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第四章
图形的性质
第25节
解直角三角形
■考点1.
锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数
正弦:
sinA＝＝
余弦:
cosA＝＝
正切:
tanA＝＝.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
■考点2：解直角三角形
1.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
■考点3：解直角三角形的应用
1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.
（如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
2.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
■考点1.锐角三角函数的定义
特殊角的三角函数值
◇典例：
（2020年吉林省长春市）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】锐角三角函数的定义
【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
解：由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．
选项B、C、D都是错误的，
故答案选A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．
（2020年四川省凉山州）如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（
）
A．
B．
C．2
D．
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【分析】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；
解：如图，取格点E，连接BE，
由题意得：，，，
∴．
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键．
（2020年湖南省岳阳市）计算：
【考点】负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，实数及其运算
【分析】先计算负整数指数幂、特殊角的余弦值、零指数幂、化简绝对值，再计算实数的混合运算即可．
解：原式
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、特殊角的余弦值、零指数幂、实数的混合运算等知识点，熟记各运算法则是解题关键．
◆变式训练
（2020年广西柳州市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB==（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，
∴，
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键．
（2020年四川省南充市）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
（2020年浙江省金华市、丽水市）计算：
【考点】零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值
【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可．
解：原式．
【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质．
■考点2：解直角三角形
◇典例
（2020年安徽省）如图，中，
，点在上，．若，则的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解直角三角形，勾股定理
【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．
解：∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
（2020年山东省淄博市）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
【考点】分式方程的应用,解直角三角形的应用
【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；
（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．
解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，
∴CD＝BC?sin30°＝100×＝50（千米），BD＝BC?cos30°＝100×＝50（千米），
在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝＝50（千米），
∴AB＝50+50（千米），
∴AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；
（2）设施工队原计划每天修建x千米，
依题意有，﹣＝50，
解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建0.14千米．
【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．
◆变式训练
（2020年贵州黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（
）
A．米
B．4sinα米
C．米
D．4cosα米
【考点】解直角三角形
【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．
在Rt△OCA′，sinα＝，
∴A′C＝A′O·sinα．
由题意得A′O＝AO＝4，
∴A′C＝4sinα，
本题选B．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
（2020年黑龙江省哈尔滨市）在中，，为BC边上的高，，则BC的长为___________．
【考点】解直角三角形
【分析】如图所示，分D在BC之间和BC延长线上两种情况考虑，先由求出BD，再求出BC的长．
解：如图，∵在Rt△ABD中，，，
∴，即：，
∴，
当D在BC之间时，BC=BD+CD=6+1=7；
当D在BC延长线上时，BC=BD-CD=6-1=5；
故答案为：7或5．
【点评】此题主要考查了解三角形，根据已知得出两种符合要求的图形，即三角形为钝角三角形或锐角三角形分别分析是解题关键．
（2020年湖南省株洲市）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点A、B分别在、上，斜坡AB的长为18米，过点B作于点C，且线段AC的长为米．
（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚为60°，过点M作于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
【考点】解直角三角形
【分析】（1）运用勾股定理解题即可；
（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．
解：（1）在Rt△ABC中，；
（2）∵，
∴，
∴，
∵在Rt△ABC中，，
∴
∴，
∴，∴．
综上所述，长度增加了2米．
【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．
■考点3：解直角三角形的应用
◇典例：
（2020年湖南省邵阳市）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔分别为，，．若管道与水平线的夹角为30°，管道与水平线夹角为45°，求管道和的总长度（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
解：根据题意知，四边形和四边形均为矩形，
，，
，，
在中，，，，
；
在中，，，，
，
，
即管道AB和BC的总长度为：．
【点评】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度
（2020年内蒙古呼和浩特市）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；
（2）由题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=42°+20°=62°，AB=38，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到答案．
