．反例：如2、6能被2整除，但不能被4整除．点评：要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．而要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证．在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断．巩
固　判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题．(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．(2)求证：若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根．(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)当x＝4时，
2x＋1＞0.解析：(1)是命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，所以是一个假命题．(2)不是命题，它是祈使句．(3)不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断．(4)是命题，能判断真假，它是一个真命题．题型三　命题的结构
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例3　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)负数的立方是负数；(2)等边三角形的三个内角相等．分析：找准命题的条件和结论，是解这类题目的关键，要注意大前提的写法．解析：(1)若一个数是负数，则它的立方是负数．真命题．(2)若一个三角形为等边三角形，则它的三个内角相等．真命题．点评：数学中，“若p，则q”这种形式是命题的结构形式，这里p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．但有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式．解决这类题目的关键是找准命题的条件和结论，对于个别问题还要注意大前提的写法．若条件和结论比较隐含，要补充完整．
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巩
固　把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；(3)矩形的对角线相等；(4)当a＞b，c∈R时，ac2>bc2.解析：命题(1)：若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等．显然这个命题是真命题．命题(2)：若x＝2或x＝4，则x2－6x＋8＝0.通过检验可知这个命题是真命题．命题(3)：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等．是真命题．命题(4)：若
a＞b，c∈R，则ac2＞bc2.是假命题，因为c＝0时，ac2＞bc2不成立．题型四　写出已知命题的逆命题、否命题与逆否命题例4　写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)当x＝3时，x2－2x－3＝0.分析：首先把命题写成“若p，则q”的形式，再按四种命题之间的关系写出逆命题、否命题和逆否命题．解析：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)原命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.逆命题：若x2－2x－3＝0，则x＝3；否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0；逆否命题：如果x2－2x－3≠0，那么x≠3.点评：要实现四种命题的转化首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的条件、结论之间的关系进行转化．巩
固　下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若“m>2，则x2－2x＋m>0，x∈R”．其中真命题的个数为(　）A．0个
B．1个
C．2个
D．3个答案：B
题型五　四种命题真假的判断例5　写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若x＋y≠3，则x≠1或
y≠2；(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根；(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0分析：此类问题的一般解题步骤：①写出命题的条件、结论；②写出四种命题；③判断命题的真假．解析：(1)逆命题：若x≠1或y≠2，则
x＋y≠3；假命题．否命题：若
x＋y＝3，则
x＝1且y＝2；假命题．逆否命题：若x＝1且
y＝2，则x＋y＝3；真命题．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．点评：要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．巩
固　判断下列命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假．(1)当c>0时，若a>b，则ac>bc；(2)若cos
α＝，则α＝－.解析：(1)由于原命题与其逆命题“当c>0时，若ac>bc，则a>b”均为真命题，因此它的否命题与逆否命题也为真命题．(2)命题“若cos
α＝，则α＝”是假命题，因为，由cos
α＝得α＝2kπ±(k∈Z)，所以，其逆否命题也是假命题；其逆命题：“若α＝，则cos
α＝”，是真命题，所以，其否命题也是真命题．题型六　等价命题的应用例6　证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.分析：本题若要直接证明，比较困难，可以考虑证明它的逆否命题．证明：原命题的逆否命题是“已知函数
f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．若
a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，又因为函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以
f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题．点评：原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．巩
固　判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假解析：方法一　因为m>0，所以12m>0，所以12m＋4>0.所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.所以原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．方法二　原命题的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”．方程x2＋2x－3m＝0无实数根，所以Δ＝4＋12m<0.所以m<－≤0.所以“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为真命题．题型七
命题的否定与否命题例7　写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；(3)若一个数是质数，则这个数是奇数．解析：(1)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题．原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．(2)命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题．原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题．(3)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题．原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题．点评：命题的否定是：不否定条件只否定结论；命题的否命题是：既否定条件又否定结论．两者容易混淆，要注意区别．巩
固　命题“若a＝－1，则a2＝1”的逆否命题是__________________．答案：若a2≠1，则a≠－1一、选择题1．下列说法，不正确的是(　　)A．“若p，则q”与“若q，则p”是互逆命题B．“若￢p，则￢q”与“若q，则p”是互否命题C．“若￢p，则￢q”与“若p，则q”是互否命题D．“若￢p，则￢q”与“若q，则p”是互为逆命题答案：B2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案：B3．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x20”的否命题；(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是(　　)A．0个　
B．1个　C．2个　
D．3个解析：(1)是真命题．其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题，因为原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，所以其否命题是真命题．
(2)是假命题．原命题(如取
x＝1，y＝0)是假命题，所以其逆否命题是假命题．
(3)是假命题．该命题否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，显然是假命题．
(4)是假命题.