解：（1）如图，由题意得：
∠ACB=20°+42°=62°；
（2）由题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=42°+20°=62°，AB=38，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB=38，
∴AE=BE=AB=，
在Rt△CBE中，∵∠ACB=62°，tan∠ACB=，
∴CE==，
∴AC=AE+CE=+，
∴A，C两港之间的距离为（+）km.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（2020年西藏）如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF，卓玛同学为了探究信号塔EF的高度，从建筑物一层A点沿直线AD出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F，测得仰角∠ACF＝60°，AC长7米．接着卓玛再从C点出发，继续沿AD方向走了8米后到达B点，此时刚好能看到信号塔的最低点E，测得仰角∠B＝30°．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF的高度（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形仰角俯角问题
【分析】在Rt△ACF中，根据三角函数的定义得到AF＝AC?tan60°＝7米，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义得到AE＝AB?tan30°＝15×＝5米，进而得到结论．
解：在Rt△ACF中，∵∠ACF＝60°，AC＝7米，
∴AF＝AC?tan60°＝7米，
∵BC＝8米，
∴AB＝15米，
在Rt△ABE中，∵∠B＝30°，
∴AE＝AB?tan30°＝15×＝5米，
∴EF＝AF﹣AE＝7﹣5＝2（米），
答：信号塔EF的高度为2米．
【点评】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是找到并运用题中相等的线段．
◆变式训练
（2020年湖南省湘潭市）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果精确到，参考数据：，）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【分析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．
解：∵，其坡度为，
∴在中，
∴解得
∵四边形ABCD为矩形
∴
∵斜坡的坡度为
∴
∴
在中，（m）
∴斜坡的长度为20.61米．
【点睛】本题考查了坡度的概念，及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．
（2020年湖南省永州市）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】（1）过A点作于点D，在中求出AD与50海里比较即可得到答案；
（2）在中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.
解：（1）过A点作于点D，
∴，
由题意可得，
∴在中，，
∴渔船在航行过程中没有触礁的危险；
（2）在中，，
∵，
∴，
在中，，
即A，C之间的距离为79.50海里.
【点评】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.
（2020年海南省）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，
隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为继续飞行米到达点处，测得点的俯角为．
（1）填空：__________度，_________度；
（2）求隧道的长度(结果精确到米)．(参考数据：)
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求解即可；
（2）过点作于点过点作于点.在中求出AM的值，在中求出NB的值，进而可求隧道的长度.
解:（1）由题意知PQ//AB，
∴∠A=30°，∠B=45°，
故答案为：30，45；
（2）过点作于点过点作于点.
则米，米，
在中，，
.
在中，，
，
(米).
答:隧道的长度约为米.
【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
（2020年广西河池市）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理的应用，锐角三角函数的定义
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．
（2020年山东省聊城市数学中考试卷）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理，锐角三角函的定义
【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
解：如图，过点A作于点D，则，
∴，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
（2020年浙江省杭州市）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB
B．b＝csinB
C．a＝btanB
D．b＝ctanB
【考点】三角函数的定义
【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
解：∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
（2020年广西玉林市）sin45°的值等于（
）
A．
B．
C．
D．1
【考点】特殊角的三角函数值
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
解：
sin45°=．
故选B．
【点评】错因分析：容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
（2020年广东省广州市）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【考点】解直角三角形
【分析】根据中，，
，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC
的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系．
解：∵中，，
，
∴cosA=
∵，
∴AC=4
∴BC=
当时，与的位置关系是：相切
故选：B
【点评】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键．
（2020年四川省自贡市）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为
________
米
（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，
∴CE=，
∴DF=CE=，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
（2020年湖北省咸宁市）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】证明△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，从而求得PD的长即可．
解：过P作PD⊥AB于D，
∵AB=24，
∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，
∴∠BPD=30°，
∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，
∴AB=BP=24，
在直角△PBD中，PD=BP?sin∠PBD=24×=≈20.8.
故答案为：20.8.
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．
（2020年山东省济宁市）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【分析】首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．
解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1：，
∴tan∠ABF=，
∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°=，
解得：PB=，
故AB=m，
故答案为：.
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．
（2020年辽宁省沈阳市）计算：
【考点】特殊锐角三角函数值，零指数幂，负指数幂
【分析】分别根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数性质化简各式，再计算即可．
解:原式
．
【点评】本题考查了特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数的有关性质，解答关键是根据相关法则进行计算．
（2020年四川省内江市）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．
（1）求B处到灯塔P的距离；
（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度数，证得△ABP为等腰三角形，即可解决问题；
（2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定．
解：（1）过点P作PD⊥AB于点D，
由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，
∴PB=AB=60（海里），
答：B处到灯塔P的距离为60海里；
（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，
∴PB=AB=60（海里）
在Rt△PBD中，
PD=BPsin60°60（海里），
∵，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
（2020年内蒙古通辽市）从A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与楼的水平距离为，若，求这栋楼高．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【分析】根据正切的定义分别求出BD、DC的长，求和即可.
解：在Rt△ABD中，tanα=，
则BD=AD?tanα=90×0.27=24.3，
在Rt△ACD中，tanβ=，
则CD=AD?tanβ=90×2.73=245.7，
∴BC=BD+CD=24.3+245.7=270，
答：这栋楼高约为270米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正切理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
选择题
（2020年江苏省镇江市）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数的定义
【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．
解：∵AM∥BN，PQ∥AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，
此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，
∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，
∴cosB＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．
（2020年江苏省扬州市）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】锐角三角函数的定义，圆周角定理
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
解：∵和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∴=，
故选A．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
（2020年湖北省荆州市）如图，在
正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是的外接圆，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形的外接圆与外心，勾股定理的应用，圆周角定理，余弦的定义
【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．
解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，
在Rt△BDC中，cos∠BDC=
由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cos∠BAC=cos∠BDC=
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握勾股定理的应用，圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．
（2020年湖北省黄冈市）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】菱形的性质，锐角三角函数的定义
【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．
解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了正弦的定义及应用．
（2020年四川省凉山州）下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】算术平方根，绝对值，负整指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解．
解：A.，故错误；
B.
，故错误；
C.，正确；
D.∵，
∴无意义；
故选C．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值．
（2020年四川省广元市）规定：给出以下四个结论：（1）
；（2）；（3）
；（4）其中正确的结论的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】定义新运算，特殊角的三角函数值
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．
解：（1），故此结论正确；
（2），故此结论正确；
（3）
故此结论正确；
（4）
=
=
，
故此结论错误.
故选：C．
【点评】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）如图，在△ABC中，sinB=，
tanC=2，AB=3，则AC的长为（
）
A．
B．
C．
D．2
【考点】解直角三角形，勾股定理
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
（2020年湖南省湘西州）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】坐标与图形性质,矩形的性质,解直角三角形
【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．
解：作CE⊥y轴于E．
在Rt△OAD中，
∵∠AOD=90°，AD=BC=，∠OAD=，
∴OD=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE=∠OAD=，
∴在Rt△CDE中，
∵CD=AB=，∠CDE=，
∴DE=，
∴点C到轴的距离=EO=DE+OD=，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（2020年重庆市中考数学试题A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（
）
（参考数据：，，）
A．76.9m
B．82.1m
C．94.8m
D．112.6m
【考点】解直角三角形
【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB．
解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在RtDEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴＝＝，
设DE＝4x，则EC＝3x，
由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在RtADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
（2020年辽宁省大连市）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解直角三角形的应用—方向角问题
【分析】△OAB为直角三角形，∠AOB=30°，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长．
解：由已知得，∠AOB=90°60°=30°，OA=200m．
则AB=OA=100m．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
（2020年贵州省黔南州）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据仰角的定义和锐角三角函数解答即可．
解：∵在中，，
∴，，，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数和解直角三角形的实际应用．注意数形结合思想的应用．
（2020年浙江省温州市）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（
）
A．(1.5＋150tan)米
B．(1.5＋)米
C．(1.5＋150sin)米
D．(1.5＋)米
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则BE可由仰角的正切值求得，再加上AD的长即为BC的长．
解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
可知AE=DC=150，EC=AD=1.5，
∵塔顶的仰角为，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
填空题
（2020年甘肃省天水市）如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________．
【考点】勾股定理的逆定理，正弦函数的定义
【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.