该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”，显然是假命题．答案：B4．下列命题中，正确的个数是(　　)①“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的逆命题；③“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．A.
3个
B．2个
C．1个
D.
0个答案：B5．若命题p的逆命题是q，q的逆否命题是r，则命题r是命题p的
(　　)A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．等价命题解析：根据四种命题之间的关系可知命题r是命题p的否命题．答案：B6．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集不是?”的逆命题、否命题、逆否命题中，对于真假性的判断正确的是
(　　)A．都真
B．都假
C．否命题真
D．逆否命题真解析：原命题是真命题，所以逆否命题一定也为真命题．答案：D7．已知全集U＝R，如果命题p：∈A∪B，则命题“非p”是(　　)A．非p：?A
B．非p：∈?UBC．非p：?A∩B
D．非p：∈?U(A∪B)答案：D8．设p：x<－1，﹁q：x2－x－2>0，则下列命题为真的是(　　)A．若q，则﹁p
B．若﹁q，则pC．若p，则q
D．若﹁p，则q解析：∵﹁
q：x<－1或x>2，∴若p，则﹁q.答案：A二、填空题9．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为____________________________________．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角．10．“若P＝{x||x|<1}，则0∈P”的等价命题是________________________．解析：原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若0?P，则P≠{x||x|<1}”．答案：“若0?P，则P≠{x||x|<1}”11．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根”的逆否命题；②若f(x)＝cos
x，则f(x)为周期函数；③“若A＝B，则sin
A＝sin
B”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．解析：对于①，因为Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以原命题为真．所以①是真命题．显然②是真命题．③的逆命题：“若sin
A＝sin
B，则A＝B”是假命题．④的否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．答案：①②④三、解答题12．已知命题P：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题P的否命题；(2)判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．解析：(1)命题P的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．”(2)命题P的否命题是真命题．证明如下：因为ac<0，所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．所以该命题是真命题．13．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．解析：方法一　原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a<1，则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．方法二　先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥，所以a≥1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题等价，所以其逆否命题为真．一、选择题1．下列语句中命题的个数是(　　)①3>－1；②x<8；③若sin
A＝sin
B，则A＝B；④函数f(x)＝x3是R上的奇函数．　　
　　　A．0个
B．1个
C．2个
D．3个答案：D2．命题“若α＝，则tan
α＝1”的逆否命题是(　　)A．若α≠，则tan
α≠1
B．若α＝，则tan
α≠1C．若tan
α≠1，则α≠
D．若tan
α≠1，则α＝解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．答案：C3．有下列命题：①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a＞b，则a＋c＞b＋c；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共有(　　)A．0个
B．1个
C．2个
D．3个答案：B4.下列判断，正确的个数是(　　)①3是12的约数；②π是正数；③5＞2且7＞3；④2≥2.
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个解析：①②③④正确．故选A.答案：A5．下列各项中是命题的是(　　)A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin
45°＝1C．x2＋2x－1>0
D．梯形是不是平面图形呢？答案：B6．语句“若a>b，则a－c>b－2c”(　　)A．不是命题
B．是真命题
C．是假命题
D．不能判断真假解析：a－c>b－2c，即a>b－c，当c<0时，可能不成立，例如：a＝2，b＝1，c＝－2时，a>b，但aB．2
C．1
D．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝1时适合条件．答案：C8．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　)A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案：B二、填空题9．有下列语句：①集合{a，b}有2个子集；②x2－4≤0；③今天天气真好啊；④f(x)＝2log3x(x>0)是奇函数；⑤若A∪B＝A∩B，则A＝B.其中真命题的序号为________．解析：①是命题，但不是真命题，因为{a，b
}应有4个子集；②不是命题；③不是命题；④是假命题，f(x)＝2log3x是非奇非偶函数；⑤是命题且是真命题．答案：⑤10.
命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个．解析：原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．答案：211．下面有五个命题：①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③把函数y＝3sin的图象向右平移，得到y＝3sin
2x的图象；④函数y＝sin在[0，π]上是减函数．其中真命题的序号是________．解析：①y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos
2x，∴T＝π；②终边在y轴上的角的集合为；③平移后y＝3sin＝3sin
2x.④函数y＝sin＝－cos
x，在[0，π]上应是增函数．答案：①③三、解答题
12.
把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(1)相似三角形的对应边成比例；(2)当0PAGE

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