解：连接AB如图所示：
设小正方形的边长为1，
∴==10，，，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：.
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案.
（2020年内蒙古通辽市）计算：
（1）
______；（2）______；（3）
______．
【考点】
零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算法则分别计算即可.
解：1，
2×=，
-1，
故答案为：1，，-1.
【点评】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算，掌握运算法则是关键.
（2020年广西桂林市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是_____．
【考点】解直角三角形
【分析】根据余弦的定义解答即可.
解：在Rt△ABC中，cosA＝＝，
故答案为：.
【点评】此题考查解直角三角形，正确掌握三角函数的计算公式是解题的关键.
（2020年山东省泰安市）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【分析】如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，根据AB及AB的坡比，计算出BE和AE的长度，再根据∠HAF=50°，得出AF的值即可解答．
解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，
∵AB=26，斜坡的坡比为12∶5，
则设BE=12a，AE=5a，
∴，解得：a=2，
∴BE=24，AE=10，
∴HF=BE=24，
∵∠HAF=50°，
则，解得：AF=20，
∴BH=EF=20-10=10，
故坡顶B沿至少向右移10时，才能确保山体不滑坡，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
解：如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20
(海里)
故答案为：20．
【点评】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
（2020年四川省达州市）小明为测量校园里一颗大树的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪竖直放在与B相距的位置，在D处测得树顶A的仰角为．若测角仪的高度是，则大树的高度约为_____．（结果精确到．参考数据：）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【分析】过D作DE⊥AB，解直角三角形求出AE即可解决问题．
解：如图，过D作DE⊥AB，则四边形BCDE是矩形，
∴BC=DE，BE=CD，
∵
在D处测得旗杆顶端A的仰角为52?，
∴∠ADE=52?，
∵BC=DE=8m，
∴AE=DE?tan52?≈8×1.28≈10.24m，
∴AB=AE+BE=AE+CD=10.24+1=11.24m≈11m.
∴AB约为：11m.
故答案为：11m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解答的关键．
解答题
（2020年辽宁省丹东市）先化简，再求代数式的值：，其中．
【考点】分式的化简求值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂
【分析】先利用分式的减法与除法法则化简分式，再根据特殊角的余弦值、负整数指数幂求出x的值，然后代入求值即可．
解：原式
将代入得：原式．
【点评】本题考查了分式的减法与除法、特殊角的余弦值、负整数指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键．
（2020年湖北省孝感市）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；
（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．
【考点】作图-平移变换，轴对称-最短路线问题，作图-旋转变换，解直角三角形
【分析】（1）平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，向下平移5个单位，故可以确定D点坐标．
（2）根据B、C、E三点坐标，连接BE，可以判断出△BCE为直角三角形，故可求解的值．
（3）过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．此时△ABF的周长最小，通过求解函数解析式确认点Ｆ的坐标．
解：(1)如图所示：平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，再向下平移5个单位，根据题意可知，B点(-3,1)平移到D点，故可以确定点D的坐标．
点D的坐标为；
(2)如图所示：
根据题意，AE是线段AB围绕点A逆时针旋转90°得到，故AB=AE，不难算出点E的坐标为(3,3)．连接BE，根据B、C、E三点坐标算出BC=、EC=、BE=，故,可以判断出△BEC为直角三角形．
故
(3)如图所示：
过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点．故可知A’的坐标为(1,5)，点B的坐标为(-3,1),设A’B的函数解析式为y=kx+b，将(1,5)，(-3,1)代入函数解析中解得k=1，b=4，则函数解析式为y=x+4,则F点坐标为(0,4),
故点F的坐标为(0,4)．
【点评】（1）本题主要考查平移，洞察点A是如何平移到点C，是求出D点坐标的关键．（2）连接BE，根据B、C、E三点坐标判断出△BCE是直角三角形，就不难算出的值．（3）本题通过做A点的对称点A’，连接A’B，找到A’B与y轴的交点F是解答本题的关键．
（2020年内蒙古呼伦贝尔市）两地间有一段笔直的高速铁路，长度为．某时发生的地震对地面上以点为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响．分别从两地处测得点的方位角如图所示，．高速铁路是否会受到地震的影响．请通过计算说明理由．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】首先过C作CD⊥AB与D，由题意得AD
=
CD·tanα，BD
=
CD·tanβ，继而可得CD·tanα
+
CD·tanβ
=
AB，则可求得CD的长，再进行比较，即可得出高速公路是否穿过地震区．
解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∴∠ACD=α，∠BCD=β，
∴tan∠ACD=tanα=，tan∠BCD=tanβ=，
∴AD
=
CD·tanα，BD
=
CD·tanβ，
由AD+
BD=
AB，得CD·tanα+CD·tanβ=AB=100，
则＞30，
∴高速公路会受到地震影响．
【点评】此题考查了三角函数的实际应用，此题难度适中注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
（2020年湖北省黄冈市）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临皋亭P处的距离．
（2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离（计算结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】（1）过点作于点M．设，在中，得到，在中，得到，根据得到关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值，进而A处到临皋亭的距离即可求解；
（2）过点作于点，在中，得到，在中，得到，根据求解即可．
解：（1）依题意有．
过点作于点M．设，则
在中，．
在中，．
又，
∴点A处与点处临皋亭之间的距离为．
（2）过点作于点．
在中，．
．
在中，．
．
．
．
∴点处临亭与点处遗爱亭之间的距离为．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
（2020年四川省广元市）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离千米处是学校B．（参考数据：，）．
（1）求学校A，B两点之间的距离
（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】（1）过点A作CD//MN，BE⊥MN，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△MBE中求出BE，ME，继而得出AD，BD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理可得出AB的长度．
（2）作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，点P即为站点，求出AG的长度即可．
解：（1）过点A作CD//MN，BE⊥MN，如图：
在Rt△ACM中，∠CMA＝36.5°，AM＝5km，
∵sin36.5°＝＝0.6，
∴CA＝3，MC＝4km，
在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB＝km，
∵sin45°＝＝，
∴BE＝6，ME＝6km，
∴AD＝CD?CA＝ME?CA＝3km，BD＝BE?DE＝BE?CM＝2km，
在Rt△ABD中，AB＝km．
（2）作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，连接PB，点P即为站点，
此时PA＋PB＝PA＋PG＝AG，即A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短为AG长
在Rt△ADG中，AD=3，DG=DE+EG=DE+BE=4+6=10，∠ADG=90°，
∴AG＝＝km．
答：最短距离为km．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求解相关线段的长度，难度较大．
（2020年浙江省嘉兴、舟山市
）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？
（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．
（参考数据：）
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）由已知数据可知，第二个小组的数据无法计算河宽．
（2）第一个小组：证明BC=BH=60m，解直角三角形求出AH即可．
解：（1）第二小组的数据中，通过解直角三角形可得到Rt△中的BC、DC，无法与Rt△产生关联，故第二小组无法计算出河宽．
（2）答案不唯一．若选第一小组的方案及数据（如图），
∵∠ABH=∠ACH+∠BHC，∠ABH=70°，∠ACH=35°，
，
m．
在Rt△中，AH=BH×sin70°≈56.4(m)．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
（2020年辽宁省铁岭、葫芦岛市）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）
（参考数据）
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）在Rt△ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度．
（2）在Rt△BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可．
解：（1）垂直于桥面
在中，
（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度为米．
（2）在中，
（米）
答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：
课题
测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度
测量示意图
如图，雕塑的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上．
测量数据
的度数
的度数
的长度
仪器（）的高度
5米
米
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，）
【考点】解直角三角形所的应用
【分析】如图，延长交于，设
利用锐角三角函数表示，再表示，再利用锐角三角函数列方程求解，从而可得答案．
解：如图，延长交于，
由题意得：
设
由
由
经检验：符合题意，
“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为
【点评】本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键．
3第四章
图形的性质
第25节
解直角三角形
■考点1.
锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数
正弦:
sinA＝＝
余弦:
cosA＝＝
正切:
tanA＝＝.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
■考点2：解直角三角形
1.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
■考点3：解直角三角形的应用
1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.
（如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
2.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
■考点1.锐角三角函数的定义
特殊角的三角函数值
◇典例：
（2020年吉林省长春市）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】锐角三角函数的定义
【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
解：由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．
选项B、C、D都是错误的，
故答案选A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．
（2020年四川省凉山州）如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（
）
A．
B．
C．2
D．
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【分析】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；
解：如图，取格点E，连接BE，
由题意得：，，，
∴．
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键．
（2020年湖南省岳阳市）计算：
【考点】负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，实数及其运算
【分析】先计算负整数指数幂、特殊角的余弦值、零指数幂、化简绝对值，再计算实数的混合运算即可．
解：原式
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、特殊角的余弦值、零指数幂、实数的混合运算等知识点，熟记各运算法则是解题关键．
◆变式训练
（2020年广西柳州市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB==（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省南充市）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省金华市、丽水市）计算：
■考点2：解直角三角形
◇典例
（2020年安徽省）如图，中，
，点在上，．若，则的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】解直角三角形，勾股定理
【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．
解：∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
（2020年山东省淄博市）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：
（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？
【考点】分式方程的应用,解直角三角形的应用
【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；
（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．
解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，
∴CD＝BC?sin30°＝100×＝50（千米），BD＝BC?cos30°＝100×＝50（千米），
在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝＝50（千米），
∴AB＝50+50（千米），
∴AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；
（2）设施工队原计划每天修建x千米，
依题意有，﹣＝50，
解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建0.14千米．
【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．
◆变式训练
（2020年贵州黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（
）
A．米
B．4sinα米
C．米
D．4cosα米
（2020年黑龙江省哈尔滨市）在中，，为BC边上的高，，则BC的长为___________．
（2020年湖南省株洲市）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点A、B分别在、上，斜坡AB的长为18米，过点B作于点C，且线段AC的长为米．
（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚为60°，过点M作于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
■考点3：解直角三角形的应用
◇典例：
（2020年湖南省邵阳市）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔分别为，，．若管道与水平线的夹角为30°，管道与水平线夹角为45°，求管道和的总长度（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
解：根据题意知，四边形和四边形均为矩形，
，，
，，
在中，，，，
；
在中，，，，
，
，
即管道AB和BC的总长度为：．
【点评】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度
（2020年内蒙古呼和浩特市）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；
（2）由题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=42°+20°=62°，AB=38，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到答案．
解：（1）如图，由题意得：
∠ACB=20°+42°=62°；
（2）由题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=42°+20°=62°，AB=38，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB=38，
∴AE=BE=AB=，
在Rt△CBE中，∵∠ACB=62°，tan∠ACB=，
∴CE==，
∴AC=AE+CE=+，
∴A，C两港之间的距离为（+）km.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（2020年西藏）如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF，卓玛同学为了探究信号塔EF的高度，从建筑物一层A点沿直线AD出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F，测得仰角∠ACF＝60°，AC长7米．接着卓玛再从C点出发，继续沿AD方向走了8米后到达B点，此时刚好能看到信号塔的最低点E，测得仰角∠B＝30°．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF的高度（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形仰角俯角问题
【分析】在Rt△ACF中，根据三角函数的定义得到AF＝AC?tan60°＝7米，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义得到AE＝AB?tan30°＝15×＝5米，进而得到结论．
解：在Rt△ACF中，∵∠ACF＝60°，AC＝7米，
∴AF＝AC?tan60°＝7米，
∵BC＝8米，
∴AB＝15米，
在Rt△ABE中，∵∠B＝30°，
∴AE＝AB?tan30°＝15×＝5米，
∴EF＝AF﹣AE＝7﹣5＝2（米），
答：信号塔EF的高度为2米．
【点评】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是找到并运用题中相等的线段．
◆变式训练
（2020年湖南省湘潭市）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果精确到，参考数据：，）
（2020年湖南省永州市）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
（2020年海南省）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，
隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为继续飞行米到达点处，测得点的俯角为．
（1）填空：__________度，_________度；
（2）求隧道的长度(结果精确到米)．(参考数据：)
（2020年广西河池市）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年山东省聊城市数学中考试卷）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省杭州市）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB
B．b＝csinB
C．a＝btanB
D．b＝ctanB
（2020年广西玉林市）sin45°的值等于（
）
A．
B．
C．
D．1
（2020年广东省广州市）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
（2020年四川省自贡市）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为
________
米
（结果保留根号）
（2020年湖北省咸宁市）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，）
（2020年山东省济宁市）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米．
（2020年辽宁省沈阳市）计算：
（2020年四川省内江市）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．
（1）求B处到灯塔P的距离；
（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？
（2020年内蒙古通辽市）从A处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，A处与楼的水平距离为，若，求这栋楼高．
选择题
（2020年江苏省镇江市）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
（2020年江苏省扬州市）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省荆州市）如图，在
正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是的外接圆，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖北省黄冈市）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省凉山州）下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省广元市）规定：给出以下四个结论：（1）
；（2）；（3）
；（4）其中正确的结论的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
（2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校）如图，在△ABC中，sinB=，
tanC=2，AB=3，则AC的长为（
）
A．
B．
C．
D．2
（2020年湖南省湘西州）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年重庆市中考数学试题A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（
）
（参考数据：，，）
A．76.9m
B．82.1m
C．94.8m
D．112.6m
（2020年辽宁省大连市）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年贵州省黔南州）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省温州市）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（
）
A．(1.5＋150tan)米
B．(1.5＋)米
C．(1.5＋150sin)米
D．(1.5＋)米
填空题
（2020年甘肃省天水市）如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________．
（2020年内蒙古通辽市）计算：
（1）
______；（2）______；（3）
______．
（2020年广西桂林市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是_____．
（2020年山东省泰安市）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）
（2020年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．
（2020年四川省达州市）小明为测量校园里一颗大树的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪竖直放在与B相距的位置，在D处测得树顶A的仰角为．若测角仪的高度是，则大树的高度约为_____．（结果精确到．参考数据：）
解答题
（2020年辽宁省丹东市）先化简，再求代数式的值：，其中．
（2020年湖北省孝感市）如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段，使点平移到点，画出平移后所得的线段，并写出点的坐标为______；
（2）将线段绕点逆时针旋转，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为______；
（3）在轴上找出点，使的周长最小，并直接写出点的坐标为______．
（2020年内蒙古呼伦贝尔市）两地间有一段笔直的高速铁路，长度为．某时发生的地震对地面上以点为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响．分别从两地处测得点的方位角如图所示，．高速铁路是否会受到地震的影响．请通过计算说明理由．
（2020年湖北省黄冈市）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临皋亭P处的距离．
（2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离（计算结果保留根号）
（2020年四川省广元市）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离千米处是学校B．（参考数据：，）．
（1）求学校A，B两点之间的距离
（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．
（2020年浙江省嘉兴、舟山市
）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？
（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．
（参考数据：）
（2020年辽宁省铁岭、葫芦岛市）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）
（参考数据）
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：
课题
测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度
测量示意图
如图，雕塑的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上．
测量数据
的度数
的度数
的长度
仪器（）的高度
5米
米
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，）
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